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  • 循环群的子群必然还是循环群

    万次阅读 多人点赞 2019-09-28 21:11:53
    我们知道群中任意一个元素都可以通过自乘形成循环群,但是循环群的子群难道也必然是循环群吗?也就是说循环群的子群也必然是由某个元素生成的循环群?也就是说,循环群的子群只可能是那些由元素自乘生成的循环群! ...

    前言:仅个人小记。我们知道群中任意一个元素都可以通过自乘形成循环群,但是循环群的子群难道也必然是循环群吗?也就是说循环群的子群也必然是由某个元素生成的循环群?也就是说,循环群的子群只可能是那些由元素自乘生成的循环群!
    借助拓展欧几里得算法来实施证明。

    前要知识

    1. 有限群的任意元素的阶都是存在的,且元素的阶必然整除群阶。

    证明内容

    循环群的子群必然还是循环群。

    证明

    设循环群 G , 生成元为 g,群阶 ∣ G ∣ = n |G|=n G=n,因为循环群 G 中的任意一个元素都可以表达为生成元的幂的形式,故而,若 H 为 循环群 G 的一个子群,则必然可写为

    { g k 1 , g k 2 , . . . , g k m } , 1 < k 1 < k 2 < . . . < k m ≤ n \{g^{k_1},g^{k_2},...,g^{k_m}\},1<k_1<k_2<...<k_m\leq n {gk1,gk2,...,gkm}1<k1<k2<...<kmn并引入

    d = m i n { k 1 , k 2 , . . . , k m } d=min\{k_1,k_2,...,k_m\} d=min{k1,k2,...,km}

    因为G是一个有限群,结合前要知识1知道,G中的任一元素的阶都存在,即任一元素都可以形成一个循环子群。故而对于元素 g d g^d gd,必然可以形成循环子群 < g d > <g^d> <gd>

    下面使用反证法
    假设 H 不是一个循环群,则必然存在

    g k i ∈ H , g k i ∉ < g d > g^{k_i}\in H, g^{k_i} \notin <g^d> gkiH,gki/<gd>故而

    k i = q d + r , q , r 为 整 数 , 0 < r ≤ d k_i=qd+r,q,r 为整数,0<r\leq d ki=qd+r,q,r,0<rd又因为 H 是群,故而元素都可逆,容易知道 ( g d ) − 1 = g − d (g^d)^{-1}=g^{-d} (gd)1=gd再因为封闭性,有

    g − q d g k i = g − q d g q d + r = g r ∈ H g^{-qd}g^{k_i}=g^{-qd}g^{qd+r}=g^r\in H gqdgki=gqdgqd+r=grH因为 d = m i n { k 1 , k 2 , . . . , k m } d=min\{k_1,k_2,...,k_m\} d=min{k1,k2,...,km} r < d r<d r<d,故而矛盾,故而假设不成立,故而 G 的任意子群 H 必然是一个循环群。

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  • 循环群的研究中,整数加群和剩余类加群占有重要位置,文中对剩余类加群从结构、运算规律、性质等...给出两个重要结论,从而将循环群中所有有限循环群的研究归结到对剩余类加群的研究上,并且两类循环群间是同态关系。
  • 抽象代数 01.05 循环群

    2019-05-01 08:19:20
    循环群{\color{blue}\text{\S 1.5 循环群}}§1.5 循环群 定义1.5.1由一个元素a反复运算生成的群{\color{blue}定义1.5.1\quad}由一个元素a反复运算生成的群定义1.5.1由一个元素a反复运算生成的群 G={an∣n∈Z}\...

    http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》

    §1.5 循环群 {\color{blue}\text{\S 1.5 循环群}} §1.5 循环群

    定 义 1.5.1 由 一 个 元 素 a 反 复 运 算 生 成 的 群 {\color{blue}定义1.5.1\quad}由一个元素a反复运算生成的群 1.5.1a
    G = { a n ∣ n ∈ Z } \qquad G = \lbrace a^n | n \in \Z \rbrace G={annZ}
    称 为 循 环 群 , 记 为 ⟨ a ⟩ , a 称 为 这 个 循 环 群 的 生 成 元 . 称为{\color{blue}循环群},记为\lang a \rang,a称为这个循环群的{\color{blue}生成元}. ,a,a.
    循环群的任一元都可表为生成元的方幂。
    命 题 1.5.1 循 环 群 都 是 交 换 群 . {\color{blue}命题1.5.1\quad}{\color{green}循环群都是交换群.} 1.5.1.
    例 1 n 次 单 位 根 的 全 体 U n = { z ∈ C ∣ z n = 1 } 对 于 复 数 的 乘 法 运 算 构 成 一 个 循 环 群 , {\color{blue}例1\quad}n次单位根的全体U_n = \lbrace z \in \Complex | z^n = 1 \rbrace 对于复数的乘法运算构成一个循环群, 1nUn={zCzn=1},
    n 次 本 原 单 位 根 是 这 个 循 环 群 的 生 成 元 . n次本原单位根是这个循环群的生成元. n.
    特 别 地 , U 2 = { 1 , − 1 } , − 1 是 生 成 元 ; U 3 = { 1 , ω , ω 2 } , ω = − 1 + − 3 2 是 生 成 元 ; U 4 = { 1 , − 1 , − 1 , − − 1 } , − − 1 是 生 成 元 。 特别地,U_2=\lbrace 1, -1 \rbrace, -1是生成元;U_3 = \lbrace 1, \omega, \omega^{2} \rbrace, \omega = \dfrac{-1 + \sqrt{-3}}{2}是生成元;U_4 = \lbrace 1, \sqrt{-1}, -1, -\sqrt{-1} \rbrace, -\sqrt{-1}是生成元。 ,U2={1,1},1;U3={1,ω,ω2},ω=21+3 ;U4={1,1 ,1,1 },1
    定 理 1.5.2 循 环 群 的 任 一 子 群 也 是 循 环 群 . {\color{blue}定理1.5.2\quad}{\color{green}循环群的任一子群也是循环群.} 1.5.2.
    证 : 是 G 1 是 G = ⟨ a ⟩ 的 一 个 子 群 , 下 边 设 法 找 出 G 1 的 生 成 元 . {\color{blue}证:}是G_1是G = \lang a \rang 的一个子群,下边设法找出G_1的生成元. :G1G=a,G1.
    取 k = min ⁡ { m ∈ N ∣ a m ∈ G 1 } . 去 证 G 1 = ⟨ a k ⟩ . 取k=\min \lbrace m \in \N | a^m \in G_1 \rbrace.去证G_1 = \lang a^k \rang. k=min{mNamG1}.G1=ak.
    由 a k ∈ G 1 及 G 1 对 运 算 封 闭 知 ⟨ a k ⟩ ⊆ G 1 . 由a^k \in G_1及G_1对运算封闭知\lang a^k \rang \subseteq G_1. akG1G1akG1.
    反 之 , ∀ a m ∈ G 1 , 要 证 a m ∈ ⟨ a k ⟩ , 即 存 在 q , 反之,\forall a^m \in G_1,要证a^m \in \lang a^k \rang,即存在q, ,amG1,amak,q,
    使 a m = a q k , 也 即 m = k q , 也 即 k ∣ m . 左 带 余 除 法 使a^m = a^{qk},也即m = kq,也即k|m.左带余除法 使am=aqk,m=kq,km.
    m = q k + r , 0 ≤ r &lt; k . \qquad m = qk + r, 0 \leq r \lt k. m=qk+r,0r<k.
    则 a r = a m − q k = a m ⋅ ( a k ) − q ∈ G 1 . 若 r = ̸ 0 , 便 与 k 的 取 法 矛 盾 , 所 以 r = 0 , 即 m = k q . 这 证 明 了 G 1 ⊆ ⟨ a k ⟩ . 则a^r = a^{m-qk} = a^m \cdot (a^k)^{-q} \in G_1.若r =\not 0, 便与k的取法矛盾,所以r = 0,即m = kq.这证明了G_1 \subseteq \lang a^k \rang. ar=amqk=am(ak)qG1.r≠0,便k,r=0,m=kq.G1ak.
    推 论 1.5.3 整 数 加 群 Z 的 子 群 如 m Z , m ∈ N ∪ { 0 } . {\color{blue}推论1.5.3\quad}{\color{green}整数加群\Z的子群如m\Z,m \in \N \cup \lbrace 0 \rbrace.} 1.5.3ZmZ,mN{0}.
    证 : 注 意 到 这 里 的 运 算 是 加 法 . { Z ; + } 的 生 成 元 是 1. {\color{blue}证:}注意到这里的运算是加法.\lbrace \Z;+ \rbrace的生成元是1. :.{Z;+}1.
    { Z ; + } = { n ⋅ 1 ∣ n ∈ Z } . \qquad \lbrace \Z; + \rbrace = \lbrace n \cdot 1 | n \in \Z \rbrace. {Z;+}={n1nZ}.
    设 G 1 是 { Z ; + } 的 子 群 . 根 据 定 理 1.5.1 的 证 明 过 程 知 , 如 果 G 1 = ̸ { 0 } , 则 有 k ∈ N , 使 G 1 = ⟨ k ⋅ 1 ⟩ = { n ⋅ k ∣ n ∈ Z } = k Z . 设G_1是\lbrace \Z;+ \rbrace的子群.根据定理1.5.1的证明过程知,如果G_1 =\not \lbrace 0 \rbrace, 则有k \in \N,使G_1 = \lang k \cdot 1 \rang = \lbrace n \cdot k | n \in \Z \rbrace = k \Z. G1{Z;+}.1.5.1,G1≠{0},kN,使G1=k1={nknZ}=kZ.
    G 1 = { 0 } 可 以 写 成 G 1 = 0 Z , 而 G = k Z 通 常 写 成 m Z . G_1 = \lbrace 0 \rbrace 可以写成G_1 = 0 \Z,而G=k\Z通常写成m\Z. G1={0}G1=0Z,G=kZmZ.
    把循环群作为代数体系来研究,重要问题是,在同构意义下,循环群有多少种?每一种的结构如何?下边的定理回答了这一问题,该定理的结论和证明方法都比较典型。
    定 理 1.5.4 设 群 G = ⟨ a ⟩ . 若 G 是 无 限 阶 的 , 则 G 与 { Z ; + } 同 构 ; 若 G 是 有 限 阶 m 阶 的 , {\color{blue}定理1.5.4\quad}{\color{green}设群G=\lang a \rang.若G是无限阶的,则G与\lbrace \Z; + \rbrace同构;若G是有限阶m阶的,} 1.5.4G=a.G,G{Z;+};Gm,
    则 G 与 { Z m ; + } 同 构 . 所 以 , 两 个 循 环 群 同 构 &ThickSpace; ⟺ &ThickSpace; 它 们 有 相 同 的 阶 . {\color{green}则G与\lbrace \Z_m; + \rbrace同构.所以,两个循环群同构 \iff 它们有相同的阶.} G{Zm;+}.,.
    证 : 我 们 借 助 于 群 的 同 态 基 本 定 理 去 完 成 证 明 . {\color{blue}证:}我们借助于群的同态基本定理去完成证明. :.
    令 令
    ϕ : { Z ; + } → G \qquad \phi: \lbrace \Z; + \rbrace \to G ϕ:{Z;+}G
    n ↦ a n \qquad \qquad n \mapsto a^n nan
    ∀ n 1 , n 2 ∈ { Z ; + } , 有 \forall n_1,n_2 \in \lbrace \Z;+ \rbrace,有 n1,n2{Z;+},
    ϕ ( n 1 + n 2 ) = a n 1 + n 2 = a n 1 ⋅ a n 2 = ϕ ( n 1 ) ⋅ ϕ ( n 2 ) . \quad \phi(n_1+n_2) = a^{n_1+n_2} = a^{n_1} \cdot a^{n_2} = \phi(n_1) \cdot \phi(n_2). ϕ(n1+n2)=an1+n2=an1an2=ϕ(n1)ϕ(n2).
    又 因 G 中 任 一 元 都 可 表 为 a n , 所 以 ϕ 是 一 个 满 同 态 映 射 . 又因G中任一元都可表为a^n,所以\phi是一个满同态映射. Gan,ϕ.
    据 同 态 基 本 定 理 有 据同态基本定理有
    { Z ; + } / ker ⁡ ϕ ≃ G . \qquad \lbrace \Z;+ \rbrace / \ker \phi \simeq G. {Z;+}/kerϕG.
    再 据 推 论 1.5.3 知 , ker ⁡ ϕ 必 形 如 m Z , m ∈ N ∪ { 0 } . 再据推论1.5.3知,\ker \phi 必形如m\Z,m \in \N \cup \lbrace 0 \rbrace. 1.5.3,kerϕmZ,mN{0}.
    若 m = 0 , 则 ker ⁡ ϕ = { 0 } , 于 是 G ≃ { Z ; + } , 此 时 G 的 阶 为 无 限 . 若m = 0,则\ker \phi = \lbrace 0 \rbrace, 于是G \simeq \lbrace \Z;+ \rbrace,此时G的阶为无限. m=0,kerϕ={0},G{Z;+},G.
    若 m = ̸ 0 , 则 ker ⁡ ϕ = m Z , m ∈ N , 于 是 G ≃ { Z ; + } / m Z = { Z m ; + } , 此 时 G 的 阶 为 有 限 , 即 m . 若m=\not0,则\ker \phi = m\Z,m \in \N, 于是G \simeq \lbrace \Z; + \rbrace/m\Z = \lbrace \Z_m;+\rbrace,此时G的阶为有限,即m. m≠0,kerϕ=mZ,mN,G{Z;+}/mZ={Zm;+},G,m.
    这样,就证明了循环群可分为两大类:无限阶的与有限阶的。而无限阶循环群都与 { Z ; + } \lbrace \Z;+\rbrace {Z;+}同构,有限阶循环群又依其阶m分别与 { Z m ; + } \lbrace \Z_m;+\rbrace {Zm;+}同构。 { Z ; + } \lbrace \Z;+ \rbrace {Z;+} { Z m ; + } \lbrace \Z_m;+\rbrace {Zm;+}的结构我们是清楚的,从而所有循环群的结构我们都搞清楚了。
    定理还表明, ∀ m ∈ N , m \forall m \in \N, m mN,m阶循环群都是存在的,并且在同构意义下只有一个m阶循环群。这样,我们对于循环群的存在问题、分类问题、数量问题都已给出回答。这是抽象代数研究方式的一个缩影。抽象代数研究一种代数体系,就是要解决这种体系的存在问题、分类问题、数量问题。

    下面讨论循环群的子群的特点。Lagrange定理(定理1.3.6)说明,对于有限群G,子群的阶一定是原来群的阶|G|的因子。对于|G|的任一因子 m 1 m_1 m1,是否一定存在G的子群 G 1 G_1 G1,使 ∣ G 1 ∣ = m 1 |G_1| = m_1 G1=m1?答案是否定的。
    但是对于循环群,相应的命题是正确的。
    定 理 1.5.5 设 G 是 m 阶 循 环 群 , m 1 是 m 的 一 个 正 整 数 因 子 , 则 存 在 G 的 唯 一 的 m 1 阶 子 群 . {\color{blue}定理1.5.5\quad}{\color{green}设G是m阶循环群,m_1是m的一个正整数因子,则存在G的唯一的m_1阶子群.} 1.5.5Gm,m1m,Gm1.
    证 : 因 m 阶 循 环 群 在 同 构 下 只 有 一 种 结 构 , 即 { Z m , + } , 故 不 妨 设 {\color{blue}证:}因m阶循环群在同构下只有一种结构,即\lbrace \Z_m,+\rbrace,故不妨设 :m,{Zm,+},
    G = { Z m ; + } = { 0 ˉ , 1 ˉ , ⋯ &ThinSpace; , ( m − 1 ) ‾ } = ⟨ 1 ˉ ⟩ . \quad G=\lbrace \Z_m;+\rbrace = \lbrace \bar 0, \bar 1, \cdots, \overline{(m-1)}\rbrace = \lang \bar 1 \rang. G={Zm;+}={0ˉ,1ˉ,,(m1)}=1ˉ.
    因 m 1 ∣ m , 故 m m 1 是 正 整 数 , 且 0 &lt; m m 1 ≤ m . 容 易 验 证 , 因m_1 | m,故\dfrac{m}{m_1}是正整数,且0 \lt \dfrac{m}{m_1} \leq m.容易验证, m1m,m1m,0<m1mm.,
    ⟨ ( m m 1 ) ⟩ ‾ = { 0 ˉ , ( m m 1 ) ‾ , ( 2 m m 1 ) ‾ , ⋯ &ThinSpace; , ( m 1 − 1 ) m m 1 ‾ } \overline{\lang (\dfrac{m}{m_1}) \rang } = \lbrace \bar 0, \overline{(\dfrac{m}{m_1})}, \overline{(2\dfrac{m}{m_1})}, \cdots, \overline{(m_1-1)\dfrac{m}{m_1}} \rbrace (m1m)={0ˉ,(m1m),(2m1m),,(m11)m1m}
    是 G 的 m 1 阶 子 群 。 是G的m_1阶子群。 Gm1
    定 理 1.5.6 设 G 是 m 阶 群 , 则 G 是 循 环 群 的 充 要 条 件 是 , 对 m 的 每 个 正 整 数 因 子 m 1 , {\color{blue}定理1.5.6\quad}{\color{green}设G是m阶群,则G是循环群的充要条件是,对m的每个正整数因子m_1,} 1.5.6Gm,G,mm1,
    都 存 在 G 的 唯 一 的 m 1 阶 子 群 . {\color{green}都存在G的唯一的m_1阶子群.} Gm1.
    这一定理的证明是1956年才给出的,有一定难度。
    从 { Z m ; + } 的 结 构 中 可 看 出 , m 阶 循 环 群 的 生 成 元 的 阶 也 是 m ( 注 意 到 这 两 个 从\lbrace \Z_m;+\rbrace的结构中可看出,m阶循环群的生成元的阶也是m(注意到这两个 {Zm;+},mm(
    “ 阶 ” 字 含 义 不 同 ) . 即 如 果 G = ⟨ a ⟩ 是 m 阶 的 , 当 运 算 记 为 乘 法 时 , 必 “阶”字含义不同).即如果G=\lang a \rang是m阶的,当运算记为乘法时,必 ).G=am,,
    a m = e , a k = ̸ e , 0 &lt; k &lt; m , \qquad a^m = e, a^k =\not e, 0 &lt; k &lt; m, am=e,ak≠e,0<k<m,
    ⟨ a ⟩ = { a 0 , a 1 , ⋯ &ThinSpace; , a m − 1 } . \qquad \lang a \rang = \lbrace a^0,a^1, \cdots, a^{m-1} \rbrace. a={a0,a1,,am1}.
    当 运 算 记 为 加 法 时 , 必 当运算记为加法时,必 ,
    m a = 0 , k a = ̸ 0 , 0 &lt; k &lt; m , \qquad ma = 0,ka =\not 0, 0 &lt; k &lt; m, ma=0,ka≠0,0<k<m,
    ⟨ a ⟩ = { 0 ⋅ a , 1 ⋅ a , ⋯ &ThinSpace; , ( m − 1 ) ⋅ a } . \qquad \lang a \rang = \lbrace 0 \cdot a, 1 \cdot a, \cdots, (m-1) \cdot a \rbrace. a={0a,1a,,(m1)a}.
    命 题 1.5.7 有 限 群 G 的 任 一 元 素 a 的 阶 是 有 限 的 , 且 是 G 的 阶 的 因 子 . {\color{blue}命题1.5.7\quad}{\color{green}有限群G的任一元素a的阶是有限的,且是G的阶的因子.} 1.5.7Ga,G.
    证 : 设 a 的 阶 为 d , 群 运 算 不 妨 记 为 乘 法 , 则 有 {\color{blue}证:}设a的阶为d,群运算不妨记为乘法,则有 :ad,,
    ⟨ a ⟩ = { e , a 1 , ⋯ &ThinSpace; , a d − 1 } . \qquad \lang a \rang = \lbrace e, a^{1}, \cdots, a^{d-1} \rbrace. a={e,a1,,ad1}.
    所 以 G 的 子 群 ⟨ a ⟩ 的 阶 也 为 d . 据 定 理 1.3.6 立 得 结 论 . 所以G的子群\lang a \rang 的阶也为d.据定理1.3.6立得结论. Gad.1.3.6.
    循 环 群 G = ⟨ a ⟩ , 可 看 作 G 中 一 个 元 素 a 生 成 的 子 群 , 其 中 元 素 形 为 { a n ∣ n ∈ Z } . 由 于 a n 中 的 n 可 以 是 正 整 数 、 负 整 数 和 零 , 所 以 G 中 的 元 素 也 可 以 看 作 { a , a − 1 } 循环群G = \lang a \rang,可看作G中一个元素a生成的子群,其中元素形为\lbrace a^n | n \in \Z \rbrace.由于a^n中的n可以是正整数、负整数和零,所以G中的元素也可以看作\lbrace a, a^{-1} \rbrace G=a,Ga,{annZ}.ann,G{a,a1}
    中 任 一 有 限 多 个 元 素 的 乘 积 , 即 x 1 x 2 ⋯ x m , 其 中 x 1 , ⋯ &ThinSpace; , x m ∈ { a , a − 1 } . 中任一有限多个元素的乘积,即x_1x_2 \cdots x_m,其中x_1,\cdots,x_m \in \lbrace a, a^{-1} \rbrace. ,x1x2xm,x1,,xm{a,a1}.
    定 义 1.5.2 设 S 是 群 G 中 一 个 非 空 子 集 , 记 S − 1 = { a − 1 ∣ a ∈ S } , 则 {\color{blue}定义1.5.2\quad}设S是群G中一个非空子集,记S^{-1}=\lbrace a^{-1}|a \in S \rbrace,则 1.5.2SG,S1={a1aS},
    { x 1 ⋯ x m ∣ x 1 , ⋯ &ThinSpace; , x m ∈ S ∪ S − 1 } . \qquad \lbrace x_1 \cdots x_m | x_1, \cdots, x_m \in S \cup S^{-1} \rbrace. {x1xmx1,,xmSS1}.
    是 G 的 一 个 子 群 , 称 为 S 生 成 的 子 群 , 记 为 ⟨ S ⟩ . 是G的一个子群,称为{\color{blue}S生成的子群},记为\lang S \rang. G,S,S.
    其 中 “ ⟨ S ⟩ 是 G 的 子 群 ” 一 点 , 用 定 理 1.3.1 容 易 验 证 。 其中“\lang S \rang是G的子群”一点,用定理1.3.1容易验证。 SG,1.3.1
    若 ⟨ a ⟩ ⊆ G , 则 ⟨ a ⟩ 可 看 作 G 中 所 有 包 含 { a } 的 子 群 的 交 , 它 是 G 中 包 含 { a } 的 最 小 的 子 群 . 若\lang a \rang \subseteq G,则\lang a \rang可看作G中所有包含\lbrace a \rbrace的子群的交,它是G中包含\lbrace a \rbrace的最小的子群. aG,aG{a},G{a}.
    类 似 地 , 若 S 是 G 中 非 空 子 集 , 则 ⟨ S ⟩ 可 看 作 G 中 所 有 包 含 S 的 子 群 的 交 , 它 是 G 中 类似地,若S是G中非空子集,则\lang S \rang可看作G中所有包含S的子群的交,它是G中 ,SG,SGS,G
    包 含 S 的 最 小 的 子 群 . 包含S的最小的子群. S.
    如 果 ⟨ S ⟩ = G , 则 称 S 为 群 G 的 一 个 生 成 组 . 如 果 群 G 有 一 个 有 限 子 集 S 作 为 G 的 生 成 组 , 则 称 如果\lang S \rang = G,则称S为群G的一个{\color{blue}生成组}.如果群G有一个有限子集S作为G的生成组,则称 S=G,SG.GSG,
    G 为 有 限 生 成 群 . 有 限 群 自 身 就 可 以 看 作 一 个 生 成 组 , 所 以 , 有 限 群 一 定 是 有 限 生 G为{\color{blue}有限生成群}.有限群自身就可以看作一个生成组,所以,有限群一定是有限生 G.,,
    成 群 , 但 有 限 生 成 群 不 一 定 是 有 限 群 , 例 如 { Z ; + } = ⟨ a ⟩ 就 是 无 限 生 成 群 . 成群,但有限生成群不一定是有限群,例如\lbrace \Z;+\rbrace = \lang a \rang 就是无限生成群. ,,{Z;+}=a.

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  • 讨论了齐次循环群的自同态环,进而得到了其自同构群的矩阵描述,最后计算了其自同构群的阶。
  • 这里要强调一下概念:同态映射不一定是满射,因此有同台映射的两个不一定是同态,必须是要有满射的。自同态与自同构主要体现的是那个映射比较特别,毕竟肯定和自己同态同构。 同台比一定要发生在之间,也...

    我们要更加深入地学习同态与同构。先来学习一下那些符号:

    这里要强调一下概念:同态映射不一定是满射,因此有同台映射的两个群不一定是同态,必须是要有满射的。自同态与自同构主要体现的是那个映射比较特别,毕竟群肯定和自己同态同构。 

     同台比一定要发生在群之间,也可以发生在“拥有代数运算,但不知道是不是群”的集合之间。

    这个定理的证明很简单。注意:既然同态了,那我证明用的映射肯定用满射。

    还有一个点:代数系统也不一定是群。代数系统是一个群加上一些代数运算,这些代数运算只要求封闭(也就是之前看到的东西)。

    这个可以从上面的定理推出。同构的话二者互相同态,一个是群那另一个也是。假如只是同态,A同态B,B不一定同态A(满射不一定是双射,反过来行不通了),所以要求是同构。

    用人话讲就是:

    (1)H是G的一个子集,H用筏映射过去得到的群是H',还是G'的子集,而且H和阀H同态(这不废话吗,阀H就是H映射过去的,每个元素都是H元素的映射,也就当然是满射了,也就成为了“同态”)

    (2)这个“诱导”的意思是这个映射就是阀的意思。

     现在来一个很有意思的例题:

    明确了这些定义后,我们要正式开始学习:

    记得中心是什么吗?就是一个群当中所有可以与其他所有元素交换(也就是xa=ax的意思)的元素组成的群(证明他是群很容易)

    中心其实就象是一个交换群一样,交换群显然怎么分都是正规的,中心当然是正规的。

    N是G的正规子群,要求对G的每个元素都要aN=Na,换成H后要求还更低了。

     原本是要证aNa'=N的,现在只要证aNa'属于N就可以了。

     交代群就是对称群中偶置换组成的群。oxo'*oxo'=ox^2o'=oo'=e,可见这玩亿也是阶数为2的元素。而且是由几个偶置换乘起来的,也是偶置换,也就成了“阶为2的偶置换”。

     要求变高了嘛。

    都是同态的,这边aNa'=N,那那边aNa'=N也很正常吧。当然这里最受争议的肯定是逆映射的问题。这个是这样解释的:

    就是说:f'(A)的意思是“所有可以通过f关系映射到A的元素的集合”,这里要注意A中一些元素可能没有“逆元”,可能有很多“逆元”,所以会有上面的两个性质。 

    想象一下:H和K是正规子群,aHKa',aH=Ha,也就成了HaKa',aKa'=K,原式等于HK,也就是aHKa'=HK,HK也是正规子群。

    那第一条怎么证呢?:

    HK=KH<->NH<=G的证明在子群那一章。 

    从这个陪集乘法中我们可以看到两个正规子群(注意要是正规子群,不是正规的没法把ab移到前面)相乘得到的还是一个正规子群。

    这些都很简单,就不解释了。

     总而言之,我在G中任取一个a,如果这个|a|是p的倍数那直接就成了,p=|a^(p/|a|)|;假如不是,那|a|肯定也是pn的因数。我用a生成一个循环群<a>,整一个G/<a>,一个商群怎么说?(这是个交换群,哪个子群都是正规的,当然会有商群)这个商群|G/N|=pn/|a|,n/|a|是整数对不对?我们之前假设了pk交换群都成立有P阶元,那这个商群也有,我把它拿出来,设为bN,(bN)^|b|=b^|b|N=N,这个元素的阶显然是|b|的因数,这样我们就强行找到了一个阶是p的倍数的元素b,也就证到了。

    注意:pn阶群有p阶元不一定要是交换群,但pq,p1p2p3····的要求是交换群。

     

    单群显然和哈密顿群完全相反。哈密顿群是那个子群都是正规子群,不是交换群胜是交换群;单群就只有平凡正规子群,e和自己两个,完全相反。

    素数阶群没有除平凡子群以外的群。

    奇置换不能组成群,只有偶置换能成群。偶置换的总集合An是单群,里面没有正规子群,Sn也就没有其他正规子群的希望了。 

     

     交换群讲道理是含着金钥匙出生的,很容易有正规子群(是个子群就行),想要没有正规子群就只能是没有子群,那就只能是阶数为素数了。

    a->aN就可以了(aN是商集的元素)事实上,这个映射被称为自然映射。

     

    这个很好理解,G'的单位元是N,按照a->aN,只要a属于N,那aN就=N,所以核就是N。(注意:只是同态映射而已,不一定是双射或满射)

    G和G'同态,N对应G'里的单位元,xnx'->xx'=e也就是说xNx'中的每一个元素都对应G'中的e,还就那个属于自己,也就成了正规子群。

    形象地理解G/N和G'同构:G有一个群N和G'的e对应,那么就像是把G按照N分成了一块一块的,每一块相当于G里的一个元素。

    群同态基本定理可以通过第一同构定理推出来:N就是G的正规子群,e'就是G'中N对应的正规子群,G'/e'就是G'自己,所以G/N=G'

     

     G'可能有些部分没有参与,所以要拿出Im来。

    G肯定有N,G/N又要和G'同构(同构肯定同阶),这下不就整除了。

    在这里,和商群同构的也算商群。

    都是对应的。

    发(h-1x)=法(h-1)法(x)=e'。用简单的话讲:只要G的子群H包含了核,那么他映射过去返回来就还是自己,不会变大。

     每个H都可以发过去一个映射,每个H'都可以发回来一个,是双射。

    现在讲讲同构定理:

    第一步证明是映射就是证明一个xN只能对应一个x'N'.

     保持运算就是要保证是同态映射。

    可以这样形象记忆:原本大家就是同态,什么都对应,现在G/N和G'/N',N都包含kern,让大家都一样多了,就成为同构了。xN->x'N',一个一个对应。

    用人话讲,就是:两个同态的群,对一个相对应的正规子群(包含核)做的商群是同构的。

    下面这个例子:G和G/H是同态的,那个正规子群是HK和HK/H.

    用人话讲是:G有一个子群H,一个正规子群N,则H和N的交集是正规子群,且HN对N的商群和H对(H和N的交集)的商群是同构的。

     HN显然是G的子群。N是G的正规子群,当然是HN的正规子群。H和N的交集,是G子群和子群的交集,我们知道子群和子群交集还是子群,N又是正规子群,所以H并N是H的正规子群。

    现在我有一个映射,H里的x映射到HN/N里的xN(HN/N里面的元素就是aN,bN,cN···,abc都是H的),显然HN/N的单位元是eN,H里的什么元素映射到HN/N里面是eN呢?哪些属于N的元素映射过去还是N,也就是eN,故H的同态核是H并N.这样一来,同构就证明到了。

    接下来是第三同构定理:

    用人话讲就是:

    (1)N是G的正规子群,H'是G/N的一个子群(就是一个由aN,bN···组成的群),那么G肯定有一个子群H,包含了N,而且H/N=H' 。可以这样想像:H'是G/N的一个子群,是aN,bN···,既然是群,那么a,b···这些也自然是群,那么我可以写出一个包括了a,b··等元素和N,以及在aN,bN中的元素(那些会出现aN=cN现象的元素)的群H,这个群是自成体系的,N在这个群里的陪集就是aN,bN···这些,也就是说:H/N和H'是完全一样的,也就是H'=H/N.

    (2)第二个结论就是:G/H这个商群(aH,bH···),上下同时做N的商群,二者同构。

    自同构群:

    这东西看着特别绕对不对?就是这样:M是一个代数系统,M有几个自同构(就是说M上有双射映射,是M映射到M的,只要可以f(ab)=f(a)f(b)就是自同构的映射),这些自同构都是M到自己的映射,也就是变换,这些变换成一个群,叫M自同构群。

    这些个自同构也能成群可以这样简单理解:f1:a->f1(a),f1(ab)=f1(a)f1(b)  f2:a->f2(a),f2(ab)=f2(a)f2(b),我现在f1*f2,我们知道交换乘交换还是交换,这样当然也还是自同构。逆元也很好找,原来是a->b现在就b->a呗。

     

    无限阶循环群只有两种自同构的方法:一个是完全不动,一个是a->a-1,于是是二阶的,素数群当然是循环群啦。

    循环群有多少生成元就会有多少自同构方法。可以这样证:假如a,a^3是一个4阶循环的生成元,我让a->a^3,那a^3->a^5,也就是a,a^2->a^4=e,这样就轻易地获得了一个自同构。这样我就发现了一个规律:只要生成元向前对应(其他普通元素也用同样的步伐对应),就生成一个同构,这样的同构是生成元数-1,再加上恒等变换,就是生成元数量。

     可以看到,假如axa-1=aya-1,那么x=y,显然这时双射。接下来是群就很好证了。现在就是要整正规子群。:

    因为 也是自同构的变换,所以可以aya-1)=a)····,这样直接拆开。这样一算有变成了一种内自同构,这样内自同构显然是一个正规子群了。

     正规子群本来就是aNa-1=N,来一回axa-1的映射当然不会变化。

     

    注意,这里是任意的自同构,可能不是axa-1这种为正规子群量身定制的映射,所以正规子群不一定是特征子群,但是特征子群一定是正规子群,因为特征子群已经经受了axa-1的考验了。 

     

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