• 什么是指数信号？

解释：我们在中学就知道指数函数  ，而我在这里所说的指数信号则是 

当 a=0 时，信号不随时间变化，成为直流信号

当 a>0 时，信号将随时间增长。                              当 a<0 时，信号将随时间衰减。

 常数 K 表示的是指数信号在 t=0 点的初始值。

指数 a 的绝对值大小反映了信号增长或衰减的速度快慢。

指数信号的一个重要特性是：其对时间的微分和积分形式仍为指数形式

|a|  越大	增长或衰减的速度越快
|a|  越小	增长或衰减的速度越慢

通常情况下，把 |a| 的倒数称为指数信号的时间常数，记作   ，即    ，   越大，指数信号增长或衰减的速度越慢。

• 什么是复指数信号？

解释：复指数信号是相对于指数信号而言的，当指数信号的指数因子为一复数时，称为复指数信号，其表示式为:         ，其中 

所以说：

 

• 什么是正弦信号？

解释：首先我们知道在数学中，有余弦函数与正弦函数之分，但是对于余弦信号与正弦信号而言，它们之间的相位仅相差   ，所以我们在信号与系统中，基本上都统称为正弦信号，所以我们在该书中基本上看到余弦信号也被称为正弦信号。

其表达式为   ，其中 A 为振幅， 是角频率， 为初相位。其波形如下图所示：

除此之外，我们在信号与系统中还遇到一些衰减的正弦信号，如下图所示：
 

其表示式为：

                                                                                                                                                                    

正弦信号与余弦信号可以借助复指数信号来表示。根据欧拉公式可以知道：

所以可以得出： 

 

• 什么是 Sa(t) 函数（抽样函数）？

解释：Sa(t) 函数即 Sa(t) 信号是指 sint 与 t 之比构成的函数，定义如下：

函数的性质有：

                                                                                                                                                                                    Sa(-t) = Sa(t)   为偶函数

与 Sa(t) 函数类似的是 Sinc(t) 函数，其表示式为：

有些书中将两种符号通用，即Sa(t) 也可以用 Sinc(t) 表示。

 

• 什么是钟形信号（高斯函数） ？

解释：钟形信号（高斯函数）的定义是：

波形如图所示：

 

 

这一部分我们介绍三个点，如图所示

下面分别介绍

连续时不变特征信号

线性时不变(linear time-invariant)系统特征函数

这一系统的信号在微分和积分操作下，函数形式保持不变。对于这样的函数我们称之为该系统的特征函数。我们在理解时可以对比矩阵的特征值和特征向量

$$Ax = \lambda x$$

A是某种操作，在这种操作下，特征值和特征向量保持不变。我们还可以想想指数函数，指数函数在微分下指数形式是保持不变的。

一个图概括如下

对称信号

我们在这里介绍的对称信号实际上是一对，他们分别是高斯信号和抽样信号

高斯信号

注意，高斯信号实际上是一个从负无穷到正无穷一直都存在的信号。但我们知道指数衰减是一种很快的衰减，因此我们可以认为整个信号有效值基本集中在3$\sigma$之间。

函数的性质如图所示：

抽样信号

如图所示为抽样信号的函数形式

函数的性质如下图所示：

奇异信号

奇异信号介绍

奇异信号是指函数本身或者导数存在不连续点的信号

单位斜变信号

如图所示，之所以称斜变信号为奇异信号是因为他的导数是不连续的，负半轴为0正半轴为1.斜变信号有很多应用，最常见的就是老式电视的锯齿形扫描函数。

多项式因果信号

与斜变信号对应的是多项式因果信号，这些多项式信号经过多次求导之后也会变为不连续的信号。

单位阶跃信号

单位阶跃信号是单位斜变信号求导而得出的结果.我们通常认为在0点处对应的幅值为0.5

单位冲击信号

单位阶跃信号再求导就得到了单位冲击信号

单位冲击偶信号

我们在单位冲击信号的基础之上再求导，就得到了单位冲击偶信号。

最后我们用一张图来概括一下这四类信号，他们之间的关系是逐一求导。

单位阶跃信号的作用

他与其他信号相乘可以表示信号的起始和结束

也可以和自身相加减之后形成窗口信号，可以用窗口信号来截取别的信号。

下图为截取信号

在窗口信号的基础之上，我们可以进一步的形成分段信号，分段信号可以写成窗口信号的组合

单位阶跃信号还和符号函数有着密切的关系，如图所示，二者实际上是满足线性关系的。

连续时间奇异信号

虽然单位冲激函数是单位阶跃函数的导数，但是不是很好理解，我们可以这样理解。想象一个面积为1的长方形，当他的底为0的时候高度为无穷大。

因为单位冲激函数和狄克拉函数的定义一样，所以我们有的时候也称单位冲激函数为derda函数。

单位冲击信号的数学特性

如图所示，单位冲击信号与任意信号的积分实际上是任意信号在零点的取值。

我们根据此公式反过来也可以证明冲击信号，也就是满足这个条件的信号就是冲击信号。

他还有这样的性质

如下图所示，可以进行这样的变换

最后我们总结一下冲激函数和冲击偶函数的性质：

离散时间奇异信号

对于离散时间信号我们和连续时间信号比较着来学习如图所示，二者之间可以相互转化

如下图所示，对于连续周期信号而言，他总是周期信号。但是对于序列信号不一定。

序列信号可以额看成是周期的包络线信号和周期的脉冲信号的乘积。两个周期信号的复合信号有可能是一个周期信号，也有可能是一个非周期的信号。对于序列信号来说，只有当他的频率与$\pi$的比值为有理数的时候，他才是严格意义上的周期信号

对于连续周期信号我们知道随着频率的增加，他的波形变得越来越密。但是对于离散周期信号并不是这样。如图所示，随著频率的增加，它展现了一种周期性。

另外对于连续的单位冲击信号，在0点的取值是无穷大，但是对于离散的信号序列而言是1.连续的单位阶跃信号在0点的取值是1/2，离散的信号序列在0点取值是1

练习题

连续的确定性信号是可用时域上连续的确定性函数描述的信号，是一类在描述、分析上最简单的信号，同时又是其他信号分析的基础。

通常一个信号是时间的函数，在时间域内对其进行定量和定性的描述、分析是一种最基本的方法

一、连续信号的时域描述

用一个时间函数或一条曲线来表示信号随时间变化的特性称为连续信号的时域描述。在多种多样的连续确定性信号中，有一些信号可以用常见的基本函数表示，如正弦函数、指数函数、阶跃函数等，这类信号为基本信号，可组成复杂信号，分为普通信号和奇异信号。

（一）普通信号的时域描述

1.正弦信号

• 余弦信号也是正弦信号

• 如果一个正弦信号的频率是$f_1$是另一个正弦信号频率$f_0$的整数倍，即$f_1=n{f}_0$（n为整数），则其合成信号是频率为$f_0$的非正弦周期信号，把$f_0$称为该信号的基波频率，$f_1$称为n次谐波频率。据此，可以把一个周期信号分解为基波信号和一系列谐波信号。

2.指数信号

表示为
$$x(t)=A{e}^{st}-\infty <t<\infty$$
式中，$s=\sigma +j\omega$为复数。

如果$\sigma =0,\omega =0$，则$x(t)=A$即为直流信号。

如果$\sigma \ne 0,\omega =0$，则$x(t)=A{e}^{\sigma t}$，即为实指数信号，其中信号的衰减或增长速度可以用实指数信号的时间常数$\tau$表示，它是$|\sigma |$的倒数，即$\tau =\frac{1}{|\sigma |}$

如果$\sigma \ne 0,\omega \ne 0$，则$x(t)=A{e}^{\sigma t}{e}^{j\omega t}$，即为复指数信号，$s=\sigma +j\omega$称为复指数信号的复频率。

按欧拉（Euler）公式，复指数信号可以写成
$$x(t)=A{e}^{st}=A{e}^{\sigma t}{e}^{j\omega t}=A{e}^{\sigma t}cos\omega t+jA{e}^{at}sin\omega t=Re[x(t)]+jIm[x(t)]$$
$x(t)$可以分解为实部和虚部两个部分
$$\begin{gathered} Re[x(t)]=A{e}^{\sigma t}coswt \\ Im[x(t)]=A{e}^{\sigma t}sinwt \end{gathered}$$
分别为余弦和正弦信号，$A{e}^{\sigma t}$反映了它们振荡幅度的变化情况，即它们的包络线。下图表示了$\sigma <0$时的$Re[x(t)]$和$Im[x(t)]$，其中虚线为包络线$A{e}^{\sigma t}$。

实际的信号总是实的，即都是时间t的实函数，复指数信号为复函数，所以不可能实际产生。但是一方面，它的实部和虚部表示了指数包络的正弦型振荡，具有一定的实际意义。其次，它把直流信号、指数信号、正弦型信号以及具有包络线的正弦型信号表示为统一的形式，在信号分析理论中更具有普遍意义。

欧拉公式：
$$\begin{gathered} e^{jwt}=coswt+jsinwt \\ Acos(wt+\phi )=\frac{A}{2}[e^{j(wt+\phi )}+e^{-j(wt+\phi )}]=ARe[e^{j(wt+\phi )}] \\ Asin(wt+\phi )=\frac{A}{2j}[e^{j(wt+\phi )}-e^{-j(wt+\phi )}]=AIm[e^{j(wt+\phi )}] \end{gathered}$$
（二）奇异信号的描述

奇异信号是用奇异函数表示的一类特殊的连续时间信号，其函数本身或者函数的导数（包括高阶导数）具有不连续点。它们是从实际信号中抽象出来的典型信号，在信号的分析中占有重要地位。

1. 单位斜坡信号
2. 单位阶跃信号

阶跃信号具有单边特性，即信号在接入时刻$t_0$以前的值为0，因此，可以用来描述信号的接入特性，如$x(t)=sinwt\cdot u(t)$

通过阶跃信号，可以表示出矩形脉冲信号。
$$x(t)=A[u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})]$$

3. 单位冲击信号

狄拉克把单位冲激信号定义为
$$\{\begin{array}{l}\delta (t)=0,t\ne 0\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
即非零时刻的函数值均为零，而它与时间轴覆盖的面积为1。为了方便理解，可以把单位冲激信号视为幅度为$\frac{1}{\tau }$、宽度为$\tau$的矩形脉冲当$\tau$趋于零时的极限情况，即
$$\delta (t)=li{m}_{\tau \to 0}\frac{1}{\tau }[u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})]$$
下图表示了$\tau \to 0$时上述矩形脉冲的变化过程。

由上可知，当$t=0$时，$\delta (t)$的幅值应为$\infty$，无明确的物理意义。但是由式（1），${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt={\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)dt=1$，故称$\delta (t)$的强度为1，用带箭头的直线段表示，并在箭头旁边标以强度1.如下图所示。如果一个冲激信号与时间轴覆盖的面积为A，表示其强度是单位冲激信号的A倍，用在带箭头的直线段旁边标以A来表示。

冲激信号的性质：

1）若$x(t)$在$t=0$处连续，则有
$${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t)dt=x(0)\text{\hspace{1em}(2)}$$
这是因为$\delta (t)$在$t\ne 0$处为零，故有
$${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t)dt={\int }_{0^{-}}^{0^{+}}x(t)\delta (t)dt=x(0){\int }_{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)dt=x(0)$$
一个任意信号$x(t)$经与$\delta (t)$相乘后再取积分，就是该信号在$t=0$处的取值，表明$\delta (t)$具有取样（筛选）特性。

2）冲激信号具有偶函数特性，这是因为如令$\tau =-t$，则有
$${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (-t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }x(-\tau )\delta (\tau )d(-\tau )={\int }_{\infty }^{-\infty }x(-\tau )\delta (\tau )d\tau =x(0)$$
再结合式（2），有
$$\delta (-t)=\delta (t)$$
3）冲激信号与阶跃信号互为积分和微分关系，即
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau =u(t)(3) \\ \frac{du(t)}{dt}=\delta (t)(4) \end{gathered}$$
这是因为由冲激信号的定义式（1）有
$${\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau =\{\begin{array}{l}{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (\tau )d\tau =1t>0\\ 0t<0\end{array}$$
结合$u(t)$的定义式，即可得式（3）、（4）。

二、连续信号的时域运算

尺度变换、平移、翻转、叠加、相乘、微分、积分等

1. 尺度变换

   幅度变换不改变信号的基本特性，如果$x(t)$表示某一语音信号，则$x_1(t)$和$x_2(t)$仅仅使声音的大小发生了变化，语音特征并没有变化。时间尺寸会改变信号的基本特征，信号的频谱发生了变化。声音音调的变化是由于信号的频率特性发生变化。信号的频率特性与幅度不同，它是信号的基本特征。

2. 微分和积分

   单位冲激信号的微分
   $${\delta }^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}\delta (t)$$
   可视为幅度为$\frac{1}{\tau }$，脉宽为$\tau$的矩形脉冲求导后$\tau$趋于零的极限。显然，它是位于$t=0$处强度分别为$+\infty$和$-\infty$的一对冲激函数，故称为单位冲激偶，如下图所示。

单位冲激偶函数是奇函数，即
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{\prime }(t)=0$$
这可由${\delta }^{\prime }(t)$的定义直接得到。此外单位冲激偶函数也有筛选特性
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)dt=-x^{\prime }(t_0)$$

3. 卷积运算

   对于两个连续时间信号，卷积运算为
   $$x_1(t)\ast x_2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_1(\tau )x_2(t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_2(\tau )x_1(t-\tau )d\tau$$
   显然$x_1(t)\ast x_2(t)=x_2(t)\ast x_1(t)$。

   任意信号与冲激信号的卷积有特殊意义。首先，任意$x(t)$与单位冲激信号$\delta (t)$的卷积仍然是$x(t)$本身，这是因为
   $$x(t)\ast \delta (t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (\tau -t)d\tau =x(t)$$
   其次，有
   $$x(t)\ast \delta (t-t_0)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-t_0-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta (\tau -(t-t_0))d\tau =x(t-t_0)$$
   与$\delta (t-t_0)$卷积，相当于原信号延迟$t_0$，进一步，有
   $$\begin{gathered} x(t-t_1)\ast \delta (t-t_2)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau -t_1)\delta (t-t_2-\tau )d\tau \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau -t_1)\delta (\tau -(t-t_2))d\tau \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\lambda )\delta (\tau -(t-t_1-t_2))d\lambda \\ =x(t-t_1-t_2) \end{gathered}$$