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  • 2017-07-28 21:09:14

    在讲子群的时候,我们提出了生成子群的概念 < S > <S> <S>,特别的,如果 S = { s } , 有 < S > = < s > S=\{s\},有<S>=<s> S={s}<S>=<s>。根据这些,我们可以引出循环群的概念:

    G G G称为循环群,如果有 g ∈ G g\in G gG使得 G = < g > G=<g> G=<g>

    其实之间说过的旋转变换就可以以循环群的形式出现。比如:
    g = [ c o s 120 s i n 120 − s i n 120 c o s 120 ] g=\begin{bmatrix} cos 120 & sin 120 \\ -sin 120 & cos 120 \end{bmatrix}\quad g=[cos120sin120sin120cos120]
    这样 g , g 2 , g 3 g,g^2,g^3 g,g2,g3在矩阵乘法下构成群。

    上面举的例子是一个有限群,应该不难发现,这种循环群的特点是,生成元素与通过幂运算(在乘法群)得到的元素可以构成群。

    上面的例子还有个特点, g 4 = g , g 3 = e g^4=g,g^3=e g4=g,g3=e。这是不少循环群的:

    在循环群 G = < g > G=<g> G=<g> 中,如果有不同的整数 r , k r,k r,k使得 g r = g k g^r=g^k gr=gk,则存在整数 m m m使得:

    • g m = e g^m=e gm=e
    • 1 ≤ i < j ≤ m , g i ≠ g j 1\le i<j\le m, g^i\neq g^j 1i<jm,gi=gj
    • 若有整数t, g t = e g^t=e gt=e,则 m 整 除 t m整除t mt
    • < g > = { e , g , g 2 , . . . , g m − 1 } <g>=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\} <g>={e,g,g2,...,gm1}

    如果对于任意不同的 r , k , g r ≠ g k r,k,g^r\neq g^k r,k,gr=gk,那么 < g > <g> <g> 是一个无限群。

    现在,根据是否存在不同的整数 r , k r,k r,k 使得 g r = g k g^r=g^k gr=gk,我们可以将循环群分为两类。而这两类循环群在结构上也具有各自的性质:

    若存在不同的整数 r , k r,k r,k 使得 g r = g k g^r=g^k gr=gk,那么 < g > = { e , g , g 2 , . . . , g m − 1 } <g>=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\} <g>={e,g,g2,...,gm1},对任意的 1 ≤ i < j ≤ m , g i ≠ g j 1\le i<j\le m, g^i\neq g^j 1i<jm,gi=gj

    若对任意不同的整数 r , k r,k r,k 使得 g r ≠ g k g^r\neq g^k gr=gk,那么 < g > = { . . . , g − 2 , g − 1 , e , g , g 2 , . . . } <g>=\{...,g^{-2},g^{-1},e,g,g^2,...\} <g>={...,g2,g1,e,g,g2,...}

    有时也将这两条性质成为循环群结构定理。

    比如整数在加法下构成的群,就有第二条性质陈述中的那种结构,而整数加法群可以写成 < 1 > <1> <1>,类似的例子还有很多,这儿就不一一举出了。

    下篇博文的主题是阶数,它与有限循环群有些关系,大家可以考虑一下第一种循环群中 g m = e g^m=e gm=e这条性质。

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    千次阅读 2021-09-20 01:01:48
    首先的首先,我们要对“包含M的最小子”这个概念彻底了解: 想象一下:一个G中,有一个小小的子集(注意是子集),有很多包括这个子集,而这些的交集就是<M>,如何证明<M>也是一个子呢?...

    首先的首先,我们要对“包含M的最小子群”这个概念彻底了解:

     想象一下:一个群G中,有一个小小的子集(注意是子集),有很多群包括这个子集,而这些群的交集就是<M>,如何证明<M>也是一个子群呢?想象一下,假如有aob=c而c不在<M>里的情况,既然c不在<M>里,那就肯定有子群包含了a,b但不包含c,那他就不是子群了,可见<M>肯定是子群。可以看到,只要包含M就会包含<M>(假如有不包含<M>的部分,那<M>就得相应地变小)。

    现在我们彻底了解了,讲生成系:

     可以看到想要成为生成系很容易,只要作为一个子集被子群(哪怕只有一个)包括了,那就有了<M>,有了自己生成的子群(一个M倒是只能生成一个<M>),自己就成生成系了。

    注意:<M>=<a1,a2,a3>可不是这个生成的子群元素就是a1,a1,a3的意思,是生成系元素是a1,a2,a3的意思,<M>本体可以大得多。

    从这个地方开始,你就要想一想为什么M可以被称为生成系,<M>要叫生成群了。这样想:我有一个子集M,我想要让他变成群,但他自己不够,自己的元素乘了几下就跑出去了,那小子还要有逆元,单位元,我得加几个元素才能保证元素乘来乘去而不会跑出去。我就给他加几个元素。加几个才可以呢?那就找到那些包含了M的子群,他们的交集是最小的子群,也就是说,想要把M变成群,加成<M>这样就可以了。

    那么,这个时候你可能就会想了:假如M里有a和b,aob=c,那我就要把c放进来。aoc=d,那我就要把d放进来···那岂不没完没了了?那可不一定。aoc不一定是d也可能是b呀,乘到最后可能会回去,是不是又“循环”的感觉了?对!(当然他也确实有可能是无限群)

    这个理解了,那接下来就是循环群了:

     这里可以向上解释一下:a在这里是生成元,在上面相当于生成系。G在这里被a生成了,可不就是上面那无数子群取交所得的<a>,生成群。不过这里,G自己翻生当主人,自己成了群。

    我刚刚讲到,M生成<M>的过程就是M里的a,b乘来乘去,把不认识的元素加到自己的集合里来的过程。现在M里面只有a一个元素了,那a只能自娱自乐,自己乘自己,于是所有元素都成了a的幂。当然他也不一定就是无限群。刚刚有讲过,有可能“循环”的。

    来几个循环群的例子:

    对各个例子的解释:

    1.我现在M={1},子群想要包含1,假如只是简单地包几个数的话都不是群,(注意正整数加群不是循环群,群要有逆元呀)最后只能变成整个整数。还可以用-1做生成元。注意不可以用2,-2之类的,得到的循环群会是2*Z。

    a的阶数是无穷,那a就没指望“循环”了,加上e,逆元····就成了上面那样。

    a的阶数有穷,那就可以“循环”了,就成了上面那样。你可能会问:为什么没有a-1之类的?笨啦,a-1不就是a^n-1吗?

    同构会不会忘了是怎么回事?就是元素,映射,隐射结果全部双射对应的意思。

    来几个推论:

     当然啦,刚刚就有证。

     记得刚刚的整数加群吗?1和-1都是生成元。可以这样理解:a乘来乘去有了正半部分,逆元就有了反半部分,那a^-1也是这样。

    那Euler函数是什么呢?:

    就是对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) 。

    假如有某个数k不和n互质,那k多乘几次肯定会有漏掉的元素。产生的群还是循环群,但变小了,和原来的不一样了。

     首先可以看到,<M>的子群还是循环群(就叫它<n>吧),n和M肯定不一回事。(假如是的话那<M>可就不是M的生成群了)其实我们刚刚举过例子了。|a|=n的时候我用一个不和n互质的数k,a^k做生成元产生的群肯定相较于原来的漏掉了一些,但还是生成群,并且是子群。假如|a|=无穷,就以整数加群为例,我拿2做生成元,产生的群是2*Z,是Z的子群,还是循环群。

    第一部分很显然。第二部分则直接不装了:我k就是和n有一腿,我这都不是不互质了,我直接是人家因子,那不晓得漏掉几多。就比如说n=6,k=2,那以a^(6/2也就是3)为生成元的循环群就只有{a3,a6=e}.

    T(n)=2+小于n且与n不互质的数的个数(注意这个地方算的是不互质的)

    刚刚算互质的是因为互质代表了产生的循环群和原来的一样(就成为了“其他生成元”),那就不是我们现在想要的了(前面加2是所有群天生就有的,显然这里的n要大于1),不互质的话就有漏的,就是子群了。

    变换群:

    集合的变换还记得是什么吗?就是让集合的每一个值对应集合里的另一个值(也可以是原来哪一个)而变换的乘法就是“先换成A,再换成B”那样。因为在大家都是双射变换时“先换A,再换B”这样的效果必然会等于 “直接按C换”故可以成群。所以这个群就是有一大堆的变换组成的。

    对称群:

     

     你想呀,成群的话那肯定有逆元对不对,逆元是什么?不就是把变换的前后交换一下对不对?假如有一个元素只是单射而不是双射,那逆元不就是一个对多个了?所以肯定是双射。

    这样看,是不是变换群很难是非双射?确实,你可以看ppt上举的例子,真就逆天。

    我感觉,最直观的记法就是:有恒等变换这一条把ppt上的逆天例子排除了。

    解释一下:群都是满足消去律的,ax1=ax2那x1,x2就相等了,所以一定是双射。

    双射变换群肯定是对称群的子群呀。 

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    元素的阶

    设<G,·>是群,a∈G,a的整数次幂可归纳定义为:

    1. a0 = e
    2. an+1 = an· a, n∈N
    3. a-n = (a-1)n, n∈N

    容易证明,∀m,n∈I,am··an = am+n, (am)n = amn.

    定义:设<G,·>是群,a∈G,若∀n∈I+,an ≠ e,则称a的阶是无限的;否则称使得an = e的最小整数n为a的阶,此时a的阶也称为a的周期,常用|a|表示

    • 在群<I,+>中,∀i∈I - {0},i的阶都是无限的
    • 在群<N4,+4>中,|0| = 1|,|1| = 4,|2| = 2,|3| = 4

    定理:设<G,·>是群,a∈G,且|a| = n,k∈I,则$|a^k| = \frac{n}{(k,n)}$.特别地,|a-1| = |a|

     

    循环群

    循环群:在群(G,·)中,若存在a∈G,使得G = {an | n∈G},则称(G,·)为循环群。

    • (Z,+)是一个无限阶循环群,生成元是1和-1
    • <Nm,+m>是m阶循环群,生成元是1

    循环群的结构相当简单,我们完全可以刻画出全部循环群的同构类

    定理:设群G = (a),则循环群只有两种。若|a|无限,则G≌<I,+>;若|a|=n∈I+,则 G≌<Nn,+n>

    由本定理有,同阶的循环群必同构,因此把n阶循环群记作Cn

    推论:设G是n阶有限群,a∈G,则G = (a)当且仅当|a| = n。

    就是上面定理的推论,此推论说明循环群生成元的阶与群的阶是相同的

     

    定理:设群G=(a)

    • 若G是无限群,则G只有两个生成元a和a-1
    • 若|G| = n∈I+,则G=(ar)当且仅当(r,n) = 1,即生成元有φ(n)个,其中φ(n)为欧拉函数

    证:

    (1)必要性:已知a是生成元,因为a = (a-1)-1,所以a-1也是生成元。充分性:设am∈G是生成元,即G = (am),因为a∈G,所以∃t∈I,使得a = (am)t,所以amt-1=e.因为G是无限群,mt-1=0,故m=t=1或m=t=-1,故只有两个生成元a和a-1.

    (2)必要性:设G=(ar),由前面的推论知|ar| = n,由前面关于元素的阶的定理得$|a^r| = \frac{n}{(r,n)}$,故(r,n) = 1。充分性:设(r,n) = 1,则∃s,t∈I使得rs + nt = 1,于是$a = a^{rs+nt} = {(a^r)}^s·{(a^n)}^t$,因为|a| = n,an = e,所以a = (ar)s,故G = (ar).

    例如:设G为12阶循环群{e,a,a2,...,a11},因为与12互质的12以内的数有1,5,7,11,所以G有4个生成元,分别是a,a5,a7,a11.

     

    定理:设群G=(a),|G|=n,则对于n的每个正因子d,有且仅有一个d阶子群,因此,n阶循环群的子群的个数恰为n的正因子的个数.

    例如:12阶循环群有6个子群,分别是(a),(a2),(a3),(a4),(a6),(a12).

     

    变换群

    我们知道,给定一个集合A,<AA,°>是亚群,其中°是函数合成运算,令PA为A到A的所有双射的集合,则<PA,°>是群,其中1A是单位元,每个f∈PA的逆元是其逆函数f-1.

    变换群:设A为集合,群<PA,°>的子群称为A的变换群

    Cayley定理:任意一个群都与某个变换群同构。证明略

     

    置换群是特殊的变换群,在代数中有重要地位

     

    对称群和置换群

    对称群:设S是非空有限集,Sn是S的所有置换的集合(n是集合的基数),°是函数的复合运算,则<Sn,°>是一个群,称作n次对称群。易知|Sn| = n!

    置换群:对称群的子群称为置换群,含有n个元素的子群称为n次置换群

    作为Cayley定理的直接推论,我们有

    推论:任意一个有限群都与某个置换群同构

     

    置换还有第二种表示方法,为此需要引入循环的概念

    定义:把S中的元素i1变成i2,i2变成i3,... ik又变成i1,并使S中的其余元素保持不变的置换称为循环,也称轮换,记(i1 i2  ... ik),k称为循环长度。特别的,长度为2的循环称为对换.

    注意,同一循环的表示并不唯一。长度为1的循环是恒等置换。

    例如:$$\bigl(\begin{smallmatrix}
    1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5 & \\
    4 \, 2 \, 5 \, 3 \, 1 &
    \end{smallmatrix}\bigr)$$

    定理:

    • 任意置换都可表示成若干无公共元素的循环之积
    • 任意置换都可表示成若干个对称之积,且对换个数的奇偶性不变

     

    陪集

    定义:设H是群G的子群,a∈G.

    1. 集合a·H = {a·h | h∈H} 称为H关于a的左陪集
    2. 集合H·a = {h·a | h∈H} 称为H关于a的右陪集

    定理:设H是群G的子群,在G上定义二元关系R为:对任意a,b∈G,(a,b)∈R当且仅当b-1a∈H,则R是G上的等价关系,且其对应的等价类与左陪集相同,为R(a) = a·H。类似的,在G上定义二元关系R为:对任意a,b∈G,(a,b)∈R当且仅当ab-1∈H,则R是G上的等价关系,且其对应的等价类与右陪集相同,为R(a) = H·a。

    证:(1)先证明R是等价关系,自反性:∀a∈G,因为a-1 · a = e∈H,所以aRa。对称性::∀a,b∈G,若aRb,b-1 · a∈H,由于H是群,一个元素的逆元也在群中,所以(b-1 · a)-1∈H,所以bRa。传递性:∀a,b,c∈G,若aRb和bRc,即b-1 · a∈H,c-1 · b∈H,H是群,则满足封闭性,所以c-1 · a = (c-1 · b) · (b-1 · a) ∈H,即aRc。

    (2)再证明R(a) = aH,对∀x∈R(a),有aRx,由对称性知xRa,即a-1x∈H,因此存在h∈H,使得a-1x = h,即x=ah∈aH,得到R(a)⊆aH;反过来,假设x∈aH,则存在h∈H,使得x=ah,即a-1x=h,所以xRa,得到aH⊆R(a);综上的,R(a) = aH

    定理:H是G的有限子群,∀a∈H,|aH| = |Ha| = |H|.

    该定理说明同一子群的左陪集和右陪集的基数相等,且等于子群的基数

    定理:所有左陪集的个数等于所有右陪集的个数

    证:只需给出SL和SR之间的双射即可。

    该定理是指陪集本身的个数,上一个定理是指陪集中元素的个数,是不同的

     

    定义:设H是群G的子群,H在G中所有左(右)陪集的个数称为H在G中的指数,记作[G,H]

     

    拉格朗日定理

    Lagrange定理:设H设有限群G的子群,则|H|整除|G|,且|G| = |H| * [G:H]

    推论一:有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶

    证:∀a∈G,(a)≤G,所以|(a)|整除|G|,即|a|整除|G|

    推论二:质数阶的群必为循环群

    证:设G是p阶群,其中p是质数,由(1),∀a∈G,|a|整除p,若a≠e,则|a| ≠ 1,所以|a| = p,故G = (a).

     

    正规子群与商群

    正规子群:设H是G的子群,若∀a∈G,aH = Ha,则称H是G的正规子群,或正则子群、不变子群,记作H◁G

    在正规子群中左陪集和右陪集相等,因此统称为陪集

    例如:

    • Abel群的子群都是正规子群
    • 任意群都有两个平凡正规子群,即{e}和它本身

    定理:设H ≤ G,H◁G当且仅当∀a∈G,aHa-1⊆H

    该定理可用来判定是否为正规子群

    定理:设H ≤ G,则G关于H的陪集关系R是G上的同余关系

    证:前面已经证明过R是等价关系,下面证明R关于·满足置换性质.

    ∀a,b,c,d∈G,若aRb,cRd,则aH = Hb,cH = Hd,所以(ac)H = a(cH) = a(Hd) = (aH)d = (Hb)d = H(bd).故(ac)R(bd)。

    注:

    • 群的任意子群的左(右)陪集关系不一定是群上的同余关系,但是正规子群的陪集关系一定是
    • 正规子群可诱导出同余关系,反之,同余关系也可以诱导出正规子群

     

    商群:设(H,·)是(G,·)的一个正规子群,定义G/H为{Ha |a∈G},对任意的Ha,Hb∈G/H,定义G/H上的运算°为Ha ° Hb = Hab,(补充完整是(H·a) ° (H·b) = H·a·b),则(G/H,°)构成一个群,称为G关于H的商群

    证:证明其是一个群,良性的、封闭性、结合性、有单位元、有逆元。略。

    例如:

     

     

    参考链接:中国大学mooc 刘铎 离散数学

    转载于:https://www.cnblogs.com/lfri/p/10083976.html

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空空如也

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