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  • 1和0.9的循环关系

    千次阅读 2019-10-26 23:01:45
    由1/3引发的悖论 0.9的循环等于1 1/3 = 0.33333...(无限循环) ...如上的证明,1/3 乘以 3 等于 1, 而 0.3的循环乘以3得到的结果就是0.9的循环,那么 1 与 0.9的循环也是1. 0.9的循环不等于1 0.9的循环可以表示...

    由1/3引发的悖论

    0.9的循环等于1

    1/3 = 0.33333...(无限循环)
    1/3 * 3 = 1
    0.3333... * 3 = 0.99999...(无限循环)
    
    那么: 1 = 0.99999...(无限循环)
    

    如上的证明,1/3 乘以 3 等于 1, 而 0.3的循环乘以3得到的结果就是0.9的循环,那么 1 与 0.9的循环相等.

    0.9的循环不等于1

    0.9的循环可以表示为 0.9 + 0.09 + 0.009 + … + 0.00…009,由此:

    定义一个数列 a1 = 0.9,q = 0.1 的数列

    则有 a1 = 0.9, a2 = 0.09,a3 = 0.009

    于是有 Sn = 0.999999…(无限循环)= a1 + a2 +… + an

    由此,Sn = a1 (1 - qn) / (1 - q) = 0.9 ( 1 - 0.1n ) / (1 - 0.1) = 1 - 0.1n

    那么可以定义函数: f(x) = 1 - 0.1x

    可以作图:

    在这里插入图片描述

    由上图可知 f(x) 将无限趋近于 1,即 0.9的循环不等于1

    0.9的循环与1 产生的悖论

    综上所述,0.9的循环和1即相等,又不相等。感觉我的知识体系出现了问题,他们矛盾了。


    如果有错,欢迎指出。

    邮箱:ningmonguo@foxmail.com

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  • 栈、递归、循环关系

    千次阅读 多人点赞 2017-01-31 15:22:28
    栈和递归其实原理都是差不多的,栈是先进后出,递归也是先进后出,递归也是利用堆栈来实现的,然后循环可以模拟代替栈和递归,只是用循环太复杂。但是它们的变量存储方式不同,导致占的空间不同。首先说明一下栈和堆...

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    栈和递归其实原理都是差不多的,栈是先进后出,递归也是先进后出,递归也是利用堆栈来实现的,循环可以模拟代替栈和递归,只是用循环太复杂。

    首先说明一下栈和堆的不同(这里的栈是系统自动维护的一种数据结构,内存分配方式和我们自己写的栈数据结构是不一样的。)。

    栈:就是那些由编译器在需要的时候分配,在不需要的时候自动清除的变量的存储区。里面的变量通常是局部变量、函数参数等。在一个进程中,位于用户虚拟地址空间顶部的是用户栈,编译器用它来实现函数的调用。
    递归的就是用系统栈来实现的,一般栈的大小默认为1MB,所以有时候使用递归的时候会出现栈溢出。这时候你可以修改栈的默认大小。如下图:

    大小是以字节为单位的,最小是4个字节。

    堆:就是那些由 new (malloc)分配的内存块,他们的释放编译器不去管,由我们的应用程序去控制。如果忘记释放,则会发生严重的内存泄漏。只有程序结束后,操作系统才会收回这些内存。

    我们所使用的栈,分配方式就的就是堆的方式,一般32位系统,堆的大小为4GB。空间利用大了,但是效率缺比栈低太多了,因为栈是机器系统提供的数据结构,计算机会在底层对栈提供支持:分配专门的寄存器存放栈的地址,压栈出栈都有专门的指令执行,这就决定了栈的效率比较高。堆则是 C/C++ 函数库提供的,它的机制是很复杂的。

    现在来比较一下它们的使用方式,代码如下:

    #include <iostream>
    #include <stack>
    using namespace std;
    
    //递归方式
    void Print1(int n)
    {
    	if (--n != 0)
    	{
    		cout << n << endl;   //系统会先把Print1(4)、Print1(3)、Print1(2)、Print1(1)、Print1(0)压入栈中
    		Print1(n);           
    		cout << n << endl;   //当n==0时,条件不成立后,系统会把
    	}                        //Print1(0)、Print1(1)、Print1(2)、Print1(3)、Print1(4)依次出栈
    }
    
    //栈的方式
    void Print2(int n)
    {
    	stack<int> s;
    	while (--n)             //先压栈
    	{
    		cout << n << endl;
    		s.push(n);
    	}
    	while (!s.empty())      //出栈
    	{
    		cout << s.top() << endl;
    		s.pop();
    	}
    }
    
    //循环的方式
    void Print3(int n)
    {
    	for (int i = n - 1;i > 0;i--) //倒着输出
    		cout << i << endl;
    	for (int i = 1;i < n;i++)     //正着输出
    		cout << i << endl;
    }
    
    int main()
    {
    	Print1(5);  //递归
    	cout << "---------------------------" << endl;
    	Print2(5);  //栈
    	cout << "---------------------------" << endl;
    	Print3(5);  //循环
    	return 0;
    }
    

    通过调试,发现递归调用堆栈的方式,如图:
    依次压栈:





    依次出栈:




    结果如图:

    三者效率相比以及使用优势:
    栈:效率最低,但是空间利用率高,例如上面的Print,经过修改默认栈大小后,递归最多也只能Print(5000000),而栈则是它的好十几倍。
    递归:效率排在循环后面,但是比栈的效率高很多,只是不能进行太大层级的递归,所以一般递归用在层级较为少的应用上,例如windows的磁盘遍历,相信没有人会无聊的搞一个文件夹的层级搞到几千甚至上万吧。
    循环:效率最高,如果需要高效率,高的空间利用率的话,也就只能用循环代替了,虽然复杂,但却不是不能实现。

    三者效率如图:
    都是Print(5000000),并且把输出语句去掉.

    递归的应用,如何递归遍历磁盘文件









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  • 递归和循环关系

    千次阅读 2012-05-26 11:44:01
    一、递归和循环关系  1、 递归的定义  顺序执行、循环和跳转是冯·诺依曼计算机体系中程序设计语言的三大基本控制结构,这三种控制结构构成了千姿百态的算法,程序,乃至整个软件世界。递归也算是一种...

    一、递归和循环的关系

     1、 递归的定义

             顺序执行、循环和跳转是冯·诺依曼计算机体系中程序设计语言的三大基本控制结构,这三种控制结构构成了千姿百态的算法,程序,乃至整个软件世界。递归也算是一种程序控制结构,但是普遍被认为不是基本控制结构,因为递归结构在一般情况下都可以用精心设计的循环结构替换,因此可以说,递归就是一种特殊的循环结构。因为递归方法会直接或间接调用自身算法,因此是一种比迭代循环更强大的循环结构。

     

    2、 递归和循环实现的差异

             循环(迭代循环)结构通常用在线性问题的求解,比如多项式求和,为某一结果的精度进行的线性迭代等等。一个典型的循环结构通常包含四个组成部分:初始化部分,循环条件部分,循环体部分以及迭代部分。以下代码就是用循环结构求解阶乘的例子:

       86 /*循环算法计算小数字的阶乘, 0 <= n < 10 */

       87 int CalcFactorial(int n)

       88 {

       89     int result = 1;

       90 

       91     int i;

       92     for(= 1; i <= n; i++)

       93     {

       94         result = result * i;

       95     }

       96 

       97     return result;

       98 }

            递归方法通常分为两个部分:递归关系和递归终止条件(最小问题的解)。递归方法的关键是确定递归定义和递归终止条件,递归定义就是对问题分解,是指向递归终止条件转化的规则,而递归终止条件通常就是得出最小问题的解。递归结构与人类解决问题的方式类似,算法简洁且易于理解,用较少的步骤就能描述解题的全过程。递归方法的结构中还隐含了一个步骤,就是“回溯”,对于需要“先进后出”结构进行操作时,使用递归方法会更高效。以下代码就是用递归方法求解阶乘的例子:

      100 /*递归算法计算小数字的阶乘, 0 <= n < 10 */

      101 int CalcFactorial(int n)

      102 {

      103     if(== 0) /*最小问题的解,也就是递归终止条件*/

      104         return 1;

      105 

      106     return n * CalcFactorial(- 1); /*递归定义*/

      107 }

             从上面两个例子可以看出:递归结构算法代码结构简洁清晰,可读性强,非常符合“代码就是文档”的软件设计哲学。但是递归方法的缺点也很明显:运行效率低,对存储空间的占用也比迭代循环方法多。递归方法通过嵌套调用自身达到循环的目的,函数调用引起的参数入栈等开销会降低算法效率,同样,对存储空间的占用也体现在入栈参数以及局部变量所占用的栈空间。正因为这两点,递归方法的应用以及解题的规模都受系统任务或线程栈空间大小的影响,在一些嵌入式系统中,任务或线程的栈空间只有几千个字节,在设计算法上要慎用递归结构算法,否则很容易导致栈溢出而系统崩溃。

     3、 滥用递归的一个例子

             关于使用递归方法导致栈溢出的例子有很多,网上流传一个判断积偶数的例子,本人已经不记得具体内容了,只记得大致是这样的:

      115 /*从网上摘抄的某人写的判断积偶数的代码,使用了递归算法*/

      116 bool IsEvenNumber(int n)

      117 {

      118     if(>= 2)

      119         return IsEvenNumber(- 2);

      120     else

      121     {

      122         if(== 0)

      123             return true;

      124         else

      125             return false;

      126     }

      127 }

     据说这个例子是某个系统中真是存在的代码,它经受住了最初的测试并被发布出去,当用户的数据大到一定的规模时崩溃了。本人在Windows系统上做过测试,当n超过12000的时候就会导致栈溢出,本系列的下一篇文章,会有一个有关Windows系统上栈空间的有趣话题,这里不再赘述。下面就是一个合理的、中规中矩的实现:

      109 bool IsEvenNumber(int n)

      110 {

      111     return ((% 2) == 0);

      112 }

    递归还是循环?这是个问题

    1、 一个简单的24点程序

             下面本文将通过两个题目实例,分别给出用递归方法和循环方法的解决方案以及解题思路,便于读者更好地掌握两种方法。首先是一个简单的计算24点的问题(为了简化问题,我们假设只使用求和计算方法):

     

    19中任选四个数字(数字可以有重复),使四个数字的和刚好是24

     

    题目很简单,数字都是个位数,可以重复且之用加法,循环算法的核心就是使用四重循环穷举所有的数字组合,对每一个数字组合进行求和,判断是否是24。使用循环的版本可能是这个样子:

        8 const unsigned int NUMBER_COUNT = 4; //9

        9 const int NUM_MIN_VALUE = 1;

       10 const int NUM_MAX_VALUE = 9;

       11 const unsigned int FULL_NUMBER_VALUE = 24;//45;

       40 void PrintAllSResult(void)

       41 {

       42     int i,j,k,l;

       43     int numbers[NUMBER_COUNT] = { 0 };

       44 

       45     for(= NUM_MIN_VALUE; i <= NUM_MAX_VALUE; i++)

       46     {

       47         numbers[0] = i; /*确定第一个数字*/

       48         for(= NUM_MIN_VALUE; j <= NUM_MAX_VALUE; j++)

       49         {

       50             numbers[1] = j;  /*确定第二个数字*/

       51             for(= NUM_MIN_VALUE; k <= NUM_MAX_VALUE; k++)

       52             {

       53                 numbers[2] = k; /*确定第三个数字*/

       54                 for(= NUM_MIN_VALUE; l <= NUM_MAX_VALUE; l++)

       55                 {

       56                     numbers[3] = l; /*确定第四个数字*/

       57                     if(CalcNumbersSum(numbers, NUMBER_COUNT) ==FULL_NUMBER_VALUE)

       58                     {

       59                         PrintNumbers(numbers, NUMBER_COUNT);

       60                     }

       61                 }

       62             }

       63         }

       64     }

       65 }

    这个PrintAllSResult()函数看起来中规中矩,但是本人的编码习惯很少在一个函数中使用超过两重的循环,更何况,如果题目修改一下,改成9个数字求和是45的组合序列,就要使用9重循环,这将使PrintAllSResult()函数变成臭不可闻的垃圾代码。

             现在看看如何用递归方法解决这个问题。递归方法的解题思路就是对题目规模进行分解,将四个数字的求和变成三个数字的求和,两个数字的求和,当最终变成一个数字时,就达到了递归终止条件。这个题目的递归解法非常优雅:

       67 void EnumNumbers(int *numbers, int level, int total)

       68 {

       69     int i;

       70 

       71     for(= NUM_MIN_VALUE; i <= NUM_MAX_VALUE; i++)

       72     {

       73         numbers[level] = i;

       74         if(level == (NUMBER_COUNT - 1))

       75         {

       76             if(== total)

       77             {

       78                 PrintNumbers(numbers, NUMBER_COUNT);

       79             }

       80         }

       81         else

       82         {

       83             EnumNumbers(numbers, level + 1, total - i);

       84         }

       85     }

       86 }

       87 

       88 void PrintAllSResult2(void)

       89 {

       90     int numbers[NUMBER_COUNT] = { 0 };

       91 

       92     EnumNumbers(numbers, 0, FULL_NUMBER_VALUE);

       93 }

    如果题目改成“9个数字求和是45的组合序列”,只需将NUMBER_COUNT的值改成9FULL_NUMBER_VALUE的值改成45即可,算法主体部分不需做任何修改。

     

    2、 单链表逆序

             第二个题目是很经典的“单链表逆序”问题。很多公司的面试题库中都有这道题,有的公司明确题目要求不能使用额外的节点存储空间,有的没有明确说明,但是如果面试者使用了额外的节点存储空间做中转,会得到一个比较低的分数。如何在不使用额外存储节点的情况下使一个单链表的所有节点逆序?我们先用迭代循环的思想来分析这个问题,链表的初始状态如图(1)所示:

    图(1)初始状态

     初始状态,prevNULLhead指向当前的头节点Anext指向A节点的下一个节点B。首先从A节点开始逆序,将A节点的next指针指向prev,因为prev的当前值是NULL,所以A节点就从链表中脱离出来了,然后移动headnext指针,使它们分别指向B节点和B的下一个节点C(因为当前的next已经指向B节点了,因此修改A节点的next指针不会导致链表丢失)。逆向节点A之后,链表的状态如图(2)所示:

    图(2)经过第一次迭代后的状态

     从图(1)的初始状态到图(2)状态共做了四个操作,这四个操作的伪代码如下:

     

    head->next = prev;

    prev = head;

    head = next;

    next = head->next;

     

    这四行伪代码就是循环算法的迭代体了,现在用这个迭代体对图(2)的状态再进行一轮迭代,就得到了图(3)的状态:

    图(3)经过第二次迭代后的状态

             那么循环终止条件呢?现在对图(3)的状态再迭代一次得到图(4)的状态:

    图(4)经过第三次迭代后的状态

     此时可以看出,在图(4)的基础上再进行一次迭代就可以完成链表的逆序,因此循环迭代的终止条件就是当前的head指针是NULL

            现在来总结一下,循环的初始条件是:

    prev = NULL;

     

    循环迭代体是:

    next = head->next;

    head->next = prev;

    prev = head;

    head = next;

     

    循环终止条件是:

    head == NULL

     

    根据以上分析结果,逆序单链表的循环算法如下所示:

       61 LINK_NODE *ReverseLink(LINK_NODE *head)

       62 {

       63     LINK_NODE *next;

       64     LINK_NODE *prev = NULL;

       65 

       66     while(head != NULL)

       67     {

       68         next = head->next;

       69         head->next = prev;

       70         prev = head;

       71         head = next;

       72     }

       73 

       74     return prev;

       75 }

            现在,我们用递归的思想来分析这个问题。先假设有这样一个函数,可以将以head为头节点的单链表逆序,并返回新的头节点指针,应该是这个样子:

       77 LINK_NODE *ReverseLink2(LINK_NODE *head)

    现在利用ReverseLink2()对问题进行求解,将链表分为当前表头节点和其余节点,递归的思想就是,先将当前的表头节点从链表中拆出来,然后对剩余的节点进行逆序,最后将当前的表头节点连接到新链表的尾部。第一次递归调用ReverseLink2(head->next)函数时的状态如图(5)所示:

    图(5)第一次递归状态图

     这里边的关键点是头节点head的下一个节点head->next将是逆序后的新链表的尾节点,也就是说,被摘除的头接点head需要被连接到head->next才能完成整个链表的逆序,递归算法的核心就是一下几行代码:

       84     newHead = ReverseLink2(head->next); /*递归部分*/

       85     head->next->next = head; /*回朔部分*/

       86     head->next = NULL;

    现在顺着这个思路再进行一次递归,就得到第二次递归的状态图:

    图(6)第二次递归状态图

     再进行一次递归分析,就能清楚地看到递归终止条件了:

    图(7)第三次递归状态图

     递归终止条件就是链表只剩一个节点时直接返回这个节点的指针。可以看出这个算法的核心其实是在回朔部分,递归的目的是遍历到链表的尾节点,然后通过逐级回朔将节点的next指针翻转过来。递归算法的完整代码如下:

       77 LINK_NODE *ReverseLink2(LINK_NODE *head)

       78 {

       79     LINK_NODE *newHead;

       80 

       81     if((head == NULL) || (head->next == NULL))

       82         return head;

       83 

       84     newHead = ReverseLink2(head->next); /*递归部分*/

       85     head->next->next = head; /*回朔部分*/

       86     head->next = NULL;

       87 

       88     return newHead;

       89 }

            循环还是递归?这是个问题。当面对一个问题的时候,不能一概认为哪种算法好,哪种不好,而是要根据问题的类型和规模作出选择。对于线性数据结构,比较适合用迭代循环方法,而对于树状数据结构,比如二叉树,递归方法则非常简洁优雅。

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  • 递归与循环的互转关系

    千次阅读 2020-07-28 17:54:47
    递归与循环写法互转 1:递归与循环理论上可以互转 2:递归顺序必须由父–>子 -->兄弟; 3:循环用压栈方式可以实现由父–>子 -->兄弟;用连表方式可以实现父–>兄弟—>子的顺序; 递归通用模板 /** * ...

    递归与循环写法互转

    1:递归与循环理论上可以互转
    2:递归顺序必须由父–>子 -->兄弟;
    3:循环用压栈方式可以实现由父–>子 -->兄弟;用连表方式可以实现父–>兄弟—>子的顺序;

    递归通用模板

       /**
         * 递归通用函数
         */
        function  dg($pms){
            //符合某条件直接返回
            if ($pms=='xxx'){
                return 'xxx';
            }
    
            //根据参数获取数据
            $datas=getDatas($pms);
    
            if ($datas=="xxx"){
                $data= $this->dg($datas['pms']);//根据参数再次调用
                //TODO 处理数据
                dealData($data);
            }else{
                //TODO 处理数据
                dealData($datas);
            }
    
        }
    

    递归转成循环通用模板

        /**
         * 递归--->转循环
         */
        function xh($pms){
            //定义一个栈保存任务(换成连表则顺序改为先找兄弟后找子)
            $task=[];
    
            //获取首次数据
            $datas=getDatas($pms);
    
            //将数据压入栈内
            $task.push($datas);
            //循环取栈
            while ($task.length>0){
                $data=$task.pop();//从栈中取出一个数据
    
                //根据条件判断处理数据
                if($data=='xxx'){
                    $datas=getDatas($data['pms']);//继续取数据,压到栈中
                    $task.push($datas);
                }else{
                    //TODO 处理数据
                    dealData($data);
                }
    
            }
        }
    

    实例: 使用 递归 跟 循环 查找文件夹内的所有文件

    递归写法(伪代码)

      /**
         * 递归找文件
         */
        function  getFilesDg($filename){
            //文件直接返回
            if (is_file($filename)){
                return $filename;
            }
    
            //获得当前文件内的所有文件及文件夹
            $list=getFiles($filename);
    
            foreach ($list as $item) {
                //判断是否文件夹
                if (is_dir($item)){
                 $this->getFilesDg($item);//递归调用查找该文件夹里的文件
                }else{
                    //输出文件名
                echo "找到文件 $item";
                }
            }
    
        }
    
    

    循环找文件写法(伪代码)

        /**
         * 递归--->转循环 查找文件
         */
        function getFilesXh($filename){
            //定义一个栈保存任务(换成连表则顺序改为先找兄弟文件)
            $task=[];
    
            //获取该文件夹内的文件
            $list=getFileList($filename);
            //将数据压入栈内
            $task.push($list);
            //循环取栈
            while ($task.length>0){
                $data=$task.pop();//从栈中取出一个数据
                foreach ($data as $item) {
                    //判断是文件夹
                    if(is_dir($item)){
                        $list=getFileList($item);//继续取数据,压到栈中
                        $task.push($list);
                    }else{
                        echo "找到文件 $item";
                    }
                }
            }
        }
    

    结论:循环更好用,逻辑更清晰,可以控制遍历顺序

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  • 本文主要介绍什么是循环依赖关系错误circular dependency,以及如何排查在单张表中出现循环依赖错误,特别是使用CALCULATE函数产出的循环依赖错误。
  • python中的循环与break和continue的关系和用法
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     首先内层循环属于外层循环循环体的一部分,当循环体执行完以后外层循环才进入第二次循环,此过程中内层循环需要执行符合条件的完整循环。(外循环控制行数,内循环控制每一行的个数) 下面以冒泡排序为例说明: ...
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  • while循环 while循环 do-while循环
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  • 项目依赖关系出现循环引用,导致编译一直过不去,咋办呢 这样处理!!!! 大功告成~ღ( ´・ᴗ・` )比心
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  • C语言for循环和while循环的区别

    千次阅读 2020-04-16 11:09:16
    文章目录1、for循环介绍2、while循环介绍3、循环的选择4、版权声明 1、for循环介绍 for循环的一般形式为: for (语句1;表达式;语句2) { 语句块 } 1)for循环开始时,会先执行语句1,而且在整个循环过程中只执行...
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  • 循环链表与循环队列

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    单向循环链表 和普通的链表结构不同,单向循环链表的最后一个节点的指针指向了头结点,也就是和Head指针有相同的引用 和普通链表相比,循环链表不需要头指针,能够从任意位置实现链表遍历 双向循环...

空空如也

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循环关系