什么是指数信号？
解释：我们在中学就知道指数函数  ，而我在这里所说的指数信号则是 

当 a=0 时，信号不随时间变化，成为直流信号

当 a>0 时，信号将随时间增长。                              当 a<0 时，信号将随时间衰减。



 常数 K 表示的是指数信号在 t=0 点的初始值。

指数 a 的绝对值大小反映了信号增长或衰减的速度快慢。

指数信号的一个重要特性是：其对时间的微分和积分形式仍为指数形式

|a|  越大
			
增长或衰减的速度越快
		
|a|  越小
			
增长或衰减的速度越慢
		
通常情况下，把 |a| 的倒数称为指数信号的时间常数，记作  ，即   ，  越大，指数信号增长或衰减的速度越慢。


什么是复指数信号？
解释：复指数信号是相对于指数信号而言的，当指数信号的指数因子为一复数时，称为复指数信号，其表示式为:         ，其中 

所以说：



 



什么是正弦信号？
解释：首先我们知道在数学中，有余弦函数与正弦函数之分，但是对于余弦信号与正弦信号而言，它们之间的相位仅相差   ，所以我们在信号与系统中，基本上都统称为正弦信号，所以我们在该书中基本上看到余弦信号也被称为正弦信号。

其表达式为   ，其中 A 为振幅， 是角频率， 为初相位。其波形如下图所示：



除此之外，我们在信号与系统中还遇到一些衰减的正弦信号，如下图所示：

 



其表示式为：

                                                                                                                                                                    

正弦信号与余弦信号可以借助复指数信号来表示。根据欧拉公式可以知道：



所以可以得出： 



 



什么是 Sa(t) 函数（抽样函数）？
解释：Sa(t) 函数即 Sa(t) 信号是指 sint 与 t 之比构成的函数，定义如下：



函数的性质有：



                                                                                                                                                                                    Sa(-t) = Sa(t)   为偶函数

与 Sa(t) 函数类似的是 Sinc(t) 函数，其表示式为：

有些书中将两种符号通用，即Sa(t) 也可以用 Sinc(t) 表示。

 



什么是钟形信号（高斯函数） ？
解释：钟形信号（高斯函数）的定义是：

波形如图所示：



 

典型信号傅里叶级数分解



周期方波信号

如图所示，对于周期方波信号，当他的占空比为半分之五十的时候，他的信号形式是这样的，此时如果n为偶数的时候，他的an为0。也就是只有奇数次项才有波形。我们称此为奇谐波

我们注意到，这两个谐波的前的系数都是按照1n缩减



周期锯齿信号

如图所示，这个谐波前的系数也是按照1n缩减



周期三角脉冲信号

如图所示，和第一个信号一样，这也是一个奇谐信号，这个信号是连续的，我们可以看到，他的谐波分量衰减的更快，如果这个信号的导数也是连续的，我们会发现他的谐波分量衰减的速度会更快。



周期半波余弦信号（整流）



周期全波整流余弦



周期脉冲序列

周期脉冲序列是一种特殊的信号，我们常用他来进行信号的采样。因为他是偶函数，所以bn为0.我们用之前的傅里叶函数定义可以知道，an始终为常量1/T，谐波分量具有不衰减，功率为无穷大的特性（由于存在无穷多个不衰减的高频分量，他们叠加在一起功率无穷大）。



信号的对称性

我们知道一个信号在进行分解之后，他原来的对称性会保留，而且谐波信号的对称性和原信号的对称性相同，这是我们下面研究的前提

奇谐对称指的是周期方波中只存在奇次谐波



那么究竟什么是奇谐函数，我们具体来讨论一下

如图所示，我们把一个函数向左或向右平移半个周期，我们看到，它与原来的函数正好相反。我们成这样的函数为奇谐函数



我们举例子类推发现所有的奇次谐波，都有奇谐对称的特点，偶次谐波则不具有。这也是这个函数名称的来源



信号参数与频谱的关系



练习题

这一部分我们介绍三个点，如图所示



下面分别介绍



连续时不变特征信号



线性时不变(linear time-invariant)系统特征函数

这一系统的信号在微分和积分操作下，函数形式保持不变。对于这样的函数我们称之为该系统的特征函数。我们在理解时可以对比矩阵的特征值和特征向量



Ax=λx
A是某种操作，在这种操作下，特征值和特征向量保持不变。我们还可以想想指数函数，指数函数在微分下指数形式是保持不变的。



一个图概括如下





对称信号

我们在这里介绍的对称信号实际上是一对，他们分别是高斯信号和抽样信号



高斯信号



注意，高斯信号实际上是一个从负无穷到正无穷一直都存在的信号。但我们知道指数衰减是一种很快的衰减，因此我们可以认为整个信号有效值基本集中在3σ之间。

函数的性质如图所示：





抽样信号

如图所示为抽样信号的函数形式



函数的性质如下图所示：





奇异信号



奇异信号介绍

奇异信号是指函数本身或者导数存在不连续点的信号



单位斜变信号

如图所示，之所以称斜变信号为奇异信号是因为他的导数是不连续的，负半轴为0正半轴为1.斜变信号有很多应用，最常见的就是老式电视的锯齿形扫描函数。





多项式因果信号

与斜变信号对应的是多项式因果信号，这些多项式信号经过多次求导之后也会变为不连续的信号。





单位阶跃信号

单位阶跃信号是单位斜变信号求导而得出的结果.我们通常认为在0点处对应的幅值为0.5





单位冲击信号

单位阶跃信号再求导就得到了单位冲击信号





单位冲击偶信号

我们在单位冲击信号的基础之上再求导，就得到了单位冲击偶信号。



最后我们用一张图来概括一下这四类信号，他们之间的关系是逐一求导。





单位阶跃信号的作用

他与其他信号相乘可以表示信号的起始和结束



也可以和自身相加减之后形成窗口信号，可以用窗口信号来截取别的信号。



下图为截取信号



在窗口信号的基础之上，我们可以进一步的形成分段信号，分段信号可以写成窗口信号的组合



单位阶跃信号还和符号函数有着密切的关系，如图所示，二者实际上是满足线性关系的。



连续时间奇异信号

虽然单位冲激函数是单位阶跃函数的导数，但是不是很好理解，我们可以这样理解。想象一个面积为1的长方形，当他的底为0的时候高度为无穷大。

因为单位冲激函数和狄克拉函数的定义一样，所以我们有的时候也称单位冲激函数为derda函数。





单位冲击信号的数学特性

如图所示，单位冲击信号与任意信号的积分实际上是任意信号在零点的取值。



我们根据此公式反过来也可以证明冲击信号，也就是满足这个条件的信号就是冲击信号。

他还有这样的性质



如下图所示，可以进行这样的变换



最后我们总结一下冲激函数和冲击偶函数的性质：





离散时间奇异信号

对于离散时间信号我们和连续时间信号比较着来学习如图所示，二者之间可以相互转化



如下图所示，对于连续周期信号而言，他总是周期信号。但是对于序列信号不一定。



序列信号可以额看成是周期的包络线信号和周期的脉冲信号的乘积。两个周期信号的复合信号有可能是一个周期信号，也有可能是一个非周期的信号。对于序列信号来说，只有当他的频率与π的比值为有理数的时候，他才是严格意义上的周期信号



对于连续周期信号我们知道随着频率的增加，他的波形变得越来越密。但是对于离散周期信号并不是这样。如图所示，随著频率的增加，它展现了一种周期性。





另外对于连续的单位冲击信号，在0点的取值是无穷大，但是对于离散的信号序列而言是1.连续的单位阶跃信号在0点的取值是1/2，离散的信号序列在0点取值是1

练习题

上接：连续信号（模拟信号）在有限区间上的傅立叶级数展开,离散频谱 



此文用matlab作下实验。


实验一：由简谐波叠加起来的信号在有限区间上的傅立叶级数展开，离散频谱。
实验信号为：

我们取不同的时间区间（自变量t变化区间）对这个信号做频谱分析。
1.1、 当t变化为[2.5, 3.5]时

这里只是限定区间的长度为1，至于区间端点的取值，是我随意取得，没有限制。画图得到的图像：

图 1. [2.5, 3.5]上的信号

由 
上篇 中公式（17）来求解信号x(t)在有限区间[2.5, 3.5]上的离散频谱c_n，积分采用matlab提供的数值积分函数quad()。
如图2，作出的是离散频谱n=-50,...,50的离散振幅谱|c_n|。图3事离散相位谱Arg(c_n)，

图 2，x(t)在[2.5, 3.5]上的离散振幅谱


图 3， x(t)在[2.5, 3.5]上的离散相位谱



1.2、当t变化为[2.5, 3.6]时

此时，区间长度为1.1，图4、5、6分别给出了使用1.1节中相同程序作出的原信号图，离散振幅谱，离散相位谱。

图 4、区间[2.5, 3.6]上的信号


图 5、x(t)在[2.5,3.6]上的离散振幅谱

图 6、x(t)在[2.5, 3.6]上的离散相位谱




对比图2和5可以看到，在图2中，只有频率为1/T， 和2/T的两个简谐波的振幅不为零，频率相同的振幅的和就是原先信号解析式中相应的振幅值。而图5中并不事这样的，频率较小的简谐波的振幅越大，随着频率的增大，振幅逐渐变小。
实验中，我们可以看出来，实际上同一个信号在选取不同的时间长度后会得到不同的离散频谱！区间长度决定信号的离散频谱！





实验二：有限区间上方波信号的傅立叶级数展开，离散频谱。

实验一中用的是正弦信号的叠加，现在我们使用一般的方波信号，求解他的频谱。方波信号的解析形式为：


我们取T=2。将实验一中的程序中修改区间参数，以及信号函数后，运行结果：

图 7， 原信号


图 8， 信号振幅谱


图 9， 信号相位谱




附程序：


1.1的程序
函数文件：
function y = fun0001(t)
y = 2.5*sin(2*pi*t + pi/3) + 3.1*sin(6*pi*t + pi/4);
end


执行文件：
clear
clc
t_s = 2.5; % start of the interval
T = 1.0;   % length of the interval
t_e = t_s + T; % the end of the interval

num_samples = 1000; % number of samples

t = linspace(t_s, t_e, num_samples);
x = fun0001(t);

figure; plot(t, x, 'LineWidth',2 ); title('signal');


f_0 = 1/T; % foundamental frequency.

N = 50; % how many frequency we want to caculate.
fn = f_0*(1:N);

cn = zeros(N*2+1,1)*1i + zeros(N*2+1,1);
for k = 1:N
    Fun = @(t)(fun0001(t).*exp(-2*pi*fn(k)*t*1i));
    cn(N+1+k) = quad(Fun, t_s, t_e);
    Fun = @(t)(fun0001(t).*exp(2*pi*fn(k)*t*1i));
    cn(N+1-k) = quad(Fun, t_s, t_e);
end
cn(N+1) = quad(@fun0001, t_s, t_e);

figure; stem(-N:N, abs  (cn)); title('amplitude');
figure; stem(-N:N, angle(cn)); title('angle');

1.2的程序
函数文件与1.1相同，只需要将执行文件的T的值改成1.1.


实验二的程序
函数文件
function y = fun0002(t)
y = double(~(t<-0.5 | t>0.5));
end

执行文件
clear
clc
t_s = -1.0; % start of the interval
T = 2.0;   % length of the interval
t_e = t_s + T; % the end of the interval

num_samples = 1000; % number of samples

t = linspace(t_s, t_e, num_samples);
x = fun0002(t);

figure; plot(t, x, 'LineWidth',2 ); title('signal');


f_0 = 1/T; % foundamental frequency.

N = 50; % how many frequency we want to caculate.
fn = f_0*(1:N);

cn = zeros(N*2+1,1)*1i + zeros(N*2+1,1);
for k = 1:N
    Fun = @(t)(fun0002(t).*exp(-2*pi*fn(k)*t*1i));
    cn(N+1+k) = quad(Fun, t_s, t_e);
    Fun = @(t)(fun0002(t).*exp(2*pi*fn(k)*t*1i));
    cn(N+1-k) = quad(Fun, t_s, t_e);
end
cn(N+1) = quad(@fun0002, t_s, t_e);

figure; stem(-N:N, abs  (cn)); title('amplitude');
figure; stem(-N:N, angle(cn)); title('angle');