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  • 什么是指数信号? 解释:我们在中学就知道指数函数,而我在这里所说的指数信号则是 当 a=0 时,信号不随时间变化,成为直流信号 当 a>0 时,信号将随时间增长。 当 a<0 时,信号将随时间衰减。 常数 K...
    • 什么是指数信号?

    解释:我们在中学就知道指数函数 y=a^^{x} ,而我在这里所说的指数信号则是 y=k\varrho ^{^{\alpha t}}

    a=0 时,信号不随时间变化,成为直流信号

    a>0 时,信号将随时间增长。                              当 a<0 时,信号将随时间衰减。

     常数表示的是指数信号在 t=0 点的初始值。

    指数 a 的绝对值大小反映了信号增长或衰减的速度快慢。

    指数信号的一个重要特性是:其对时间的微分和积分形式仍为指数形式

    |a|  越大 增长或衰减的速度越快
    |a|  越小 增长或衰减的速度越慢
    通常情况下,把 |a| 的倒数称为指数信号的时间常数,记作 \tau ,即 \tau = \frac{1}{\left | a \right |}  , \tau 越大,指数信号增长或衰减的速度越慢。
    • 什么是复指数信号?

    解释:复指数信号是相对于指数信号而言的,当指数信号的指数因子为一复数时,称为复指数信号,其表示式为:     f(t) = k e^{st}    ,其中 s = \alpha +j\omega

    所以说:f(t) = k e^{st}= k e^{(\alpha +j\omega )}=k e^{\alpha t }cos(\omega t)+jk e^{\alpha t }sin(\omega t)

     

    • 什么是正弦信号?

    解释:首先我们知道在数学中,有余弦函数与正弦函数之分,但是对于余弦信号与正弦信号而言,它们之间的相位仅相差  \frac{\pi }{2} ,所以我们在信号与系统中,基本上都统称为正弦信号,所以我们在该书中基本上看到余弦信号也被称为正弦信号。

    其表达式为 f(t) = Asin(\omega t+\theta )  ,其中 A 为振幅,\omega 是角频率,\theta 为初相位。其波形如下图所示:

    除此之外,我们在信号与系统中还遇到一些衰减的正弦信号,如下图所示:
     

    其表示式为:

                                                                                                                                                                       f(t) = \left\{\begin{matrix} 0& (t<0)\\ ke^{-\alpha t}sin(\omega t) & (t\geqslant 0) \end{matrix}\right. 

    正弦信号与余弦信号可以借助复指数信号来表示。根据欧拉公式可以知道:

    所以可以得出: 

     

    • 什么是 Sa(t) 函数(抽样函数)?

    解释:Sa(t) 函数即 Sa(t) 信号是指 sint t 之比构成的函数,定义如下:Sa(t) = \frac{sint}{t}

    函数的性质有:

                                                                                                                                                                                        Sa(-t) = Sa(t)   为偶函数

    与 Sa(t) 函数类似的是 Sinc(t) 函数,其表示式为:sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}

    有些书中将两种符号通用,即Sa(t) 也可以用 Sinc(t) 表示。

     

    • 什么是钟形信号(高斯函数) ?

    解释:钟形信号(高斯函数)的定义是:f(t) = Ee^-{(\frac{t}{\tau })^{2}}

    波形如图所示:

     

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  • 典型信号傅里叶级数分解周期方波信号如图所示,对于周期方波信号,当他的占空比为半分之五十的时候,他的信号形式是这样的,此时如果n为偶数的时候,他的an为0。也就是只有奇数次项才有波形。我们称此为奇谐波我们...

    典型信号傅里叶级数分解

    周期方波信号

    如图所示,对于周期方波信号,当他的占空比为半分之五十的时候,他的信号形式是这样的,此时如果n为偶数的时候,他的an为0。也就是只有奇数次项才有波形。我们称此为奇谐波

    我们注意到,这两个谐波的前的系数都是按照1n缩减

    这里写图片描述

    周期锯齿信号

    如图所示,这个谐波前的系数也是按照1n缩减

    这里写图片描述

    周期三角脉冲信号

    如图所示,和第一个信号一样,这也是一个奇谐信号,这个信号是连续的,我们可以看到,他的谐波分量衰减的更快,如果这个信号的导数也是连续的,我们会发现他的谐波分量衰减的速度会更快。

    这里写图片描述

    周期半波余弦信号(整流)

    这里写图片描述

    周期全波整流余弦

    这里写图片描述

    周期脉冲序列

    周期脉冲序列是一种特殊的信号,我们常用他来进行信号的采样。因为他是偶函数,所以bn为0.我们用之前的傅里叶函数定义可以知道,an始终为常量1/T,谐波分量具有不衰减,功率为无穷大的特性(由于存在无穷多个不衰减的高频分量,他们叠加在一起功率无穷大)。

    这里写图片描述

    信号的对称性

    我们知道一个信号在进行分解之后,他原来的对称性会保留,而且谐波信号的对称性和原信号的对称性相同,这是我们下面研究的前提

    奇谐对称指的是周期方波中只存在奇次谐波

    这里写图片描述

    那么究竟什么是奇谐函数,我们具体来讨论一下

    如图所示,我们把一个函数向左或向右平移半个周期,我们看到,它与原来的函数正好相反。我们成这样的函数为奇谐函数

    这里写图片描述

    我们举例子类推发现所有的奇次谐波,都有奇谐对称的特点,偶次谐波则不具有。这也是这个函数名称的来源

    这里写图片描述

    信号参数与频谱的关系

    这里写图片描述

    练习题

    这里写图片描述

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  • 第一章:1.1.3 典型信号

    千次阅读 2017-08-12 16:11:22
    这一部分我们介绍三个点,如图所示下面分别介绍连续时不变特征信号线性时不变(linear time-invariant)系统特征函数这一系统的信号在微分和积分操作下,函数形式保持不变。对于这样的函数我们称之为该系统的特征函数...

    这一部分我们介绍三个点,如图所示

    这里写图片描述

    下面分别介绍

    连续时不变特征信号

    线性时不变(linear time-invariant)系统特征函数

    这一系统的信号在微分和积分操作下,函数形式保持不变。对于这样的函数我们称之为该系统的特征函数。我们在理解时可以对比矩阵的特征值和特征向量

    Ax=λx

    A是某种操作,在这种操作下,特征值和特征向量保持不变。我们还可以想想指数函数,指数函数在微分下指数形式是保持不变的。

    这里写图片描述

    一个图概括如下

    这里写图片描述

    对称信号

    我们在这里介绍的对称信号实际上是一对,他们分别是高斯信号和抽样信号

    高斯信号

    这里写图片描述

    注意,高斯信号实际上是一个从负无穷到正无穷一直都存在的信号。但我们知道指数衰减是一种很快的衰减,因此我们可以认为整个信号有效值基本集中在3σ之间。

    函数的性质如图所示:

    这里写图片描述

    抽样信号

    如图所示为抽样信号的函数形式

    这里写图片描述

    函数的性质如下图所示:

    这里写图片描述

    奇异信号

    奇异信号介绍

    奇异信号是指函数本身或者导数存在不连续点的信号

    单位斜变信号

    如图所示,之所以称斜变信号为奇异信号是因为他的导数是不连续的,负半轴为0正半轴为1.斜变信号有很多应用,最常见的就是老式电视的锯齿形扫描函数。

    这里写图片描述

    多项式因果信号

    与斜变信号对应的是多项式因果信号,这些多项式信号经过多次求导之后也会变为不连续的信号。

    这里写图片描述

    单位阶跃信号

    单位阶跃信号是单位斜变信号求导而得出的结果.我们通常认为在0点处对应的幅值为0.5

    这里写图片描述

    单位冲击信号

    单位阶跃信号再求导就得到了单位冲击信号

    这里写图片描述

    单位冲击偶信号

    我们在单位冲击信号的基础之上再求导,就得到了单位冲击偶信号。

    这里写图片描述

    最后我们用一张图来概括一下这四类信号,他们之间的关系是逐一求导。

    这里写图片描述

    单位阶跃信号的作用

    他与其他信号相乘可以表示信号的起始和结束

    这里写图片描述

    也可以和自身相加减之后形成窗口信号,可以用窗口信号来截取别的信号。

    这里写图片描述

    下图为截取信号

    这里写图片描述

    在窗口信号的基础之上,我们可以进一步的形成分段信号,分段信号可以写成窗口信号的组合

    这里写图片描述

    单位阶跃信号还和符号函数有着密切的关系,如图所示,二者实际上是满足线性关系的。

    连续时间奇异信号

    虽然单位冲激函数是单位阶跃函数的导数,但是不是很好理解,我们可以这样理解。想象一个面积为1的长方形,当他的底为0的时候高度为无穷大。

    因为单位冲激函数和狄克拉函数的定义一样,所以我们有的时候也称单位冲激函数为derda函数。

    这里写图片描述

    单位冲击信号的数学特性

    如图所示,单位冲击信号与任意信号的积分实际上是任意信号在零点的取值。

    这里写图片描述

    我们根据此公式反过来也可以证明冲击信号,也就是满足这个条件的信号就是冲击信号。

    他还有这样的性质

    这里写图片描述

    如下图所示,可以进行这样的变换

    这里写图片描述

    最后我们总结一下冲激函数和冲击偶函数的性质:

    这里写图片描述

    离散时间奇异信号

    对于离散时间信号我们和连续时间信号比较着来学习如图所示,二者之间可以相互转化

    这里写图片描述

    如下图所示,对于连续周期信号而言,他总是周期信号。但是对于序列信号不一定。

    这里写图片描述

    序列信号可以额看成是周期的包络线信号和周期的脉冲信号的乘积。两个周期信号的复合信号有可能是一个周期信号,也有可能是一个非周期的信号。对于序列信号来说,只有当他的频率与π的比值为有理数的时候,他才是严格意义上的周期信号

    这里写图片描述

    对于连续周期信号我们知道随着频率的增加,他的波形变得越来越密。但是对于离散周期信号并不是这样。如图所示,随著频率的增加,它展现了一种周期性。

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    另外对于连续的单位冲击信号,在0点的取值是无穷大,但是对于离散的信号序列而言是1.连续的单位阶跃信号在0点的取值是1/2,离散的信号序列在0点取值是1

    练习题

    这里写图片描述

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  • 上接:连续信号(模拟信号)在有限区间上的傅立叶级数展开,离散频谱 此文用matlab作下实验。 实验一:由简谐波叠加起来的信号在有限区间上的傅立叶级数展开,离散频谱。 实验信号为: 我们取不同的时间区间...

    上接:连续信号(模拟信号)在有限区间上的傅立叶级数展开,离散频谱

    此文用matlab作下实验。


    实验一:由简谐波叠加起来的信号在有限区间上的傅立叶级数展开,离散频谱。

    实验信号为:

    我们取不同的时间区间(自变量t变化区间)对这个信号做频谱分析。

    1.1、 当t变化为[2.5, 3.5]时

    这里只是限定区间的长度为1,至于区间端点的取值,是我随意取得,没有限制。画图得到的图像:

    图 1. [2.5, 3.5]上的信号

    上篇 中公式(17)来求解信号x(t)在有限区间[2.5, 3.5]上的离散频谱c_n,积分采用matlab提供的数值积分函数quad()。

    如图2,作出的是离散频谱n=-50,...,50的离散振幅谱|c_n|。图3事离散相位谱Arg(c_n),

    图 2,x(t)在[2.5, 3.5]上的离散振幅谱

    图 3, x(t)在[2.5, 3.5]上的离散相位谱


    1.2、当t变化为[2.5, 3.6]时

    此时,区间长度为1.1,图4、5、6分别给出了使用1.1节中相同程序作出的原信号图,离散振幅谱,离散相位谱。

    图 4、区间[2.5, 3.6]上的信号

    图 5、x(t)在[2.5,3.6]上的离散振幅谱

    图 6、x(t)在[2.5, 3.6]上的离散相位谱



    对比图2和5可以看到,在图2中,只有频率为1/T, 和2/T的两个简谐波的振幅不为零,频率相同的振幅的和就是原先信号解析式中相应的振幅值。而图5中并不事这样的,频率较小的简谐波的振幅越大,随着频率的增大,振幅逐渐变小。

    实验中,我们可以看出来,实际上同一个信号在选取不同的时间长度后会得到不同的离散频谱!区间长度决定信号的离散频谱!



    实验二:有限区间上方波信号的傅立叶级数展开,离散频谱。

    实验一中用的是正弦信号的叠加,现在我们使用一般的方波信号,求解他的频谱。方波信号的解析形式为:


    我们取T=2。将实验一中的程序中修改区间参数,以及信号函数后,运行结果:

    图 7, 原信号

    图 8, 信号振幅谱

    图 9, 信号相位谱



    附程序:


    1.1的程序

    函数文件:

    function y = fun0001(t)
    y = 2.5*sin(2*pi*t + pi/3) + 3.1*sin(6*pi*t + pi/4);
    end

    执行文件:

    clear
    clc
    t_s = 2.5; % start of the interval
    T = 1.0;   % length of the interval
    t_e = t_s + T; % the end of the interval
    
    num_samples = 1000; % number of samples
    
    t = linspace(t_s, t_e, num_samples);
    x = fun0001(t);
    
    figure; plot(t, x, 'LineWidth',2 ); title('signal');
    
    
    f_0 = 1/T; % foundamental frequency.
    
    N = 50; % how many frequency we want to caculate.
    fn = f_0*(1:N);
    
    cn = zeros(N*2+1,1)*1i + zeros(N*2+1,1);
    for k = 1:N
        Fun = @(t)(fun0001(t).*exp(-2*pi*fn(k)*t*1i));
        cn(N+1+k) = quad(Fun, t_s, t_e);
        Fun = @(t)(fun0001(t).*exp(2*pi*fn(k)*t*1i));
        cn(N+1-k) = quad(Fun, t_s, t_e);
    end
    cn(N+1) = quad(@fun0001, t_s, t_e);
    
    figure; stem(-N:N, abs  (cn)); title('amplitude');
    figure; stem(-N:N, angle(cn)); title('angle');

    1.2的程序

    函数文件与1.1相同,只需要将执行文件的T的值改成1.1.


    实验二的程序

    函数文件

    function y = fun0002(t)
    y = double(~(t<-0.5 | t>0.5));
    end

    执行文件

    clear
    clc
    t_s = -1.0; % start of the interval
    T = 2.0;   % length of the interval
    t_e = t_s + T; % the end of the interval
    
    num_samples = 1000; % number of samples
    
    t = linspace(t_s, t_e, num_samples);
    x = fun0002(t);
    
    figure; plot(t, x, 'LineWidth',2 ); title('signal');
    
    
    f_0 = 1/T; % foundamental frequency.
    
    N = 50; % how many frequency we want to caculate.
    fn = f_0*(1:N);
    
    cn = zeros(N*2+1,1)*1i + zeros(N*2+1,1);
    for k = 1:N
        Fun = @(t)(fun0002(t).*exp(-2*pi*fn(k)*t*1i));
        cn(N+1+k) = quad(Fun, t_s, t_e);
        Fun = @(t)(fun0002(t).*exp(2*pi*fn(k)*t*1i));
        cn(N+1-k) = quad(Fun, t_s, t_e);
    end
    cn(N+1) = quad(@fun0002, t_s, t_e);
    
    figure; stem(-N:N, abs  (cn)); title('amplitude');
    figure; stem(-N:N, angle(cn)); title('angle');






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