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  • 径向基输出函数
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    2021-10-19 08:49:12

    偏差-方差困境是机器学习方法的面临的主要问题。如果模型过于简单则模型将难以找到输入和输出之间的适当关系(欠拟合)。如果一个模型太复杂,它在训练中会表现得更好,但在看不见的数据上的性能会有更大的差异(或过拟合),而且复杂的模型往往需要更昂贵的计算资源。对于机器学习来说理想的方法是,能够找到一个简单的模型,它训练起来既很快又可以找到输入和输出之间的复杂关系。核方法就是通过将数据的输入空间映射到高维特征空间,在高维特征空间中可以训练简单的线性模型,从而得到高效、低偏差、低方差的模型。

    这句话就是本文的写作目的。在看完本文后,希望你能很好地理解这句话的含义以及它为什么重要。

    核方法

    机器学习世界中有许多的核方法。支持向量机(svm)就是其中之一,在20世纪后期甚至优于当时的神经网络。但是现在因为数据的数量有了突飞猛进的发展,所以核方法并不占优势。因为核方法最适合于中小型数据集,但是在结果的可解释性很重要的问题上核方法还是有优势的。

    核方法使用核(或基函数)将输入数据映射到不同的空间。通过这种映射,简单的模型可以在新的特征空间而不是输入空间上训练,从而提高模型的性能。

    以上是对核函数的介绍,在本篇文章中将重点介绍径向基函数,这是一个非常简单但常见的核。

    线性回归和 RBF(径向基函数)

    在回归问题中,我们试图估计从 X 推断 Y 的最佳函数。如果 X 和 Y 之间存在非线性关系,则不能简单地在此数据上拟合线性模型。 然而,核方法的目标是在这些非线性关系上使用线性模型并保证结果的是正确的。

    内核方法通过将数据转换为更高维度并在此维度上拟合线性模型来实现这一点。 通过这种方法我们在原始输入空间中有效地拟合了一个高阶模型。

    线性回归

    我们先看一下线性回归,然后我们就可以了解如何使用核方法对线性模型生成非线性映射。

    最优线性回归是最小化我们模型的预测和目标输出y之间的平方距离的回归器。将这个误差最小化就能得到最优解决方案。

    我们可以将最小二乘误差与我们模型的权重进行微分,从而找到产生最小误差的权重向量,结果就是伪逆解。为了正确理解线性代数公式,我们必须熟悉每个变量的维度数:

    输入数据 X 是 (Nxd) 维,其中 N 是数据点的数量,d 是特征的数量。 因此,逆计算将是一个 (dxd) 矩阵,并且所得的权重矩阵是 (dx1)。 我们的权重向量与输入数据中的特征具有相同的维度。 这是肯定的,因为当我们从 X 推断 Y 时,我们采用权重和输入数据之间的点积,因此输入必须具有与我们的权重相同的维度。

    高维空间中的线性回归

    核方法通过使用核或一组 M 个基函数将数据矩阵 X 映射到新的设计矩阵 U(design matrix)。 新的设计矩阵具有更高的维度(NxM,其中 M ≥ d)。

    我们可以通过采用 M 个基函数 (ϕ) 来构造一个设计矩阵 U,每个基函数都由它们自己的均值和标准差参数化。 上面等式中的平均值的维数为 (dx1)。 因此,对于输入空间中的每个数据点,我们应用 M 个基函数将输入维度 (Nxd) 转换为新的设计矩阵 (NxM)。

    RBF 使用高斯基函数。 每个基函数代表输入空间中的高斯分布。 每个数据点都在所有高斯分布中进行评估。 结果是输入向量从 d 维到 M 维的映射。

    要参数化这些高斯分布的均值和标准差,可以使用k-means聚类得到参数化基函数的均值和标准差

    现在我们有了我们的设计矩阵 U,并且我们已经将输入数据映射到了一个高维空间,我们可以在这个新的特征空间中拟合一个线性模型。

    通过来自特征空间的估计和我们的目标 y 之间的最小二乘误差,并根据我们的新权重向量 l 进行微分,我们发现最优解与输入数据中线性回归的最优解相同 .

    这里要注意的是我们的权重向量 (l) 现在是一个 Mx1 向量,在原始输入空间中,权重向量是一个 dx1 向量(记住 M > d)。

    合成数据的例子

    这是合成的非线性数据。 有 10,000 个数据点,我们的 Y 坐标是一维的。 这意味着我的数据矩阵 X 的维度为 (10,000x1)。 我们可以尝试通过使用上面看到的伪逆解计算最佳权重来拟合该数据的线性模型。 正如您在上面看到的那样,它的表现并不好。

    下面我们通过在高维特征空间中拟合相同的线性模型,更好地近似数据中的真实关系。

    首先,我将 200 个基函数应用于我的每个数据点。 我在我的输入空间中采用 200 个高斯分布,并评估我所有基本函数的每个数据点。 我的新设计矩阵现在是 (10,000x200) 维的。 然后我使用相同的伪逆解来获得这个新特征空间中的最佳权重。

    RBF模型估计的关系是非线性的,并且与数据吻合得很好。但是这个新模型仍然是一个线性回归器!因为我们将它拟合到新特征空间中,所以我们间接地在原始输入空间中拟合了一个复杂的非线性模型。

    总结

    核方法使用核(或一组基函数)将低维输入空间映射到高维特征空间。并在新的特征空间中训练一个线性模型(ax +b类型的线性模型)。我们实际上是在原始输入空间中训练一个高阶模型(例如ax²+bx +c类型)。通过这样做,既保留了简单模型的所有优势(如训练速度、具有解析解、方差更低),也获得了更复杂模型的优势(更好的映射、更低的偏差)。这就是内核方法如此强大的原因!

    作者:Diego Unzueta

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  • RBF径向基函数

    万次阅读 多人点赞 2018-07-02 19:10:19
    一、径向基函数径向基函数是某种沿径向对称的标量函数,通常定义为样本到数据中心之间径向距离(通常是欧氏距离)的单调函数(由于距离是径向同性的)。RBF核是一种常用的核函数。它是支持向量机分类中最为常用的核...

    一、径向基函数

    径向基函数是某种沿径向对称的标量函数,通常定义为样本到数据中心之间径向距离(通常是欧氏距离)的单调函数(由于距离是径向同性的)。RBF核是一种常用的核函数。它是支持向量机分类中最为常用的核函数。常用的高斯径向基函数形如:

    其中,可以看做两个特征向量之间的平方欧几里得距离。x’为核函数中心,是一个自由参数,是函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。。一种等价但更为简单的定义是设一个新的参数 \gamma,其表达式为

    因为RBF核函数的值随距离减小,并介于0(极限)和1(当x = x’的时候)之间,所以它是一种现成的相似性度量表示法。核的特征空间有无穷多的维数;对于 =1,它的展开式为:

    径向基函数二维图像:
    RBF核
    RBF 拥有较小的支集。针对选定的样本点,它只对样本附近的输入有反应,如下图。
    这里写图片描述
    RBF 使样本点只被附近(圈内)的输入激活。
    T. Poggio 将 RBF 比作记忆点。与记忆样本越近,该记忆就越被激活。
    RBF 核与多项式核相比具有参数少的优点。因为参数的个数直接影响到模型选择的复杂性。
    其他的径向基函数有:
    Reflected Sigmoidal(反常S型)函数:

    Inverse multiquadrics(拟多二次)函数:

    σ称为径向基函数的扩展常数,它反应了函数图像的宽度,σ越小,宽度越窄,函数越具有选择性。

    二、径向基网络

    RBF(Radial Basis Function,径向基)网络是一种单隐层前馈神经网络,它使用径向基函数作为隐层神经元激活函数,而输出层则是对隐层神经元输出的线性组合。径向基函数网络具有多种用途,包括包括函数近似法、时间序列预测、分类和系统控制。他们最早由布鲁姆赫德(Broomhead)和洛维(Lowe)在1988年建立。
    RBF网络分为标准RBF网络,即隐层单元数等于输入样本数;和广义RBF网络,即隐层单元数小于输入样本数。但广义RBF的隐藏层神经元个数大于输入层神经元个数,因为在标准RBF网络中,当样本数目很大时,就需要很多基函数,权值矩阵就会很大,计算复杂且容易产生病态问题。
    径向基网络:
    径向基网络

    RBF神经网络的基本思想:用RBF作为隐单元的“基”构成隐藏层空间,隐藏层对输入矢量进行变换,将低维的模式输入数据变换到高维空间内,使得在低维空间内的线性不可分问题在高维空间内线性可分。详细一点就是用RBF的隐单元的“基”构成隐藏层空间,这样就可以将输入矢量直接(不通过权连接)映射到隐空间。当RBF的中心点确定以后,这种映射关系也就确定 了。而隐含层空间到输出空间的映射是线性的(注意这个地方区分一下线性映射和非线性映射的关系),即网络输出是隐单元输出的线性加权和,此处的权即为网络可调参数。
    通常采用两步过程来训练RBF网络:第一步,确定神经元中心,常用的方式包括随机采样、聚类等;第二步,利用BP算法等来确定参数。
    [Park and Sandberg,1991]证明,具有足够多隐层神经元的RBF网络能以任意精度逼近任意连续函数。
    且RBF网络可以处理系统内的难以解析的规律性,具有良好的泛化能力,并有很快的学习收敛速度。
    RBF网络学习收敛得比较快的原因:当网络的一个或多个可调参数(权值或阈值)对任何一个输出都有影响时,这样的网络称为全局逼近网络。由于对于每次输入,网络上的每一个权值都要调整,从而导致全局逼近网络的学习速度很慢。BP网络就是一个典型的例子。如果对于输入空间的某个局部区域只有少数几个连接权值影响输出,则该网络称为局部逼近网络。常见的局部逼近网络有RBF网络、小脑模型(CMAC)网络、B样条网络等。

    三、参数计算

    中心点的计算:
    标准RBF的样本点即为中心
    广义RBF的中心点通过随机采用、聚类等方法确定
    w和β的计算:
    人为指定:所有神经元的β都一样,β=1/2(的平方),=dmax/根号下的2M。dmax为任意两个样本点距离的最大值,M为样本个数。
    BP算法迭代确定。

    四、RBF神经网络与SVM with RBF Kernel的区别和联系:

    从模型上看,区别不大,区别在于训练方式。
    RBF神经网络训练分两阶段。第一阶段为非监督学习,从数据中选取记忆样本(上上图中的紫色中心)。例如聚类算法可在该阶段使用。第二阶段为监督学习,训练记忆样本与样本输出的联系。该阶段根据需要可使用 AD/BP。(AD,即 Automatic Differentiation (Backpropagation) )

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  • 径向基函数(RBF)

    千次阅读 2020-11-06 09:06:00
    理解RBF网络的工作原理可从两种不同的观点出发: (1)当用RBF网络解决非线性映射问题时,用函数逼近与内插的观点来...径向基函数技术则是20世纪80年代后期,Powell在解决“多变量有限点严格(精确)插值问题”时引人的

    径向基函数是某种沿径向对称的标量函数,通常定义为样本到数据中心之间径向距离(通常是欧氏距离)的单调函数(由于距离是径向同性的)。
    理解RBF网络的工作原理可从两种不同的观点出发:
    (1)当用RBF网络解决非线性映射问题时,用函数逼近与内插的观点来解释,对于其中存在的不适定(参考中有讲解)问题,可用正则化理论来解决;
    (2)当用RBF网络解决复杂的模式分类任务时,用模式可分性观点来理解比较方便,其潜在合理性基于Cover(参考中有讲解)关于模式可分的定理。下面阐述基于函数逼近与内插观点的工作原理。

    1963年Davis提出高维空间的多变量插值理论。径向基函数技术则是20世纪80年代后期,Powell在解决“多变量有限点严格(精确)插值问题”时引人的,目前径向基函数已成为数值分析研究中的一个重要领域。
    考虑一个由N维输人空间到一维输出空间的映射。设N维空间有P个输人向量,P=1,2,…,P,它们在输出空间相应的目标值为d^p,p=1,2,…,P,P对输入输出样本构成了训练样本集。插值的目的是寻找一个非线性映射函数F(X),使其满足下述插值条件:
    (1)在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    函数F描述了一个插值曲面,所谓严格插值或精确插值,是一种完全内插,即该插值曲面必须通过所有训练数据点。
    采用径向基函数技术解决插值问题的方法是,选择P个基函数个训练数据,各基函数的形式为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    式中,基函数fai为非线性函数,训练数据点xp是fai的中心。基函数以输人空间的点x与中心x^p的距离作为函数的自变量。由于距离是径向同性的,故函数被称为径向基函数。基于径向基函数技术的差值函数定义为基函数的线性组合:
    在这里插入图片描述
    在这里需要解释一下||x-xp||这是范数,在平面几何的向量来说就是模,然而一旦维度很高就不知道是什么东西了,可能是衡量距离的一个东西,那么这个代表什么意思呢?简单来说就是一个圆而已,在二维平面,x^p就是圆心,x就是数据了,这个数据距离圆心的距离,因为和数据的位置和大小无关,只和到圆心的半径有关,况且同一半径圆上的点到圆心是相等的因此取名为径向,代入映射函数就是径向基函数了,我们看看径向基函数有什么特点:
    将(1)式的插值条件代入上式,得到P个关于未知系数w^p,p = 1,2,…,P的线性方程组:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    则上述方程组可改写为:(其中第一个矩阵下标存在错误,相信你能看懂)
    在这里插入图片描述
    令大fai表示元素fai ip的PxP阶矩阵,w和d分别表示系数向量和期望输出向量,(5)式还可以写成下面的向量形式:
    在这里插入图片描述
    式中,大fai称为插值矩阵,若大fai为可逆矩阵,就可以从(6)式中解出系数向量w,即:
    在这里插入图片描述
    通过上面大家可以看到为了使所有数据都在曲面还需要系数调节,此时求出系数向量就求出了整个的映射函数了。

    RBF 和 BP network 区别:
    BP神经网络的隐节点采用输入模式与权向量的内积作为激活函数的自变量,而激活函数采用Sigmoid函数。各隐节点对BP网络的输出具有同等地位的影响,因此BP神经网络是对非线性映射的全局逼近。

    RBF神经网络的隐节点采用输入模式与中心向量的距离(如欧式距离)作为函数的自变量,并使用径向基函数(如Gaussian函数)作为激活函数。神经元的输入离径向基函数中心越远,神经元的激活程度就越低。RBF网络的输出与数据中心离输入模式较劲的“局部”隐节点关系较大,RBF神经网络因此具有“局部映射”特性。

    RBF网络:神经元是一个以gaussian函数(或者其他)为核函数的神经元。
    RBF Network 通常只有三层。 输入层、中间层计算输入 x 矢量与样本矢量 c 欧式距离的 Radial Basis Function (RBF) 的值,输出层计算它们的线性组合。
    在这里插入图片描述
    第一阶段为非监督学习,从数据中选取记忆样本。例如聚类算法可在该阶段使用。
    第二阶段为监督学习,训练记忆样本与样本输出的联系。该阶段根据需要可使用BP。

    简单说明一下为什么RBF网络学习收敛得比较快。当网络的一个或多个可调参数(权值或阈值)对任何一个输出都有影响时,这样的网络称为全局逼近网络。由于对于每次输入,网络上的每一个权值都要调整,从而导致全局逼近网络的学习速度很慢。BP网络就是一个典型的例子。
    如果对于输入空间的某个局部区域只有少数几个连接权值影响输出,则该网络称为局部逼近网络。常见的局部逼近网络为RBF网络。

    隐藏层的作用是把向量从低维映射到高维,低维线性不可分的情况到高维就线性可分了戳这里理解)。

    参考

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  • 径向基函数神经网络(RBFNN)详解

    万次阅读 多人点赞 2019-09-13 16:29:05
    径向基函数神经网络(RBFNN) 前言 RBFNN是20世纪80年代末提出的一种单隐层、以函数逼近为基础的前馈神经网络。随着研究日渐成熟,RBFNN以其结构简单、非线性逼近能力强以及良好的推广能力,受到各领域研究者的极...

    参考:
    博客:深度学习之径向基函数神经网络RBFNN
    人工神经网络——径向基函数(RBF)神经网络
    youtube视频:RBF Networks

    一篇推荐:RBF神经网络理论与实现

    前言

    RBFNN是20世纪80年代末提出的一种单隐层、以函数逼近为基础的前馈神经网络。随着研究日渐成熟,RBFNN以其结构简单、非线性逼近能力强以及良好的推广能力,受到各领域研究者的极大关注,被广泛应用于模式分类、函数逼近和数据挖掘等众多研究领域。

    1.基础知识

    RBFNN全称为:Radial Basis Function Neyral Network。中文名为径向基函数神经网络。那么什么是径向基函数呢?

    1.1 径向基函数(RBF)

    看一下百度百科的解释:

    径向基函数是一个取值仅仅依赖于离原点距离的实值函数,也就是Φ(x)=Φ(‖x‖),或者还可以是到任意一点c的距离,c点称为中心点,也就是Φ(x,c)=Φ(‖x-c‖)。任意一个满足Φ(x)=Φ(‖x‖)特性的函数Φ都叫做径向基函数,标准的一般使用欧氏距离(也叫做欧式径向基函数),尽管其他距离函数也是可以的。在神经网络结构中,可以作为全连接层和ReLU层的主要函数。

    简单地说,就是该点的函数值只与该店距离中心点的距离有关。

    典型的径向基函数(RBF)有:
    (1):Gaussian函数
    在这里插入图片描述
    Alt
    (2):Multiquadric函数
    在这里插入图片描述
    (3):Inverse Multiquadric函数
    在这里插入图片描述
    形如Gaussian函数的RBF具有良好的局部特征,只在距离中心点附近的某一邻域内响应显著,而函数值随着与中心点的距离的增大而呈单调递减趋势,并逐渐趋近于0.因此这类RBF在实际应用中比较广泛。

    1.2 非线性问题

    我们知道,三层的神经网络就可以拟合任何一个函数。同样,RBFNN刚好三层且隐藏层使用径向基函数,所以,它完全可以拟合任何一个函数(只要隐藏层神经元足够多)。

    1.3 高级的径向基函数

    前面提到的几个径向基函数都是最简单形式的,在实际应用中,你可能使用高级的径向基函数。
    在这里插入图片描述

    其中,μt为中心点,σt为径基宽度。径基宽度决定了径向基函数下降的快慢,也可以说是圆的大小。比如:
    在这里插入图片描述

    图是视频中截取的,与上面的函数不对应。不过可以这样理解。

    1.4 RBFNN的结构

    RBFNN只有三层,第一层为输入层,第二层为隐藏层,第三层为输出层。输入层到隐藏层的神经元之间的权重全部为1。隐藏层是使用径向基函数作为激活函数的神经元。隐藏层与输出层之间就是普通的神经网络的连接关系,他们之间的权重可以训练而改变。
    在这里插入图片描述
    RBFNN的结构很简单。主要是它的原理部分。

    2.RBFNN的原理

    2.1基本原理

    假设我们要根据小球位置将下图中的小球分类,那么我们可以画两个圆,圆内的球全为红色,圆外的全为绿色。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    输入一个点的位置信息(x,y)坐标,隐藏层的两个神经元由于有不同的中心点,下降速度也不一样,那么,就会得到不同的输出,当然,离中心点越近,输出越大。这样我们就知道了输入的点离哪个中心点比较近,就可以知道它的颜色了。

    当然,实际中,数据分布可能不是那么理想,比如这样:
    在这里插入图片描述
    此时,我们用多个圆来拟合就可以了。这些圆有不同的μt和σt。
    在这里插入图片描述
    实际应用中,你可能用到几百几千个圆。而且,圆不再是理论上的这种断崖式的(圈内全为红球,圈外全为绿球),而是更加的平滑,毕竟径向基函数也是平滑的。
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    不同的径向基函数,球也不一样,下面是几种:

    对应到神经网络里,也就是我们有两个径向基函数,它们中心点不同,在距离中心点一定距离内为红球,大于这个距离为绿球。当然,两个径向基函数可能还需要进一步加权求和。
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    举一个手写数字识别的例子:
    在这里插入图片描述
    通过隐藏层的输出,我们直接就可以得知输入与数字7的中心点最近,所以,输入就被认为是数字7。
    但有时候,可能会得到这样不好的结果:
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    因为9可能和7有比较多的像素相像,所以9反而输出更高。这怎么办呢,我们把两个7的输出加起来就好了。
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    这也是为什么隐藏层与输出层之间的权重还要训练的原因。隐藏层的神经元数目实际上也更加多。比如30个隐藏层神经元的神经网络结构:
    在这里插入图片描述

    2.2径向基函数的确定

    RBFNN的关键就在于径向基函数的确定,中心点在哪,径基宽度多大,多少个径向基函数,都是会影响神经网络的效果的。

    径向基函数中心的确定方法有以下几种:

    • 直接计算法(随机选取RBF中心)

      隐含层神经元的中心是随机地在输入样本中选取,且中心固定。一旦中心固定下来,隐含层神经元的输出便是已知的,这样的神经网络的连接权就可以通过求解线性方程组来确定。适用于样本数据的分布具有明显代表性。

    • 自组织学习选取RBF中心法

      RBF神经网络的中心可以变化,并通过自组织学习确定其位置。输出层的线性权重则是通过有监督的学习来确定的。这种方法是对神经网络资源的再分配,通过 学习,使RBF的隐含层神经元中心位于输入空间重要的区域。这种方法主要采用K-均值聚类法来选择RBF的中心,属于无监督(导师)的学习方法。

    • 有监督学习选取RBF中心

      通过训练样本集来获得满足监督要求的网络中心和其他权重参数。常用方法是梯度下降法。

    • 正交最小二乘法选取RBF中心法

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    2.3训练

    其实,和普通的神经网络一样,只不过,普通的神经网络训练的只是神经网络之间的权重,而RBFNN训练的还有激活函数----RBF的相关参数。这样理解起来就简单多了。

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  • 三、为什么RBF神经网络使用一个径向基函数作为隐含层的激活函数 四、参数训练 五、RBF网络vs BP网络和 SVM 一、什么是基函数 著名的傅里叶变换是指:n个有参(权值)的正、余弦三角函数基的和式可以等价的表示...
  • 将RBF用于插值标签(空格分隔):径向基函数插值 算法 RBF曲面重构当高维数据稀疏,需要预测一些数据,需要使用曲面重构的方法。 曲面重构一般可以分为:插值重构曲面插值里我们一般使用径向基函数插值。RBF (Radial ...
  • 一种结构简单,收敛速度快,能够逼近任意非线性函数的网络——径向基网络(RBF). 径向基网络可以分为正则化网络和广义网络,其中广义网络在工程实践中被广泛应用,它可以由正则化网络稍加变化得到。 径向基网络 径向...
  • 径向基函数网络由两层组成:第一层为隐含的径向基层,第二层为输出线性层 问题描述—设计一个径向基函数网络用于完成函数逼近的任务 已知一个函数,涉及一个径向基函数神经网络来对它进行逼近
  • 1、基于径向基函数(RBF)的函数插值 2、径向基函数插值 —二维数据的插值 一、问题背景 许多物理和工程实际问题都可以用偏微分方程来描述,但是只有极少数的偏微分方程可以得到精确解,所以对于一般的偏微分方程,都...
  • 该方案采用newrb函数创建一个径向基神经网络,以被测物理量作为输入矩阵、电涡流传感器输出电压作为输出矩阵,对该径向基神经网络进行训练,从而可得到均方根误差小且光滑的电涡流传感器输出特性拟合曲线。实验结果表明...

空空如也

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径向基输出函数