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  • 圆周角定理:同(等)弧所圆周角相等; 2. 相交弦定理 相交弦定理:指圆的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 或:经过圆一点引两条弦,各弦被这点所分成的两线段的积相等; 几何语言描述: ...

    相交弦定理的证明需要用到圆周角定理。

    1. 圆周角定理

    • 圆周角定理:同(等)弧所对圆周角相等;

    2. 相交弦定理

    • 相交弦定理:指圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 或:经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两线段的积相等;

    • 几何语言描述:

      若圆内任意弦AB、弦CD交于点P
      则 PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

    相交线定理的证明:


    这里写图片描述

    证明:连结AC,BD
    由圆周角定理的推论,得∠A=∠D,∠C=∠B。(圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.)
    ∴△PAC∽△PDB
    ∴PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD
    注:其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

    转载于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9423755.html

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  • 目录 盖尔金圆定理(Gersggorin Circle Thorem) 严格对角占优矩阵(SDD)

    盖尔金圆定理(Gersghorin Circle Thorem)

      盖尔金圆定理(Gersghorin Circle Thorem)是线性代数中一个有趣而实用的定理,可以用它来描述矩阵的特征值。首先我们先来看一下盖尔金圆定理。
      (盖尔金圆定理)对于任意的 n n 阶方阵A,若 λ λ A A 的一个特征值,则存在1in,使得 |λaii|j=1,jin|aij|. | λ − a i i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | .
    证明:
      若 λ λ A A 的一个特征值,设其特征向量为x,可以选取 i i 使得|xi|=maxj=1,2,...,n|xj|=1,这总是可以做到的,因为特征向量乘上任何数(除0外)仍为特征向量。
      根据特征值和特征向量的定义,有 Ax=λx A x = λ x ,因此有:

    j=1naijxj=λxi. ∑ j = 1 n a i j x j = λ x i .

    从而:
    |(λaii)xi|=|λaii|j=1,jin|aijxj|j=1,jin|aij|. | ( λ − a i i ) x i | = | λ − a i i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j x j | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | .

    证明完毕
      对于任意一个方阵,我们只要画出它在复平面上的盖尔金圆,就能推测出特征值的分布情况了,因为该方阵的所有特征值总是在这些圆中某一个内。
      下面给出如何在复平面上画方阵的盖尔金圆的Python代码,如下:

    # Plotting Gershgorin Circles for any square matrix
    from matplotlib.patches import Circle
    import matplotlib.pyplot as plt
    from math import sqrt
    import numpy as np
    
    # example matrix, each entity can be complex number
    A = np.array([[5, 0, 0, -1],
                  [1, 0, -1, 0],
                  [-1.5, 1, -2, 1],
                  [-1, 1, 1, -3j]
                 ],dtype='complex')
    
    # begin plotting figure
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    
    # Circle: |A[i,i]-z| <= sum(|A[i,j]| for j in range(n) and j != i)
    for i in range(A.shape[0]):
        real = A[i,i].real    # each complex's real part
        imag = A[i,i].imag    # each complex's image part
    
        # calculate the radius of each circle
        radius = -sqrt(A[i,i].real**2+A[i,i].imag**2)
        for j in range(A.shape[0]):
            radius += sqrt(A[i,j].real**2+A[i,j].imag**2)
    
        # add the circle to the  figure and plot the center of the circle
        cir = Circle(xy = (real,imag), radius=radius, alpha=0.5, fill=False)
        ax.add_patch(cir)
        x, y = real, imag
        ax.plot(x, y, 'ro')
    
    # title
    plt.title("Gershgorin Circles of Matrix")
    
    # show the figure which can be used for analyse eigenvalues of the matrix
    plt.savefig("E://GCircle.png")

    该方阵的盖尔金圆分布如下图:


    盖尔金圆分布图

      以下给出盖尔金圆定理在 严格对角占优矩阵中的应用。

    严格对角占优矩阵(SDD)

      严格对角占优矩阵(Strictly Diagonally Dominant Matrix, SDD)是数值分析中的一个重要概念,它能保证Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。
      所谓SDD,指的是满足以下条件的方阵:

    |aii|>j=1,jin|aij|,i=1,2,...,n. | a i i | > ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | , ∀ i = 1 , 2 , . . . , n .

    通俗地来理解,就是主对角线上的每个元素的模(或者绝对值)都大于该元素所在行的所有元素(除掉它本身)的模(或者绝对值)的总和。
      下面给出SDD的几个重要性质。
    (SDD的性质)SDD必定是非奇异矩阵。
    证明: A A 为SDD,它不是非奇异矩阵,则A至少有一个特征值为0,从而由盖尔金圆定理可知,存在 1in 1 ≤ i ≤ n ,使得 |aii|j=1,jin|aij|. | a i i | ≤ ∑ j = 1 , j ≠ i n | a i j | . 此与SDD的定义矛盾。从而SDD必定是非奇异矩阵。

    (SDD的性质)若 A A 为SDD,则Ax=b有解。
    证明:因为 A A 为SDD,故A可逆,从而 x=A1b. x = A − 1 b .

    (SDD的性质)若 A A 为SDD,则对于方程Ax=b, Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,SOR迭代法收敛。
    证明:因为我们还没讲到Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,SOR迭代法,因此我们将在之后的博客中给出该性质的证明,敬请期待。

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  • 针对线性方程组的系数矩阵为α-严格对角占优矩阵和双严格对角占优矩阵的情况,讨论了线性方程组求解时常用的几种迭代方法的收敛性,给出了迭代法收敛性定理,解决了以往估计迭代矩阵谱半径的问题。结果不仅适用于这两类...
  • 三角形五心定理

    千次阅读 2012-04-15 17:21:06
    三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称。 一、三角形重心定理  三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单...

    三角形五心定理

      三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称。

    一、三角形重心定理

      三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名) 

      重心的性质: 

      1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 

      2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 

      3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 

      4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。

      5.   以重心为起点,以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

    二、三角形外心定理

      三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心

      外心的性质:

      1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。

      2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。

      3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。

      4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。外心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。 

      5、外心到三顶点的距离相等

    三、三角形垂心定理

      三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心

      垂心的性质:

      1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。

      2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG︰GH=1︰2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line))

      3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

      4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

      定理证明

      已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证:CF⊥AB 

      证明: 

      连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 

      ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC 

      ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 

      又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 

      因此,垂心定理成立!

    四、三角形内心定理

      三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心

      内心的性质:

      1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

      2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

      3、P为ΔABC所在空间中任意一点,点0是ΔABC内心的充要条件是:向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

      4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

      5、点O是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是: 

      a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0.

      6、、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr. 

      7、(内角平分线分三边长度关系) 

      △ABC中,0为内心,∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

      8、内心到三角形三边距离相等。

    五、三角形旁心定理

      三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心

      旁心的性质:

      1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。

      2、每个三角形都有三个旁心。 

      3、旁心到三边的距离相等。

      如图,点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。 

      附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。

    有关三角形五心的诗歌

      三角形五心歌(重外垂内旁)

      三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混. 

      重 心 

      三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了, 

      重心分割中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵活运用掌握好.

      外 心 

      三角形有六元素,三个内角有三边. 作三边的中垂线,三线相交共一点. 

      此点定义为外心,用它可作外接圆. 内心外心莫记混,内切外接是关键. 

      垂 心 

      三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形,出现直角三对整, 

      直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清. 

      内 心 

      三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源; 

      点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”,如此定义理当然. 

      五心性质别记混,做起题来真是好。

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  • 内角平分线定理

    千次阅读 2011-11-05 21:12:44
    平分线的性质定理   性质1 在平分线上的点到这个的两边的距离相等.  性质2 到一个的两边的距离相等的点,在这个的平分线上.  综合定理1,2可得如下结论:  ●的平分线是到的两边...

     转自:http://baike.baidu.com/view/931684.htm

    角平分线的性质定理  

      性质1 在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

      性质2 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上.

      综合定理1,2可得如下结论:

      ●角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

    三角形内角平分线性质定理

      ●三角形内角平分线分对边所成的两条线段,和两条邻边成比例.

      即 在三角形ABC中,当AD是顶角A的角平分线交底边于D时,BD/CD=AB/AC.

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空空如也

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内对角定理