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  • 3 循环群; 本文主要参考文献.更多内容,请移步专栏目录:格罗卜:格罗卜的数学乐园-目录​zhuanlan.zhihu.com1 基本概念我们先简要复习一下群论的基本概念.1-1. [群I] 为集合, 上有二元运算 , 满足: 结合律, 存在...

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    内容提要:

    1 基本概念; 2 群的同构定理; 3 循环群; 本文主要参考文献.

    更多内容,请移步专栏目录:

    格罗卜:格罗卜的数学乐园-目录zhuanlan.zhihu.com
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    1 基本概念

    我们先简要复习一下群论的基本概念.

    1-1. [群I]

    为集合,
    上有二元运算
    , 满足: 结合律, 存在单位元, 存在逆元.

    1-2 [群II]

    为集合,
    上有二元运算
    , 满足: 结合律, 存在左单位元, 存在左逆元.
    • 在群II中, 左逆是右逆.
    [证明]
    有左逆
    ,
    有左逆
    , 那么
    .
    • 在群II中, 左单位元是右单位元.
    [证明] 设左单位元是
    , 那么
    .
    • 由此可见群的这两种定义是等价的.
    • [阿贝尔群] 阿贝尔群是运算满足交换律的群.
    • 群的单位元唯一.
    [证明]
    .
    • 群中元素的逆元唯一.
    [证明]
    有逆
    , 那么
    .
    • [消去律] 群中成立消去律:

    ;
    .

    1-3. [子群]

    的子集
    称为一个子群, 如果满足: 乘法封闭, 存在单位元, 存在逆元.

    1-4. [正规子群]

    的子群
    是正规子群,如果对于
    中任意元素
    中任意元素
    ,都有
    .

    1-5. [态射] 两个群之间的映射

    称为
    群同态, 如果

    1-6. [像] 同态

    的像记作
    .

    1-7. [核] 同态

    的核记作
    • 同态的核是正规子群.
    • 同态的像是子群.
    • 同态把幺元映为幺元.

    1-8. [左陪集] 如果

    的子群,且
    ,则
    .

    [右陪集] 如果

    的子群,且
    ,则
    .

    1-9. [商群] 如果

    的正规子群,
    表示所有陪集的集合, 在其上有自然的乘法运算, 构成一个群, 称为
    商群.

    1-10. [Lagrange定理]

    是有限群,
    的子群, 则
    , 其中
    的左陪集的个数, 也是右陪集的个数, 称为
    中的
    指数.
    [证明]
    , 因此
    , 其中
    是左陪集的集合.

    2 群的同构定理

    2-1. [同态基本定理]

    是群同态,那么
    .
    [证明] 所需的同构为
    .

    首先要证明良定性. 即对于
    , 若
    , 那么
    . 这可以由
    得到.

    然后需要证明这是同态, 也是显然的.
    满射是显然的.
    最后需要证明它是单射. 就要证明如果
    , 那么有
    , 这是因为
    .

    2-2. [子群的运算] 如果

    是子群链, 那么:
    • (1) 如果
      的正规子群, 则
      的正规子群
    • (2) 由条件
      的正规子群, 和
      的正规子群并不能得到
      的正规子群.
    [反例]
    的正规子群,
    的正规子群.

    2-3. [第一同构定理(满同态的结构)]

    是满同态,那么:
    • (1) 正规子群的像正规,正规子群的原像正规.
    • (2) 对于
      的子群
      ; 对于
      的子群
      .
    • (3)
      的所有包含
      的子群与
      的子群一一对应.
    • (4) 在上述对应中,正规子群对应正规子群.
    • (5) 如果
      并且
      的正规子群,自然的,
      的正规子群,
      的正规子群, 有同构:
      .
    [证明] (2) 第一句话:
    , 即有
    .

    反之
    存在
    使得
    , 因此
    .

    第二句话:
    , 这里
    , 因此存在
    使得
    . 又
    所以
    , 所以
    , 反面显然.

    (1) 由定义显然;
    (3) 是初等的.
    (4) 结合(1)与(3)得到.
    (5) 考虑
    ,
    , 那么
    , 即
    , 所以
    .

    2-4. [第一同构定理(变体)]

    的正规子群,
    的正规子群,
    , 那么:
    • (1) 自然的,
      的正规子群;

    考虑满同态

    .
    • (2)
      的正规子群;
    • (3)
      的所有包含
      的子群与
      的子群一一对应.
    • (4) 在上述对应中,正规子群对应正规子群.
    • (5) 有同构:
      .

    2-5. [单同态与正规子群的局限]

    为单同态. 令
    的正规子群. 定义
    . 不失一般性,可以假定
    ,即
    .
    • (1)
      的正规子群;
    [证明] 考虑
    , 那么
    .
    • (2)
      .

    注记: 结合第一同构定理的(1)和这里的(1)可知局限保正规子群.

    2-6. [第二同构定理]

    为群.
    是一个子群,
    , 那么:
    • (1)
      是子群, 并且
      . (由正规子群的定义易证);
    • (2)
      中的局限仍然为
      ;
    • (3) 考虑
      , 我们有
      .
    • (4)
      .

    注记: 第二同构定理让我们可以把

    看为
    的子群.

    3 循环群3-1. [阶]

    为群,
    , 如果存在一个
    使得
    ,那么我们称
    的阶为
    , 记为
    .
    3-2. [循环群]
    为群, 如果存在一个
    , 使得
    可以表示成
    , 那么
    被称为循环群.

    3-3. [

    的子群]
    的子群有且仅有
    .
    [证明] 首先
    显然都是子群, 而任意子群中找最小正元素, 则可说明具有形式
    .

    3-4. [无限循环群]

    为无限循环群, 那么
    .
    [证明]
    可以表示成
    , 那么构造满同态
    ,
    . 考察核即可.

    3-5. [有限循环群]

    为有限循环群, 那么
    .
    [证明]
    可以表示成
    , 那么构造满同态
    ,
    . 考察核即可.

    3-6. [元素的阶整除群的阶] 有限群

    中,
    , 则循环子群
    的阶就是元素
    中的阶, 由Lagrange定理可知
    整除
    .

    3-7. [素数阶群]

    为素数阶群, 那么它是循环群.
    [证明]
    有非单位元
    .
    所以
    .

    3-8. [Fermat小定理]

    为素数,
    不是
    的倍数, 那么
    .
    [证明]
    中有非单位元
    . 所以
    . 因此
    .

    本文主要参考文献: Joseph J.Rotman : 高等近世代数, Advanced Modern Algebra, 出版社:机械工业出版社, ISBN:9787111191605

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    内容提要:

    1 群代数; 2 域上的有限维群代数和Maschke定理; 3 函数环; 4 代数闭域上的群表示论; 本文主要参考文献.

    本文的前置内容为:

    格罗卜:群论(1): 群, 同构定理, 循环群

    格罗卜:群论(2): 群作用, Sylow定理

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    1-1. [群代数] 如果

    是一个群,
    为一个交换环. 我们来定义群代数
    .
    • (1)
      首先是自由
      -模, 它有基
    • (2)
      的乘法由群乘法给出, 并线性扩张到整个
      上.

    :

    的幺元为
    .

    1-2. [整群环上的模] 如果

    是一个群, 则称
    整群环. 整群环
    上有左模
    , 那么对于
    , 成立:
    • ;
    • ;
    • .

    反之, 假如我们有群

    和交换群
    ,
    作用在
    上满足这三点:
    • ;
    • .

    那么交换群

    有唯一的
    -模结构.

    1-3. [群代数的泛性质]

    是一个群,
    为一个交换环. 群代数
    是一个
    -代数
    和一个映射
    的对
    , 满足如下泛性质: 对任意的
    -代数
    和任意满足
    的映射
    , 都存在唯一的
    -代数同态
    , 满足
    .

    1-4. [乘积的群代数]

    是一个群,
    为一个交换环. 那么
    的群代数为
    .
    [证明] 抽象废话.

    2 域上的有限维群代数和Maschke定理

    2-1. [非特征

    情形群代数可以不半单]
    有限群,
    是域.
    , 那么
    不是半单环.
    [证明] 首先定义一个特殊元素
    , 它显然不是
    , 并且对于任意的
    都有
    , 由此可见
    是一个
    双侧理想.
    然而
    , 也就是说
    ,
    .

    2-2. [向量空间态射变模态射]

    有限群,
    是域.
    . 对于任意的
    , 定义
    , 那么有
    .

    2-3. [Maschke定理]

    有限群,
    是域.
    , 那么
    是半单环.
    [证明] 对于任意的
    的子模
    ,

    作为
    -向量空间有直和分解:
    ,

    考虑投射
    , 并令
    , 于是有
    ,
    , 因此
    .

    2-4. [例子]

    阶循环群,
    是域, 则
    .

    2-5. [例子]

    ,
    是域, 则
    同构于Laurent多项式环.

    3 函数环

    3-1. [点态函数环]

    有限群,
    是域. 现在来给出群代数的对偶, 也就是
    点态函数环.

    我们记

    , 也就是全体函数
    .
    • 作为有限维
      -向量空间有对偶基:

    我们来给出

    的乘法结构.
    • 的乘法: 点态乘法.
    • 的幺元为
      即在任意
      处取
      值的函数.
    • 的零元为
      , 即任意
      处取
      值的函数.
    • 为两两正交的幂等元, 所以
      .

    3-2. [卷积函数环]

    有限群,
    是域. 现在来给出另一种函数环, 也就是
    卷积函数环.

    我们记

    , 也就是全体函数
    .
    • 作为有限维
      -向量空间有对偶基:

    我们来给出

    的乘法结构.
    • 的乘法: 任意
      定义乘法:
      .
    • 的幺元为
      .
    • 的零元为
      , 即任意
      处取
      值的函数.
    • , 所以作为
      -代数有
      .

    4 代数闭域上的群表示论

    4-0. 基本假定: 在此小节中, 始终假定

    有限群,
    代数闭域,
    .

    4-1. [分解为矩阵环的积] 由于

    有限群,
    代数闭域,
    . 那么根据 Wedderburn-Artin定理, 我们有
    .

    4-2. [数量关系] 条件同4-1, 我们有

    .
    [证明] 直接比较维数即可.

    4-3.

    作为
    的子代数有自然的
    -模结构, 由
    ,
    确定, 因此存在如下的正合序列:

    ,
    • 我们总是可以认为
      , 即分解中的子代数
      .

    4-4. [共轭类]

    表示
    的全部共轭类, 令
    , 那么
    都在
    的中心.

    4-5. [群代数的中心] 根据定义, 我们有:

    .

    进一步地, 有:

    .
    [证明] 首先, 显然的
    -线性无关的.

    然后, 对于任意
    , 任意
    , 由
    可以得到

    对任意
    ,
    .

    4-6. [数量关系] 我们有

    . 这里
    在4-4中定义,
    在4-1中定义.

    4-7. [交换群情形]

    是交换群当且仅当有
    .

    4-8. [Schur引理]

    有限群,
    代数闭域,
    .
    是单
    -模, 那么
    .
    [证明]
    是有限维可除
    -代数, 因此
    .

    4-9. [一般线性群] 给定

    -向量空间
    ,
    的一般线性群
    是所有
    上的可逆线性变换的集合, 和函数复合作为二元运算组成的群.

    4-10. [有限群的表示]

    为有限群,
    的一个表示
    是一个从
    的群同态, 这里
    -向量空间,.

    4-11. [一一对应] 给定

    -模
    , 则
    -向量空间, 且模作用自然诱导了一个
    上的线性表示. 给定一
    -线性空间
    与群表示
    , 则该表示自然确定了一个
    上的
    -模结构. 特别的, 这两种自然对应是一一对应.

    本文主要参考文献: Joseph J.Rotman : 高等近世代数, Advanced Modern Algebra, 出版社:机械工业出版社, ISBN:9787111191605

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  • 扩展为:任意两个无限接循环群总是同构的 设G关于二元运算“•”构成一个无限接循环群,记其单位元为e; 有循环群的定义,记G得生成元为a,则G=<a>;----即表示G中任何一个元素都可以表示为an; 由于任何一...

    扩展为:任意两个无限接循环群总是同构的


    1.  设G关于二元运算“•”构成一个无限接循环群,记其单位元为e;
    2. 有循环群的定义,记G得生成元为a,则G=<a>;----即表示G中任何一个元素都可以表示为an;
    3. 由于任何一个无=无限阶循环群都与整数加群同构-----故问题等价于任何一个无限阶循环群都有整数加群同构;
    4. 证明两个群是同构的等价于构造一个同构映射
    5. φ(n)=an 是整数加群到G的映射;
    6. 证明:φ是映射,任何相等相等的原像其像是相等的
    7. 证明:φ是同态
    8. 证明:φ是单射,满射

    如何证明其实单射-------其kerφ={0}

    反证法:假设其kerφ中还包含有另外一个整数,记作n,满足φ(n)=an=e;

    对于G中的任何一个元素am;令m=nr+q;0<q<\n\

    则am=anr+q=anr+aq=aq

    则任何一个元素am与都与有限个元素相等,故G不可能是无限阶群,矛盾。


     映射容易证明

    满射也容易证明

    故#

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/lookingforwardmrh/p/6789792.html

    展开全文
  • 丁石孙著前言上节我们引入了循环群的概念,并且为了分类循环群,我们将在本文引入同构的概念,同构是一个非常强的条件,它的引入将使我们研究群更加的简单,对于复杂抽象的群我们只需要去解剖跟它同构的简单直观的群即可....

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    参考教材

    • 《近世代数》.丘维声著
    • 《近世代数》.韩士安著
    • 《Algebra》.Artin著
    • 《代数学引论》.聂灵沼.丁石孙著

    前言

    上节我们引入了循环群的概念,并且为了分类循环群,我们将在本文引入同构的概念,同构是一个非常强的条件,它的引入将使我们研究群更加的简单,对于复杂抽象的群我们只需要去解剖跟它同构的简单直观的群即可.换言之,这两个群具有相同的结构.

    我将按照我自己学习的理解去编排内容,在讲解以后更深的群论内容时可以更加的自然且有动机,我也尽力去通过自己的理解去一步步讨论,让概念的引入更加的自然和富有动机,以下是目录(括号内是一些有趣或重要的定理方便指引).

    5c153838abd71bfb6f15fbe0668b5bb5.png
    关系图

    目录

    1. 群同构
    2. n元对称群
    3. 子群(Cayley定理)
    4. 陪集(Lagrange定理)
    5. 群同态
    6. 正规子群
    7. 商群
    8. 群同态基本定理

    1.群同构

    定义:

    是两个群,如果有一个
    的一一对应(双射)
    ,它满足:

    则称
    同构于
    ,记作
    .

    例:数域

    维线性空间上的全体可逆线性变换同构于

    例:

    例:任意一个无限群与
    同构,构建映射如下:

    例:对于
    ,任意一个
    阶循环群与
    同构,构建映射如下:

    例:
    阶循环群与加法群
    同构

    注:

    • 具体的证明只需要按照定义,证明其是映射,单射,双射,满足结构即可.
    • 群同构是一个等价关系,我们通过同构将所有循环群组成的集合进行了划分,对于一般的循环群或许会很抽象,但是对于
      ,确实非常具体且容易理解的.

    定理:

    是群
    的一个同构映射,
    分别是
    的单位元,
    中任意元素.则有
    1. 是可逆映射,其可逆映射
      也是
      的同构映射

    证:

    (1)对任意的

    ,有
    ,且根据同构定义

    两边右乘

    得到
    .

    (2)对任意的

    ,有
    ,且根据同构定义

    两边右乘

    得到
    .

    (3)因为

    是双射,因此其逆映射也是双射,且保持运算.

    我们研究了

    的同构,那如果
    时会如何?于是讨论如下:

    定义:

    群到自身的同构成为自同构

    通过这个定义,很自然的想到对于一个群

    ,存在一个集合,它包含了
    的所有自同构映射,显然满足结合律,且存在恒等同构:
    并且任何一个自同构都存在一个逆映射,它也是一个自同构,这就说明这个集合是一个运算为乘法的群,记作
    .

    观察自同构群的定义可以发现这些条件还是很苛刻的,即要求对象是群还要是同构映射,倘若我们放宽限制,考虑一个非空集合

    到自身的所有双射组成的集合,同样的方法我们依然可以发现这个集合是一个群,称它为集合
    全变换群,记作
    ,特别情况,当
    为有限集合时,
    中的元素称为
    置换,为了方便起见,我们可以将集合
    个元素都用编号
    来代替,即
    ,则称这时的
    元对称群,记作
    .

    于是我们从群同构自然而然的引出了下面一节的内容.

    2.n元对称群

    元置换
    映成
    ,则我们可以用下列形式简单描述:

    例:

    可以从这个例子中发现

    不是一个Abel群.

    通过观察

    可以发现,它把1映成2,把2映成4,把4映成3,最后又从3回到1,我们把类似这种情况的映射称为一个
    轮换,假设轮换的元素有r个就记成r-轮换,例如
    就是一个4-轮换,我们可以将
    简写成
    ,显然
    .

    特别情况,2-轮换称为对换,即只有2个元素相互置换.例如

    注:

    1. 是非Abel群
    2. 不相交的轮换可以交换

    下面的内容将具体的阐述

    的意义和重要性,以及一些巧妙地方法.

    例(

    与一元多项式根的联系):
    当初伽罗瓦的想法出发点就是方程根的置换群,它保持根之间关系式不变.

    举个简单例子,考虑一元二次方程

    .它存在2个根
    ,这两个根与系数存在联系,即韦达定理:

    可以发现即使对换
    相互对换,这个式子依旧保持不变,称这种式子为对称多项式.同样的情况在一元三次和四次方程都存在,即当
    作用于根组成的集合
    下,对称多项式依旧保持不变,更深的内容将在以后群在集合上的作用那节会讨论到.

    对称群还可以和几何图形,以及矩阵联系起来.下面将举

    时的例子.

    例(

    与几何图形的联系):考虑正三角形,记
    为顺时针旋转120°,
    表示绕着
    对称轴翻转.其群为
    ,具体图形如下:

    e284fd56433d7e1e8908d7eda9ac5d95.png

    可以发现这个群一一对应了

    .这是与几何图形的联系.

    例(

    与矩阵的联系):
    依旧考虑
    的情况,我们可以将其每一个元素都写成矩阵的形式,

    的性质在这6个矩阵中依旧存在.

    例(

    与行列式的联系):
    回忆高代中,引出行列式概念之前有排序的概念,其中当逆序为奇数时取-1,偶数时取1,这本质上也是对称群在其中起作用.

    奇(偶)置换的第一种定义:

    当一个置换可以表示成偶数个对换的乘积时,称为偶置换,当一个置换可以表示成奇数个对换的乘积时,称为奇置换.

    奇(偶)置换的第二种定义:

    个文字,定义
    存在一个置换
    ,则
    很显然
    ,当
    则为偶置换,当
    则为奇置换.

    注:

    1. 全体偶置换构成一个群,记作
      .

    与行列式的联系在引入群同态后的群的同态定理下有更深刻的理解.

    是两个群,并且
    的子集,模仿通过研究子空间来了解线性空间的结构和性质,我们可以通过了解这种子集依旧是群的性质,以此了解群的更深层的结构.

    3.子群

    定义:

    如果群

    的非空子集
    对于
    的运算也成为一个群,则
    的子群,记作
    .

    例:

    例:

    例:

    例(平凡子群):

    例:

    有了子群的概念我们可以结合之前的群同构去理解Cayley定理

    Cayley定理:

    任何群都同构于某集合上的变换群.

    证:

    是一个群,对于每个
    ,定义集合
    上的变换
    ,满足
    .

    首先存在单位变换

    其次

    可逆,

    因此所有集合

    上的可逆变换组成群

    又因为

    ,因此
    是一个映射且易证明是一个一一对应的映射

    并且还满足

    ,因此

    注:

    1. 变换群
      称为群
      的左正则表示,变换
      称为元素
      上引起左平移,同样也有右平移的定义.
    2. 是有限群时,
      都是
      的子群
    3. 任意有限群都同构于对称群的子群

    考虑子群

    对于运算封闭,因此对于

    反过来若

    ,则
    (证明单位元),
    (证明任意元素存在逆元),即
    为子群.于是我们得到了检验是否为子群更直接的方法:

    定理:

    现在设

    的子群,定义一个二元关系
    为:

    易证明其为等价关系,因此我们可以给出等价类:任意的
    ,有

    于是我们引出了下一节的内容,陪集.

    4.陪集

    子群的陪集概念是对群结构进行解剖的有力工具,为之后引出正规子群和正规子群和商群.

    定义:

    一个子群,对于
    中任何元素
    ,对于如下集合:

    称为右陪集

    称为左陪集.

    显然

    是子群
    到右陪集
    的一个双射,同样
    是子群
    到左陪集
    的一个双射.因此

    例:在群

    中,设
    ,则有左陪集如下:

    我们可以从这个例子入手去探索,我们可以发现以下几条:
    1. 子群
      的左陪集只有三个
      ,并且这三个左陪集并等于群
    2. 所有的左陪集要么相等,要么一个元素都不相同
    3. 刚好等于左陪集个数(3)与元素个数(2)乘积

    因此有如下几个问题:

    1. (对于第一二条发现)会不会存在不相等且交不为空集的左陪集?
    2. (对于第三条发现)是否每一个群都可以有这三条现象存在?

    讨论问题一:

    定理:

    一个子群,
    的任意两个左(右)陪集要么相等要么无公共元素.且
    可表示成若干不相交元素之并

    证:

    是左陪集,若存在相同元素,则 :
    同理
    .

    ,去掉相同的陪集之后,
    可表示成若干不相交元素之并.

    于是我们得到

    通过引入陪集的概念我们将群

    拆分成
    个不相交左陪集之并,群的结构也被我们进一步解剖,我们称
    指数,记作
    .实际上它只是群
    的子群
    通过构造左陪集得到的不同左陪集个数而已.有了这些认识,第二个问题也可以解决.

    讨论问题二:

    Lagrange定理:

    为有限群,
    是子群,则有
    .

    证明结合上文子群

    和其陪集阶相同与问题一定理即可.

    注:

    1. 的因子
    2. 中每个元素的阶一定是
      的因子,即
    3. 为素数时
      为循环群

    Lagrange定理揭示了子群重要的性质,例如当我们知道

    的时候,它的非单位元元素阶必定只会是2,4阶,不可能存在3阶元素.我们可以通过这个思路去探索四阶群的所有同构类.

    问题:四阶群的所有同构类

    情况一:

    中有四阶元素时,
    为循环群,根据同构章节介绍的内容,

    情况二:

    中没有四阶元素,那么所有的非单位元元素阶只能为2,假设

    因为

    ,因此他们的逆是其自身,于是
    (否则
    ),
    (否则
    ),
    (否则
    ),因此
    ,同理
    ,于是
    ,因为
    地位相同,因此
    ,从而
    是一个Abel群.现在构造映射

    首先
    是个映射,且是双射,且满足了结构(读者可自行验证,顺着同构定义来即可),从而:

    综上所述,四阶群有两个同构类,第二个同构类称为
    Klein群

    为了引入正规子群和商群,我们要重新把目光集中在映射上,群同构既要满足双射又要满足结构,这个条件太强了,当我们只考虑结构时,放宽的条件或许会有更多的性质可以发现,因此我们引入群同态

    5.群同态

    定义:

    是两个群,
    是群
    的一个映射,如果映射满足:

    的一个同态.

    例:

    例:

    这个例子揭示了行列式逆序数个数与正负号的关系,它本质是

    有一个同态.

    下面介绍两个非常重要的集合

    是群
    的一个同态.

    同态

    的核记作

    同态

    的像记作

    注:

    1. ,则
      为满同态
    2. 为单同态

    考虑

    的陪集,
    这表明
    的左右陪集是相等的,即
    .对于这类如此特殊的群,我们将进行细致的研究.

    6.正规子群

    定义:

    ,
    ,有
    ,那么
    的正规子群,记
    .

    上述定义可以改写为

    .

    例:

    例:

    (因为
    )

    例:

    例:

    命题:

    , 若
    ,则

    正规子群对于研究群结构起重要的作用,我们扩大陪集的范围,考虑群

    的两个子集
    的运算,定义为
    ,
    .

    如果

    是任意一个子群,则右陪集的乘积可能不是右陪集,但是当
    为正规子群时,就有如下定理成立:

    定理:

    任意两个左(右)陪集的乘积还是左(右)陪集

    证:

    必要性:

    充分性:

    再将
    换成
    可以证明

    注:

    1. 表明陪集的乘法实际上是陪集代表的乘法
    2. 为单位元
    3. 有逆元

    正规子群构造的左(右)陪集所组成的集合在乘法下构成群

    ,于是我们有了商群的概念.

    7.商群

    定义:

    在陪集乘法下的群称为

    对正规子群
    的商群.

    注:

    1. 商群实质上是群
      被其正规子群
      划分成一系列不相同陪集的集合,这些陪集在乘法下构成群.
    2. 一般的子群也能将
      划分但是只有正规子群不需要区分左陪集或右陪集.
    3. 为有限群时,

    例:

    例:

    中不存在6阶子群

    证:

    存在6阶子群
    ,从
    得到
    必定为正规子群,而
    ,从而有任意的
    ,因此
    .因此我们可以构建集合
    :

    可以得到有9个元素,但是

    ,
    ,因此矛盾.

    商群的研究能简化我们对群的理解,因为它是由正规子群的陪集组成,与原来群之间存在相似的属性,同时商群还会比原来的群更加的简单,下面的自然同态就是搭建群

    和商群
    的联系.

    自然同态:

    注:

    1. 同态的核是正规子群,正规子群是某一个同态的核
    2. 自然同态是满同态

    自然同态是一个跳板,最终达到本章节的集大成部分——群同态基本定理,它包含了我们之前所学的所有知识.

    8.群同态基本定理

    是一个满同态,
    的核,则
    .

    证:

    是自然同态,则有两个满同态

    设存在一个映射

    :

    于是我们能画出交换图:

    5e27b773ab90bc29dcaeb619e477a9a0.png

    因为

    是满同态,因此
    ,显然
    为双射

    因此

    为同构映射.即
    ,并且

    例:

    d97408ffde43d712866347fb2cc42187.png

    例:

    7017cdeae2b30c30f8d0746afef56512.png

    例:

    的满同态,则

    36326862de1b419d8dc34ae0f3af6956.png

    注:群同态是研究群结构的主线,以后验证这类问题只需要建立一个合适的满同态,然后求其核,最后根据群同态基本定理,我们只需要了解

    这个商集的结构和性质即可了解
    的性质.

    后记:

    本篇文章只是为了了解概念和知识为目的,对于许多题目的讲解不太重视,而且这篇内容是群的基本知识,还是有很多疑问存在,很明显的就是Lagrange定理告诉我们12阶群的子群只有1,2,3,4,6,12这6个,但我们通过证明发现

    是没有6阶子群的,这说明定理只是告诉我们可能性,但不能告诉我们是否真的有,具体的内容要等到Sylow定理时才能解决.文章中也提到过群在集合上的作用以及自同构群,但真正的内容还需要细致的讲解才能领悟,群论的深层内容还没有触及到,例如单群、可解群等等内容,群同态定理之后还有几个推论的同构也没有提到,所以还需努力!
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