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  • 圆周角定理:同(等)弧所圆周角相等; 2. 相交弦定理 相交弦定理:指圆的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 或:经过圆一点引两条弦,各弦被这点所分成的两线段的积相等; 几何语言描述: ...

    相交弦定理的证明需要用到圆周角定理。

    1. 圆周角定理

    • 圆周角定理:同(等)弧所对圆周角相等;

    2. 相交弦定理

    • 相交弦定理:指圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 或:经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两线段的积相等;

    • 几何语言描述:

      若圆内任意弦AB、弦CD交于点P
      则 PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

    相交线定理的证明:


    这里写图片描述

    证明:连结AC,BD
    由圆周角定理的推论,得∠A=∠D,∠C=∠B。(圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.)
    ∴△PAC∽△PDB
    ∴PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD
    注:其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

    转载于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9423755.html

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  • 我们根据第一次衰变中产生的不稳定粒子的宽度来研究该过程,并确定有效性的极限和对定理的违反。 结论之一是,该定理严格限制在该共振的零宽度范围,在这种情况下,与树形水平相比,三角形图的强度可以忽略不计。...
  • 我们一起来看看:圆的内接四边形的性质圆内接四边形的前三个性质:1)对角互补,外角等于它的内对角2)相交弦定理3)割线定理大家应该都比较熟悉。但是第四个性质,可能大部分同学都没有听说过。这第四个性质是圆的内接...

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    同学们好,上几篇我们已经将和圆相关的线,和圆相关的角,以及和圆相关的面中的内接三角形分享了,这篇我们接着分享和圆相关的面中的内接四边形。那圆的内接四边形又有怎么样的性质和定理呢?

    我们一起来看看:

    圆的内接四边形的性质

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    圆内接四边形的前三个性质:

    1)对角互补,外角等于它的内对角

    2)相交弦定理

    3)割线定理

    大家应该都比较熟悉。但是第四个性质,可能大部分同学都没有听说过。这第四个性质是圆的内接四边形中边与对角线的关系。叫做托勒密定理。

    4)托勒密定理

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    如何证明?要让四边和对角线都扯上关系。大家是否能够想到之前小编分享的关于三角形的旋转相似模型,它会出现一转成双(一般很难想到,要对此模型非常熟悉才行)。看看这种模型是否能够用以证明这个托勒密定理呢?

    因为四边形ABCD四点共圆,根据圆周角定理推论,可推出∠CAB=∠CDB,根据旋转相似模型,我们可以想一下,如果作∠ABM交AC于M点,使得∠ABM=∠DBC,那么就可以推出△ABM∽△DBC,一转成双,那么也可证△ADB∽△MCB,进而就能够证明托勒密定理,我们来看看具体过程。

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    这个托勒密定理虽然课本上并没有直接作为一个定理拿出来给大家用,但是这个定理还是比较好用的一个定理,大家要记得它是怎么证明的。托勒密定理也是初中数学竞赛中常用的一个定理。这个定理也并不难记忆。想一想一转成双相似模型,你就应该能够想到要怎么做辅助线了。

    当然,用这些定理的前提,一定得是圆的内接四边形,也就是四点共圆,但是有些题中,常常只是告诉你它是四边形,要证明一些角,线的关系。这个时候,你就得想到这些四边形是否能放到圆中,进行讨论,从而运用一些定理来证明它们的角,或者它们的线的关系。我们都知道,并不是所有的四边形都有外接圆,那最关键的问题就来了,怎么判定他们是圆的内接四边形,也就是要证明他们四点共圆呢?

    让我们一起来看看四点共圆的判定,也就是圆内接四边形的性质的逆命题。

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    这几个判定的证明1),2)需要用到反证法。可先假设其中一个点不在圆内,最后证明假设不成立,从而证明这个点一定在圆内。3),4)使用三角形相似证明角的关系,再根据1),2)来证明结论正确即可,此处证明过程略。

    接下来,我们看看怎么运用四点共圆的性质和判定吧。

    例题

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    我们来看看这道题,要求证的是对角线和边的关系,而且是四边形,那么我们就得想到托勒密定理。但是得要先证明这个四边形四点共圆。

    如果熟知圆的内接四边形的性质和等腰梯形的性质,我们是非常容易知道圆的内接梯形,它一定是等腰梯形。反过来,等腰梯形,四个点共圆。这样一来,我们把等腰梯形放置到圆中,我们就可以使用托勒密定理的证明这个结论了。

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    看,这样一来,是不是一点都不觉得难了。托勒密定理真是太有用了。如果碰到这种题,课本上并没有明确或者说到托勒密定理可以用,大家可以把如何证明托勒密定理的方法运用到这种题目中。证明它就可以。

    接下来,我们来道题练练看,你是不是已经会用托勒密定理了呢?

    练习

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    这道练习题可能就有点难度咯。大家先动动脑想一想,提示,可以构造四边形来证明哈。

    好了,今天的分享就到这了,同学们是不是又学会了一种证明方法呢?我们不仅要记得这个托勒密定理,也一定要知道它是怎么证明的哦。喜欢我们的文章,请点赞,关注,收藏,分享,我们后期还有更多思想方法分享给大家,谢谢

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  • 我的数学课程有兴趣,可以私信我 如果你只是想要了解数学三招,例题等,本专栏里有很多干货文章...因此,适当地掌握一些教材中没有提到,但是可以加速解题过程的公式和定理提高解题速度,尤其是选择和填空题的...

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    对我的数学课程有兴趣,可以私信

    如果你只是想要了解数学三招,例题等,本专栏里有很多干货文章(下方就是目录),请自行观看,就不要加我了,谢谢。 作者:本质教育 王馨逸

    对于任何考试(例如高考),本质教育有一条重要的原则:

    那些考试拿高分的,一定是简单的题目做得又快又对,这样他们才有时间去思考难题

    因此,适当地掌握一些教材中没有提到,但是可以加速解题过程的公式和定理,对提高解题速度,尤其是选择和填空题的解题速度极为有效。今天介绍的是利用公式快速求直角三角形内切圆半径。

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    只需记下这个简单的结论,在遇到求直角三角形内切圆半径的题目中,我们用这个公式就能快速解出半径的值。熟悉它的证明过程,还可以得到一些小结论,在一些情况下能帮助我们快速解题。利用以上这个定理,计算量减少,有效的缩短了解题时间,使此类题目变得简单,让我们对这一类型的题目处理起来更得心应手。

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    大家记住了吗?

    欢迎持续关注我们的连载!你也可以投稿告诉我们你知道的这类定理和公式,有奖品送出。


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  • 几何综合题中常出现判断两条或三条线段的数量关系的题目,其中共顶点三线段数量关系的证明,...托勒密定理:圆接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和定理的证明需要构造相似,用到两组相似?,结合证...

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    几何综合题中常出现判断两条或三条线段的数量关系的题目,其中共顶点三线段数量关系的证明,一直是北京乃至全国初中几何考题中的常客,从初二上学期的等边三角形到初二下学期四边形,此类考题考察都非常广泛,其中托勒密定理的应用尤为突出!今天我们一起来探究,什么是托勒密定理?它又将如何应用!

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    托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和

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    定理的证明需要构造相似,用到两组相似?,结合证明

    过程如下:

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    当然我们还可以从不同的构造方向,分别以点A点B点C三点为顶点,构造相似?,同样可以得出结论,不妨来动手试一试:

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    托勒密定理的逆定理:在凸四边形ABCD中,若两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和,则四边形ABCD内接于圆。

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    拓展四点共圆情况:

    1. 若四个点到一个定点的距离相等,则这四点共圆(圆的定义)

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    2. 同斜边的直角三角形的四个顶点共圆(直径所对圆周角是直角)

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    3. 若一个四边形的一组对角互补(和为180°)则这四个点共圆

    (圆内接四边形对角互补)

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    4. 若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆

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    5. 若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两端共圆(在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角相等)

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    在考试中常考题型,熟练后,秒出结论,不成问题!

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    托勒密定理不止在初中几何中应用广泛,在高中解三角形和圆锥曲线中也有很多妙用!

    整理了部分北京初中几何考题,来练练手:

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    非常经典的20年东城二模,此题答案在如下推荐链接:

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    2019-2020北京市初三二模数学东城、西城选填核心题目对比,几何综合、新定义详解

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  • 接与一二次曲线的三角形中,与它的两边交于一共轭点的直线是第三边的共轭线
  • 本篇将介绍关于旋转的内容,一个关于旋转构造的定理-托勒密定理定理本身并非课内知识,但在近年中考中,已经不止一次地出现了,因而值得重视.01定理介绍托勒密定理定理:圆的接四边形中,两对角线所包矩形的...
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  • 托勒密定理

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    千次阅读 2018-01-20 21:07:58
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  • 本篇将介绍关于旋转的内容,一个关于旋转构造的定理-托勒密定理定理本身并非课内知识,但在近年中考中,已经不止一次地出现了,因而值得重视.01定理介绍托勒密定理定理:圆的接四边形中,两对角线所包矩形的...
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空空如也

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内对角定理