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  • 在MATLAB中使用矩阵求解线性方程组
    2021-04-18 05:34:05

    我的脚本使用几个'for'循环创建一个矩阵和2个向量,作为示例,它们返回如下:

    K =

    1.0e+006 *

    1.2409 0.6250 0.8153 0.1250

    0.6250 3.6591 -0.1250 3.5375

    0.8153 -0.1250 1.2409 -0.6250

    0.1250 3.5375 -0.6250 3.6591

    F =

    1.0e+006 *

    0.1733

    1.3533

    -0.1066

    1.3371

    U =

    u3

    v3

    u4

    v4

    可以看出,'U'向量是一组变量,我需要为'K*U=F'中包含的变量求解'U'。

    当我尝试使用linsolve或solve时,我会得到意想不到的结果,并发出一条消息,表明矩阵的逆矩阵接近于奇异。

    但是,当我制作另一个脚本并输入相同的矩阵和矢量BY HANDS时,一切正常,我无法弄清楚出了什么问题。

    这是否与MATLAB存储由循环函数创建的矩阵的方式有关,我需要在循环之后将矩阵的状态更改为某些内容?

    另外,当我手工放置矩阵时,它会显示它而前面没有1.0e+006乘数:

    K11 =

    1240900 625000 815300 125000

    625000 3659100 -125000 3537500

    815300 -125000 1240900 -625000

    125000 3537500 -625000 3659100

    可以相关吗?

    提前致谢。

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  • 卷积的循环矩阵求解方法

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    通常我们求解一维卷积或者二维卷积都是采用模板平移的方法,今天我们介绍一种新的求解方法,可以一次性求出所有的结果。一维卷积卷积定义对于两个长度分别为m和n的序列x(i)和g(i)有, ...循环矩阵参考百度百科:

    通常我们求解一维卷积或者二维卷积都是采用模板平移的方法,今天我们介绍一种新的求解方法,可以一次性求出所有的结果。

    一维卷积

    卷积定义

    对于两个长度分别为m和n的序列x(i)和g(i)有,

    h(i)=x(i)g(i)=jx(j)g(ij)

    上式给出了长度为N=m+n-1的输出序列。称为一维情况下的卷积公式。

    循环矩阵

    参考百度百科
    在线性代数中,循环矩阵是一种特殊形式的 Toeplitz矩阵,它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果。由于可以用离散傅立叶变换快速解循环矩阵,所以在数值分析中有重要的应用。

    定义

    形式为




    的 矩阵 C 就是循环矩阵。

    性质

    循环矩阵的性质:
    1. 循环矩阵遵循代数运算法则。对于两个循环矩阵 A 与 B 来说,A + B 也是循环矩阵。AB 也是循环矩阵,并且 AB=BA。
    2. 循环矩阵的特征向量矩阵是同样维数的离散傅立叶变换矩阵,因此循环矩阵的特征值可以很容易地通过快速傅立叶变换计算出来。

    循环矩阵求解卷积

    按照定义,卷积后的序列长为N=m+n-1;
    于是分别用0扩充序列x,g,分别为:

    xp(i)={x(i)01xmm<iN

    gp(i)={g(i)01xnn<iN

    由于是用g去卷积f,所以构造g的循环矩阵:
    G=gp(1)gp(2)gp(N)gp(N)gp(1)gp(N1)gp(N1)gp(2)gp(N2)gp(2)gp(3)gp(1)

    h=Gxp=gp(1)gp(2)gp(N)gp(N)gp(1)gp(N1)gp(N1)gp(2)gp(N2)gp(2)gp(3)gp(1)xp(1)xp(2)xp(N)

    则h就是卷积后的向量。

    二维卷积

    卷积定义



    循环矩阵求解方法




    举例






    参考文献

    1. 北大高级遥感数字图像处理(硕士生课程)
    2. 离散卷积与自相关


    打赏

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    无意之间看到的一个结论,还挺有意思,来搬运一下。

    定理

    A = ( a 0 a 1 ⋯ a n − 1 a n − 1 a 0 ⋯ a n − 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 a 2 ⋯ a 0 ) , f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a n − 1 x n − 1 A= \begin{pmatrix} a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} &a_0&\cdots &a_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ a_{1} & a_2 & \cdots & a_0 \end{pmatrix}, f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1} A=a0an1a1a1a0a2an1an2a0,f(x)=a0+a1x++an1xn1
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    A A A可对角化为 W − 1 D W W^{-1}DW W1DW,其中 W W W为傅里叶变换的矩阵, D D D为傅里叶变换后的点值所组成的矩阵。

    证明

    直接搬运了。
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    这部分内容含有Tridiagonal Matrix Equation以及Cyclic Tridiagonal Matrix Equation的求解方法,具体包括以下四部分内容:

    (1)Cyclic Thomas Algorithm

    (2)Regular Thomas Algorithm

    (3)Generalized Thomas Algorithm

    (4)Sherman-Morrison Formula

    由于公式太多,这里只上传了图片版,基本能够满足使用需要,若需要文字可复制的PDF版本,可在https://download.csdn.net/download/liuqihang11/84223948下载,不过需要付费2元,请按需下载。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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空空如也

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循环矩阵求解

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