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  • 1.超前进位加法器看了一些面经,提到会让你用基础门搭加法器,因此首先熟悉半加器,全加器等最基础加法器才能理解之后超前进位加法器,树型加法器等复杂加法器。半加器输入为a,b,输出为结果s和进位c,...

    1.超前进位加法器

    看了一些面经,提到会让你用基础的门搭加法器,因此首先得熟悉半加器,全加器等最基础的加法器才能理解之后的超前进位加法器,树型加法器等复杂的加法器。

    半加器的输入为a,b,输出为结果s和进位c,则其关系为

    全加器的输入多了一个进位cin,输出为结果位s和进位输出cout,则其关系为

    使用多个全加器级联,把每一级的进位输出作为下一级的进位输入即构成了行波进位加法器,其加法过程是很好理解的,就是从最低位开始一位一位运算,并且把低位的进位加到高位上,与手算的思路是一致的。其结构如图所示。

    b4ad4c2655ecb18343a9ab5425275cce.png

    但若是画出其门级的电路图我们会发现,由于采用级联结构,行波进位加法器的关键路径非常长,N比特行波进位加法器的最长路径位

    个门电路延迟,在高速处理器中将极大地限制电路的性能。因此诞生了超前进位加法器以改善关键路径,其主要思想是将所有的进位都并行进行,为此需对原始的加法器计算公式做一些改动。令

    则对于N比特超前进位加法器,其结果位和进位可写成如下的形式

    则通过迭代

    的表达式,可将其写成只包含
    的表达式,从而完成并行计算。以4bit超前进位加法器为例,其进位链公式计算如下

    1db9b301c14ff9585b3ba4656b6b64ac.png

    则对应的,超前进位加法器结构如图所示。

    e74d5fe4e9665ae4fb1006d387440600.png

    对于更大位宽的,例如32,64bit的加法运算,为了避免造成电路的扇入扇出过大,会用多个4bit超前进位加法器级联,从而获得一个折中的解决方案。

    从关键路径上来看,4bit超前进位加法器的进位都只需要经过3级门电路延迟即可得到,相比较于行波进位加法器有巨大的优势,即使级联构成更大位宽的加法器仍然缩短了关键路径的长度。

    2.Wallace树型结构

    话说这Wallace是不是该翻译成华莱士呢,嗯~亦可赛艇啊。

    要理解Wallace树需要先理解进位保存加法器。进位保存加法器以三个树作为输入,输出两个数,这两个数相加即为最终的加法结果,因此进位保存加法器相当于进行了一次压缩过程,将三个数的加法压缩为两个数的加法。然而进位保存加法器并不是什么新奇的黑科技,而是全加器的一个变形,如下图所示。

    b05b5da03ae99a90ffda85c76c8f701c.png

    从图中可以看出,进位保存加法器就是对全加器进行重新包装。

    熟悉了进位保存加法器后我们就可以来看Wallace树型结构了,其总体结构如下图所示。

    97cf35b613cab9533ac086c53036b9ff.png

    可以看出,树型结构就是将多个加数分组,每三个分为一组后,经过进位保存加法器压缩为2个数,如此迭代循环得到最终加法的结果。

    在乘法器中,乘法的积是多个部分和之和,若使用普通加法器,则需等待前面的部分和计算完成才能计算后面的部分和,延迟较高,因此可以使用Wallace树型结构,对部分和进行分组计算得到最后的总和结果,即为乘法的积。

    3.Booth乘法器

    若是用补码表示一个数,则其转换为十进制的计算方式为

    将其展开,并令

    ,则可以得到

    此时再计算乘法

    可得

    从上式可以看出,这样变化的优势是若B的某相邻两位相同,则可以省去运算而只进行移位即可。如果

    ,则为
    ,如果
    ,则为
    ,从而简化了运算过程。

    以上是Radix-2 Booth算法的推导,其算法流程如下

    1.被乘数和乘数分别放入A,B寄存器,中间结果放入M,B寄存器。
    2.另设置一个1bit的
    寄存器。将M,
    寄存器初始为0。

    3.在每个周期检查
    寄存器。

    4-1.若
    = 00 或 11,将{
    }直接右移1bit。

    4-2.若{
    } = 01,则A与M相加,将{
    }直接右移1bit。

    4-3.若{
    } = 10,则A与M相减,将{
    }直接右移1bit。

    5.最终的结果即为{M,B},是乘法积的补码表示。

    需要注意的是,上述所有数都是补码表示,且上述右移操作需保留符号位,即保持M的最高位不变。

    在实际应用中较常用的是Radix-4 Booth乘法器,与Radix-2类似,其算法可通过原始的补码计算式展开得到

    上式中的

    设置为0。Radix-4 Booth编码表如下表所示。

    5f3d65e08e3d1ca8eeb6fd117241ee36.png

    不难看出,相较于Radix-2 Booth算法,Radix-4 Booth算法需要的循环次数更少,因此在实际中应用更加广泛。

    参考链接

    关于乘法器和加法器,如下的专栏讲述的非常详细,可以作为参考。

    纸上谈芯:【HDL系列】超前进位加法器原理与设计zhuanlan.zhihu.com
    693595c9286ad19627003afe9fae4e68.png
    纸上谈芯:【HDL系列】乘法器(4)——图解Wallace树zhuanlan.zhihu.com
    80098693b9375a3ba7e0f3606ebc7d32.png
    纸上谈芯:【HDL系列】乘法器(5)——Radix-2 Booth乘法器zhuanlan.zhihu.com
    69293834a1ccabcfd24f4595fd573471.png
    纸上谈芯:【HDL系列】乘法器(6)——Radix-4 Booth乘法器zhuanlan.zhihu.com
    2dd5397298c318ee53fd3d35574b8b51.png
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  • 本资料已制作电子版下载码:76qa32vd《小数加减乘法》知识点一、小数加、减法计算法则(1)小数点要对齐,也就是相同数位要对齐;相同数位上数才能相加减。(2)得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉,给小数...
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    《小数的加减乘法》知识点

    一、小数加、减法的计算法则

    (1)小数点要对齐,也就是相同数位要对齐;相同数位上的数才能相加减。 (2)得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉,给小数化简。

    二、小数加、减混合运算的运算顺序

    与整数加、减混合运算的顺序相同。在没有括号的算式里,如果只有加、减法,就按从左往右的顺序计算;算式里有括号的,要先算括号里面的。

    三、小数加、减法的简便运算

    加法交换律、加法结合律和减法的性质,在小数运算中同样适用。

    四、小数乘法的知识点

    1. 计算小数乘法,先按照整数乘法的法则算出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的末位起向左数出几位,点上小数点。结果能化简的要化简。

    2. 小数乘法估算:先将两个因数四舍五入保留整数,然后再相乘。

    3. 小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相同:同级运算,从左往右;两级运算,先二后一;有括号的,先里后外。

    乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法,应用这些运算定律,可以使计算简便。

    乘法交换律 a×b=b×a

    乘法结合律 a×(b×c)=(a×b)×c

    乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c

    a×(b—c)=a×b — a×c

    4、积的近似数:保留a位小数,就看第a+1位,再用四舍五入的方法取值。

    保留整数:表示精确到个位,看十分位上的数;保留一位小数:表示精确到十分位,看百分位上的数;保留两位小数:表示精确到百分位,看千分位上的数;……

    (2)按实际需要用“四舍五入法”保留一定的小数位数,求积的近似值。

    《小数加减乘法》练习题

    一、小数的加法和减法练习题

    1.填空

    ①保留(   )位小数,表示精确到十分位;保留三位小数,表示精确到(   )位。

    ②9.386保留整数是(      ),保留一位小数是(     ),保留两位小数是(     )。

    3.995≈4.00,表示精确到(   )位。

    ③0.60的计数单位是(     ),它有(   )个这样的计数单位,再加(   )个这样的计数单位就是1了。

    ④2个一,3个十分之一,4个百分之一,组成的数是(       )。

    十分位上是6,千分位上是5,这个数是(        )。

    ⑤0.15千克=(     )克       (     )分米=1.5米       9分米6厘米=(       )米

    (      )吨(      )千克=4.08吨       5.45=(     )千克(       )克      (      )时=30分

    3千米50米=(        )千米      3.7平方分米=(        )平方毫米

    ⑥把2.01的小数点去掉,变成(      ),(      )到原数的(          )。与原数相差(       )。

    2、按要求写数

    (1)把315000改写成用“万”作单位的数,再保留整数。

    (2)把2549880000改写成用“亿”作单位,再保留两位小数。

    (3)把2301060平方米改成用“公顷”作单位,再保留一位小数。

    3、比一比

    ①7.2千米  7150米  7千米20米

    ②465克  4.6千克  0.46千克

    ③92厘米  1米31厘米   0.89米   1.28米

    小数乘法练习题

    1、13.65扩大(   )倍是1365;6.8缩小(   )倍是0.068

    2、把7.956保留一位小数是(   ),保留两位小数是(   )。

    3、把7.1687保留整数约是(   ),精确到千分位约是(   )。

    4、4.09×0.05的积有(   )小数,5.2×4.76的积有(   )位小数。

    5、根据13×28=364,很快地写出下面各式的积。

    1.3×2.8=(   )

    0.13×0.28=(   )

    13×2.8=(   )

    小数乘法参考答案

    1、13.65扩大( 100  )倍是1365;6.8缩小( 100  )倍是0.068

    2、把7.956保留一位小数是(  8.0 ),保留两位小数是( 7.96  )。

    3、把7.1687保留整数约是( 7  ),精确到千分位约是( 7.169  )。

    4、4.09×0.05的积有(  4位 )小数,5.2×4.76的积有( 3  )位小数。

    5、根据13×28=364,很快地写出下面各式的积。

    1.3×2.8=( 3.64  )

    0.13×0.28=(  0.0364 )

    13×2.8=( 36.4  )


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  • 这本来一个很简单题,但限制条件、边界条件存在太多了,让这个题实现变十分复杂。 只需将数字逆序,但数字比较大时,会溢出(int)取值范围,所以要考虑这个边界问题。 比如说就这样,数字太大,溢出了...

    这本来是一个很简单的题,但限制条件、边界条件存在的太多了,让这个题AC的时候会有很多问题。

    只需将数字逆序,但数字比较大时,会溢出(int)的取值范围,所以要考虑这个边界问题。
    在这里插入图片描述
    比如说就这样,数字太大,溢出了int取值范围,导致出错。
    C语言int类型的取值范围是:[-2147483648,2147483647]

    对数字先进行乘法再进行判断,就会超出int的取值范围。

    换个思路:先判定,再进行乘法
    当前数如果比int最大值除10,还要大,那么该数就一定会溢出。
    当前数如果比int最小值除10,还要小,那么该数就一定会溢出。

    代码:

    int reverse(int x)
    {
    	int rev = 0;
    	while (x != 0)
    	{
            if (rev > INT_MAX / 10 || rev < INT_MIN / 10)
    			return 0;
    		rev = rev * 10 + x % 10;
    		x /= 10;
    	}
    	return rev;
    }
    

    INT_MAXINT_MIN,是两个宏,自己调试的时候,加上头文件limits.h即可。

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  • 本资料已制作电子版下载码:76qa32vd《小数加减乘法》知识点一、小数加、减法计算法则(1)小数点要对齐,也就是相同数位要对齐;相同数位上数才能相加减。(2)得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉,给小数...
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    《小数的加减乘法》知识点

    一、小数加、减法的计算法则

    (1)小数点要对齐,也就是相同数位要对齐;相同数位上的数才能相加减。 (2)得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉,给小数化简。

    二、小数加、减混合运算的运算顺序

    与整数加、减混合运算的顺序相同。在没有括号的算式里,如果只有加、减法,就按从左往右的顺序计算;算式里有括号的,要先算括号里面的。

    三、小数加、减法的简便运算

    加法交换律、加法结合律和减法的性质,在小数运算中同样适用。

    四、小数乘法的知识点

    1. 计算小数乘法,先按照整数乘法的法则算出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的末位起向左数出几位,点上小数点。结果能化简的要化简。

    2. 小数乘法估算:先将两个因数四舍五入保留整数,然后再相乘。

    3. 小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相同:同级运算,从左往右;两级运算,先二后一;有括号的,先里后外。

    乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法,应用这些运算定律,可以使计算简便。

    乘法交换律 a×b=b×a

    乘法结合律 a×(b×c)=(a×b)×c

    乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c

    a×(b—c)=a×b — a×c

    4、积的近似数:保留a位小数,就看第a+1位,再用四舍五入的方法取值。

    保留整数:表示精确到个位,看十分位上的数;保留一位小数:表示精确到十分位,看百分位上的数;保留两位小数:表示精确到百分位,看千分位上的数;……

    (2)按实际需要用“四舍五入法”保留一定的小数位数,求积的近似值。

    《小数加减乘法》练习题

    一、小数的加法和减法练习题

    1.填空

    ①保留(   )位小数,表示精确到十分位;保留三位小数,表示精确到(   )位。

    ②9.386保留整数是(      ),保留一位小数是(     ),保留两位小数是(     )。

    3.995≈4.00,表示精确到(   )位。

    ③0.60的计数单位是(     ),它有(   )个这样的计数单位,再加(   )个这样的计数单位就是1了。

    ④2个一,3个十分之一,4个百分之一,组成的数是(       )。

    十分位上是6,千分位上是5,这个数是(        )。

    ⑤0.15千克=(     )克       (     )分米=1.5米       9分米6厘米=(       )米

    (      )吨(      )千克=4.08吨       5.45=(     )千克(       )克      (      )时=30分

    3千米50米=(        )千米      3.7平方分米=(        )平方毫米

    ⑥把2.01的小数点去掉,变成(      ),(      )到原数的(          )。与原数相差(       )。

    2、按要求写数

    (1)把315000改写成用“万”作单位的数,再保留整数。

    (2)把2549880000改写成用“亿”作单位,再保留两位小数。

    (3)把2301060平方米改成用“公顷”作单位,再保留一位小数。

    3、比一比

    ①7.2千米  7150米  7千米20米

    ②465克  4.6千克  0.46千克

    ③92厘米  1米31厘米   0.89米   1.28米

    小数乘法练习题

    1、13.65扩大(   )倍是1365;6.8缩小(   )倍是0.068

    2、把7.956保留一位小数是(   ),保留两位小数是(   )。

    3、把7.1687保留整数约是(   ),精确到千分位约是(   )。

    4、4.09×0.05的积有(   )小数,5.2×4.76的积有(   )位小数。

    5、根据13×28=364,很快地写出下面各式的积。

    1.3×2.8=(   )

    0.13×0.28=(   )

    13×2.8=(   )

    小数乘法参考答案

    1、13.65扩大( 100  )倍是1365;6.8缩小( 100  )倍是0.068

    2、把7.956保留一位小数是(  8.0 ),保留两位小数是( 7.96  )。

    3、把7.1687保留整数约是( 7  ),精确到千分位约是( 7.169  )。

    4、4.09×0.05的积有(  4位 )小数,5.2×4.76的积有( 3  (多品 小 学教育张 老 师分 享))位小数。

    5、根据13×28=364,很快地写出下面各式的积。

    1.3×2.8=( 3.64  )

    0.13×0.28=(  0.0364 )

    13×2.8=( 36.4  )


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  • 大数相乘问题

    2012-12-05 19:33:28
    当所给相乘超过2^32次方时候,直接用乘法计算是得不到。此时可以用整型数组来计算,其中数组中每个存一位。例如:a[20],b[20],c[40]存从低位到高位的数。a*b->c先将c初始化为0:for(j=0;j for(k=0;k for(i=0;i...

空空如也

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得数是32的乘法