4G、5G中的基本时间单位Ts和Tc

万次阅读 多人点赞 2019-08-03 16:44:38

不论是在4G协议36211的一开始，还是5G协议38211的一开始，都会介绍物理层的一个基本的时间单位。在LTE中，这个时间单元通过下式计算：其中：如何理解呢？LTE支持6种不同的传输带宽1.4 MHz、3 MHz、5 MHz、...

不论是在4G协议36211的一开始，还是5G协议38211的一开始，都会介绍物理层的一个基本的时间单位。在LTE中，这个时间单元通过下式计算：
在这里插入图片描述
其中：

如何理解呢？LTE支持6种不同的传输带宽1.4 MHz、3 MHz、5 MHz、10 MHz、15 MHz、20 MHz，子载波间隔为15kHz，所以最大传输带宽20MHz共含有1200个子载波，其余带宽为保护间隔。这1200个子载波上分别承载着子序列信息，在做IFFT时，频域采样点数不能少于1200才可以保证信息不会丢失，但在计算机系统里，2的幂次方方便计算，所以就解释了为什么是2048，也就是要做2048点的IFFT才能生成OFDM符号。
在解释了为什么是2048之后，就不难理解这个时间单位的含义了。频域2048个点就意味着时域也是2048个点，LTE子载波间隔是15kHz，所以OFDM符号长度是1/15000，符号长度除以2048采样点，得到的就是采样间隔，所以这个时间单位Ts就是LTE中OFDM符号的采样间隔，为32.55×10（-9）s。
在NR中同理，协议38211给出了时间单位Tc的计算公式：
在这里插入图片描述
其中：

按照30101-1给出的channel bandwidth：

最大带宽为100MHz，包含273个RB，所以共有子载波：273*12=3276个，同理向上取整到2的幂次方，所以采用4096点的IFFT。同理时域也为4096个采样点。且NR支持更大的子载波间隔，所以不难理解这个Tc其实就是NR中的最小的OFDM符号的采样间隔，为5.086e-10s。

所以NR中对应会有更高的采样频率，分别对应不同的载波间隔。

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FFT

入门学习Linux常用必会60个命令实例详解doc/txt
千次下载 热门讨论 2011-06-09 00:08:45
－p，－－preserve－timestamps：以<来源>文件的访问/修改时间作为相应的目的地文件的时间属性。－s，－－strip：用strip命令删除symbol table，只适用于第一及第二种使用格式。－S，－－suffix=后缀：自行指定...
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信号与线性系统分析（第四版，吴大正主编）——信号与系统

万次阅读 多人点赞 2019-04-16 10:41:06

它类似于连续时间信号中的单位阶跃信号ε（ t ）（但应注意ε（t）在 t=0 处发生跃变，所以在t=0此点常常不予定义或定义为t=0.5），而单位阶跃序列在ε（k）在t=0处为1。 2.周期信号和非周期信号 ...

1.1 绪言

（前前一段时间准备蓝桥杯，前一段时间在准备十佳标兵，所以对于学习上的事情感觉不够多，现在要腾出很多时间来开始写写信号，写写数理方程，蓝桥的很多代码也忘了，所以有空也会写写蓝桥，要是后续课程有需要，也写一写后边的课程，一定要坚持下来，加油！）

信号与系统首先要知道什么是信号什么是系统？？？

信号：随时间，空间变化的物理量或者物理现象。

系统：指的是若干相互关联，互相作用的事实按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。

信号与系统的关系：

信号的决定因素——信息

所以：信号是信息的载体，信息决定信号。

信号主要是：电、光、声、磁、机械、热等

信息主要是：语言、文字、图像等

信号和信息的关系：

1.2 信号

确定信号：如果一个信号可以用一个确定的时间函数（或序列）表示，就称其为确定信号（或规则信号）。

随机信号：幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号，又称不确定信号。

（因为确定信号是基础，所以接下来讨论的都是确定信号）。

1.连续信号与离散信号

区分：根据定义域的特点可将信号分为连续信号和离散信号。

连续信号：在连续时间范围内（-∞<t<+∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。

如：阶跃函数（取1的时候不包括0）

离散信号：“离散”是指信号的定义域——时间（或其他量）是离散的，它之取某些规定的值。（可闭合表示，也可以列举表示）

如单位阶跃序列：

单位阶跃序列定义为

ε（k）=0，k<0

ε（k）=1，k=0

ε（k）=1，k>0

它类似于连续时间信号中的单位阶跃信号ε（t）

（但应注意ε（t）在t=0处发生跃变，所以在t=0此点常常不予定义或定义为t=0.5），

而单位阶跃序列在ε（k）在t=0处为1。

2.周期信号和非周期信号

周期函数：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定的时间T（或整数N），按相同规律重复变化的信号。

连续周期信号可表示为

f(t) = f(t + mT), m = 0, $\pm$ 1, $\pm$ 2，…… （周期T为最小正周期）

离散周期信号可表示为

f(t) = f(k + mN), m = 0, $\pm$ 1, $\pm$ 2，……

对于一个三角函数（ $\sin$ （ $\beta$ k + $\theta$ ））

当 $\frac{2\pi }{\beta }$ = N（正整数）， N为其周期；

当 $\frac{2\pi }{\beta }$ = M / N (有理数)， M为其周期；

当 $\frac{2\pi }{\beta }$ = 无理数，则该函数为非周期；

3.实信号和复信号

实信号：物理可实现的信号常常是时间t（或k）的实函数（或序列），其在各时刻的函数（或序列）值为实数，如单边指数信号，正弦信号（正弦，余弦统称为正弦信号）等，称为实函数。

复信号：函数（或序列）值为复数的信号成为复信号，做常用的是复指数信号。（一个复指数信号可以分解为实、虚两部分）

例如：

其中

借助欧拉公式展开，可得

（欧拉公式为： formula ）

此结果表明，一个复指数信号可分为实、虚两部分。其中，实部包含余弦信号，虚部则为正弦信号。

4.能量信号和功率信号

连续信号f(t)

信号能量定义为在区间（-∞，+∞）中信号f(t)的能量，用字母E表示，即

${\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{a \to\infty} \int_{-a}^{ a} |f(t)|^2dt}$

信号功率定义为在区间（-∞，+∞）中信号f(t)的平均功率，用字母P表示，即

${\color{Red} P\equiv \lim_{a \to\infty }\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}|f(t)|^2dt}$

若信号f(t)的能量有界（即0<E< $\infty$ ,这时P = 0），则称其为能量有限信号（持续时间有限），简称能量信号。

若信号f(t)的功率有界（即0<P< $\infty$ ,这时E = $\infty$ ），则称其为功率有限信号（如有始信号，周期信号，直流信号），简称功率信号。

离散信号f(k)

离散信号有时也需要讨论能量和功率，

序列f(k)的能量定义为

${\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{N \to\infty} \sum_{k=-N}^{N} |f(k)|^2}$

序列f(k)的功率的定义为

${\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{N \to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} |f(k)|^2}$ $f_{1}(\cdot )$

1.3 信号的基本运算

1.加法和乘法

连续信号f(t)

信号 $f_{1}(\cdot )$ 与 $f_{2}(\cdot )$ 之和（瞬时和）是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”，

即 ${\color{Red} f(\cdot ) =f_{1}(\cdot )+f_{2}(\cdot )}$ (例如调音台，将音乐与语音混合在一起)

信号 $f_{1}(\cdot )$ 与 $f_{2}(\cdot )$ 之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”，

即 ${\color{Red} f(\cdot ) =f_{1}(\cdot )f_{2}(\cdot )}$ （例如收音机的调幅信号，是将音频信号加载到被称为载波的正弦信号上）

离散信号f(k)

离散序列相加（相乘）可采用对应样点的值分别相加（或相乘）的方法来计算。

2.反转和平移

反转：将信号f(t)[或f(k)]中的自变量t（或k）转换为-t（或k）。——几何含义为将信号 $f(\cdot )$ 以纵坐标为轴反转（或称反折）

平移:

连续信号f(t)

对于连续信号f(t),若常数 $t_{0}$ >0, 延时信号 $f(t-{t_{0}})$ 是将原信号沿t轴正方向平移 $t_{0}$ 时间

延时信号 $f(t+{t_{0}})$ 是将原信号沿t轴负方向平移 $t_{0}$ 时间

离散信号f(k)

对于离散信号f(t),若常数 $k_{0}$ >0, 延时信号 $f(k-{k_{0}})$ 是将原信号沿k轴正方向平移 $k_{0}$ 时间

延时信号 $f(k+{k_{0}})$ 是将原信号沿k轴负方向平移 $k_{0}$ 时间

平移和反转的先后顺序：要先平移后反转

3.尺度变换（横坐标展缩）

要想将信号横坐标的尺寸展宽或者压缩（常称为尺度变换），可将变量at(a为非零常数)代替原信号f(t)的自变量t，得到信号f(at)。

连续信号f(t)

f(t) ----->f(at)

若|a| > 1,则以原点为基准压缩 $\frac{1}{|a|}$ ,

若|a| < 1,则以原点为基准展宽 $\frac{1}{|a|}$ , （信号在时域内压缩，在频域会展宽）

离散信号f(k)

f(k) ----->f(ak) ,要求ak是整数，离散信号进行尺度变换常常会丢失原信号的部分信息，因而不能将f(ak)看作f(k)的压缩或者展宽。

总结：已知f(t),求f(at+b) ： 要先平移，再反转，最后尺度变换（所有变得都是自变量）

已知f(at+b),求f(t) ：要先尺度变换，再反转，最后再平移。

1.4 阶跃函数和冲激函数

阶跃函数和冲激函数不同于普通的函数，称为奇异函数。

1.阶跃函数和冲激函数

阶跃函数

冲激函数

狄拉克（Dirac）给出了冲激函数的另一种定义

（1），

（2）

冲激函数与阶跃函数的关系

${\color{Red} \delta (t)=\frac{\mathrm{d}\varepsilon (t) }{\mathrm{d} t}}$

${\color{Red} \varepsilon (t)= \int_{-\infty }^{t}\delta (x)dx}$

2.冲激函数的广义函数定义

粗浅的说，广义函数是这样定义的，选择一类性能良好的函数 $\varphi (t)$ ,称为检验函数（它相当于定义域），一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数 $\varphi (t)$ 赋予一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有 $\varphi (t)$ 有关，记作 $N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]$

通常广义函数g(t)可写为

$\int_{-\infty }^{\infty }g(t)\varphi (t)dt = N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]$

式中的检验函数 $\varphi (t)$ 是连续的，具有任意阶导数，且本身及其各阶导数在无限远处急速下降的普通函数。（本身即无穷阶导数为零）

若

$\int_{-\infty }^{\infty }f(t)\varphi (t)dt = N\left [ f(t),\varphi (t) \right ] = \int_{-\infty }^{\infty }g(t)\varphi (t)dt = N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]$

就认为两个广义函数相等，并记作f(t) = g(t)

按广义函数理论，冲激函数 $\delta (t)$ 由下式

${\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\varphi (t)dt = \varphi (0)}$

单位阶跃函数 $\varepsilon (t)$ 的定义为

$\int_{-\infty }^{\infty }\varepsilon (t)\varphi (t)dt=\int_{0}^{\infty }\varphi (t)dt$

3.冲激函数的导数和积分

冲激函数 $\delta (t)$ 的一阶导数 $\delta {}'(t)$ 的定义为

${\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta {}'(t)\varphi (t)dt = -{\varphi }'(0)}$

$\delta ^n(t) = \frac{d^n\delta (t)}{dt^n}$ : ${\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta ^n(t)\varphi (t)dt = (-1)^n\varphi ^n(0)}$

$\delta (t)$ ， $\delta {}'(t)$ 的积分为：

$\varepsilon (t) = \int_{-\infty }^{t }\delta (x)dx$

$\delta (t) = \int_{-\infty }^{t }\delta {}'(x)dx$

4.冲击函数的性质

一、以普通函数的乘积

1. ${\color{Red}f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t) }$

2. ${\color{Red}\int_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0)}$

3. ${\color{Red} f(t)\delta {}'(t)=f(0)\delta{}' (t)-f{}'(0)\delta (t)}$

4. ${\color{Red} {\int_{-\infty }^{\infty }}f(t)\delta {}'(t)=-f{}'(0)}$

二、位移

1. ${\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{1})\varphi (t)dt = \varphi (t_{1})}$

2. ${\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta {}'(t-t_{1})\varphi (t)dt=-\varphi {}'(t_{1})}$

3. ${\color{Red}f(t)\delta (t-t_{1})=f(t_{1})\delta (t-t_{1}) }$

4. ${\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{1})f (t)dt = f (t_{1})}$

5. ${\color{Red} f(t)\delta {}'(t-t_{1})=f(t_{1})\delta {}'(t-t_{1})-f{}'(t_{1})\delta (t-t_{1})}$

6. ${\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta {}'(t-t_{1})dt=-f{}'(t_{1})}$

间断点：当信号有第一类间断点时，其一阶导数将在间断点处出现冲激，间断点处向上突跳时出现正冲激，向下突跳时出现负冲激，其强度等于突跳的幅度。

三、尺度变换

1.5 系统的描述

1. 系统的数学模型

2.系统的框图表示

1.6 系统的特性和分析方法

1.线性

2.时不变性

3.因果性

4.稳定性

5.LTI系统分析方法概述

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卡尔曼滤波系列——（二）扩展卡尔曼滤波

万次阅读 多人点赞 2019-04-06 16:33:48

因此要取得合适的卡尔曼增益，使得迹得到最小，言外之意就是使得迹对的偏导为0，即这样就能算出合适的卡尔曼增益了，即代回式（8）得到接下来就差真实值与预测值之间的协方差矩阵的求值公式了将以下两个等式代入...

更新日志：

2020.02.13：修改了第三节推导中的公式错误

2020.03.21：修改了2.1节中的部分表述和公式加粗，补充迹的求导公式

2021.04.14：修改公式显示错误

1 简介

扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）是标准卡尔曼滤波在非线性情形下的一种扩展形式，它是一种高效率的递归滤波器（自回归滤波器）。

EKF的基本思想是利用泰勒级数展开将非线性系统线性化，然后采用卡尔曼滤波框架对信号进行滤波，因此它是一种次优滤波。

2 算法介绍

2.1 泰勒级数展开

泰勒级数展开是将一个在 $x=x_{0}$ 处具有 $n$ 阶导数的函数 $f(x)$ ，利用关于 $(x-x_{0})$ 的 $n$ 次多项式逼近函数值的方法。

若函数 $f(x)$ 在包含 $x_{0}$ 的某个闭区间 $[a,b]$ 上具有 $n$ 阶导数，且在开区间 $(a,b)$ 上具有 $(n+1)$ 阶导数，则对闭区间 $[a,b]$ 上的任意一点 $x$ ，都有：

$f(x)=\frac{f({{x}_{0}})}{0!}+\frac{f'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+...+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$

其中 ${{f}^{(n)}}({{x}_{0}})$ 表示函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处的 $n$ 阶导数，等式右边成为泰勒展开式，剩余的 ${{R}_{n}}(x)$ 是泰勒展开式的余项，是 $(x-x_{0})^{n}$ 的高阶无穷小。

（著名的欧拉公式 ${{e}^{ix}}=\cos x +i\sin x$ 就是利用 ${{e}^{ix}}$ ， $\cos x$ 和 $\sin x$ 的泰勒展开式得来的！）

当变量是多维向量时，一维的泰勒展开就需要做拓展，具体形式如下：

$f(\mathbf{x})=f({{\mathbf{x}}_{k}})+{{[\nabla f({{\mathbf{x}}_{k}})]}^{T}}(\mathbf{x}-{{\mathbf{x}}_{k}})+{{o}^{n}}$

其中， ${{[\nabla f({{\mathbf{x}}_{k}})]}^{T}}={{\mathbf{J}}({\bf x}_k)}$ 表示雅克比矩阵， ${{\mathbf{o}}^{n}}$ 表示高阶无穷小。

${[\nabla f({{\bf{x}}})]^T} = {{\bf{J}}({\bf x})} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f({\bf x})_1}{\partial {\bf x}_1} & \hdots & \frac{\partial f({\bf x})_1}{\partial {\bf x}_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f({\bf x})_m}{\partial {\bf x}_1} & \hdots & \frac{\partial f({\bf x})_m}{\partial {\bf x}_n} \end{bmatrix}$

这里， $f({{\bf{x}}_k})$ 为 $m$ 维， ${{\bf{x}}_k}$ 状态向量为 $n$ 维， $\frac{{{\partial ^2}f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_m}\partial {x_n}}} = \frac{{\partial f({{\bf{x}}_k})^T}}{{\partial {x_m}}}\frac{{\partial f({{\bf{x}}_k})}}{{\partial {x_n}}}$ 。

一般来说，EKF在对非线性函数做泰勒展开时，只取到一阶导和二阶导，而由于二阶导的计算复杂性，更多的实际应用只取到一阶导，同样也能有较好的结果。取一阶导时，状态转移方程和观测方程就近似为线性方程，高斯分布的变量经过线性变换之后仍然是高斯分布，这样就能够延用标准卡尔曼滤波的框架。

2.1 EKF

标准卡尔曼滤波KF的状态转移方程和观测方程为

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=\mathbf{A}{{\mathbf{\theta }}_{k-1}}+\mathbf{B}{{\mathbf{u}}_{k-1}}+{{\mathbf{s}}_{k}}$

${{\mathbf{z}}_{k}}=\mathbf{C}{{\mathbf{\theta }}_{k}}+{{\mathbf{v}}_{k}}$

扩展卡尔曼滤波EKF的状态转移方程和观测方程为

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}$ （1）

${{\mathbf{z}}_{k}}=h({{\mathbf{\theta }}_{k}})+{{\mathbf{v}}_{k}}$ （2）

利用泰勒展开式对（1）式在上一次的估计值 $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle$ 处展开得

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}=f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )+{{\mathbf{F}}_{k-1}}\left( {{\mathbf{\theta }}_{k-1}}-\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle \right)+{{\mathbf{s}}_{k}}$ （3）

再利用泰勒展开式对（2）式在本轮的状态预测值 $\mathbf{\theta }_{k}^{'}$ 处展开得

${{\mathbf{z}}_{k}}=h({{\mathbf{\theta }}_{k}})+{{\mathbf{v}}_{k}}=h\left( \mathbf{\theta }_{{k}}^{\mathbf{'}} \right)+{{\mathbf{H}}_{k}}\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{{k}}^{\mathbf{'}} \right)+{{\mathbf{v}}_{k}}$ （4）

其中， ${\mathbf{F}}_{k-1}$ 和 ${\mathbf{H}}_{k}$ 分别表示函数 $f(\mathbf{\theta })$ 和 $h(\mathbf{\theta })$ 在 $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle$ 和 $\mathbf{\theta }_{k}^{'}$ 处的雅克比矩阵。

（注：这里对泰勒展开式只保留到一阶导，二阶导数以上的都舍去，噪声假设均为加性高斯噪声）

基于以上的公式，给出EKF的预测（Predict）和更新（Update）两个步骤：

Propagation：

$\mathbf{\theta }_{k}^{'}=f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle)$

$\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}=\mathbf{F}_{k-1}{{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}{{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\mathbf{Q}$

Update：

$\mathbf{S}_{k}^{'}={{\left( \mathbf{H_{k}\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}$

$\mathbf{K}_{k}^{'}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}\mathbf{S}_{k}^{'}$

$\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle =\mathbf{\theta }_{k}^{'}+\mathbf{K}_{k}^{'}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-{h(\theta }_{k}^{'}) \right)$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-\mathbf{K}_{k}^{'}\mathbf{H}_{k} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$

其中的雅克比矩阵 ${\mathbf{F}}_{k-1}$ 和 ${\mathbf{H}}_{k}$ 分别为

${{\mathbf{F}}_{k-1}}={{\left. \frac{\partial f}{\partial \mathbf{\theta }} \right|}_{\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle }}$ ， ${{\mathbf{H}}_{k}}={{\left. \frac{\partial h}{\partial \mathbf{\theta }} \right|}_{\mathbf{\theta }_{k}^{'}}}$

雅可比矩阵的计算，在MATLAB中可以利用对自变量加上一个eps（极小数），然后用因变量的变化量去除以eps即可得到雅可比矩阵的每一个元素值。

读者可能好奇？为什么扩展卡尔曼滤波EKF的传播和更新的形式会和标准卡尔曼滤波KF的形式一致呢？以下做一个简单的推导。

3 推导

先列出几个变量的表示、状态转移方程和观测方程：

真实值 ${{\mathbf{\theta }}_{k}}$ ，预测值 $\mathbf{\theta }_{k}^{'}$ ，估计值 $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle$ ，观测值 ${{\mathbf{z}}_{k}}$ ，观测值的预测 $\mathbf{\hat{z}}_{k}$ ，估计值与真实值之间的误差协方差矩阵 ${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}$ ，求期望的符号 $\left\langle \cdot \right\rangle$ 。

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}$ ， ${{\mathbf{s}}_{k}}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{Q})$

${{\mathbf{z}}_{k}}=h({{\mathbf{\theta }}_{k}})+{{\mathbf{v}}_{k}}$ ， ${{\mathbf{v}}_{k}}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{R})$

引入反馈： $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle =\mathbf{\theta }_{k}^{'}+{{\mathbf{K}}_{k}}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-{{{\mathbf{\hat{z}}}}_{k}} \right)=\mathbf{\theta }_{k}^{'}+{{\mathbf{K}}_{k}}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-h(\theta _{k}^{'} )\right)$ （5）

OK，可以开始推导了：

由公式（3）（4）得到以下两个等式，标为式（6）（7）

$f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})-f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )={{\mathbf{F}}_{k-1}}\left( {{\mathbf{\theta }}_{k-1}}-\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle \right)$

$h({{\mathbf{\theta }}_{k}})-h\left( \mathbf{\theta }_{{k}}^{\mathbf{'}} \right)={{\mathbf{H}}_{k}}\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{{k}}^{{'}} \right)$

计算估计值与真实值之间的误差协方差矩阵 ${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}$ ，并把式子（4）（5）（7）代入，得到

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle {{\mathbf{e}}_{k}}\mathbf{e}_{k}^{T} \right\rangle =\left\langle \left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle \right){{\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle \right)}^{T}} \right\rangle$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle \left[ {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right) \right) \right]{{\left[ {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right) \right) \right]}^{T}} \right\rangle$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle \left[ {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\left( h\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right)-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{{\mathbf{v}}_{k}} \right) \right]{{\left[ {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\left( h\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right)-h\left( \mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{{\mathbf{v}}_{k}} \right) \right]}^{T}} \right\rangle$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left\langle \left[ \left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{\mathbf{K}}_{k}{\mathbf{v}}_{k} \right] \left[ \left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)+{\mathbf{K}}_{k}{\mathbf{v}}_{k} \right]^T \right\rangle$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)\left\langle \left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right){{\left( {{\mathbf{\theta }}_{k}}-\mathbf{\theta }_{k}^{'} \right)}^{T}} \right\rangle {{\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)}^{T}}+{\mathbf{K}}_{k}{\mathbf{R}}{\mathbf{K}}_{k}^{T}$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right) \mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{H}}_{k}} \right)}^{T}}+{\mathbf{K}}_{k}{\mathbf{R}}{\mathbf{K}}_{k}^{T}$

其中 $\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$ 表示真实值与与预测值之间的误差协方差矩阵。于是得到式（8）

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}-{{\mathbf{K}}_{k}}\mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma } }_{k}^{'}-\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}_{k}^{T}}}\mathbf{K}_{k}^{T}+{{\mathbf{K}}_{k}}\left( \mathbf{H}_{k}\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}_{k}}^{T}}+\mathbf{R} \right)\mathbf{K}_{k}^{T}$

因为 ${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}$ 的对角元即为真实值与估计值的误差的平方，矩阵的迹（用 $T[]$ 表示）即为总误差的平方和，即

$T\left[ {{\mathbf{\Sigma }}_{k}} \right]=T\left[ \mathbf{\Sigma }_{k}^{'} \right]+T\left[ {{\mathbf{K}}_{k}}\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma } }_{k}^{'}{{\mathbf{H}_{k}}^{T}}+\mathbf{R} \right)\mathbf{K}_{k}^{T} \right]-2T\left[ {{\mathbf{K}}_{k}}\mathbf{H}_{k}\mathbf{\Sigma }_{k}^{'} \right]$

利用以下矩阵迹的求导公式（其中 $\bf A$ 和 $\bf B$ 表示矩阵， $\bf a$ 表示列向量）：

$Tr(\mathbf{A}+\mathbf{B})=Tr(\mathbf{A})+Tr(\mathbf{B})$

$Tr(\mathbf{AB})=Tr(\mathbf{BA})$

$\mathbf{a}^{T} \mathbf{a}=Tr(\mathbf{a}\mathbf{a}^{T})$

$\frac{\partial }{\partial \mathbf{X}} Tr(\mathbf{XBX}^{T})=\mathbf{XB}^{T}+\mathbf{XB}$

$\frac{\partial }{\partial \mathbf{X}} Tr(\mathbf{AX}^{T})=\mathbf{A}$

$\frac{\partial }{\partial \mathbf{X}} Tr(\mathbf{XA})=\mathbf{A}^{T}$

要让估计值更接近于真实值，就要使上面的迹尽可能的小，因此要取得合适的卡尔曼增益 ${{\mathbf{K}}_{k}}$ ，使得迹得到最小，言外之意就是使得迹对 ${{\mathbf{K}}_{k}}$ 的偏导为0，即

$\frac{dT\left[ {{\mathbf{\Sigma }}_{k}} \right]}{d{{\mathbf{K}}_{k}}}=2{{\mathbf{K}}_{k}}\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma }}_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)-2{{\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf{\Sigma }}_{k}^{'} \right)}^{T}}=0$

这样就能算出合适的卡尔曼增益了，即

${{\mathbf{K}}_{k}}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}{{\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}$

代回式（8）得到

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}-\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}{{\left( \mathbf{H}_{k}{\mathbf\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}\mathbf{H}_{k}{\mathbf\Sigma }_{k}^{'}=\left( \mathbf{I}-{{\mathbf{K}}_{k}}\mathbf{H}_{k} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$

接下来就差真实值与预测值之间的协方差矩阵 $\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$ 的求值公式了

$\mathbf{\Sigma }_{_{k}}^{'}=\left\langle \mathbf{e}_{k}^{'}\mathbf{e}{{_{k}^{'}}^{T}} \right\rangle =\left\langle \left( {{\theta }_{k}}-\theta _{k}^{'} \right){{\left( {{\theta }_{k}}-\theta _{k}^{'} \right)}^{T}} \right\rangle$

将以下两个等式代入到上式，

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}$ ， $\mathbf{\theta }_{k}^{'}=f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )$

可以得到

$\mathbf{\Sigma }_{_{k}}^{'}=\left\langle \left[f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})-f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )+{{\mathbf{s}}_{k}} \right]{{\left[ f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})-f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle )+{{\mathbf{s}}_{k}} \right]}^{T}} \right\rangle$

有 ${{\mathbf{\theta }}_{k}}$ 、 $\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle$ 与观测噪声 ${{\mathbf{s}}_{k}}$ 是独立的，求期望等于零;； $\left\langle {{\mathbf{s}}_{k}}{{\mathbf{s}}_{k}}^{T} \right\rangle$ 表示观测噪声的协方差矩阵，用 ${\mathbf{Q}}$ 表示。于是得到

$\mathbf{\Sigma }_{_{k}}^{'}=\mathbf{F}_{k-1}\left\langle \left( {{\theta }_{k-1}}-\left\langle {{\theta }_{k-1}} \right\rangle \right){{\left( {{\theta }_{k-1}}-\left\langle {{\theta }_{k-1}} \right\rangle \right)}^{T}} \right\rangle {{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\left\langle {{\mathbf{s}}_{k}}\mathbf{s}_{k}^{T} \right\rangle \\ =\mathbf{F}_{k-1}{{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}{{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\mathbf{Q}$

其中的协方差矩阵的转置矩阵就是它本身。OK，大功告成，以上就完成了全部公式的推导了。

4 实际应用

现在我们假设在海上有一艘正在行驶的船只，其相对于传感器的横纵坐标为 $(x;y;v_{x};v_{y})$ 为隐藏状态，无法直接获得，而传感器可以测量得到船只相对于传感器的距离和角度 $(r;\theta)$ ，传感器采样的时间间隔为 $\Delta t$ ，则：

状态向量 $(x;y;v_{x};v_{y})$ ，观测向量 $(r;\theta)$

状态转移方程和观测方程为：

$\left[ \begin{matrix} {{x}_{k}} \\ {{y}_{k}} \\ {{v}_{x_{k}}} \\ {{v}_{y_{k}}} \\ \end{matrix} \right]=f(\left[ \begin{matrix} {{x}_{k-1}} \\ {{y}_{k-1}} \\ {{v}_{{{x}_{k-1}}}} \\ {{v}_{{{y}_{k-1}}}} \\ \end{matrix} \right])+{{\mathbf{s}}_{k}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \Delta t \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{x}_{k-1}} \\ {{y}_{k-1}} \\ {{v}_{{{x}_{k-1}}}} \\ {{v}_{{{y}_{k-1}}}} \\ \end{matrix} \right]+{{\mathbf{s}}_{k}}$

$\left[ \begin{matrix} {{r}_{k}} \\ {{\theta }_{k}} \\ \end{matrix} \right]=h(\left[ \begin{matrix} {{x}_{k}} \\ {{y}_{k}} \\ {{v}_{xk}} \\ {{v}_{yk}} \\ \end{matrix} \right])+{{\mathbf{v}}_{k}}=\left[ \begin{matrix} \sqrt{x_{k}^{2}+x_{y}^{2}} \\ \arctan \frac{{{y}_{k}}}{{{x}_{k}}} \\ \end{matrix} \right]+{{\mathbf{v}}_{k}}$

那么雅克比矩阵为

${{\mathbf{F}}_{k-1}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \Delta t \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

${{H}_{k}}=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial {{r}_{k}}}{\partial {{x}_{k}}} & \frac{\partial {{r}_{k}}}{\partial {{y}_{k}}} & \frac{\partial {{r}_{k}}}{\partial {{v}_{{{x}_{k}}}}} & \frac{\partial {{r}_{k}}}{\partial {{v}_{{{y}_{k}}}}} \\ \frac{\partial {{\theta }_{k}}}{\partial {{x}_{k}}} & \frac{\partial {{\theta }_{k}}}{\partial {{y}_{k}}} & \frac{\partial {{\theta }_{k}}}{\partial {{v}_{{{x}_{k}}}}} & \frac{\partial {{\theta }_{k}}}{\partial {{v}_{{{y}_{k}}}}} \\ \end{matrix} \right]$

这里给定距离传感器的噪声均值为 $0$ ，方差为 $10$ ；角度传感器的噪声均值为0，方差为 $0.001$ （单位弧度）；

采样时间点为 $\small 100$ 个；

船只的初始状态为 $(1000;1500;5;-3)$ ，四个状态量的噪声的方差分别为 $(2;2;0.2;0.2)$ 。仿真结果如下：

从仿真结果可以看出，EKF在这种情形下的滤波效果还是不错的，但是在实际应用中，对于船只运动的状态转移噪声的均值 $\mathbf q$ 和协方差矩阵 $\mathbf Q$ ，以及传感器的观测噪声的均值 $\mathbf r$ 和协方差矩阵 $\mathbf R$ ，往往都是未知的，有很多情况都只有观测值而已，这样的情形下，就有必要利用观测值对噪声的统计量参数做出适当的估计（学习）。

5 参数估计（参数学习）

利用EM算法和极大后验概率估计（MAP），对未知的噪声参数做出估计，再利用估计出的参数去递推卡尔曼滤波的解。本文对EM算法在卡尔曼滤波框架中的推导暂时先不给出，之后可能会补充，这里就先给出一种Adaptive-EKF算法的公式。

${{\mathbf{\theta }}_{k}}=f({{\mathbf{\theta }}_{k-1}})+{{\mathbf{s}}_{k}}$ ， ${{\mathbf{s}}_{k}}\sim \mathcal{N}(\mathbf{q},\mathbf{Q})$

${{\mathbf{z}}_{k}}=h({{\mathbf{\theta }}_{k}})+{{\mathbf{v}}_{k}}$ ， ${{\mathbf{v}}_{k}}\sim \mathcal{N}(\mathbf{r},\mathbf{R})$

${{\mathbf{\varepsilon }}_{k}}={{\mathbf{z}}_{k}}-h(\mathbf{\theta }_{k}^{'})-{{\mathbf{r}}_{k}}$

（1）E-Step

Propagation：

$\mathbf{\theta }_{k}^{'}=f(\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k-1}} \right\rangle)$

$\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}=\mathbf{F}_{k-1}{{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}{{\mathbf{F}}_{k-1}^{T}}+\mathbf{Q}$

Update：

$\mathbf{S}_{k}^{'}={{\left( \mathbf{H_{k}\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}+\mathbf{R} \right)}^{-1}}$

$\mathbf{K}_{k}^{'}=\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}{{\mathbf{H}}_{k}^{T}}\mathbf{S}_{k}^{'}$

$\left\langle {{\mathbf{\theta }}_{k}} \right\rangle =\mathbf{\theta }_{k}^{'}+\mathbf{K}_{k}^{'}\left( {{\mathbf{z}}_{k}}-{h(\theta }_{k}^{'}) \right)$

${{\mathbf{\Sigma }}_{k}}=\left( \mathbf{I}-\mathbf{K}_{k}^{'}\mathbf{H}_{k} \right)\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}$

（2）M-Step

${{\mathbf{\hat{q}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){{\mathbf{\hat{q}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ \left\langle {{\theta }_{k}} \right\rangle -f\left( \left\langle {{\theta }_{k-1}} \right\rangle \right) \right]$

${{\mathbf{\hat{Q}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){{\mathbf{\hat{Q}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ {{\mathbf{K}}_{k}}{{\mathbf{\varepsilon }}_{k}}\mathbf{\varepsilon }_{k}^{T}\mathbf{K}_{k}^{T}+{{\mathbf{\Sigma }}_{k}}-{{\mathbf{F}}_{k-1}}{{\mathbf{\Sigma }}_{k-1}}\mathbf{F}_{k-1}^{T} \right]$

${{\mathbf{\hat{r}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){{\mathbf{\hat{r}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ {{\mathbf{z}}_{k}}-h\left( \left\langle \theta _{k}^{'} \right\rangle \right) \right]$

${{\mathbf{\hat{R}}}_{k}}=\left( 1-\frac{1}{k} \right){{\mathbf{\hat{R}}}_{k\text{-}1}}+\frac{1}{k}\left[ {{\mathbf{\varepsilon }}_{k}}\mathbf{\varepsilon }_{k}^{T}-{{\mathbf{H}}_{k}}\mathbf{\Sigma }_{k}^{'}\mathbf{H}_{k}^{T} \right]$

利用以上的Adaptive-EKF算法对船只的运动做滤波跟踪，得到的效果如下图所示：

相比于没有做参数估计的EKF滤波，可以看出，Adaptive-EKF在估计误差上要优于EKF滤波，而且，它并不需要指定状态转移噪声和观测噪声的参数，将更有利于在实际中的应用。

6 总结

EKF滤波通过泰勒展开公式，把非线性方程在局部线性化，使得高斯分布的变量在经过线性变换后仍然为高斯分布，这使得能继续把标准卡尔曼滤波KF的框架拿过来用，总体来说，EKF在函数的非线性不是很剧烈的情形下，能够具有很不错的滤波效果。但是EKF也有它的不足之处：其一，它必须求解非线性函数的Jacobi矩阵，对于模型复杂的系统，它比较复杂而且容易出错；其二，引入了线性化误差，对非线性强的系统，容易导致滤波结果下降。基于以上原因，为了提高滤波精度和效率，以满足特殊问题的需要，就必须寻找新的逼近方法，于是便有了粒子滤波PF和无迹卡尔曼滤波UKF，笔者将在接下来的博文中为读者解读。

7 参考文献

[1] 林鸿. 基于EM算法的随机动态系统建模[J]. 福建师大学报(自然科学版), 2011, 27(6):33-37.

[2] https://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5560360.html.

[3] https://max.book118.com/html/2017/0502/103920556.shtm.

原创性声明：本文属于作者原创性文章，小弟码字辛苦，转载还请注明出处。谢谢~

如果有哪些地方表述的不够得体和清晰，有存在的任何问题，亦或者程序存在任何考虑不周和漏洞，欢迎评论和指正，谢谢各路大佬。

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EKF 扩展卡尔曼滤波自适应EKF 信号处理

时间单位的换算

千次阅读 2017-11-28 10:05:02

时间单位有：毫秒(ms)、微秒 (μs)、纳秒(ns)、皮秒(ps)、飞秒(fs)、阿秒、渺秒 1 s = 10^3 ms = 10^6 us = 10^9 ns = 10^12 ps = 10^15 fs=10^18阿秒=10^21渺秒=10^43普朗克常数毫秒毫秒是一种较为微小的...

时间单位有：毫秒(ms)、微秒 (μs)、纳秒(ns)、皮秒(ps)、飞秒(fs)、阿秒、渺秒     

 1 s = 10^3 ms = 10^6 us = 10^9 ns = 10^12 ps = 10^15 fs=10^18阿秒=10^21渺秒=10^43普朗克常数

 毫秒    

 毫秒是一种较为微小的时间单位，是一秒的千分之一。典型照相机的最短曝光时间为一毫秒。

 一只家蝇每三毫秒扇一次翅膀；蚊子二十毫秒振翅一次；蜜蜂则每五毫秒扇一次。由于月亮绕

 地球的轨道逐渐变宽，它绕一圈所需的时间每年长两毫秒。在计算机科学中，10毫秒的间隔称为一个jiffy。  

 微秒    

 即百万分之一秒     

 光在这个时间里可以传播300米，大约是3个足球场的长度，但是海平面上的声波只能传播1/3毫米。高速

 的商业频闪仪闪烁一次大约持续1微秒。一筒炸药在它的引信烧完之后大约24微秒开始爆炸。  

 纳秒    

 一秒的10亿分之一，即等于10的负9次方秒。常用作内存读写速度的单位。光在真空中一纳秒仅传播30厘米

 （不足一个步长）。个人电脑的微处理器执行一道指令（如将两数相加）约需2至4纳秒。另一种罕见的亚

 原子粒子K介子的存在时间为12纳秒。  

 皮秒    

 即十亿分之一秒的千分之一    

 最快晶体管的运行以皮秒计。一种高能加速器产生的罕见亚原子粒子b夸克在衰变之前可存在1皮秒。

 室温下水分子间氢键的平均存在时间是3皮秒。  

 飞秒    

 飞秒（femtosecond）也叫毫微微秒，简称fs，是标衡时间长短的一种计量单位。１飞秒只有１秒的

 一千万亿分之一，即1e?15秒或0.001皮秒（1皮秒是，1e?12秒）。即使是每秒飞行３０万千米的光速，

 在一飞秒内，也只能走０．３微米，不到一根头发丝的百分之一。可见光的振荡周期为1.30到2.57飞秒。

 一个分子里的一个原子完成一次典型振动需要10到100飞秒。完成快速化学反应通常需要数百飞秒。

 光与视网膜上色素的相互作用（产生视觉的过程）约需200飞秒。  

 阿秒    

 阿秒英文名是attosecond，相当于10的负18次秒 ，是非常小的时间单位。如果宇宙的年龄几百亿年，

 那么10的负18次 相当于其中的1秒。  

 渺秒    

 渺秒，百亿亿分之一秒，最短暂的时间。中性π介子的寿命。    

 科学家是用渺秒来对瞬时事件进行计时的。 研究人员已经用稳定的高速激光产生了仅持续250渺秒的光脉冲。

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时间序列与R语言应用(part2)--ADF单位根检验
万次阅读 多人点赞 2020-04-05 23:42:43
文章目录ADF单位根检验开胃菜自回归过程AR特征根趋势非平稳时间序列利用ADF检验区分趋势非平稳和差分非平稳单位根检验DF检验ADF检验R语言实现 ADF单位根检验学习单位根检验之前，先来几道开胃菜，看几个知识点。 ...
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数据挖掘 R语言
临界比例度法整定P、PI、PID控制器的参数的matlab算法实现 - Gavin_Hall的博客 - CSDN博客
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其实这篇文章基本是转自一片论文的，只是论文是用simulink仿真实现，而这里的使用代码实现，并且只是注重实现的...用matlab的编程法和游动鼠标法求二阶传递函数的上升时间、峰值时间、超调量和调节时间 PID算法模...
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matlab 开环传递函数
面板数据分析步骤及流程-R语言
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常用的单位根检验的办法有LLC检验和不同单位根的Fisher-ADF检验，若两种检验均拒绝存在单位根的原假设则认为序列为平稳的，反之不平稳（对于水平序列，若非平稳，则对序列进行一阶差分，再进行后续检验，若仍存在...
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r语言面板数据分析
雷达篇（二）线性调频信号公式推导及matlab仿真
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线性调频信号的数学表达式：其中，t是时间变量，单位为秒（s）；T为脉冲持续时间（周期）；K是线性调频率，单位是Hz/s；角度（单位为弧度）表达式： ...
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matlab
第十三章时间序列分析和预测
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时间序列的关键是确定出已有的时间序列的变化模式，并假定这种模式会延续到未来。时间序列分析就其发展的历史阶段和所使用的统计分析方法来看，有传统的时间序列分析和现代时间序列分析。下文主要介绍传统的时间...
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计量经济学之时间序列的平稳性、单位根检验、协整检验、时间序列数据的一般处理流程
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时间序列分析模型——ARIMA模型
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ARIMA
ACMNO.45 时间转换给定一个以秒为单位的时间t，要求用 “< H> :< M> :< S> ”的格式来表示这个时间。...
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给定一个以秒为单位的时间t，要求用 “< H> :< M> :< S> ”的格式来表示这个时间。 < H> 表示时间，< M> 表示分钟，而< S> ...
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《离散时间信号处理学习笔记》—离散时间信号与系统（一）
千次阅读 2018-09-01 17:43:17
注：本博客是基于奥本海姆《离散时间信号处理》第三版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。 1、在信号的数学表达式中，独立变量可以是连续的，也可以是离散的。 1）、连续时间信号时定义在一个连续时间...
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Stata中的单位根检验
万次阅读 2018-11-07 00:06:56
检验序列的平稳性是时间序列分析的关键步骤。时间序列中很多估计量的统计特性都依赖于数据是否平稳。一般意义上，一个(弱)平稳过程的期望...比如，含有随机趋势项的单位根过程可以通过差分变得平稳。然而，对实际上...
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stata
【C语言】4种方法求最大公约数和最小公倍数及比较它们的运行时间
万次阅读 多人点赞 2019-03-17 11:50:40
利用辗转相除法、穷举法、更相减损术、Stein算法求出两个数的最大公约数或者/和最小公倍数。最大公约数：指两个或多个整数共有约数中最大的一个。例如：【12和24】12的约数有：1、2、3、4、6、12；24的约数有...
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最大公约数
时间序列分析这件小事（六）--非平稳时间序列与差分
万次阅读 多人点赞 2016-12-04 21:31:29
之前我们说明了怎么样的时间序列是序列平稳的，但是世界并不是那么美好，很多时间序列都不是平稳序列，所以这里就要求我们做一些处理了。首先我们来看一下非平稳时间序列长什么样。在AR模型中，只要自回归系数都...
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R
时间常数τ是什么？
千次阅读 2020-10-12 23:13:57
时间常数τ是什么？时间常数τ在电路中的理解 τ是做什么的？时间常数是应用在动态系统中...其中R是动态元件放电的时候可以作用到的电阻。 τ的理解以电容为例，在一阶电路的零输入相应中，电容充当电压源向.
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时间序列分析应用实例（使用Eviews软件实现）
万次阅读 多人点赞 2020-01-08 13:40:28
某公司的苹果来货量数据是以时间先后为顺序记录的一组数据，从计量经济学的角度来分类就是一组时间序列数据。为了提高苹果来货量预测的准确度以及预测结果的可信度，下面运用Eviews软件包（即Econometrics Views ...
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数据挖掘
最小拍控制系统详细解读（阶跃输入+速度输入2个案例）【Simulink仿真】
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Matlab 自动控制
时间管理——帕累托法则（二八定律）
万次阅读 2017-09-11 18:33:30
他认为，在任何一组东西中，最重要的只占其中一小部分，约20%，其余80%尽管是多数，却是次要的，因此又称二八定律。二八现象 1.管理学：通常一个企业80%的利润来自它20%的项目[3]；这个80/...
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二八定律
OpenCV—Python 图像去模糊（维纳滤波，约束最小二乘方滤波）
万次阅读 多人点赞 2019-07-16 14:43:10
文章目录一、维纳滤波二、约束最小二乘方滤波一、维纳滤波对于运动引起的图像模糊，最简单的方法是直接做逆滤波，但是逆滤波对加性噪声特别敏感，使得恢复的图像几乎不可用。最小均方差（维纳）滤波用来去除含有...
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统计模型总结1：时间序列分析及Python建模
千次阅读 2018-12-04 21:02:21
在建立时间序列模型之前,必须先对时间序列数据进行必要的预处理,以便剔除那些不符合统计规律的异常样本,并对这些样本数据的基本统计特性进行检验,以确保建立时间序列模型的可靠性和置信度,并满足一定的精度要求。...
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统计学 python ARIMA
redis设置键的生存时间或过期时间
万次阅读 2017-12-04 11:23:45
设置键的生存时间或过期时间通过EXPIRE 命令或者PEXPIRE 命令，客户端可以以秒或者毫秒精度为数据库中的某个键设置生存时间( Time To Live , TTL) ，在经过指定的秒数或者毫秒数之后，服务器就会自动删除生存时间为0...
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图论专题小结：最小费用最大流算法
万次阅读 2015-03-04 14:40:55
该网络中一共有N台计算机，其中有一些靠单向电缆相连接每条电缆用（from,to,cap,cost）表示从from发送给to，最大容量是cap，单位传输费用是cost。问传输数据最小的花费是多少？解决最小费用流的一般思路是：每次...
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拓端tecdat|使用R语言进行时间序列（arima，指数平滑）分析
万次阅读 多人点赞 2019-06-13 19:00:09
原文：http://tecdat.cn/?p=3609 您要分析时间序列数据的第一件事就是将其读入R，并绘制时间序列。您可以使用scan（）函数将数据读入R，该函数假定连续时间点的数据位于包含一列的简单文本文件中。
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R语言 arima 指数平滑
时间序列分析之协整检验
万次阅读 多人点赞 2019-02-07 14:18:02
平稳性是进行时间序列分析的一个很重要的前提，很多模型都是基于平稳下进行的，而现实中，很多时间序列都是非平稳的，所以协整是从分析时间序列的非平稳性入手的。协整的内容是：设序列是 d 阶单整的，记为，...
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时间函数的用法（ctime）
万次阅读 2013-08-21 23:58:42
/C++对时间的操作也有许多值得大家注意的地方。最近，在技术群中有很多网友也多次问到过C++语言中对时间的操作、获取和显示等等的问题。下面，在这篇文章中，笔者将主要介绍在C/C++中时间和日期的使用方法. ...
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Redis 键的生存时间和过期时间
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设置过期时间Redis 有四个不同的命令可以用于设置键的生存时间(键可以存在多久)或过期时间(键什么时候被删除): EXPIRE <KEY> <TTL> : 将键的生存时间设为 ttl 秒 PEXPIRE <KEY> <TTL> :将键的生存时间设为 ttl 毫秒 ...
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JAVA中各种单位之间的转换
千次阅读 2017-01-06 10:21:26
本次讲述的是JAVA中各种单位之间的换算，其中包括货币单位的换算，时间单位的换算，以及小数点的保留和小数点与百分号之间的换算，都是从项目中抽取出来的，可能不太全面，把现有的先记录在这里，后面再继续补充。...
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android java

4G、5G中的基本时间单位Ts和Tc

入门学习Linux常用必会60个命令实例详解doc/txt

信号与线性系统分析（第四版，吴大正主编）——信号与系统

1.1 绪言

1.2 信号

1.连续信号与离散信号

2.周期信号和非周期信号

3.实信号和复信号

4.能量信号和功率信号

1.3 信号的基本运算

1.加法和乘法

2.反转和平移

3.尺度变换（横坐标展缩）

1.4 阶跃函数和冲激函数

1.阶跃函数和冲激函数

2.冲激函数的广义函数定义

3.冲激函数的导数和积分

4.冲击函数的性质

1.5 系统的描述

1. 系统的数学模型

2.系统的框图表示

1.6 系统的特性和分析方法

1.线性

2.时不变性

3.因果性

4.稳定性

5.LTI系统分析方法概述

卡尔曼滤波系列——（二）扩展卡尔曼滤波

1 简介

2 算法介绍

2.1 泰勒级数展开

2.1 EKF

3 推导

4 实际应用

5 参数估计（参数学习）

6 总结

7 参考文献

时间单位的换算

时间序列与R语言应用(part2)--ADF单位根检验

临界比例度法整定P、PI、PID控制器的参数的matlab算法实现 - Gavin_Hall的博客 - CSDN博客

面板数据分析步骤及流程-R语言

雷达篇（二）线性调频信号公式推导及matlab仿真

第十三章 时间序列分析和预测

计量经济学之时间序列的平稳性、单位根检验、协整检验、时间序列数据的一般处理流程

时间序列分析模型——ARIMA模型

ACMNO.45 时间转换 给定一个以秒为单位的时间t，要求用 “< H> :< M> :< S> ”的格式来表示这个时间。...

《离散时间信号处理学习笔记》—离散时间信号与系统（一）

Stata中的单位根检验

【C语言】4种方法求最大公约数和最小公倍数及比较它们的运行时间

时间序列分析这件小事（六）--非平稳时间序列与差分

时间常数τ是什么？

时间序列分析应用实例（使用Eviews软件实现）

最小拍控制系统详细解读（阶跃输入+速度输入2个案例）【Simulink仿真】

时间管理——帕累托法则（二八定律）

OpenCV—Python 图像去模糊（维纳滤波，约束最小二乘方滤波）

统计模型总结1：时间序列分析及Python建模

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图论专题小结：最小费用最大流算法

拓端tecdat|使用R语言进行时间序列（arima，指数平滑）分析

时间序列分析之协整检验

时间函数的用法（ctime）

Redis 键的生存时间和过期时间

JAVA中各种单位之间的转换

其中最小的时间单位是

第十三章时间序列分析和预测

ACMNO.45 时间转换给定一个以秒为单位的时间t，要求用 “< H> :< M> :< S> ”的格式来表示这个时间。...