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  • 4G、5G中的基本时间单位Ts和Tc

    万次阅读 多人点赞 2019-08-03 16:44:38
    不论是在4G协议36211的一开始,还是5G协议38211的一开始,都会介绍物理层的一个基本的时间单位。在LTE中,这个时间单元通过下式计算: 其中 : 如何理解呢?LTE支持6种不同的传输带宽1.4 MHz、3 MHz、5 MHz、...

    不论是在4G协议36211的一开始,还是5G协议38211的一开始,都会介绍物理层的一个基本的时间单位。在LTE中,这个时间单元通过下式计算:
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    其中 :
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    如何理解呢?LTE支持6种不同的传输带宽1.4 MHz、3 MHz、5 MHz、10 MHz、15 MHz、20 MHz,子载波间隔为15kHz,所以最大传输带宽20MHz共含有1200个子载波,其余带宽为保护间隔。这1200个子载波上分别承载着子序列信息,在做IFFT时,频域采样点数不能少于1200才可以保证信息不会丢失,但在计算机系统里,2的幂次方方便计算,所以就解释了为什么是2048,也就是要做2048点的IFFT才能生成OFDM符号。
    在解释了为什么是2048之后,就不难理解这个时间单位的含义了。频域2048个点就意味着时域也是2048个点,LTE子载波间隔是15kHz,所以OFDM符号长度是1/15000,符号长度除以2048采样点,得到的就是采样间隔,所以这个时间单位Ts就是LTE中OFDM符号的采样间隔,为32.55×10(-9)s。
    在NR中同理,协议38211给出了时间单位Tc的计算公式:
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    其中 :
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    按照30101-1给出的channel bandwidth:
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    最大带宽为100MHz,包含273个RB,所以共有子载波:273*12=3276个,同理向上取整到2的幂次方,所以采用4096点的IFFT。同理时域也为4096个采样点。且NR支持更大的子载波间隔,所以不难理解这个Tc其实就是NR中的最小的OFDM符号的采样间隔,为5.086e-10s。

    所以NR中对应会有更高的采样频率,分别对应不同的载波间隔。

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  • 入门学习Linux常用必会60个命令实例详解doc/txt

    千次下载 热门讨论 2011-06-09 00:08:45
    -p,--preserve-timestamps:以<来源>文件的访问/修改时间作为相应的目的地文件的时间属性。 -s,--strip:用strip命令删除symbol table,只适用于第一及第二种使用格式。 -S,--suffix=后缀:自行指定...
  • 它类似于连续时间信号中的单位阶跃信号ε( t ) (但应注意ε(t)在 t=0 处发生跃变,所以在t=0此点常常不予定义或定义为t=0.5), 而单位阶跃序列在ε(k)在t=0处为1。   2.周期信号和非周期信号 ...

     

     

    目录

    1.1  绪言

    1.2  信号

    1.连续信号与离散信号

    2.周期信号和非周期信号

    3.实信号和复信号

    4.能量信号和功率信号

    1.3  信号的基本运算

    1.加法和乘法

    2.反转和平移

    3.尺度变换(横坐标展缩)

    1.4  阶跃函数和冲激函数

    1.阶跃函数和冲激函数

    2.冲激函数的广义函数定义

    3.冲激函数的导数和积分

    4.冲击函数的性质

    1.5  系统的描述

    1. 系统的数学模型

    2.系统的框图表示

    1.6  系统的特性和分析方法

    1.线性

    2.时不变性

    3.因果性

    4.稳定性

    5.LTI系统分析方法概述

     


    1.1  绪言

    (前前一段时间准备蓝桥杯,前一段时间在准备十佳标兵,所以对于学习上的事情感觉不够多,现在要腾出很多时间来开始写写信号,写写数理方程,蓝桥的很多代码也忘了,所以有空也会写写蓝桥,要是后续课程有需要,也写一写后边的课程,一定要坚持下来,加油!)

    信号与系统首先要知道什么是信号什么是系统???

    信号:随时间,空间变化的物理量或者物理现象。

    系统:指的是若干相互关联,互相作用的事实按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。

    信号与系统的关系:

     

     信号的决定因素——信息

    所以:信号是信息的载体,信息决定信号。

    信号主要是:电、光、声、磁、机械、热等

    信息主要是:语言、文字、图像等

    信号和信息的关系:

     

     

     

    1.2  信号

    确定信号:如果一个信号可以用一个确定的时间函数(或序列)表示,就称其为确定信号(或规则信号)。

    随机信号:幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号,又称不确定信号。

    (因为确定信号是基础,所以接下来讨论的都是确定信号)。

    1.连续信号与离散信号

    区分:根据定义域的特点可将信号分为连续信号和离散信号。

    连续信号:在连续时间范围内(-∞<t<+∞)有定义的信号称为连续时间信号,简称连续信号。

    如:阶跃函数(取1的时候不包括0)

     

    离散信号:“离散”是指信号的定义域——时间(或其他量)是离散的,它之取某些规定的值。(可闭合表示,也可以列举表示)

    如单位阶跃序列:

    单位阶跃序列定义为

    ε(k)=0,k<0

    ε(k)=1,k=0

    ε(k)=1,k>0

    它类似于连续时间信号中的单位阶跃信号ε(t

    (但应注意ε(t)在t=0处发生跃变,所以在t=0此点常常不予定义或定义为t=0.5),

    而单位阶跃序列在ε(k)在t=0处为1。

     

    2.周期信号和非周期信号

    周期函数:定义在(-∞,+∞)区间,每隔一定的时间T(或整数N),按相同规律重复变化的信号。

    连续周期信号可表示为

                            f(t) = f(t + mT),  m = 0, \pm1,\pm2,…… (周期T为最小正周期)

    离散周期信号可表示为

                          f(t) = f(k + mN), m = 0, \pm1,\pm2,……

    对于一个三角函数(\sin\betak + \theta))

                         当    \frac{2\pi }{\beta }   =  N(正整数), N为其周期;

                        当   \frac{2\pi }{\beta }  =  M / N (有理数), M为其周期;

                        当 \frac{2\pi }{\beta }  =  无理数,则该函数为非周期;

    3.实信号和复信号

    实信号:物理可实现的信号常常是时间t(或k)的实函数(或序列),其在各时刻的函数(或序列)值为实数,如单边指数信号,正弦信号(正弦,余弦统称为正弦信号)等,称为实函数。

    复信号:函数(或序列)值为复数的信号成为复信号,做常用的是复指数信号。(一个复指数信号可以分解为实、虚两部分)

    例如:

    其中

      

    借助欧拉公式展开,可得                                

                  (欧拉公式为: formula

    此结果表明,一个复指数信号可分为实、虚两部分。其中,实部包含余弦信号,虚部则为正弦信号。

    4.能量信号和功率信号

    连续信号f(t)

    信号能量定义为在区间(-∞,+∞)中信号f(t)的能量,用字母E表示,即

                               {\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{a \to\infty} \int_{-a}^{ a} |f(t)|^2dt}

    信号功率定义为在区间(-∞,+∞)中信号f(t)的平均功率,用字母P表示,即

                             {\color{Red} P\equiv \lim_{a \to\infty }\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}|f(t)|^2dt}

    若信号f(t)的能量有界(即0<E<\infty,这时P = 0),则称其为能量有限信号(持续时间有限),简称能量信号。

    若信号f(t)的功率有界(即0<P<\infty,这时E = \infty),则称其为功率有限信号(如有始信号,周期信号,直流信号),简称功率信号。

    离散信号f(k)

    离散信号有时也需要讨论能量和功率,

    序列f(k)的能量定义为

                                         {\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{N \to\infty} \sum_{k=-N}^{N} |f(k)|^2}

    序列f(k)的功率的定义为

                                       {\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{N \to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} |f(k)|^2}f_{1}(\cdot )

     

    1.3  信号的基本运算

    1.加法和乘法

    连续信号f(t)

    信号f_{1}(\cdot )f_{2}(\cdot )之和(瞬时和)是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”,

                          即     {\color{Red} f(\cdot ) =f_{1}(\cdot )+f_{2}(\cdot )}          (例如调音台,将音乐与语音混合在一起)

    信号f_{1}(\cdot )f_{2}(\cdot )之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”,

                          即        {\color{Red} f(\cdot ) =f_{1}(\cdot )f_{2}(\cdot )}           (例如收音机的调幅信号,是将音频信号加载到被称为载波的正弦信号上)

    离散信号f(k)

    离散序列相加(相乘)可采用对应样点的值分别相加(或相乘)的方法来计算。

    2.反转和平移

    反转:将信号f(t)[或f(k)]中的自变量t(或k)转换为-t(或k)。——几何含义为将信号f(\cdot )以纵坐标为轴反转(或称反折)

    平移:    

              连续信号f(t)

                 对于连续信号f(t),若常数  t_{0} >0, 延时信号f(t-{t_{0}})  是将原信号沿t轴方向平移 t_{0}时间       

                                                                   延时信号f(t+{t_{0}})  是将原信号沿t轴方向平移 t_{0}时间

            离散信号f(k)             

                 对于离散信号f(t),若常数  k_{0} >0, 延时信号f(k-{k_{0}})  是将原信号沿k轴方向平移 k_{0}时间       

                                                                   延时信号f(k+{k_{0}})  是将原信号沿k轴方向平移 k_{0}时间

    平移和反转的先后顺序:要先平移后反转

    3.尺度变换(横坐标展缩)

    要想将信号横坐标的尺寸展宽或者压缩(常称为尺度变换),可将变量at(a为非零常数)代替原信号f(t)的自变量t,得到信号f(at)。

     连续信号f(t)

                   f(t) ----->f(at)

              若|a| > 1,则以原点为基准压缩   \frac{1}{|a|},

             若|a| < 1,则以原点为基准展宽   \frac{1}{|a|},         (信号在时域内压缩,在频域会展宽)

    离散信号f(k)   

               f(k) ----->f(ak) ,要求ak是整数,离散信号进行尺度变换常常会丢失原信号的部分信息,因而不能将f(ak)看作f(k)的压缩或者展宽。   

     

    总结:已知f(t),求f(at+b) :  要先平移,再反转,最后尺度变换(所有变得都是自变量

              已知f(at+b),求f(t) :  要先尺度变换,再反转,最后再平移。

    1.4  阶跃函数和冲激函数

    阶跃函数和冲激函数不同于普通的函数,称为奇异函数。

    1.阶跃函数和冲激函数

    阶跃函数

    冲激函数

                

    狄拉克(Dirac)给出了冲激函数的另一种定义

    (1)  

    (2) 

    冲激函数与阶跃函数的关系

    {\color{Red} \delta (t)=\frac{\mathrm{d}\varepsilon (t) }{\mathrm{d} t}}

    {\color{Red} \varepsilon (t)= \int_{-\infty }^{t}\delta (x)dx}

    2.冲激函数的广义函数定义

    粗浅的说,广义函数是这样定义的,选择一类性能良好的函数\varphi (t),称为检验函数(它相当于定义域),一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数\varphi (t)赋予一个数值N的映射,该数与广义函数g(t)和检验函数有\varphi (t)有关,记作 N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]

    通常广义函数g(t)可写为

                                  \int_{-\infty }^{\infty }g(t)\varphi (t)dt = N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]

    式中的检验函数\varphi (t)是连续的,具有任意阶导数,且本身及其各阶导数在无限远处急速下降的普通函数。(本身即无穷阶导数为零)

     

                         \int_{-\infty }^{\infty }f(t)\varphi (t)dt = N\left [ f(t),\varphi (t) \right ] = \int_{-\infty }^{\infty }g(t)\varphi (t)dt = N\left [ g(t),\varphi (t) \right ] 

    就认为两个广义函数相等,并记作f(t) = g(t)

    按广义函数理论,冲激函数\delta (t)由下式

                                 {\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\varphi (t)dt = \varphi (0)}

    单位阶跃函数\varepsilon (t)的定义为

                                 \int_{-\infty }^{\infty }\varepsilon (t)\varphi (t)dt=\int_{0}^{\infty }\varphi (t)dt

     

    3.冲激函数的导数和积分

    冲激函数\delta (t)的一阶导数\delta {}'(t)的定义为

                                           {\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta {}'(t)\varphi (t)dt = -{\varphi }'(0)}

    \delta ^n(t) = \frac{d^n\delta (t)}{dt^n}  :   {\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta ^n(t)\varphi (t)dt = (-1)^n\varphi ^n(0)}

    \delta (t)\delta {}'(t)  的积分为:

                               \varepsilon (t) = \int_{-\infty }^{t }\delta (x)dx

                               \delta (t) = \int_{-\infty }^{t }\delta {}'(x)dx

    4.冲击函数的性质

       一、以普通函数的乘积

              1.    {\color{Red}f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t) }

              2.   {\color{Red}\int_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0)}

              3.  {\color{Red} f(t)\delta {}'(t)=f(0)\delta{}' (t)-f{}'(0)\delta (t)}

              4.   {\color{Red} {\int_{-\infty }^{\infty }}f(t)\delta {}'(t)=-f{}'(0)}

    二、位移

              1.{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{1})\varphi (t)dt = \varphi (t_{1})}

              2.{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta {}'(t-t_{1})\varphi (t)dt=-\varphi {}'(t_{1})} 

              3.{\color{Red}f(t)\delta (t-t_{1})=f(t_{1})\delta (t-t_{1}) }

              4.{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{1})f (t)dt = f (t_{1})}

              5.{\color{Red} f(t)\delta {}'(t-t_{1})=f(t_{1})\delta {}'(t-t_{1})-f{}'(t_{1})\delta (t-t_{1})}

              6.{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta {}'(t-t_{1})dt=-f{}'(t_{1})}

      间断点:当信号有第一类间断点时,其一阶导数将在间断点处出现冲激,间断点处向上突跳时出现正冲激,向下突跳时出现负冲激,其强度等于突跳的幅度。

    三、尺度变换

              

    1.5  系统的描述

    1. 系统的数学模型

    2.系统的框图表示

    1.6  系统的特性和分析方法

    1.线性

    2.时不变性

    3.因果性

    4.稳定性

    5.LTI系统分析方法概述

     

     

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  • 卡尔曼滤波系列——(二)扩展卡尔曼滤波

    万次阅读 多人点赞 2019-04-06 16:33:48
    因此要取得合适的卡尔曼增益,使得迹得到最小,言外之意就是使得迹对的偏导为0,即 这样就能算出合适的卡尔曼增益了,即 代回式(8)得到 接下来就差真实值与预测值之间的协方差矩阵的求值公式了 将以下两个等式代入...

    更新日志:

    2020.02.13:修改了第三节推导中的公式错误

    2020.03.21:修改了2.1节中的部分表述和公式加粗,补充迹的求导公式

    2021.04.14:修改公式显示错误

    1 简介

    扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter,EKF)是标准卡尔曼滤波在非线性情形下的一种扩展形式,它是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器)。

    EKF的基本思想是利用泰勒级数展开将非线性系统线性化,然后采用卡尔曼滤波框架对信号进行滤波,因此它是一种次优滤波。

    2 算法介绍

    2.1 泰勒级数展开

    泰勒级数展开是将一个在x=x_{0}处具有n阶导数的函数f(x),利用关于(x-x_{0})n次多项式逼近函数值的方法。

    若函数f(x)在包含x_{0}的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上的任意一点x,都有:

    f(x)=\frac{f({​{x}_{0}})}{0!}+\frac{f'({​{x}_{0}})}{1!}(x-{​{x}_{0}})+...+\frac{​{​{f}^{(n)}}({​{x}_{0}})}{n!}{​{(x-{​{x}_{0}})}^{n}}+{​{R}_{n}}(x)

    其中{​{f}^{(n)}}({​{x}_{0}})表示函数f(x)x=x_{0}处的n阶导数,等式右边成为泰勒展开式,剩余的{​{R}_{n}}(x)是泰勒展开式的余项,是(x-x_{0})^{n}的高阶无穷小。

    (著名的欧拉公式{​{e}^{ix}}=\cos x +i\sin x就是利用{​{e}^{ix}}\cos x\sin x的泰勒展开式得来的!)

    当变量是多维向量时,一维的泰勒展开就需要做拓展,具体形式如下:

    f(\mathbf{x})=f({​{\mathbf{x}}_{k}})+{​{[\nabla f({​{\mathbf{x}}_{k}})]}^{T}}(\mathbf{x}-{​{\mathbf{x}}_{k}})+{​{o}^{n}}

    其中,{​{[\nabla f({​{\mathbf{x}}_{k}})]}^{T}}={​{\mathbf{J}}({\bf x}_k)}表示雅克比矩阵,{​{\mathbf{o}}^{n}}表示高阶无穷小。

    {[\nabla f({​{\bf{x}}})]^T} = {​{\bf{J}}({\bf x})} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f({\bf x})_1}{\partial {\bf x}_1} & \hdots & \frac{\partial f({\bf x})_1}{\partial {\bf x}_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f({\bf x})_m}{\partial {\bf x}_1} & \hdots & \frac{\partial f({\bf x})_m}{\partial {\bf x}_n} \end{bmatrix}

    这里,f({​{\bf{x}}_k})m维,{​{\bf{x}}_k}状态向量为n维,\frac{​{​{\partial ^2}f({​{\bf{x}}_k})}}{​{\partial {x_m}\partial {x_n}}} = \frac{​{\partial f({​{\bf{x}}_k})^T}}{​{\partial {x_m}}}\frac{​{\partial f({​{\bf{x}}_k})}}{​{\partial {x_n}}}

    一般来说,EKF在对非线性函数做泰勒展开时,只取到一阶导和二阶导,而由于二阶导的计算复杂性,更多的实际应用只取到一阶导,同样也能有较好的结果。取一阶导时,状态转移方程和观测方程就近似为线性方程,高斯分布的变量经过线性变换之后仍然是高斯分布,这样就能够延用标准卡尔曼滤波的框架。

    2.1 EKF

    标准卡尔曼滤波KF的状态转移方程和观测方程为

    {​{\mathbf{\theta }}_{k}}=\mathbf{A}{​{\mathbf{\theta }}_{k-1}}+\mathbf{B}{​{\mathbf{u}}_{k-1}}+{​{\mathbf{s}}_{k}}

    {​{\mathbf{z}}_{k}}=\mathbf{C}{​{\mathbf{\theta }}_{k}}+{​{\mathbf{v}}_{k}}

    扩展卡尔曼滤波EKF的状态转移方程和观测方程为

    {​{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({​{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{​{\mathbf{s}}_{k}}          (1)

    {​{\mathbf{z}}_{k}}=h({​{\mathbf{\theta }}_{k}})+{​{\mathbf{v}}_{k}}             (2)

    利用泰勒展开式对(1)式在上一次的估计值\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle处展开得

    {​{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({​{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{​{\mathbf{s}}_{k}}=f(\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )+{​{\mathbf{F}}_{k-1}}\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}}-\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle \right)+{​{\mathbf{s}}_{k}}          (3)

    再利用泰勒展开式对(2)式在本轮的状态预测值\mathbf{\theta }_{k}^{'}处展开得

    {​{\mathbf{z}}_{k}}=h({​{\mathbf{\theta }}_{k}})+{​{\mathbf{v}}_{k}}=h\left( \mathbf{\theta }_{​{k}}^{\mathbf{'}} \right)+{​{\mathbf{H}}_{k}}\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{​{k}}^{\mathbf{'}} \right)+{​{\mathbf{v}}_{k}}            (4)

    其中,{\mathbf{F}}_{k-1}{\mathbf{H}}_{k}分别表示函数f(\mathbf{\theta })h(\mathbf{\theta })\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle\mathbf{\theta }_{k}^{'}处的雅克比矩阵。

    (注:这里对泰勒展开式只保留到一阶导,二阶导数以上的都舍去,噪声假设均为加性高斯噪声)

    基于以上的公式,给出EKF的预测(Predict)和更新(Update)两个步骤:

    Propagation:

    \mathbf{\theta }_{k}^{'}=f(\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle)

    \mathbf{\Sigma }_{k}^{'}=\mathbf{F}_{k-1}{​{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}{​{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\mathbf{Q}

    Update:

    \mathbf{S}_{k}^{'}={​{\left( \mathbf{H_{k}\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}

    \mathbf{K}_{k}^{'}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}}_{k}^{T}}\mathbf{S}_{k}^{'}

    \left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle =\mathbf{\theta }_{k}^{'}+\mathbf{K}_{k}^{'}\left( {​{\mathbf{z}}_{k}}-{h(\theta }_{k}^{'}) \right)

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-\mathbf{K}_{k}^{'}\mathbf{H}_{k} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}

    其中的雅克比矩阵{\mathbf{F}}_{k-1}{\mathbf{H}}_{k}分别为

    {​{\mathbf{F}}_{k-1}}={​{\left. \frac{\partial f}{\partial \mathbf{\theta }} \right|}_{\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle }}{​{\mathbf{H}}_{k}}={​{\left. \frac{\partial h}{\partial \mathbf{\theta }} \right|}_{\mathbf{\theta }_{k}^{'}}}

    雅可比矩阵的计算,在MATLAB中可以利用对自变量加上一个eps(极小数),然后用因变量的变化量去除以eps即可得到雅可比矩阵的每一个元素值。

    读者可能好奇?为什么扩展卡尔曼滤波EKF的传播和更新的形式会和标准卡尔曼滤波KF的形式一致呢?以下做一个简单的推导。

    3 推导

    先列出几个变量的表示、状态转移方程和观测方程:

    真实值{​{\mathbf{\theta }}_{k}},预测值\mathbf{\theta }_{k}^{'},估计值\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle,观测值{​{\mathbf{z}}_{k}},观测值的预测\mathbf{\hat{z}}_{k},估计值与真实值之间的误差协方差矩阵{​{\mathbf{\Sigma }}_{k}},求期望的符号\left\langle \cdot \right\rangle

    {​{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({​{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{​{\mathbf{s}}_{k}},     {​{\mathbf{s}}_{k}}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{Q})

    {​{\mathbf{z}}_{k}}=h({​{\mathbf{\theta }}_{k}})+{​{\mathbf{v}}_{k}},     {​{\mathbf{v}}_{k}}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{R})

    引入反馈:\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle =\mathbf{\theta }_{k}^{'}+{​{\mathbf{K}}_{k}}\left( {​{\mathbf{z}}_{k}}-{​{​{\mathbf{\hat{z}}}}_{k}} \right)=\mathbf{\theta }_{k}^{'}+{​{\mathbf{K}}_{k}}\left( {​{\mathbf{z}}_{k}}-h(\theta _{k}^{'} )\right)      (5)

    OK,可以开始推导了:

    由公式(3)(4)得到以下两个等式,标为式(6)(7)

    f({​{\mathbf{\theta }}_{k-1}})-f(\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )={​{\mathbf{F}}_{k-1}}\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}}-\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle \right)

    h({​{\mathbf{\theta }}_{k}})-h\left( \mathbf{\theta }_{​{k}}^{\mathbf{'}} \right)={​{\mathbf{H}}_{k}}\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{​{k}}^{​{'}} \right)

    计算估计值与真实值之间的误差协方差矩阵{​{\mathbf{\Sigma }}_{k}},并把式子(4)(5)(7)代入,得到

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle {​{\mathbf{e}}_{k}}\mathbf{e}_{k}^{T} \right\rangle =\left\langle \left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle \right){​{\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle \right)}^{T}} \right\rangle

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle \left[ {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{​{\mathbf{K}}_{k}}\left( {​{\mathbf{z}}_{k}}-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right) \right) \right]{​{\left[ {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{​{\mathbf{K}}_{k}}\left( {​{\mathbf{z}}_{k}}-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right) \right) \right]}^{T}} \right\rangle

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle \left[ {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{​{\mathbf{K}}_{k}}\left( h\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}} \right)-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{​{\mathbf{v}}_{k}} \right) \right]{​{\left[ {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{​{\mathbf{K}}_{k}}\left( h\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}} \right)-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{​{\mathbf{v}}_{k}} \right) \right]}^{T}} \right\rangle

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle \left[ \left( \mathbf{I}-{​{\mathbf{K}}_{k}}{​{\mathbf{H}}_{k}} \right)\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{\mathbf{K}}_{k}{\mathbf{v}}_{k} \right] \left[ \left( \mathbf{I}-{​{\mathbf{K}}_{k}}{​{\mathbf{H}}_{k}} \right)\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{\mathbf{K}}_{k}{\mathbf{v}}_{k} \right]^T \right\rangle

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-{​{\mathbf{K}}_{k}}{​{\mathbf{H}}_{k}} \right)\left\langle \left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right){​{\left( {​{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)}^{T}} \right\rangle {​{\left( \mathbf{I}-{​{\mathbf{K}}_{k}}{​{\mathbf{H}}_{k}} \right)}^{T}}+{\mathbf{K}}_{k}{\mathbf{R}}{\mathbf{K}}_{k}^{T}

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-{​{\mathbf{K}}_{k}}{​{\mathbf{H}}_{k}} \right) \mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{​{\left( \mathbf{I}-{​{\mathbf{K}}_{k}}{​{\mathbf{H}}_{k}} \right)}^{T}}+{\mathbf{K}}_{k}{\mathbf{R}}{\mathbf{K}}_{k}^{T}

    其中\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}表示真实值与与预测值之间的误差协方差矩阵。于是得到式(8)

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}-{​{\mathbf{K}}_{k}}\mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma } }_{k}^{'}-\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}_{k}^{T}}}\mathbf{K}_{k}^{T}+{​{\mathbf{K}}_{k}}\left( \mathbf{H}_{k}\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}_{k}}^{T}}+\mathbf{R} \right)\mathbf{K}_{k}^{T}

    因为{​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}的对角元即为真实值与估计值的误差的平方,矩阵的迹(用T[]表示)即为总误差的平方和,即

    T\left[ {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}} \right]=T\left[ \mathbf{\Sigma }_{k}^{'} \right]+T\left[ {​{\mathbf{K}}_{k}}\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma } }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}_{k}}^{T}}+\mathbf{R} \right)\mathbf{K}_{k}^{T} \right]-2T\left[ {​{\mathbf{K}}_{k}}\mathbf{H}_{k}\mathbf{\Sigma }_{k}^{'} \right]

    利用以下矩阵迹的求导公式(其中\bf A\bf B表示矩阵,\bf a表示列向量):

    Tr(\mathbf{A}+\mathbf{B})=Tr(\mathbf{A})+Tr(\mathbf{B})

    Tr(\mathbf{AB})=Tr(\mathbf{BA})

    \mathbf{a}^{T} \mathbf{a}=Tr(\mathbf{a}\mathbf{a}^{T})

    \frac{\partial }{\partial \mathbf{X}} Tr(\mathbf{XBX}^{T})=\mathbf{XB}^{T}+\mathbf{XB}

    \frac{\partial }{\partial \mathbf{X}} Tr(\mathbf{AX}^{T})=\mathbf{A}

    \frac{\partial }{\partial \mathbf{X}} Tr(\mathbf{XA})=\mathbf{A}^{T}

    要让估计值更接近于真实值,就要使上面的迹尽可能的小,因此要取得合适的卡尔曼增益{​{\mathbf{K}}_{k}},使得迹得到最小,言外之意就是使得迹对{​{\mathbf{K}}_{k}}的偏导为0,即

    \frac{dT\left[ {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}} \right]}{d{​{\mathbf{K}}_{k}}}=2{​{\mathbf{K}}_{k}}\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma }}_{k}^{'}{​{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)-2{​{\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma }}_{k}^{'} \right)}^{T}}=0

    这样就能算出合适的卡尔曼增益了,即

    {​{\mathbf{K}}_{k}}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}}_{k}^{T}}{​{\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}

    代回式(8)得到

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}-\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}}_{k}^{T}}{​{\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}\mathbf{H}_{k}{\mathbf\Sigma }_{k}^{'}=\left( \mathbf{I}-{​{\mathbf{K}}_{k}}\mathbf{H}_{k} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}

    接下来就差真实值与预测值之间的协方差矩阵\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}的求值公式了

    \mathbf{\Sigma }_{_{k}}^{'}=\left\langle \mathbf{e}_{k}^{'}\mathbf{e}{​{_{k}^{'}}^{T}} \right\rangle =\left\langle \left( {​{\theta }_{k}}-\theta _{k}^{'} \right){​{\left( {​{\theta }_{k}}-\theta _{k}^{'} \right)}^{T}} \right\rangle

    将以下两个等式代入到上式,

    {​{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({​{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{​{\mathbf{s}}_{k}}\mathbf{\theta }_{k}^{'}=f(\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )

    可以得到

    \mathbf{\Sigma }_{_{k}}^{'}=\left\langle \left[f({​{\mathbf{\theta }}_{k-1}})-f(\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )+{​{\mathbf{s}}_{k}} \right]{​{\left[ f({​{\mathbf{\theta }}_{k-1}})-f(\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )+{​{\mathbf{s}}_{k}} \right]}^{T}} \right\rangle

    {​{\mathbf{\theta }}_{k}}\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle与观测噪声{​{\mathbf{s}}_{k}}是独立的,求期望等于零;;\left\langle {​{\mathbf{s}}_{k}}{​{\mathbf{s}}_{k}}^{T} \right\rangle表示观测噪声的协方差矩阵,用{\mathbf{Q}}表示。于是得到

    \mathbf{\Sigma }_{_{k}}^{'}=\mathbf{F}_{k-1}\left\langle \left( {​{\theta }_{k-1}}-\left\langle {​{\theta }_{k-1}} \right\rangle \right){​{\left( {​{\theta }_{k-1}}-\left\langle {​{\theta }_{k-1}} \right\rangle \right)}^{T}} \right\rangle {​{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\left\langle {​{\mathbf{s}}_{k}}\mathbf{s}_{k}^{T} \right\rangle \\ =\mathbf{F}_{k-1}{​{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}{​{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\mathbf{Q}

    其中的协方差矩阵的转置矩阵就是它本身。OK,大功告成,以上就完成了全部公式的推导了。

    4 实际应用

    现在我们假设在海上有一艘正在行驶的船只,其相对于传感器的横纵坐标为(x;y;v_{x};v_{y})为隐藏状态,无法直接获得,而传感器可以测量得到船只相对于传感器的距离和角度(r;\theta),传感器采样的时间间隔为\Delta t,则:

    状态向量(x;y;v_{x};v_{y}),观测向量(r;\theta)

    状态转移方程和观测方程为:

    \left[ \begin{matrix} {​{x}_{k}} \\ {​{y}_{k}} \\ {​{v}_{x_{k}}} \\ {​{v}_{y_{k}}} \\ \end{matrix} \right]=f(\left[ \begin{matrix} {​{x}_{k-1}} \\ {​{y}_{k-1}} \\ {​{v}_{​{​{x}_{k-1}}}} \\ {​{v}_{​{​{y}_{k-1}}}} \\ \end{matrix} \right])+{​{\mathbf{s}}_{k}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \Delta t \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {​{x}_{k-1}} \\ {​{y}_{k-1}} \\ {​{v}_{​{​{x}_{k-1}}}} \\ {​{v}_{​{​{y}_{k-1}}}} \\ \end{matrix} \right]+{​{\mathbf{s}}_{k}}

    \left[ \begin{matrix} {​{r}_{k}} \\ {​{\theta }_{k}} \\ \end{matrix} \right]=h(\left[ \begin{matrix} {​{x}_{k}} \\ {​{y}_{k}} \\ {​{v}_{xk}} \\ {​{v}_{yk}} \\ \end{matrix} \right])+{​{\mathbf{v}}_{k}}=\left[ \begin{matrix} \sqrt{x_{k}^{2}+x_{y}^{2}} \\ \arctan \frac{​{​{y}_{k}}}{​{​{x}_{k}}} \\ \end{matrix} \right]+{​{\mathbf{v}}_{k}}

    那么雅克比矩阵为

    {​{\mathbf{F}}_{k-1}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \Delta t \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]

    {​{H}_{k}}=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial {​{r}_{k}}}{\partial {​{x}_{k}}} & \frac{\partial {​{r}_{k}}}{\partial {​{y}_{k}}} & \frac{\partial {​{r}_{k}}}{\partial {​{v}_{​{​{x}_{k}}}}} & \frac{\partial {​{r}_{k}}}{\partial {​{v}_{​{​{y}_{k}}}}} \\ \frac{\partial {​{\theta }_{k}}}{\partial {​{x}_{k}}} & \frac{\partial {​{\theta }_{k}}}{\partial {​{y}_{k}}} & \frac{\partial {​{\theta }_{k}}}{\partial {​{v}_{​{​{x}_{k}}}}} & \frac{\partial {​{\theta }_{k}}}{\partial {​{v}_{​{​{y}_{k}}}}} \\ \end{matrix} \right]

    这里给定距离传感器的噪声均值为0,方差为10;角度传感器的噪声均值为0,方差为0.001(单位弧度);

    采样时间点为\small 100个;

    船只的初始状态为(1000;1500;5;-3),四个状态量的噪声的方差分别为(2;2;0.2;0.2)。仿真结果如下:

    从仿真结果可以看出,EKF在这种情形下的滤波效果还是不错的,但是在实际应用中,对于船只运动的状态转移噪声的均值\mathbf q和协方差矩阵\mathbf Q,以及传感器的观测噪声的均值\mathbf r和协方差矩阵\mathbf R,往往都是未知的,有很多情况都只有观测值而已,这样的情形下,就有必要利用观测值对噪声的统计量参数做出适当的估计(学习)。

    5 参数估计(参数学习)

    利用EM算法和极大后验概率估计(MAP),对未知的噪声参数做出估计,再利用估计出的参数去递推卡尔曼滤波的解。本文对EM算法在卡尔曼滤波框架中的推导暂时先不给出,之后可能会补充,这里就先给出一种Adaptive-EKF算法的公式。

    {​{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({​{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{​{\mathbf{s}}_{k}},     {​{\mathbf{s}}_{k}}\sim \mathcal{N}(\mathbf{q},\mathbf{Q})

    {​{\mathbf{z}}_{k}}=h({​{\mathbf{\theta }}_{k}})+{​{\mathbf{v}}_{k}},     {​{\mathbf{v}}_{k}}\sim \mathcal{N}(\mathbf{r},\mathbf{R})

    {​{\mathbf{\varepsilon }}_{k}}={​{\mathbf{z}}_{k}}-h(\mathbf{\theta }_{k}^{'})-{​{\mathbf{r}}_{k}}

    (1)E-Step

    Propagation:

    \mathbf{\theta }_{k}^{'}=f(\left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle)

    \mathbf{\Sigma }_{k}^{'}=\mathbf{F}_{k-1}{​{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}{​{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\mathbf{Q}

    Update:

    \mathbf{S}_{k}^{'}={​{\left( \mathbf{H_{k}\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}

    \mathbf{K}_{k}^{'}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{​{\mathbf{H}}_{k}^{T}}\mathbf{S}_{k}^{'}

    \left\langle {​{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle =\mathbf{\theta }_{k}^{'}+\mathbf{K}_{k}^{'}\left( {​{\mathbf{z}}_{k}}-{h(\theta }_{k}^{'}) \right)

    {​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-\mathbf{K}_{k}^{'}\mathbf{H}_{k} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}

    (2)M-Step

    {​{\mathbf{\hat{q}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){​{\mathbf{\hat{q}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ \left\langle {​{\theta }_{k}} \right\rangle -f\left( \left\langle {​{\theta }_{k-1}} \right\rangle \right) \right]

    {​{\mathbf{\hat{Q}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){​{\mathbf{\hat{Q}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ {​{\mathbf{K}}_{k}}{​{\mathbf{\varepsilon }}_{k}}\mathbf{\varepsilon }_{k}^{T}\mathbf{K}_{k}^{T}+{​{\mathbf{\Sigma }}_{k}}-{​{\mathbf{F}}_{k-1}}{​{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}\mathbf{F}_{k-1}^{T} \right]

    {​{\mathbf{\hat{r}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){​{\mathbf{\hat{r}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ {​{\mathbf{z}}_{k}}-h\left( \left\langle \theta _{k}^{'} \right\rangle \right) \right]

    {​{\mathbf{\hat{R}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){​{\mathbf{\hat{R}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ {​{\mathbf{\varepsilon }}_{k}}\mathbf{\varepsilon }_{k}^{T}-{​{\mathbf{H}}_{k}}\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}\mathbf{H}_{k}^{T} \right]

    利用以上的Adaptive-EKF算法对船只的运动做滤波跟踪,得到的效果如下图所示:

    相比于没有做参数估计的EKF滤波,可以看出,Adaptive-EKF在估计误差上要优于EKF滤波,而且,它并不需要指定状态转移噪声和观测噪声的参数,将更有利于在实际中的应用。

    6 总结

    EKF滤波通过泰勒展开公式,把非线性方程在局部线性化,使得高斯分布的变量在经过线性变换后仍然为高斯分布,这使得能继续把标准卡尔曼滤波KF的框架拿过来用,总体来说,EKF在函数的非线性不是很剧烈的情形下,能够具有很不错的滤波效果。但是EKF也有它的不足之处:其一,它必须求解非线性函数的Jacobi矩阵,对于模型复杂的系统,它比较复杂而且容易出错;其二,引入了线性化误差,对非线性强的系统,容易导致滤波结果下降。基于以上原因,为了提高滤波精度和效率,以满足特殊问题的需要,就必须寻找新的逼近方法,于是便有了粒子滤波PF和无迹卡尔曼滤波UKF,笔者将在接下来的博文中为读者解读。

    7 参考文献

    [1] 林鸿. 基于EM算法的随机动态系统建模[J]. 福建师大学报(自然科学版), 2011, 27(6):33-37. 

    [2] https://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5560360.html.

    [3] https://max.book118.com/html/2017/0502/103920556.shtm.


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    1 s = 10^3 ms = 10^6 us = 10^9 ns = 10^12 ps = 10^15 fs=10^18阿秒=10^21渺秒=10^43普朗克常数
    毫秒    
    毫秒是一种较为微小的时间单位,是一秒的千分之一。典型照相机的最短曝光时间为一毫秒。
    一只家蝇每三毫秒扇一次翅膀;蚊子二十毫秒振翅一次;蜜蜂则每五毫秒扇一次。由于月亮绕
    地球的轨道逐渐变宽,它绕一圈所需的时间每年长两毫秒。在计算机科学中,10毫秒的间隔称为一个jiffy。  
    微秒    
    即百万分之一秒     
    光在这个时间里可以传播300米,大约是3个足球场的长度,但是海平面上的声波只能传播1/3毫米。高速
    的商业频闪仪闪烁一次大约持续1微秒。一筒炸药在它的引信烧完之后大约24微秒开始爆炸。  
    纳秒    
    一秒的10亿分之一,即等于10的负9次方秒。常用作内存读写速度的单位。光在真空中一纳秒仅传播30厘米
    (不足一个步长)。个人电脑的微处理器执行一道指令(如将两数相加)约需2至4纳秒。另一种罕见的亚
    原子粒子K介子的存在时间为12纳秒。  
    皮秒    
    即十亿分之一秒的千分之一    
    最快晶体管的运行以皮秒计。一种高能加速器产生的罕见亚原子粒子b夸克在衰变之前可存在1皮秒。
    室温下水分子间氢键的平均存在时间是3皮秒。  
    飞秒    
    飞秒(femtosecond)也叫毫微微秒,简称fs,是标衡时间长短的一种计量单位。1飞秒只有1秒的
    一千万亿分之一,即1e?15秒或0.001皮秒(1皮秒是,1e?12秒)。即使是每秒飞行30万千米的光速,
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  • 目录索引符号说明最小拍控制系统构造原则闭环脉冲传递函数的构造数字控制器D(z)的构造本例中的系统参数说明Matlab代码实现 符号说明 y(k)——系统响应输出的离散值 u(k)——数字PID控制输出的离散值 r(k)——期望...
  • 他认为,在任何一组东西中,最重要的只占其中一小部分,约20%,其余80%尽管是多数,却是次要的,因此又称二八定律。 二八现象 1.管理学:通常一个企业80%的利润来自它20%的项目[3];这个80/...
  • 文章目录一、维纳滤波二、约束最小二乘方滤波 一、维纳滤波 对于运动引起的图像模糊,最简单的方法是直接做逆滤波,但是逆滤波对加性噪声特别敏感,使得恢复的图像几乎不可用。最小均方差(维纳)滤波用来去除含有...
  • 在建立时间序列模型之前,必须先对时间序列数据进行必要的预处理,以便剔除那些不符合统计规律的异常样本,并对这些样本数据的基本统计特性进行检验,以确保建立时间序列模型的可靠性和置信度,并满足一定的精度要求。...
  • redis设置键的生存时间或过期时间

    万次阅读 2017-12-04 11:23:45
    设置键的生存时间或过期时间通过EXPIRE 命令或者PEXPIRE 命令,客户端可以以秒或者毫秒精度为数据库中的某个键设置生存时间( Time To Live , TTL) ,在经过指定的秒数或者毫秒数之后,服务器就会自动删除生存时间为0...
  • 该网络中一共有N台计算机,其中有一些靠单向电缆相连接每条电缆用(from,to,cap,cost)表示从from发送给to,最大容量是cap,单位传输费用是cost。问传输数据最小的花费是多少? 解决最小费用流的一般思路是:每次...
  • 原文:http://tecdat.cn/?p=3609 您要分析时间序列数据的第一件事就是将其读入R,并绘制时间序列。您可以使用scan()函数将数据读入R,该函数假定连续时间点的数据位于包含一列的简单文本文件中。
  • 时间序列分析之协整检验

    万次阅读 多人点赞 2019-02-07 14:18:02
    平稳性是进行时间序列分析的一个很重要的前提,很多模型都是基于平稳下进行的,而现实中,很多时间序列都是非平稳的,所以协整是从分析时间序列的非平稳性入手的。 协整的内容是: 设序列是 d 阶单整的,记为,...
  • 时间函数的用法(ctime)

    万次阅读 2013-08-21 23:58:42
    /C++对时间的操作也有许多值得大家注意的地方。最近,在技术群中有很多网友也多次问到过C++语言中对时间的操作、获取和显示等等的问题。下面,在这篇文章中,笔者将主要介绍在C/C++中时间和日期的使用方法.  ...
  • Redis 键的生存时间和过期时间

    万次阅读 2016-04-04 18:52:10
    设置过期时间Redis 有四个不同的命令可以用于设置键的生存时间(键可以存在多久)或过期时间(键什么时候被删除): EXPIRE <KEY> <TTL> : 将键的生存时间设为 ttl 秒 PEXPIRE <KEY> <TTL> :将键的生存时间设为 ttl 毫秒 ...
  • JAVA中各种单位之间的转换

    千次阅读 2017-01-06 10:21:26
    本次讲述的是JAVA中各种单位之间的换算,其中包括货币单位的换算,时间单位的换算,以及小数点的保留和小数点与百分号之间的换算,都是从项目中抽取出来的,可能不太全面,把现有的先记录在这里,后面再继续补充。...

空空如也

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其中最小的时间单位是