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  • 小涛神说了一种非常神的方法来解这一题,那就是得到三组最简单的解,假设最后的通项公式是一个最高次为1次的表达式,那么采用待定系数法用两组数据得到表达式然后使用第三组检验前两组得出的解。如果不相符的话那么...

    题意:问最少多少个过同一点的平面能够将空间分成N份。

    解法:这题的基本思路肯定是求出x个平面最多能够划分出多少个子空间,然后二分枚举出答案。小涛神说了一种非常神的方法来解这一题,那就是得到三组最简单的解,假设最后的通项公式是一个最高次为1次的表达式,那么采用待定系数法用两组数据得到表达式然后使用第三组检验前两组得出的解。如果不相符的话那么再推出一个解,假设通项公式最高次为2次解方程...最后就能够得到这题的通项公式:f(x) = x*x - x + 2。

      当然,我是想使用递推公式来解决这一问题,由于三个平面最多将空间分成8份,而在增加一个平面的话,由于所有平面都要过一个点,那么三个平面就已经确定那一个交点,垂直于一个平面对空间结构进行投影,那么平面上将出现两条直线相交的情况,那么第四个平面同样也会这这个平面上投影出一条直线,那么这条直线最多分割3*2个空间,乘以2是因为投影的下面同样能够被分割。因此递推公式为:f[i] = f[i-1] + (i-1) * 2

    代码如下:

    #include <cstdlib>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    
    int f[50005];
    const int lim = 44723;
    
    void pre() {
        f[0] = 1, f[1] = 2;
        int i;
        for (i = 2; f[i-1] < 2000000000; ++i) {
            f[i] = f[i-1] + 2 * (i-1);
        } // 44723
    }
    
    int main() {
        pre();
        int T, x;
        scanf("%d", &T);
        while (T--) {
            scanf("%d", &x);
            if (x == 0) {
                puts("1");
                continue;
            }
            printf("%d\n", lower_bound(f, f+lim, x) - f);
        }
        return 0;
    }

     

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  • 前面用到的格式及其计算精度总结如下: 格式名称 公式 精度 中心差分格式 二阶 迎风格式 一阶 QUICK格式 三阶

    前面用到的格式及其计算精度:

    格式名称 公式 精度
    中心差分格式 (ϕx)e=ϕEϕPΔx\left (\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_e=\frac{\phi_{E}-\phi_{P}}{\Delta x} 二阶
    迎风格式 ϕw=ϕW,ϕe=ϕP\phi_w=\phi_{W},\phi_e=\phi_P(流动沿xx正方向时) 一阶
    QUICK格式 ϕe=38ϕE+68ϕP18ϕW\phi_{e}=\frac{3}{8}\phi_{E}+\frac{6}{8}\phi_P-\frac{1}{8}\phi_{W} 三阶

    下面将推导上述格式的误差和精度,以及介绍使用待定系数法构造差分格式的过程。

    格式精度

    在这里插入图片描述
    以一维情况为例,函数ϕ(x)\phi(x)在节点 ii 附近的泰勒级数展开为
    ϕ(x+Δx)=ϕ(x)+(ϕx)xΔx+(2ϕx2)xΔx22+...(1)\begin{aligned} \phi(x+\Delta x)=\phi(x)+\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_x \Delta x+\left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_x \frac{\Delta x^2}{2}+... \end{aligned} \tag{1}
    使用上图中的标记以及各节点对应关系,则泰勒展开式写为
    ϕE=ϕP+(ϕx)PΔx+(2ϕx2)PΔx22+...(2)\begin{aligned} \phi_E=\phi_P+\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P \Delta x+\left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_P \frac{\Delta x^2}{2}+... \end{aligned} \tag{2}
    整理上式有
    (ϕx)PΔx=ϕEϕP(2ϕx2)PΔx22...(ϕx)P=ϕEϕPΔx(2ϕx2)PΔx2...(3)\begin{aligned} &\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P \Delta x=\phi_E - \phi_P - \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right)_P \frac{\Delta x^2}{2}-... \\\\ &\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P=\frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} -\left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right)_P \frac{\Delta x}{2}-... \end{aligned} \tag{3}
    所以有
    (ϕx)P=ϕEϕPΔx+(4)\begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P=\frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} + 截断项 \end{aligned} \tag{4}
    从公式(3)(3)可以看出,截断项是某个数与Δx\Delta x的乘积,如果略去截断项,有
    (ϕx)PϕEϕPΔx(5)\begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P \approx \frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} \end{aligned} \tag{5}
    使用公式(5)(5)来近似导数包含了一定的误差,该误差就是省略了截断项所导致的。根据公式(3)(3)可以看出,通过减小Δx\Delta x的量来降低公式(5)(5)截断误差。一般而言,有限差分格式的截断项都含有Δxn\Delta x^nΔx\Delta x的指数就叫做差分近似的阶数,它决定了当网格加密(Δx\Delta x变小)时,截断误差趋于零的速率。因此,公式(5)(5)所表示的差分格式就是一阶精度的格式,我们写为
    (ϕx)P=ϕEϕPΔx+O(Δx)(6)\begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P=\frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} + O(\Delta x) \end{aligned} \tag{6}
    因为上式使用了节点EEPP来计算节点PP处的导数(ϕx)P\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_P,公式(6)(6)就叫做前向差分格式。同理,我们可以推导出节点PP处的后向差分,
    ϕ(xΔx)=ϕ(x)(ϕx)xΔx+(2ϕx2)xΔx22+...(7)\begin{aligned} \phi(x-\Delta x)=\phi(x)-\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_x \Delta x+\left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_x \frac{\Delta x^2}{2}+... \end{aligned} \tag{7}
    节点PP处的后向差分格式
    (ϕx)P=ϕPϕWΔx+O(Δx)(8)\begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P=\frac{\phi_P-\phi_W}{\Delta x} + O(\Delta x) \end{aligned} \tag{8}
    与前向差分相同,后向差分也是一阶精度的。前向和后向差分格式都只使用了两个节点值。

    中心差分格式

    用公式(1)(1)减去公式(7)(7)
    ϕ(x+Δx)ϕ(xΔx)=2(ϕx)PΔx+(3ϕx3)PΔx33!+...(9)\begin{aligned} \phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)= 2 \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P \Delta x + \left( \frac{\partial^3 \phi}{\partial x^3} \right)_P \frac{\Delta x^3}{3!} +... \end{aligned} \tag{9}
    整理之,然后得到PP点导数的另一个差分格式
    (ϕx)P=ϕEϕW2Δx+O(Δx2)(10)\begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P = \frac{\phi_E-\phi_W}{2\Delta x} + O(\Delta x^2) \end{aligned} \tag{10}
    公式(10)(10)使用了节点EEWW的值来计算中间节点PP处的导数,该差分格式称为中心差分格式。由其截断项可见,中心差分格式是二阶精度的。当网格尺度减小时,省略截断项导致的误差会以二次方的速率趋于零,这比一阶精度要快。
    在前面的方程离散推导中,导数的计算主要存在与扩散项,并且求解导数的位置一般是在单元的界面处,例如eeww,那时用的中心差分格式为
    (ϕx)e=ϕEϕPΔx=ϕEϕP2(Δx/2)(11)\begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e = \frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} =\frac{\phi_E-\phi_P}{2(\Delta x/2)} \end{aligned} \tag{11}
    根据上图可知,公式(11)(11)就是使用了节点EEPP的值计算了其中点ee处的导数,对于均匀网格来说,它就是具有二阶精度的中心差分格式。

    迎风格式

    类似公式(4)(5)(6)(4)、(5)、(6),公式(2)(2)可以写成
    ϕE=ϕP+(12)\begin{aligned} \phi_E = \phi_P + 截断项 \end{aligned} \tag{12}

    如果省略截断项,用节点PP的值来近似表示节点EE的值,则就得出迎风格式
    ϕE=ϕP+O(Δx)(13)\begin{aligned} \phi_E = \phi_P + O(\Delta x) \end{aligned} \tag{13}

    在对流项的离散中,需要近似的是单元界面上的变量值,则对于均匀网格有
    ϕe=ϕP+O(Δx/2)=ϕP+O(Δx)ϕw=ϕW+O(Δx/2)=ϕP+O(Δx)(14)\begin{aligned} \phi_e = \phi_P + O(\Delta x/2) = \phi_P + O(\Delta x) \\\\ \phi_w = \phi_W + O(\Delta x/2) = \phi_P + O(\Delta x) \end{aligned} \tag{14}

    可见,迎风格式是一阶精度的。(这里说的迎风格式指的是基本迎风格式,即用上游值代替边界值,迎风格式也有其他高阶格式)

    QUICK格式

    以用QUICK格式计算ϕe\phi_e为例,近似公式为
    ϕe=38ϕE+68ϕP18ϕW(15)\begin{aligned} \phi_{e}=\frac{3}{8}\phi_{E}+\frac{6}{8}\phi_P-\frac{1}{8}\phi_{W} \end{aligned} \tag{15}
    这里点EPWE、P、W称为模板点,我们希望通过模板点的值来近似界面e处的值,那么可以把近似公式写成待定系数的形式
    ϕe=(a ϕE+b ϕPc ϕW)+O(Δxk)(16)\begin{aligned} \phi_{e} = (a\ \phi_{E}+b\ \phi_P-c\ \phi_{W}) + O(\Delta x^k) \end{aligned} \tag{16}
    其中,abca、b、c为待定系数。

    函数ϕ\phi在界面ee处的泰勒级数展开有
    ϕE=ϕe+Δx2(ϕx)e+12(Δx2)2(2ϕx2)e+O(Δx3)ϕP=ϕeΔx2(ϕx)e+12(Δx2)2(2ϕx2)e+O(Δx3)ϕW=ϕe3Δx2(ϕx)e+12(3Δx2)2(2ϕx2)e+O(Δx3)(17)\begin{aligned} \phi_E=\phi_e+ \frac{\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e+ \frac{1}{2} \left ( \frac{\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_e +O(\Delta x^3) \\ \\ \phi_P=\phi_e- \frac{\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e+ \frac{1}{2} \left ( -\frac{\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_e +O(\Delta x^3) \\ \\ \phi_W=\phi_e- \frac{3\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e+ \frac{1}{2} \left ( -\frac{3\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_e +O(\Delta x^3) \\ \\ \end{aligned} \tag{17}

    把公式(17)(17)代入到公式(16)(16)
    ϕe=a [ϕe+Δx2(ϕx)e+12(Δx2)2(2ϕx2)e]+b [ϕeΔx2(ϕx)e+12(Δx2)2(2ϕx2)e]+c [ϕe3Δx2(ϕx)e+12(3Δx2)2(2ϕx2)e]+O(Δx3)(18)\begin{aligned} \phi_e = &a\ \left [ \phi_e + \frac{\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e + \frac{1}{2} \left(\frac{\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \right)_e \right] \\\\ &+b\ \left [ \phi_e - \frac{\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) _e+ \frac{1}{2} \left(-\frac{\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \right)_e \right] \\\\ &+c\ \left [ \phi_e - \frac{3\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) _e+ \frac{1}{2} \left(-\frac{3\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \right)_e \right] \\\\ &+ O(\Delta x^3) \end{aligned} \tag{18}
    因为函数ϕ\phi是不确定的,将函数ϕ\phi及其各阶导数看作是变量,根据等号两边对应系数相等有
    {a+b+c=112a12b32c=018a+18b+98c=0(19)\left \{ \begin{aligned} a+b+c=1\\\\ \frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b-\frac{3}{2}c=0\\\\ \frac{1}{8}a+\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}c=0 \end{aligned} \right. \tag{19}
    解方程组得
    {a=38b=68b=18(20)\left \{ \begin{aligned} a&=\frac{3}{8}\\\\ b&=\frac{6}{8}\\\\ b&=-\frac{1}{8} \end{aligned} \right. \tag{20}
    \therefore

    ϕe=(38ϕE+68ϕP18ϕW)+O(Δx3)(21)\begin{aligned} \phi_{e} = ( \frac{3}{8}\phi_{E}+\frac{6}{8} \phi_P-\frac{1}{8} \phi_{W}) + O(\Delta x^3) \end{aligned} \tag{21}

    可见QUICK格式具有三阶精度。上述过程就是使用待定系数法构建差分格式的一般过程,这里构建的是近似函数值的QUICK格式,也可以用于构建近似导数的差分格式。公式(19)(19)中方程式是根据ϕ\phi的零阶、一阶和二阶导数的系数在等号两边对应相等得出的,其实如果把泰勒级数展开到三阶导数项也可以得出第四个方程,这样方程组就成了超定方程组了,这种情况方程组一般无解,也就是说,我们不能用ϕEϕPϕW\phi_E、\phi_P、\phi_W三个节点值构造出ϕe\phi_e的四阶差分近似。一般情况下,对于均匀网格,用kk个连续的模板点来近似ϕe\phi_e的精度最高为kk阶。(这里仅指对函数值的近似,近似导数时阶数会更低,例如下面用三个点近似一阶导数就是二阶精度的。)

    用待定系数法构造导数的近似格式

    在这里插入图片描述
    QUICK格式的算例中,计算边界处的导数用到一个单边差分格式(公式(15)(15)),如下
    ΓϕxA=DA3(9ϕP8ϕAϕE)(22) \left. \Gamma \frac{\partial \phi}{\partial x} \right |_A = \frac{D^*_A}{3}(9\phi_P-8\phi_A-\phi_E) \tag{22}
    其实就是使用了节点PEP、E和边界点AA的值来近似边界AA处的一阶导数,上式可写成
    ϕxA=9ϕP8ϕAϕE3 δx(23) \left. \frac{\partial \phi}{\partial x} \right |_A = \frac{9\phi_P-8\phi_A-\phi_E}{3\ \delta x} \tag{23}
    下面用待定系数法来推导一下公式(23)(23)所示差分格式的系数及其精度。
    先引入待定系数,则
    (ϕx)A=a ϕA+b ϕP+c ϕE(24)\begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right )_A = a\ \phi_A + b\ \phi_P + c \ \phi_E \end{aligned} \tag{24}
    函数ϕ\phi在边界AA处的泰勒级数展开有
    ϕP=ϕA+δx2(ϕx)A+12(δx2)2(2ϕx2)A+O(δx3)ϕE=ϕA+3δx2(ϕx)A+12(3δx2)2(2ϕx2)A+O(δx3)(25)\begin{aligned} \phi_P=\phi_A+ \frac{\delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_A+ \frac{1}{2} \left ( \frac{\delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_A +O(\delta x^3) \\\\ \phi_E=\phi_A+ \frac{3\delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_A+ \frac{1}{2} \left ( \frac{3\delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_A +O(\delta x^3) \end{aligned} \tag{25}
    把公式(25)(25)代入公式(24)(24)中,得
    (ϕx)A=a ϕA+b[ϕA+δx2(ϕx)A+12(δx2)2(2ϕx2)A+O(δx3)]+c[ϕA+3δx2(ϕx)A+12(3δx2)2(2ϕx2)A+O(δx3)](26)\begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right )_A &= a\ \phi_A\\\\ &+b \left[\phi_A+ \frac{\delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_A+ \frac{1}{2} \left ( \frac{\delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_A+O(\delta x^3) \right] \\\\ &+c \left[\phi_A+ \frac{3\delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_A+ \frac{1}{2} \left ( \frac{3\delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_A+O(\delta x^3) \right] \end{aligned} \tag{26}
    然后两边对应系数相等,有
    {a+b+c=0δx2 b+3δx2 c=1δx28b+9δx28c=0(27)\left \{ \begin{aligned} a + b + c = 0\\\\ \frac{\delta x}{2}\ b + \frac{3\delta x}{2}\ c =1\\\\ \frac{\delta x^2}{8} b + \frac{9\delta x^2}{8} c = 0 \end{aligned} \right. \tag{27}
    解方程组得
    {a=83δxb=93δxc=13δx(28)\left \{ \begin{aligned} a&=-\frac{8}{3\delta x}\\\\ b&=\frac{9}{3\delta x}\\\\ c&=-\frac{1}{3\delta x} \end{aligned} \right. \tag{28}

    (ϕx)A=83δxϕA+93δxϕP13δx ϕE+O(δx2)=9ϕP8ϕAϕE3 δx+O(δx2)(29)\begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right )_A &=-\frac{8}{3\delta x} \phi_A +\frac{9}{3\delta x} \phi_P -\frac{1}{3\delta x} \ \phi_E +O(\delta x^2)\\\\ &= \frac{9\phi_P-8\phi_A-\phi_E}{3\ \delta x} +O(\delta x^2) \end{aligned} \tag{29}
    上式中的截断项O(δx2)O(\delta x^2)是二次方而不是三次方,因为系数abca、b、c的分母中都带有δx\delta x,把系数abca、b、c代入公式(26)(26)则原来的O(δx3)O(\delta x^3)就变成了O(δx2)O(\delta x^2)。可见,该差分格式是二阶精度的。

    参考资料

    Versteeg H K , Malalasekera W . An introduction to computational fluid dynamics : the finite volume method = 计算流体动力学导论[M]. 世界图书出版公司, 2010.
    任玉新. 计算流体力学讲义,2003.

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  • 本文不仅介绍了常见的三大基本方法:Newton—Leibniz公式、利用变量替换、利用分部积分法,还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法,通过引用一些经典例题使我们对...

    反常积分的几种计算方法

    (反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法)

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    反常积分是微积分学中一类重要的积分,反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。本文不仅介绍了常见的三大基本方法:NewtonLeibniz公式、利用变量替换、利用分部积分法,还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法,通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。但是在解决具体问题时要求我们注意各种方法的灵活性与相互渗透,这样可以简便计算。

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    - END -

    每日数学竞赛题(突破来自点滴的积累)

    2020年每日竞赛题汇总↓↓↓

    每日竞赛题1(江苏省1998年竞赛题)

    每日竞赛题2(莫斯科电子技术学院1975年竞赛题)★

    每日竞赛题3(上海交通大学1991年竞赛题)每日竞赛题4(莫斯科公路学院1976年竞赛题)

    每日竞赛题5(南京工业大学2009年竞赛题)

    每日竞赛题6(西安交通大学1989年竞赛题)

    每日竞赛题7(江苏省2004年竞赛题)

    每日竞赛题8(苏联大学生数学竞赛题,1977年)

    每日竞赛题9(浙江省2010年竞赛题)

    每日竞赛题10(浙江省2016年竞赛题)

    每日竞赛题11(莫斯科轻工业学院1977年竞赛题)

    每日竞赛题12(美国Putnam Exam,1961)(普特南大学生数学竞赛,1961)

    每日竞赛题13(江苏省2012年竞赛题)

    每日竞赛题14(莫斯科技术物理学院1976年竞赛题)

    每日竞赛题15(北京市1996年竞赛题)

    每日竞赛题16(浙江省2008年竞赛题)

    每日竞赛题17(天津市大学生数学竞赛,2010)

    每日竞赛题18(江苏省1991年竞赛题)

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    每日竞赛题22(全国大学生数学竞赛2013年决赛题)

    每日竞赛题23(北京市1994年竞赛题)

    每日竞赛题24(江苏省2018年竞赛题)

    每日竞赛题25(北京市1994年竞赛题)

    每日竞赛题26(浙江省2003年竞赛题)

    每日竞赛题27(浙江省2011年竞赛题)

    每日竞赛题28(北京市1992年竞赛题)

    每日竞赛题29(广东省1991年竞赛题)

    每日竞赛题30(江苏省2016年竞赛

    每日竞赛题31(江苏省2019年竞赛题)

    每日竞赛题32(美国高校竞赛)

    每日竞赛题33(莫斯科国立师范学院1977年竞赛题)

    每日竞赛题34(东南大学2014年竞赛题)

    每日竞赛题35(第十一届全国大学生数学竞赛预赛,第五题,非数学类,2019年10月)★★

    每日竞赛题36(南京大学1995年竞赛题)

    每日竞赛题37(浙江省2016年竞赛题)

    每日竞赛题38(江苏省1994年竞赛题)

    每日竞赛题39(东南大学2019年竞赛题)

    每日竞赛题40(北京邮电大学1996年竞赛题)

    每日竞赛题41(莫斯科大学1975年竞赛题)

    每日竞赛题42(陕西省第三次大学生高等数学竞赛试题(1999年))(第三题,满分为10分)

    每日竞赛题43(陕西省第四次大学生高等数学竞赛复赛试题(2001年))(第一题,满分为10分)

    每日竞赛题44(陕西省第四次大学生高等数学竞赛复赛试题(2001年))(第三题,满分为10分)

    每日竞赛题45(南京大学1995年竞赛题)

    每日竞赛题47(江苏省2000年竞赛题)

    每日竞赛题49(江苏省2019年竞赛题)

    每日竞赛题51(江苏省2019年竞赛题)

    每日竞赛题52(江苏省2019年竞赛题)

    每日竞赛题53(江苏省2004年竞赛题)

    每日竞赛题54(江苏省2019年竞赛题)

    每日竞赛题55(浙江省2016年竞赛题)

    每日竞赛题56(莫斯科电子技术学院1977年竞赛题)★★

    每日竞赛题57(莫斯科大学1977年竞赛题)★★

    每日竞赛题58(江苏省1991年竞赛题)★★

    每日竞赛题59((莫斯科技术物理学院1977年竞赛题))★★

    每日竞赛题60(南京大学1995年竞赛题)★★

    每日竞赛题61(江苏省2002年竞赛题)★

    每日竞赛题62(江苏省2019年竞赛题)★

    每日竞赛题63(解放军防化学院1992年竞赛题)

    每日竞赛题64(第四届全国大学生数学竞赛决赛试题,第一题(4),2013年03月,非数学类)

    每日竞赛题65(北京市1995年竞赛题)

    每日竞赛题66(江苏省2006年竞赛题)

    每日竞赛题67(浙江省2007年竞赛题)★

    每日竞赛题68(江苏省2006年竞赛题)★

    每日竞赛题69(江苏省2000年竞赛题)★

    每日竞赛题70(浙江省2017年竞赛题)★

    每日竞赛题71(江苏省2017年竞赛题)

    未完待续……未完待续……未完待续……

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    · 【公式大全3.0版:第49页【实战演练 】(2018年河北省大学生数学竞赛试题,非数学类)】详细解析(多种方法)~

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    未完待续……

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    上面的方程组是一个非线性方程组,一般不容易求解,为此我们推荐给大家一种方法,这就是列表试数法。 其步骤如下:

    1. 第一步,列表
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    2.第二步,试数

    试数的第一步是从③式乘积项开始,将a3分解为a和c,填入列表,

    再将a带入到①式求出b,

    最后将a、b、c带入②式,检验等式是否成立。

    如果等式成立,则分解正确,如果等式不成立,则重新选择试验数。

    如果能够找出多组a、b、c的解均使得方程组成立,根据这些不同a、b、c的解进行因式分解,最后的结果都是一样。

    下面我们来举例说明一下:

    f00e3ceae5b68e106f4a6b75c98773a8.png
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    好了,这就是一元三次多项式待定系数法的因式分解,下一次我们来讲解一下一元四次多项式待定系数法的因式分解内容,敬请期待。

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空空如也

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