精华内容
下载资源
问答
  • 抽象代数学习笔记(8)循环群 ...根据这些,我们可以引出循环群概念: 群\(G\)称为循环群,如果有 \(g\in G\)使得\(G=<g>\)。 其实之间说过的旋转变换就可以以循环群的形式出现。比如: \[g=\begin{bmatr...

    抽象代数学习笔记(8)循环群

    在讲子群的时候,我们提出了生成子群的概念 \(<S>\),特别的,如果 \(S=\{s\},有<S>=<s>\)。根据这些,我们可以引出循环群的概念:

    \(G\)称为循环群,如果有 \(g\in G\)使得\(G=<g>\)

    其实之间说过的旋转变换就可以以循环群的形式出现。比如:
    \[g=\begin{bmatrix} cos 120 & sin 120 \\ -sin 120 & cos 120 \end{bmatrix}\quad\]
    这样 \(g,g^2,g^3\)在矩阵乘法下构成群。

    上面举的例子是一个有限群,应该不难发现,这种循环群的特点是,生成元素与通过幂运算(在乘法群)得到的元素可以构成群。

    上面的例子还有个特点,\(g^4=g,g^3=e\)。这是不少循环群的:

    在循环群 \(G=<g>\) 中,如果有不同的整数 \(r,k\)使得\(g^r=g^k\),则存在整数\(m\)使得:

    • \(g^m=e\)
    • \(1\le i<j\le m, g^i\neq g^j\)
    • 若有整数t,\(g^t=e\),则 \(m整除t\)
    • \(<g>=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\}\)

    如果对于任意不同的 \(r,k,g^r\neq g^k\),那么 \(<g>\) 是一个无限群。

    现在,根据是否存在不同的整数 \(r,k\) 使得\(g^r=g^k\),我们可以将循环群分为两类。而这两类循环群在结构上也具有各自的性质:

    若存在不同的整数 \(r,k\) 使得\(g^r=g^k\),那么 \(<g>=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\}\),对任意的 \(1\le i<j\le m, g^i\neq g^j\)

    若对任意不同的整数 \(r,k\) 使得\(g^r\neq g^k\),那么 \(<g>=\{...,g^{-2},g^{-1},e,g,g^2,...\}\)

    有时也将这两条性质成为循环群结构定理。

    比如整数在加法下构成的群,就有第二条性质陈述中的那种结构,而整数加法群可以写成 \(<1>\),类似的例子还有很多,这儿就不一一举出了。

    下篇博文的主题是阶数,它与有限循环群有些关系,大家可以考虑一下第一种循环群中 \(g^m=e\)这条性质。

    转载于:https://www.cnblogs.com/bugsheep/p/7252622.html

    展开全文
  • 离散数学---循环群,左陪集,子群

    千次阅读 多人点赞 2020-05-03 21:53:30
    循环群:若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方,则称G为循环群,记作G=(a),a称为G的—个生成元。 代数系统:S是非空集合,f1, f2, f3…是这个集合上的运算,如果关于任意一个集合上的元素,经过这些运算...

    题目描述:

    设 <Z6,+6> 是一个群,这里 +6 是模 6 加法, Z6={0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} ,试求出 <Z6,+6> 的所有子群及其相应左陪集。

    解答:

    由于循环群的子群是循环群,并且群的阶的每一个正因子存在唯一的子群。

    即子群的阶是6的正因子,6的正因子只有1,2,3,6,因此Z6共有4个子群,

    它们分别是一阶子群,2阶子群,3阶子群,6阶子群 =Z6(本身)。

    子群首先有两个平凡子群,即{[0]},{Z6}。一个为幺元,另一个为群本身。

    然后考虑 [2] 生成的子群: {[0],[2],[4]}
    然后考虑 [3] 生成的子群: {[0],[3]}

    所以子群<{[0]},+6>,<{[0],[3]},+6>,<{[0],[2],[4],+6}>,<{Z6,},+6>

    下面求出左陪集:
    分别用{Z6}中的每一个元素 加上 下面的集合,即可得:

    {[0]}的左陪集:{[0]},{[1]},{[2]},{[3]},{[4]},{[5]}.
    {[0],[3]}的左陪集:{[0],[3]},{[1],[4]},{[2],[5]}.
    {[0],[2],[4]}的左陪集:{[0],[2],[4]},{[1],[3],[5]}.
    {[Z6]}的左陪集:{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}.(Z6本身)

    那么,为什么<{[0],[1],[5]}>不是子群?

    根据子群的定义,条件之一:任意两元素的运算结果仍在子群中,即封闭性。
    那么可以取两个元素[1],[1],模加6结果(1+1)%6=2,元素[2]并不在<{[0],[1],[5]}>中,同理验证元素[5]。故其不是子群。

    下面是一些概念:

    循环群:若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方,则称G为循环群,记作G=(a),a称为G的—个生成元。

    代数系统:S是非空集合,f1, f2, f3…是这个集合上的运算,如果关于任意一个集合上的元素,经过这些运算后的结果还是在这个集合当中 (封闭性),那么称<S, f1, f2…, fn>为一个代数系统。 例如 <R, +, -, ×, ÷>

    零元:给定代数系统<S, ●>,如果存在某个元素a在S中且其他任意属于S的元素x与a(且a与x)进行●运算等于a,则a为●的零元。 例如<R, ×>,任何实数与0相乘都为0,所以0为×的零元。

    幺元:给定代数系统<S, ●>,如果存在某个元素e在S中且其他任意属于S的元素x与e(且e与x)进行●运算等于x本身,则e为●的幺元。 例如<R, *>,任何实数与1相乘都为它本身,所以1为×的幺元。

    逆元:给定代数系统<S, ●>,如果存在某个元素x在S中,且另一个元素y也在S中,满足x与y(且y与x)进行●运算等于●在S中的单位元e,则x与y互为逆元。 例如<R, *>, x(x不为0)与1/x便是互为逆元。

    半群:给定代数系统<S, ●>, (● 是二元运算), 如果●的运算满足结合律, 则该代数系统为半群。例如<R+, ×>, 对二元运算×满足结合律。

    独异点:含有单位元的半群。 例如<R, ×>, 对二元运算还有单位元1。

    :独异点的集合中所有元素都拥有逆元且逆元在该集合中,则称该独异点为群。也就是说一个普通的代数系统要成为群需要满足下面几个条件:
    1.代数系统中只有一个二元运算。(代数系统具有封闭性)
    2.该运算要满足结合律。
    3.该运算要有幺元。
    4.集合每个元素都有逆元且逆元在集合中。 例如<C, +>, <R, +>, <Q, +>为群, 而<R, *>不再为群, 因为0没有逆元。

    子群:给定群<G, ●>,若H是S的非空子集, 且H关于G中的运算构成群<H, ●>, 则称<H, ●>是<G, ●>的子群。 例如<Z, +>便是<R, +>的子群。同样需要满足封闭性、结合律、有幺元,每个元素有逆元。

    求子群时需要注意检验封闭性,即任意两个元素的运算之和仍然在子群中。

    左陪集:如果存在一个群<H, ●>是群<G, ●>的子群,且有一个元素a在G中,则把集合a●H = {a ● h | h在H中}称为由元素a所确定的群<G, ●>中的H的左陪集,简记为aH,称a是左陪集aH中的代表元素。右陪集同理。

    举例:

    H的左陪集应该是对所有a属于G,应该是使a*h结果相等的集合。
    比如:H={[0],[2]}是<z4,+4>的子群,H的左陪集为[0]+H={[0],[2]} ; [1]+H={[1],[3]}; [2]+H={[2],[0]}; [3]+H={[1],[3]};
    可以看出[0]+H={[0],[2]}与[2]+H={[2],[0]}相等,其中一个左陪集为{[0],[2]};同理,另外一个左陪集为{[1],[3]};
    右陪集也一样。

    如有错误,还请指正~

    展开全文
  • 以模6加法群(Z6,+)认识循环群及其特点

    万次阅读 多人点赞 2018-09-23 17:57:18
    刚开始接触循环群不容易理解,不妨以模6加法群&lt;Z6,+&gt;入手,来认识循环群的特点。 首先,循环群,顾名思义,cycle group即带有循环的意思。怎么个循环法呢? 我们看&lt;Z6,+&gt;中的元素{0...

     刚开始接触循环群不容易理解,不妨以模6加法群<Z6,+>入手,来认识循环群的特点。

    首先,循环群,顾名思义,cycle group即带有循环的意思。怎么个循环法呢?

    我们看<Z6,+>中的元素{0,1,2,3,4,5}。取其中的元素1,不停地对自身进行模6加法,即对本身进行幂运算。

    可得:

    1^1=1

    1^2=1+1=2

    1^3=1+1+1=3

    1^4=1+1+1+1=4

    1^5=1+1+1+1+1=5

    1^6=1+1+1+1+1+1=0(模6加法意义下)

    1^7=1+1+1+1+1+1+1=1(模6加法意义下)

    ……

    如上对1不断幂运算,可见两个现象:

    1、可以遍历所有的元素,也可以说,我们仅用元素1就能生成所有的元素,这就是循环群里的生成元的概念。

    2、幂运算的结果就是123450123450123450这样不断的循环,这就是循环群名字由来。

    现在有了感性认识,可以对循环群用准确的数学语言定义,就是:

    若存在a∈G使得G=<a>,则称G是循环群,称a为G的生成元。

    现在,我们继续思考,如果对其它元素进行不断的幂运算呢,会出现什么结果?

    经过不断的幂运算,我们发现

    元素0形成的结果只有0,可写成,结果集合为{0},

    元素2、4形成的结果是一样的,结果集合为{0,2,4},

    元素3形成的结果集合为{0,3},

    元素1、5形成的结果为{0,1,2,3,4,5},

    可见,不同的元素,有的形成的结果不同,有的却相同。我们可以按照他们生成的结果来将他们划分为不同的群体。

    对于元素1、5,他们都能生成所有元素,所以他们两个元素不仅证明了这个群是循环群,还说明他们都是循环群的生成元。

    他们生成了{0,1,2,3,4,5}这个子群(或者说群本身,也叫平凡子群)并且他们都是6阶元素,所谓6阶,就是a^6=e=0(幺元,或称单位元,这个群的单位元是0)。6阶也是这个群的阶数。

    对于元素2、4,他们生成了子群{0,2,4},他们都是3阶元素。

    对于元素3,生成了子群{0,3},他是2阶元素。

    对于元素0,生成了子群{0},他是1阶元素。

    通过对上面的观察,我们又看出一些规律,就是:

    1、n阶元素生成的子群中具有n个元素

    2、一个n阶群,他具有p个不同类型的生成子群,p是n的正因子个数,比如本例中6的正因子有1,2,3,6共四个。

    3、一个n阶群,他的生成元个数是与小于n且与n互为素数的个数。本例中,小于6且与6互素的数是1、5,共两个,所以这个群的生成元就正好2个。

    以上规律均可证明,有兴趣可以自己进行证明,深入学习。

    展开全文
  • ,a∈G,a的整数次幂可归纳定义为: a0 = e an+1 = an· a, n∈N a-n = (a-1)n, n∈N 容易证明,∀m,n∈I,am··an = am+n, (am)n = amn. 定义:设<G,·>是,a∈G,若∀n∈I+,an≠ e,则称a的阶是...

    元素的阶

    设<G,·>是群,a∈G,a的整数次幂可归纳定义为:

    1. a0 = e
    2. an+1 = an· a, n∈N
    3. a-n = (a-1)n, n∈N

    容易证明,∀m,n∈I,am··an = am+n, (am)n = amn.

    定义:设<G,·>是群,a∈G,若∀n∈I+,an ≠ e,则称a的阶是无限的;否则称使得an = e的最小整数n为a的阶,此时a的阶也称为a的周期,常用|a|表示

    • 在群<I,+>中,∀i∈I - {0},i的阶都是无限的
    • 在群<N4,+4>中,|0| = 1|,|1| = 4,|2| = 2,|3| = 4

    定理:设<G,·>是群,a∈G,且|a| = n,k∈I,则$|a^k| = \frac{n}{(k,n)}$.特别地,|a-1| = |a|

     

    循环群

    循环群:在群(G,·)中,若存在a∈G,使得G = {an | n∈G},则称(G,·)为循环群。

    • (Z,+)是一个无限阶循环群,生成元是1和-1
    • <Nm,+m>是m阶循环群,生成元是1

    循环群的结构相当简单,我们完全可以刻画出全部循环群的同构类

    定理:设群G = (a),则循环群只有两种。若|a|无限,则G≌<I,+>;若|a|=n∈I+,则 G≌<Nn,+n>

    由本定理有,同阶的循环群必同构,因此把n阶循环群记作Cn

    推论:设G是n阶有限群,a∈G,则G = (a)当且仅当|a| = n。

    就是上面定理的推论,此推论说明循环群生成元的阶与群的阶是相同的

     

    定理:设群G=(a)

    • 若G是无限群,则G只有两个生成元a和a-1
    • 若|G| = n∈I+,则G=(ar)当且仅当(r,n) = 1,即生成元有φ(n)个,其中φ(n)为欧拉函数

    证:

    (1)必要性:已知a是生成元,因为a = (a-1)-1,所以a-1也是生成元。充分性:设am∈G是生成元,即G = (am),因为a∈G,所以∃t∈I,使得a = (am)t,所以amt-1=e.因为G是无限群,mt-1=0,故m=t=1或m=t=-1,故只有两个生成元a和a-1.

    (2)必要性:设G=(ar),由前面的推论知|ar| = n,由前面关于元素的阶的定理得$|a^r| = \frac{n}{(r,n)}$,故(r,n) = 1。充分性:设(r,n) = 1,则∃s,t∈I使得rs + nt = 1,于是$a = a^{rs+nt} = {(a^r)}^s·{(a^n)}^t$,因为|a| = n,an = e,所以a = (ar)s,故G = (ar).

    例如:设G为12阶循环群{e,a,a2,...,a11},因为与12互质的12以内的数有1,5,7,11,所以G有4个生成元,分别是a,a5,a7,a11.

     

    定理:设群G=(a),|G|=n,则对于n的每个正因子d,有且仅有一个d阶子群,因此,n阶循环群的子群的个数恰为n的正因子的个数.

    例如:12阶循环群有6个子群,分别是(a),(a2),(a3),(a4),(a6),(a12).

     

    变换群

    我们知道,给定一个集合A,<AA,°>是亚群,其中°是函数合成运算,令PA为A到A的所有双射的集合,则<PA,°>是群,其中1A是单位元,每个f∈PA的逆元是其逆函数f-1.

    变换群:设A为集合,群<PA,°>的子群称为A的变换群

    Cayley定理:任意一个群都与某个变换群同构。证明略

     

    置换群是特殊的变换群,在代数中有重要地位

     

    对称群和置换群

    对称群:设S是非空有限集,Sn是S的所有置换的集合(n是集合的基数),°是函数的复合运算,则<Sn,°>是一个群,称作n次对称群。易知|Sn| = n!

    置换群:对称群的子群称为置换群,含有n个元素的子群称为n次置换群

    作为Cayley定理的直接推论,我们有

    推论:任意一个有限群都与某个置换群同构

     

    置换还有第二种表示方法,为此需要引入循环的概念

    定义:把S中的元素i1变成i2,i2变成i3,... ik又变成i1,并使S中的其余元素保持不变的置换称为循环,也称轮换,记(i1 i2  ... ik),k称为循环长度。特别的,长度为2的循环称为对换.

    注意,同一循环的表示并不唯一。长度为1的循环是恒等置换。

    例如:$$\bigl(\begin{smallmatrix}
    1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5 & \\
    4 \, 2 \, 5 \, 3 \, 1 &
    \end{smallmatrix}\bigr)$$

    定理:

    • 任意置换都可表示成若干无公共元素的循环之积
    • 任意置换都可表示成若干个对称之积,且对换个数的奇偶性不变

     

    陪集

    定义:设H是群G的子群,a∈G.

    1. 集合a·H = {a·h | h∈H} 称为H关于a的左陪集
    2. 集合H·a = {h·a | h∈H} 称为H关于a的右陪集

    定理:设H是群G的子群,在G上定义二元关系R为:对任意a,b∈G,(a,b)∈R当且仅当b-1a∈H,则R是G上的等价关系,且其对应的等价类与左陪集相同,为R(a) = a·H。类似的,在G上定义二元关系R为:对任意a,b∈G,(a,b)∈R当且仅当ab-1∈H,则R是G上的等价关系,且其对应的等价类与右陪集相同,为R(a) = H·a。

    证:(1)先证明R是等价关系,自反性:∀a∈G,因为a-1 · a = e∈H,所以aRa。对称性::∀a,b∈G,若aRb,b-1 · a∈H,由于H是群,一个元素的逆元也在群中,所以(b-1 · a)-1∈H,所以bRa。传递性:∀a,b,c∈G,若aRb和bRc,即b-1 · a∈H,c-1 · b∈H,H是群,则满足封闭性,所以c-1 · a = (c-1 · b) · (b-1 · a) ∈H,即aRc。

    (2)再证明R(a) = aH,对∀x∈R(a),有aRx,由对称性知xRa,即a-1x∈H,因此存在h∈H,使得a-1x = h,即x=ah∈aH,得到R(a)⊆aH;反过来,假设x∈aH,则存在h∈H,使得x=ah,即a-1x=h,所以xRa,得到aH⊆R(a);综上的,R(a) = aH

    定理:H是G的有限子群,∀a∈H,|aH| = |Ha| = |H|.

    该定理说明同一子群的左陪集和右陪集的基数相等,且等于子群的基数

    定理:所有左陪集的个数等于所有右陪集的个数

    证:只需给出SL和SR之间的双射即可。

    该定理是指陪集本身的个数,上一个定理是指陪集中元素的个数,是不同的

     

    定义:设H是群G的子群,H在G中所有左(右)陪集的个数称为H在G中的指数,记作[G,H]

     

    拉格朗日定理

    Lagrange定理:设H设有限群G的子群,则|H|整除|G|,且|G| = |H| * [G:H]

    推论一:有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶

    证:∀a∈G,(a)≤G,所以|(a)|整除|G|,即|a|整除|G|

    推论二:质数阶的群必为循环群

    证:设G是p阶群,其中p是质数,由(1),∀a∈G,|a|整除p,若a≠e,则|a| ≠ 1,所以|a| = p,故G = (a).

     

    正规子群与商群

    正规子群:设H是G的子群,若∀a∈G,aH = Ha,则称H是G的正规子群,或正则子群、不变子群,记作H◁G

    在正规子群中左陪集和右陪集相等,因此统称为陪集

    例如:

    • Abel群的子群都是正规子群
    • 任意群都有两个平凡正规子群,即{e}和它本身

    定理:设H ≤ G,H◁G当且仅当∀a∈G,aHa-1⊆H

    该定理可用来判定是否为正规子群

    定理:设H ≤ G,则G关于H的陪集关系R是G上的同余关系

    证:前面已经证明过R是等价关系,下面证明R关于·满足置换性质.

    ∀a,b,c,d∈G,若aRb,cRd,则aH = Hb,cH = Hd,所以(ac)H = a(cH) = a(Hd) = (aH)d = (Hb)d = H(bd).故(ac)R(bd)。

    注:

    • 群的任意子群的左(右)陪集关系不一定是群上的同余关系,但是正规子群的陪集关系一定是
    • 正规子群可诱导出同余关系,反之,同余关系也可以诱导出正规子群

     

    商群:设(H,·)是(G,·)的一个正规子群,定义G/H为{Ha |a∈G},对任意的Ha,Hb∈G/H,定义G/H上的运算°为Ha ° Hb = Hab,(补充完整是(H·a) ° (H·b) = H·a·b),则(G/H,°)构成一个群,称为G关于H的商群

    证:证明其是一个群,良性的、封闭性、结合性、有单位元、有逆元。略。

    例如:

     

     

    参考链接:中国大学mooc 刘铎 离散数学

    转载于:https://www.cnblogs.com/lfri/p/10083976.html

    展开全文
  • 及置换概念

    千次阅读 2018-09-04 16:21:47
    设G为一个元素的集合,称G内的元素为元,*为针对G这个集合的元素的运算,当(G,∗)(G,∗)(G,*)满足以下要求的时候,我们称(G,∗)(G,∗)(G,*)为 封闭性:G内的任何两个元的*运算的结果仍在G内 ...
  • 置换循环

    2020-07-15 10:23:33
    这个题需要知道置换循环节的一些概念。 什么是循环节。。比如 1 2 3 4 5 从上向下看 4 1 5 2 3 1->4->2->1 (1,4,2)为一个循环节,长度为3 3->5->3(3,5)为一个循环节,长度为2 当置换...
  • 数论中概念

    千次阅读 2019-04-10 16:05:50
    定义()设G为某种元素组成的一个非空集合,若在G内定义一个称为乘法的运算“·”,满足以下条件: (1)(封闭性)有; (2)(结合性),有a·(b·c)=(a·b)·c; (3)在G中有一个元素e,对G中任意元素g,...
  • 的基本概念

    万次阅读 2016-03-24 02:56:18
    的定义和简单性质 定义,如果一个非空集合G上定义了一个二元运算o,满足: 1)结合律,推广(广义结合律:对于任意有限多个元素....) 2)存在幺元(单位元) 3)存在逆元 4)交换律(满足的话,称G为交换或Abel...
  • 文章目录离散数学中概念群的定义举例几种常见的群群的由来补充能解决什么问题(行业应用) 离散数学中概念 的定义 说起,首先要引出一个更大的概念——代数系统(什么是代数系统就不解释了…),其中...
  • 置换的基本概念与题目

    千次阅读 2017-08-07 23:35:14
    置换这个只是还是在数论中很重要的. 它涉及的波利亚定理是很重要的.
  • 所以,今天为大家整理了十张gif动图,有助于认识循环、递归、二分检索等概念的具体运行情况。 一、循环 GIF 1:最简单的 while 循环 GIF 2:带 if/else 的循环 二、递归 GIF 3:递归概念的直接演示 GIF 4:递归的...
  • 循环队列

    千次阅读 2016-06-14 15:28:14
    为了解决这个问题,我们后面会引入循环队列的概念。 前面讲到了队列的“假溢出”,解决假溢出的办法就是后面满了,就再从头开始,也就是头尾相接的循环。我们把队列的这种头尾相接的顺序存储...
  • 他用该理论,具体来说是伽罗瓦,解决了五次方程问题。在此之前柯西(Augustin-Louis Cauchy),阿贝尔(Niels Henrik Abel)等人也对群论作出了贡献。   是 集合G+运算符·,它结合任何两个元素a和b而形成另...
  • 更多详细内容可以加入以下QQ 要创意还是要编程?...Scratch,实现创意的可视化编程工具,即孩子们可以通过创作故事、动画、游戏、艺术来学习编程的基本概念:条件语句,循环语句,判断,理解参数
  • NGS概念科普

    千次阅读 2018-06-29 20:32:06
    近年来NGS飞速发展,各大测序平台百花齐放,现小翊整理了一些NGS相关基础概念,供同学们查看。 测序基础概念 NGS(下一代测序技术):又称高通量测序,以高输出量和高解析度为主要特色,能一次并行对几十万到几...
  • 循环广告位组件的实现

    万次阅读 多人点赞 2015-06-18 01:37:46
    循环广告位组件的实现写在前面的话很久没有写博客了,很多小伙伴问我为什么博客不更新了,这是因为我在做其它事情,时间不充裕所以就没有更新博客,但是现在我又开始更新博客了!接下来我会陆续更新一些文章,主要...
  • 双线性对映射 概念理解

    千次阅读 2019-04-17 19:34:21
    双线性映射定义了三个素数p阶群乘法循环群G1,G2,GTG_1,G_2,G_TG1​,G2​,GT​,并且定义在这三个群上的映射关系e:G1×G2→GTe:G_1 \times G_2 \rightarrow G_Te:G1​×G2​→GT​,并且满足以下性质: Tips: 什么...
  • 循环冗余校验(CRC)算法入门引导

    万次阅读 多人点赞 2012-08-19 12:42:34
    写给嵌入式程序员的循环冗余校验(CRC)算法入门引导 前言 CRC校验(循环冗余校验)是数据通讯中最常采用的校验方式。在嵌入式软件开发中,经常要用到CRC 算法对各种数据进行校验。因此,掌握基本的CRC算法应是...
  • 通信原理 概念 笔记

    千次阅读 2020-12-24 16:29:31
    通信原理 概念 笔记 Markdown中特殊符号表示 html中的符号 参考链接 命令 显示 &rarr; 表示 → &uarr; 表示 ↑ 希腊字母 显示 命令 显示 命令 α \alpha β \beta γ \gamma δ \...
  • 在成功的加密项目中,激励循环(Incentive Loops)是很常见的。最棒的加密货币平台或代币通常都内置了鲁棒性(Robust)很好的激励循环(机制)。通过有机增长方式(译者注:Organic growth-有机增长,是指一个公司...
  • 你好呀,我是沉默王二,是《Web 全栈开发进阶之路》的作者,...本篇来谈一谈“面向对象编程”中的所有概念。 因为是第一次做付费专栏,所以有一定的压力,虽然只需要 9.9 元,但我对自己的要求是至少要达到 199 元...
  • 从零开始讲解JavaScript中作用域链的概念及用途

    万次阅读 多人点赞 2020-06-18 21:17:11
    之前我写过一篇关于JavaScript中的对象的一篇文章,里面也提到了作用域链的概念,相信大家对这个概念还是没有很深的理解,并且这个概念也是面试中经常问到的,因为这个概念实在太重要了,在我们平时写代码时,也可能...
  • 蓝牙的基本概念以及发展轨迹 - 蓝牙的前生后世

    千次阅读 多人点赞 2020-07-20 18:01:58
    第一篇:蓝牙综合介绍 ,主要介绍蓝牙的一些概念,产生背景,发展轨迹,市面蓝牙介绍,以及蓝牙开发板介绍。 第二篇:Transport层介绍,主要介绍蓝牙协议栈跟蓝牙芯片之前的硬件传输协议,比如基于UART的H4,H5,BCSP,...
  • 非形式逻辑(01)概念及其种类

    千次阅读 2020-06-27 18:17:04
    1 概念及其逻辑特征 1.1概念的定义与逻辑特征 定义:反映事物本质属性的思维形式。概念逻辑特征如下: 内涵:概念所反映的事物的本质属性。 外延:概念所反映的事物对象的数量和范围。 1.2 概念的种类 根据概念...
  • 群论基本概念学习

    千次阅读 2018-10-31 21:16:56
    1.的定义是很容易理解的,这里就不赘述了。关键点是封闭性,结合律,单位元,逆元。 2.元素的数目叫做的阶 3.理解的最基本的出发点的是的乘法表 写乘法表的关键是重排定理,即乘法表每一行每一列所有...
  • AI:人工智能概念之机器学习、深度学习中常见关键词、参数等中英文对照(绝对干货) 导读 本博主基本收集了网上所有有关于ML、DL的中文解释词汇,机器学习、深度学习中常见关键词、参数等中英文对照,如有没有...
  • Python for 循环中的陷阱

    千次阅读 2018-07-13 21:02:46
    Python 中的 for 循环和其他语言中的 for 循环工作方式是不一样的,今天就带你深入了解 Python 的 for 循环,看看它是如何工作的,以及它为什么按照这种方式工作。 1、循环中的陷阱 我们先来看一下 Python 循环...
  • 本文所提及的事件循环其实就是worker cycle,由于此处将关注的不再是worker进程,而是worker进程在循环过程中关于事件处理的环节,因此就盗用了事件循环这个概念。在具体看代码前,先看一下这个“循环”的概貌: ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 28,396
精华内容 11,358
关键字:

循环群的概念