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  • 待定系数法求不定积分中的待定系数法的拆分总结

    万次阅读 多人点赞 2020-05-16 22:46:26
    第一种情况: 分母为整体次幂相乘。分子全部为常数用大写字母表示。如果为整体k次幂,就先把这个整体的1次幂写出来,第二项写这个整体的2次幂一直写到k次幂。 第二种情况: 无法分出整体次幂形式,而是一个多项式...

    第一种情况:
    分母为整体次幂相乘。分子全部为常数用大写字母表示。如果为整体k次幂,就先把这个整体的1次幂写出来,第二项写这个整体的2次幂一直写到k次幂。

    第二种情况:
    无法分出整体次幂形式,而是一个多项式形式,此时分子也要写成多项式的形式,要写成分母次幂减一的多项式形式,其余和第一种情况一样。

    在这里插入图片描述

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  • % 构建矩阵 解待定系数 mat = zeros(n,n); for i = 1:1:n % 行循环 for j = 1:1:n % 列循环 mul = 1; % 常数项 if(j == n) mat(i,j) = 1; else for k = 1:1:n - j % 系数循环 mul = mul*(x_arr(i)); ...
    clc;clear all;close all;
    
    n = 1:1:10000;
    sig = sin(n/100);
    
    k = 0;
    for i = 1:4:10000
        k = k + 1;
        x_arr = n(i:i+3);
        y_arr = sig(i:i+3);
        arr_new_y(k) = MUCInterpolation(x_arr,y_arr,4,mean(x_arr));
        arr_new_x(k) = mean(x_arr);
    end
    
    figure(1);
    plot(n,sig);hold on;
    scatter(arr_new_x,arr_new_y);grid on;
    
    function [y_return] = MUCInterpolation(x_arr,y_arr,n,x_in)
    
        % 提早返回
        if(n <= 1) 
            y_return = 0;
            return;
        end
        
        % 计算公式 解矩阵 ax0^(n-1) + bx0^(n-2) + ... + kx0 + c = y(x0);
        % x0 遍历 x1 ~ xn输入
        
        % 计算x轴相对偏移 防止矩阵解计算量过大溢出
        pos_fix = x_arr(1);
        for i = 1:1:n
            x_arr(i) = x_arr(i) - pos_fix;
        end
        x_in = x_in - pos_fix;
        
        % 构建矩阵 解待定系数
        mat = zeros(n,n);
      
        for i = 1:1:n % 行循环
            for j = 1:1:n % 列循环
                mul = 1;
                % 常数项
                if(j == n)
                    mat(i,j) = 1;
                else
                    for k = 1:1:n - j % 系数循环
                        mul = mul*(x_arr(i));
                    end
                    mat(i,j) = mul;
                end
            end
        end
        
        % 解矩阵
        solve_arr = mat\y_arr';
        
        % 通过系数计算新y值
        sum = 0;
        for i = 1:1:n % 行循环
            mul = 1;
            if(i == n)
                sum = sum + solve_arr(n);
            else
                for j = 1:1:n - i % 行循环
                    mul = mul * x_in;
                end
                sum = sum + solve_arr(i)*mul;
            end
        end
        
        % 返回结果
        y_return = sum;
        return;
    end

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  •  扩展: 关于待定系数法:解一元二次方程时用到十字相乘法,其实就是特殊的待定系数法。 应用场景:按照已知条件,把原式设为几个因式的乘积,然后利用多项式恒等定理,求出各待定系数的值。如下图: 规律: 如果...

    把遇到的数学中不清楚的地方,再顺一遍。也为2021年下半年高等数学考试算是作准备。

    一元二次方程:详见《2020-1-9初等数学复习之一元二次方程的解法》下面只记录没有部分内容

    概念:形如(a,b,c是常数,且a0)的方程,叫做一元二次方程。

    根与系数的关系(韦达定理),一直以为就是,这得多大的误区呀,的确就是再学一遍的过程。

    如果方程的两个根是,那么
      

    简言之:两根之和等于一次项与二次项之比的相反数,两根之积等于一次项与常数项之比

    需要掌握就公式法和因式分解法

     

    二元一次方程组解法:消元

    代入消元法:

    步骤:

    ①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数;

    ②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的);

    ③解这个一元一次方程,求出未知数的值;

    ④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,

    求出另一个未知数的值;

    ⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解;

    ⑥最后检验(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边)。

    如下题:

     

    加减消元法:

    步骤:

    ①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式;

    ②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法);

    ③解这个一元一次方程,求出未知数的值;

    ④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,

    求出另一个未知数的值;

    ⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解;

    ⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边)。

    如下题:

    虽初中时学过,此时再学,还隐约记得,但已经是不复当年了....时光不再,自己选择的道路无论多难都要坚持走下去。 

    扩展:

    关于待定系数法:解一元二次方程时用到十字相乘法,其实就是特殊的待定系数法。

    应用场景:按照已知条件,把原式设为几个因式的乘积,然后利用多项式恒等定理,求出各待定系数的值。如下图:

    规律:

    如果各项系数和为0,则必含有因式(x-1)

    如果奇次项系数和与偶次项系数和相等,则必含有因式(x+1)

    基本初等函数:常值函数、指数函数、三角函数、幂函数、反函数、对数函数 (记忆为 常   指三  幂反对)

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  • 前面用到的格式及其计算精度总结如下: 格式名称 公式 精度 中心差分格式 二阶 迎风格式 一阶 QUICK格式 三阶

    前面用到的格式及其计算精度:

    格式名称公式精度
    中心差分格式 ( ∂ ϕ ∂ x ) e = ϕ E − ϕ P Δ x \left (\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_e=\frac{\phi_{E}-\phi_{P}}{\Delta x} (xϕ)e=ΔxϕEϕP二阶
    迎风格式 ϕ w = ϕ W , ϕ e = ϕ P \phi_w=\phi_{W},\phi_e=\phi_P ϕw=ϕW,ϕe=ϕP(流动沿 x x x正方向时)一阶
    QUICK格式 ϕ e = 3 8 ϕ E + 6 8 ϕ P − 1 8 ϕ W \phi_{e}=\frac{3}{8}\phi_{E}+\frac{6}{8}\phi_P-\frac{1}{8}\phi_{W} ϕe=83ϕE+86ϕP81ϕW三阶

    下面将推导上述格式的误差和精度,以及介绍使用待定系数法构造差分格式的过程。

    格式精度

    在这里插入图片描述
    以一维情况为例,函数 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)在节点 i i i 附近的泰勒级数展开为
    ϕ ( x + Δ x ) = ϕ ( x ) + ( ∂ ϕ ∂ x ) x Δ x + ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) x Δ x 2 2 + . . . (1) \begin{aligned} \phi(x+\Delta x)=\phi(x)+\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_x \Delta x+\left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_x \frac{\Delta x^2}{2}+... \end{aligned} \tag{1} ϕ(x+Δx)=ϕ(x)+(xϕ)xΔx+(x22ϕ)x2Δx2+...(1)
    使用上图中的标记以及各节点对应关系,则泰勒展开式写为
    ϕ E = ϕ P + ( ∂ ϕ ∂ x ) P Δ x + ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) P Δ x 2 2 + . . . (2) \begin{aligned} \phi_E=\phi_P+\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P \Delta x+\left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_P \frac{\Delta x^2}{2}+... \end{aligned} \tag{2} ϕE=ϕP+(xϕ)PΔx+(x22ϕ)P2Δx2+...(2)
    整理上式有
    ( ∂ ϕ ∂ x ) P Δ x = ϕ E − ϕ P − ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) P Δ x 2 2 − . . . ( ∂ ϕ ∂ x ) P = ϕ E − ϕ P Δ x − ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) P Δ x 2 − . . . (3) \begin{aligned} &\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P \Delta x=\phi_E - \phi_P - \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right)_P \frac{\Delta x^2}{2}-... \\\\ &\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P=\frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} -\left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right)_P \frac{\Delta x}{2}-... \end{aligned} \tag{3} (xϕ)PΔx=ϕEϕP(x22ϕ)P2Δx2...(xϕ)P=ΔxϕEϕP(x22ϕ)P2Δx...(3)
    所以有
    ( ∂ ϕ ∂ x ) P = ϕ E − ϕ P Δ x + 截 断 项 (4) \begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P=\frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} + 截断项 \end{aligned} \tag{4} (xϕ)P=ΔxϕEϕP+(4)
    从公式 ( 3 ) (3) (3)可以看出,截断项是某个数与 Δ x \Delta x Δx的乘积,如果略去截断项,有
    ( ∂ ϕ ∂ x ) P ≈ ϕ E − ϕ P Δ x (5) \begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P \approx \frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} \end{aligned} \tag{5} (xϕ)PΔxϕEϕP(5)
    使用公式 ( 5 ) (5) (5)来近似导数包含了一定的误差,该误差就是省略了截断项所导致的。根据公式 ( 3 ) (3) (3)可以看出,通过减小 Δ x \Delta x Δx的量来降低公式 ( 5 ) (5) (5)截断误差。一般而言,有限差分格式的截断项都含有 Δ x n \Delta x^n Δxn Δ x \Delta x Δx的指数就叫做差分近似的阶数,它决定了当网格加密( Δ x \Delta x Δx变小)时,截断误差趋于零的速率。因此,公式 ( 5 ) (5) (5)所表示的差分格式就是一阶精度的格式,我们写为
    ( ∂ ϕ ∂ x ) P = ϕ E − ϕ P Δ x + O ( Δ x ) (6) \begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P=\frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} + O(\Delta x) \end{aligned} \tag{6} (xϕ)P=ΔxϕEϕP+O(Δx)(6)
    因为上式使用了节点 E E E P P P来计算节点 P P P处的导数 ( ∂ ϕ ∂ x ) P \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_P (xϕ)P,公式 ( 6 ) (6) (6)就叫做前向差分格式。同理,我们可以推导出节点 P P P处的后向差分,
    ϕ ( x − Δ x ) = ϕ ( x ) − ( ∂ ϕ ∂ x ) x Δ x + ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) x Δ x 2 2 + . . . (7) \begin{aligned} \phi(x-\Delta x)=\phi(x)-\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_x \Delta x+\left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_x \frac{\Delta x^2}{2}+... \end{aligned} \tag{7} ϕ(xΔx)=ϕ(x)(xϕ)xΔx+(x22ϕ)x2Δx2+...(7)
    节点 P P P处的后向差分格式
    ( ∂ ϕ ∂ x ) P = ϕ P − ϕ W Δ x + O ( Δ x ) (8) \begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P=\frac{\phi_P-\phi_W}{\Delta x} + O(\Delta x) \end{aligned} \tag{8} (xϕ)P=ΔxϕPϕW+O(Δx)(8)
    与前向差分相同,后向差分也是一阶精度的。前向和后向差分格式都只使用了两个节点值。

    中心差分格式

    用公式 ( 1 ) (1) (1)减去公式 ( 7 ) (7) (7)
    ϕ ( x + Δ x ) − ϕ ( x − Δ x ) = 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) P Δ x + ( ∂ 3 ϕ ∂ x 3 ) P Δ x 3 3 ! + . . . (9) \begin{aligned} \phi(x+\Delta x)-\phi(x-\Delta x)= 2 \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P \Delta x + \left( \frac{\partial^3 \phi}{\partial x^3} \right)_P \frac{\Delta x^3}{3!} +... \end{aligned} \tag{9} ϕ(x+Δx)ϕ(xΔx)=2(xϕ)PΔx+(x33ϕ)P3!Δx3+...(9)
    整理之,然后得到 P P P点导数的另一个差分格式
    ( ∂ ϕ ∂ x ) P = ϕ E − ϕ W 2 Δ x + O ( Δ x 2 ) (10) \begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_P = \frac{\phi_E-\phi_W}{2\Delta x} + O(\Delta x^2) \end{aligned} \tag{10} (xϕ)P=2ΔxϕEϕW+O(Δx2)(10)
    公式 ( 10 ) (10) (10)使用了节点 E E E W W W的值来计算中间节点 P P P处的导数,该差分格式称为中心差分格式。由其截断项可见,中心差分格式是二阶精度的。当网格尺度减小时,省略截断项导致的误差会以二次方的速率趋于零,这比一阶精度要快。
    在前面的方程离散推导中,导数的计算主要存在与扩散项,并且求解导数的位置一般是在单元的界面处,例如 e e e w w w,那时用的中心差分格式为
    ( ∂ ϕ ∂ x ) e = ϕ E − ϕ P Δ x = ϕ E − ϕ P 2 ( Δ x / 2 ) (11) \begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e = \frac{\phi_E-\phi_P}{\Delta x} =\frac{\phi_E-\phi_P}{2(\Delta x/2)} \end{aligned} \tag{11} (xϕ)e=ΔxϕEϕP=2(Δx/2)ϕEϕP(11)
    根据上图可知,公式 ( 11 ) (11) (11)就是使用了节点 E E E P P P的值计算了其中点 e e e处的导数,对于均匀网格来说,它就是具有二阶精度的中心差分格式。

    迎风格式

    类似公式 ( 4 ) 、 ( 5 ) 、 ( 6 ) (4)、(5)、(6) (4)(5)(6),公式 ( 2 ) (2) (2)可以写成
    ϕ E = ϕ P + 截 断 项 (12) \begin{aligned} \phi_E = \phi_P + 截断项 \end{aligned} \tag{12} ϕE=ϕP+(12)

    如果省略截断项,用节点 P P P的值来近似表示节点 E E E的值,则就得出迎风格式
    ϕ E = ϕ P + O ( Δ x ) (13) \begin{aligned} \phi_E = \phi_P + O(\Delta x) \end{aligned} \tag{13} ϕE=ϕP+O(Δx)(13)

    在对流项的离散中,需要近似的是单元界面上的变量值,则对于均匀网格有
    ϕ e = ϕ P + O ( Δ x / 2 ) = ϕ P + O ( Δ x ) ϕ w = ϕ W + O ( Δ x / 2 ) = ϕ P + O ( Δ x ) (14) \begin{aligned} \phi_e = \phi_P + O(\Delta x/2) = \phi_P + O(\Delta x) \\\\ \phi_w = \phi_W + O(\Delta x/2) = \phi_P + O(\Delta x) \end{aligned} \tag{14} ϕe=ϕP+O(Δx/2)=ϕP+O(Δx)ϕw=ϕW+O(Δx/2)=ϕP+O(Δx)(14)

    可见,迎风格式是一阶精度的。(这里说的迎风格式指的是基本迎风格式,即用上游值代替边界值,迎风格式也有其他高阶格式)

    QUICK格式

    以用QUICK格式计算 ϕ e \phi_e ϕe为例,近似公式为
    ϕ e = 3 8 ϕ E + 6 8 ϕ P − 1 8 ϕ W (15) \begin{aligned} \phi_{e}=\frac{3}{8}\phi_{E}+\frac{6}{8}\phi_P-\frac{1}{8}\phi_{W} \end{aligned} \tag{15} ϕe=83ϕE+86ϕP81ϕW(15)
    这里点 E 、 P 、 W E、P、W EPW称为模板点,我们希望通过模板点的值来近似界面e处的值,那么可以把近似公式写成待定系数的形式
    ϕ e = ( a   ϕ E + b   ϕ P − c   ϕ W ) + O ( Δ x k ) (16) \begin{aligned} \phi_{e} = (a\ \phi_{E}+b\ \phi_P-c\ \phi_{W}) + O(\Delta x^k) \end{aligned} \tag{16} ϕe=(a ϕE+b ϕPc ϕW)+O(Δxk)(16)
    其中, a 、 b 、 c a、b、c abc为待定系数。

    函数 ϕ \phi ϕ在界面 e e e处的泰勒级数展开有
    ϕ E = ϕ e + Δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) e + 1 2 ( Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) e + O ( Δ x 3 ) ϕ P = ϕ e − Δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) e + 1 2 ( − Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) e + O ( Δ x 3 ) ϕ W = ϕ e − 3 Δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) e + 1 2 ( − 3 Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) e + O ( Δ x 3 ) (17) \begin{aligned} \phi_E=\phi_e+ \frac{\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e+ \frac{1}{2} \left ( \frac{\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_e +O(\Delta x^3) \\ \\ \phi_P=\phi_e- \frac{\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e+ \frac{1}{2} \left ( -\frac{\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_e +O(\Delta x^3) \\ \\ \phi_W=\phi_e- \frac{3\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e+ \frac{1}{2} \left ( -\frac{3\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_e +O(\Delta x^3) \\ \\ \end{aligned} \tag{17} ϕE=ϕe+2Δx(xϕ)e+21(2Δx)2(x22ϕ)e+O(Δx3)ϕP=ϕe2Δx(xϕ)e+21(2Δx)2(x22ϕ)e+O(Δx3)ϕW=ϕe23Δx(xϕ)e+21(23Δx)2(x22ϕ)e+O(Δx3)(17)

    把公式 ( 17 ) (17) (17)代入到公式 ( 16 ) (16) (16)
    ϕ e = a   [ ϕ e + Δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) e + 1 2 ( Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) e ] + b   [ ϕ e − Δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) e + 1 2 ( − Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) e ] + c   [ ϕ e − 3 Δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) e + 1 2 ( − 3 Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) e ] + O ( Δ x 3 ) (18) \begin{aligned} \phi_e = &a\ \left [ \phi_e + \frac{\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e + \frac{1}{2} \left(\frac{\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \right)_e \right] \\\\ &+b\ \left [ \phi_e - \frac{\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) _e+ \frac{1}{2} \left(-\frac{\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \right)_e \right] \\\\ &+c\ \left [ \phi_e - \frac{3\Delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right) _e+ \frac{1}{2} \left(-\frac{3\Delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \right)_e \right] \\\\ &+ O(\Delta x^3) \end{aligned} \tag{18} ϕe=a [ϕe+2Δx(xϕ)e+21(2Δx)2(x22ϕ)e]+b [ϕe2Δx(xϕ)e+21(2Δx)2(x22ϕ)e]+c [ϕe23Δx(xϕ)e+21(23Δx)2(x22ϕ)e]+O(Δx3)(18)
    因为函数 ϕ \phi ϕ是不确定的,将函数 ϕ \phi ϕ及其各阶导数看作是变量,根据等号两边对应系数相等有
    { a + b + c = 1 1 2 a − 1 2 b − 3 2 c = 0 1 8 a + 1 8 b + 9 8 c = 0 (19) \left \{ \begin{aligned} a+b+c=1\\\\ \frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b-\frac{3}{2}c=0\\\\ \frac{1}{8}a+\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}c=0 \end{aligned} \right. \tag{19} a+b+c=121a21b23c=081a+81b+89c=0(19)
    解方程组得
    { a = 3 8 b = 6 8 b = − 1 8 (20) \left \{ \begin{aligned} a&=\frac{3}{8}\\\\ b&=\frac{6}{8}\\\\ b&=-\frac{1}{8} \end{aligned} \right. \tag{20} abb=83=86=81(20)
    ∴ \therefore

    ϕ e = ( 3 8 ϕ E + 6 8 ϕ P − 1 8 ϕ W ) + O ( Δ x 3 ) (21) \begin{aligned} \phi_{e} = ( \frac{3}{8}\phi_{E}+\frac{6}{8} \phi_P-\frac{1}{8} \phi_{W}) + O(\Delta x^3) \end{aligned} \tag{21} ϕe=(83ϕE+86ϕP81ϕW)+O(Δx3)(21)

    可见QUICK格式具有三阶精度。上述过程就是使用待定系数法构建差分格式的一般过程,这里构建的是近似函数值的QUICK格式,也可以用于构建近似导数的差分格式。公式 ( 19 ) (19) (19)中方程式是根据 ϕ \phi ϕ的零阶、一阶和二阶导数的系数在等号两边对应相等得出的,其实如果把泰勒级数展开到三阶导数项也可以得出第四个方程,这样方程组就成了超定方程组了,这种情况方程组一般无解,也就是说,我们不能用 ϕ E 、 ϕ P 、 ϕ W \phi_E、\phi_P、\phi_W ϕEϕPϕW三个节点值构造出 ϕ e \phi_e ϕe的四阶差分近似。一般情况下,对于均匀网格,用 k k k个连续的模板点来近似 ϕ e \phi_e ϕe的精度最高为 k k k阶。(这里仅指对函数值的近似,近似导数时阶数会更低,例如下面用三个点近似一阶导数就是二阶精度的。)

    用待定系数法构造导数的近似格式

    在这里插入图片描述
    QUICK格式的算例中,计算边界处的导数用到一个单边差分格式(公式 ( 15 ) (15) (15)),如下
    Γ ∂ ϕ ∂ x ∣ A = D A ∗ 3 ( 9 ϕ P − 8 ϕ A − ϕ E ) (22) \left. \Gamma \frac{\partial \phi}{\partial x} \right |_A = \frac{D^*_A}{3}(9\phi_P-8\phi_A-\phi_E) \tag{22} ΓxϕA=3DA(9ϕP8ϕAϕE)(22)
    其实就是使用了节点 P 、 E P、E PE和边界点 A A A的值来近似边界 A A A处的一阶导数,上式可写成
    ∂ ϕ ∂ x ∣ A = 9 ϕ P − 8 ϕ A − ϕ E 3   δ x (23) \left. \frac{\partial \phi}{\partial x} \right |_A = \frac{9\phi_P-8\phi_A-\phi_E}{3\ \delta x} \tag{23} xϕA=3 δx9ϕP8ϕAϕE(23)
    下面用待定系数法来推导一下公式 ( 23 ) (23) (23)所示差分格式的系数及其精度。
    先引入待定系数,则
    ( ∂ ϕ ∂ x ) A = a   ϕ A + b   ϕ P + c   ϕ E (24) \begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right )_A = a\ \phi_A + b\ \phi_P + c \ \phi_E \end{aligned} \tag{24} (xϕ)A=a ϕA+b ϕP+c ϕE(24)
    函数 ϕ \phi ϕ在边界 A A A处的泰勒级数展开有
    ϕ P = ϕ A + δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) A + 1 2 ( δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) A + O ( δ x 3 ) ϕ E = ϕ A + 3 δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) A + 1 2 ( 3 δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) A + O ( δ x 3 ) (25) \begin{aligned} \phi_P=\phi_A+ \frac{\delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_A+ \frac{1}{2} \left ( \frac{\delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_A +O(\delta x^3) \\\\ \phi_E=\phi_A+ \frac{3\delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_A+ \frac{1}{2} \left ( \frac{3\delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_A +O(\delta x^3) \end{aligned} \tag{25} ϕP=ϕA+2δx(xϕ)A+21(2δx)2(x22ϕ)A+O(δx3)ϕE=ϕA+23δx(xϕ)A+21(23δx)2(x22ϕ)A+O(δx3)(25)
    把公式 ( 25 ) (25) (25)代入公式 ( 24 ) (24) (24)中,得
    ( ∂ ϕ ∂ x ) A = a   ϕ A + b [ ϕ A + δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) A + 1 2 ( δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) A + O ( δ x 3 ) ] + c [ ϕ A + 3 δ x 2 ( ∂ ϕ ∂ x ) A + 1 2 ( 3 δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 ϕ ∂ x 2 ) A + O ( δ x 3 ) ] (26) \begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right )_A &= a\ \phi_A\\\\ &+b \left[\phi_A+ \frac{\delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_A+ \frac{1}{2} \left ( \frac{\delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_A+O(\delta x^3) \right] \\\\ &+c \left[\phi_A+ \frac{3\delta x}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_A+ \frac{1}{2} \left ( \frac{3\delta x}{2} \right)^2 \left( \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} \right)_A+O(\delta x^3) \right] \end{aligned} \tag{26} (xϕ)A=a ϕA+b[ϕA+2δx(xϕ)A+21(2δx)2(x22ϕ)A+O(δx3)]+c[ϕA+23δx(xϕ)A+21(23δx)2(x22ϕ)A+O(δx3)](26)
    然后两边对应系数相等,有
    { a + b + c = 0 δ x 2   b + 3 δ x 2   c = 1 δ x 2 8 b + 9 δ x 2 8 c = 0 (27) \left \{ \begin{aligned} a + b + c = 0\\\\ \frac{\delta x}{2}\ b + \frac{3\delta x}{2}\ c =1\\\\ \frac{\delta x^2}{8} b + \frac{9\delta x^2}{8} c = 0 \end{aligned} \right. \tag{27} a+b+c=02δx b+23δx c=18δx2b+89δx2c=0(27)
    解方程组得
    { a = − 8 3 δ x b = 9 3 δ x c = − 1 3 δ x (28) \left \{ \begin{aligned} a&=-\frac{8}{3\delta x}\\\\ b&=\frac{9}{3\delta x}\\\\ c&=-\frac{1}{3\delta x} \end{aligned} \right. \tag{28} abc=3δx8=3δx9=3δx1(28)

    ( ∂ ϕ ∂ x ) A = − 8 3 δ x ϕ A + 9 3 δ x ϕ P − 1 3 δ x   ϕ E + O ( δ x 2 ) = 9 ϕ P − 8 ϕ A − ϕ E 3   δ x + O ( δ x 2 ) (29) \begin{aligned} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right )_A &=-\frac{8}{3\delta x} \phi_A +\frac{9}{3\delta x} \phi_P -\frac{1}{3\delta x} \ \phi_E +O(\delta x^2)\\\\ &= \frac{9\phi_P-8\phi_A-\phi_E}{3\ \delta x} +O(\delta x^2) \end{aligned} \tag{29} (xϕ)A=3δx8ϕA+3δx9ϕP3δx1 ϕE+O(δx2)=3 δx9ϕP8ϕAϕE+O(δx2)(29)
    上式中的截断项 O ( δ x 2 ) O(\delta x^2) O(δx2)是二次方而不是三次方,因为系数 a 、 b 、 c a、b、c abc的分母中都带有 δ x \delta x δx,把系数 a 、 b 、 c a、b、c abc代入公式 ( 26 ) (26) (26)则原来的 O ( δ x 3 ) O(\delta x^3) O(δx3)就变成了 O ( δ x 2 ) O(\delta x^2) O(δx2)。可见,该差分格式是二阶精度的。

    参考资料

    Versteeg H K , Malalasekera W . An introduction to computational fluid dynamics : the finite volume method = 计算流体动力学导论[M]. 世界图书出版公司, 2010.
    任玉新. 计算流体力学讲义,2003.

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