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  • 内对角定理
    2020-12-22 04:52:52

    Gerschgorin

    圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用

    【摘要】

    利用

    Gerschgorin

    圆盘定理给出严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明,

    简化了原证明过程。

    关键词:

    Gerschgorin

    圆盘定理;矩阵;对角占优矩阵;特征值

    Application of Gerschgorin theorem in strictly diagonally

    dominant matrix

    An Yu Shuan

    (

    University of Electronic Science and Technology of China

    chengdu gaoxinxiquxiyuandadao2006 hao

    611731

    )

    Abstract

    Using Gerschgorin theorem gave the proof about a number of important conclusions on

    strictly diagonally dominant matrice

    and the proof is very simple

    Key words

    Gerschgorin theorem

    matrix

    diagonlly dominant matrice

    eigenvalue

    1

    引言及预备知识

    Gerschgorin

    圆盘定理是矩阵理论中的一个十分重要的定理,

    在矩阵理论中占有很重要

    的地位,在很多方面均有应用,尤其在严格对角占优矩阵中.本文利用

    Gerschgorin

    圆盘

    定理给出了严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明,简化了原证明过程.

    定义

    [1]

    n

    n

    ij

    a

    A

    ×

    )

    (

    =

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    严格对角占优矩阵与SOR迭代法的收敛性定理

    第34卷第1期 长春理工大学学报(自然科学版) Vol.34 No. 1

    20 11年3月 Journal of Changchun University of Science and Technology (Natural Science Edition) Mar. 2011

    严格对角占优矩阵与SOR 迭代法的收敛性定理

    宋岱才,敬长红,陈德艳

    (辽宁石油化工大学 理学院,抚顺 113001)

    摘 要:针对线性方程组的系数矩阵为 -链严格对角占优矩阵和双严格对角占优矩阵的情况,讨论了线性方程组求

    解时常用的SOR 迭代方法的收敛性,给出了迭代法收敛性定理,解决了以往估计迭代矩阵谱半径的问题。结果不

    仅适用于这两类矩阵,还适用于广义严格对角占优矩阵类,最后举例说明了所给结果的优越性。

    关键词: -链严格对角占优矩阵;双严格对角占优矩阵;迭代法;收敛性

    中图分类号:O24 1.6;O151.2 文献标识码:A 文章编号:1672-9870 (20 11)01-0 170-03

    Diagonal Strictly Dominance Matrix and Convergence

    Theorem of SOR Iteration Method

    SONG Daicai ,JING Changhong,CHEN Deyan

    (School of Sciences,Liaoning University of Petroleum & Chemical Technology ,Fushun 11300 1)

    Abstract :In this paper Convergence theorem of SOR iteration method for solving linear system is studied,when coefficient ma-

    trix is -chain diagonal strictly dominance or doubly diagonal strictly dominance,and some convergence theorems are given ,

    which solves the problem of spectral radius of iterative matrices. Results obtained are applicable for - chain diagonal strictly domi-

    nance matrix or doubly diagonal strictly dominance matrix ,and improve the known results and are applicable for generalized di-

    agonal strictly dominance matrices.Finally ,a numerical example is given for illustrating advantage of the results in this paper.

    Key words : -chain diagonal strictly dominance matrix ;doubly diagonal strictly dominance matrix ;iteration method ;

    convergence theorem

    界限问题。最后举例说明这一结果的适用性。

    1 基本概念及引理

    设方程组的系数矩阵A 分解为 = ,其

    n×n 中D=diag ( , ,…,

    展开全文
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    盖尔金圆定理(Gersghorin Circle Thorem)

    盖尔金圆定理(Gersghorin Circle Thorem)是线性代数中一个有趣而实用的定理,可以用它来描述矩阵的特征值。首先我们先来看一下盖尔金圆定理。

    (盖尔金圆定理)对于任意的$n$阶方阵$A$,若$\lambda$是$A$的一个特征值,则存在$1\leq i\leq n$,使得$|\lambda - a_{ii}| \leq \sum\limits_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$

    证明:

    若$\lambda$是$A$的一个特征值,设其特征向量为$x$,可以选取$i$使得$|x_i|=\max\limits_{j=1,2,...,n} |x_{j}|=1,$这总是可以做到的,因为特征向量乘上任何数(除0外)仍为特征向量。

    根据特征值和特征向量的定义,有$Ax=\lambda x$,因此有:

    $$\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}.$$

    从而:

    $$|(\lambda-a_{ii})x_{i}|=|\lambda-a_{ii}|\leq \sum\limits_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}x_{j}|\leq \sum\limits_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$$

    证明完毕

    对于任意一个方阵,我们只要画出它在复平面上的盖尔金圆,就能推测出特征值的分布情况了,因为该方阵的所有特征值总是在这些圆中某一个内。

    下面给出如何在复平面上画方阵的盖尔金圆的Python代码,如下:

    # Plotting Gershgorin Circles for any square matrix

    from matplotlib.patches import Circle

    import matplotlib.pyplot as plt

    from math import sqrt

    import numpy as np

    # example matrix, each entity can be complex number

    A = np.array([[5, 0, 0, -1],

    [1, 0, -1, 0],

    [-1.5, 1, -2, 1],

    [-1, 1, 1, -3j]

    ],dtype='complex')

    # begin plotting figure

    fig = plt.figure()

    ax = fig.add_subplot(111)

    # Circle: |A[i,i]-z| <= sum(|A[i,j]| for j in range(n) and j != i)

    for i in range(A.shape[0]):

    real = A[i,i].real # each complex's real part

    imag = A[i,i].imag # each complex's image part

    # calculate the radius of each circle

    radius = -sqrt(A[i,i].real**2+A[i,i].imag**2)

    for j in range(A.shape[0]):

    radius += sqrt(A[i,j].real**2+A[i,j].imag**2)

    # add the circle to the figure and plot the center of the circle

    cir = Circle(xy = (real,imag), radius=radius, alpha=0.5, fill=False)

    ax.add_patch(cir)

    x, y = real, imag

    ax.plot(x, y, 'ro')

    # title

    plt.title("Gershgorin Circles of Matrix")

    # show the figure which can be used for analyse eigenvalues of the matrix

    plt.savefig("E://GCircle.png")

    该方阵的盖尔金圆分布如下图:

    以下给出盖尔金圆定理在 严格对角占优矩阵中的应用。

    严格对角占优矩阵(SDD)

    严格对角占优矩阵(Strictly Diagonally Dominant Matrix, SDD)是数值分析中的一个重要概念,它能保证Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。

    所谓SDD,指的是满足以下条件的方阵:

    $$|a_{ii}| > \sum\limits_{j=1,j \neq i}^{n}|a_{ij}|, \forall i =1,2,...,n.$$

    通俗地来理解,就是主对角线上的每个元素的模(或者绝对值)都大于该元素所在行的所有元素(除掉它本身)的模(或者绝对值)的总和。

    下面给出SDD的几个重要性质。

    (SDD的性质)SDD必定是非奇异矩阵。

    证明:若$A$为SDD,它不是非奇异矩阵,则$A$至少有一个特征值为0,从而由盖尔金圆定理可知,存在$1\leq i\leq n$,使得$|a_{ii}| \leq \sum\limits_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$ 此与SDD的定义矛盾。从而SDD必定是非奇异矩阵。

    (SDD的性质)若$A$为SDD,则$Ax=b$有解。

    证明:因为$A$为SDD,故$A$可逆,从而$x=A^{-1}b.$

    (SDD的性质)若$A$为SDD,则对于方程$Ax=b$, Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,SOR迭代法收敛。

    证明:因为我们还没讲到Jacobi迭代法, Gauss-Seidel迭代法,SOR迭代法,因此我们将在之后的博客中给出该性质的证明,敬请期待。

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  • 数学三角形的所有定理!所有!

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    等腰三角形:
    定义:有两条边相等的三角形是等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
    性质:1.等腰三角形的两条腰相等;2.等腰三角形的两个底角相等;3.等腰三角形是轴对称图形;4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合,它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
    判定:1.有两条边相等的三角形是等腰三角形;2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
    等边三角形:
    定义:三边都相等的三角形是等边三角形,也叫正三角形.
    性质:1.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴,任意边的垂直平分线都是它的对称轴;2.等边三角形的三个角都相等,每个角都是60°.
    判定:1.三条边都相等的三角形是等边三角形;2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;3.有两个角是60°的三角形是等边三角形.
    直角三角形:
    定义:有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.其中,构成直角的两边叫做直角边,直角边所对的边叫做斜边.
    性质:1.直角三角形的两个余角互余;2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半;4.勾股定理.
    判定:1.有一个角是直角的三角形是直角三角形;2.有两个角互余的三角形是直角三角形;3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半,那么这个三角形是直角三角形;4.如果三角形的三边长a、b、c满足于a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形.
    15 定理 三角形两边的和大于第三边 
    16 推论 三角形两边的差小于第三边 
    17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 
    18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 
    19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 
    20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 
    21 全等三角形的对应边、对应角相等 
    22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 
    23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 
    24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 
    25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 
    26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 
    27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 
    28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 
    29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 
    30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 
    31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 
    32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 
    33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 
    34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 
    35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 
    36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 
    37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 
    38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 
    39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 
    40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 
    41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 
    42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 
    43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 
    44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 
    45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 
    46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2 
    47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形 
    48定理 四边形的内角和等于360° 
    49四边形的外角和等于360° 
    50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180° 
    51推论 任意多边的外角和等于360° 
    52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 
    53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 
    54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 
    55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 
    56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 
    57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 
    58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 
    59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 
    60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 
    61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 
    62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 
    63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 
    64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 
    65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 
    66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2 
    67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 
    68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 
    69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 
    70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 
    71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 
    72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 
    73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一 
    点平分,那么这两个图形关于这一点对称 
    74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 
    75等腰梯形的两条对角线相等 
    76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯
    形是等腰梯形 
    77对角线相等的梯形是等腰梯形 
    78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 
    相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 
    79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 
    80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 三边 
    81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它 的一半 
    82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 一半 L=(a+b)÷2 S=L×h 
    83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 
    如果ad=bc,那么a:b=c:d 
    84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 
    85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 
    (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 
    86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例 
    87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例 
    88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,
    那么这条直线平行于三角形的第三边 
    89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,
    所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 
    90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两
    边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 
    91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA) 
    92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 
    93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 
    94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 
    95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 
    角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 
    96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 
    分线的比都等于相似比 
    97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 
    98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 
    99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 
    于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意
    锐角的余切值等 于它的余角的正切值 
    101圆是定点的距离等于定长的点的集合 
    102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 
    103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 
    104同圆或等圆的半径相等 
    105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直 平分线 
    107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 
    108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条
    平行线平行且距 离相等的一条直线 
    109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆. 
    110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 
    111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 
    ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 
    ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 
    112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 
    113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 
    114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,
    所对的弦的弦心距相等 
    115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 
    弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 
    116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 
    117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等
    圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 
    118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 有的弦是直径 
    119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 
    120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角 
    121①直线L和⊙O相交 d<r 
    ②直线L和⊙O相切 d=r 
    ③直线L和⊙O相离 d>r 
    122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 
    123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 
    124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 
    125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 
    126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 
    圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 
    127圆的外切四边形的两组对边的和相等 
    128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 
    129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 
    130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 相等 
    131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 
    两条线段的比例中项 
    132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 
    线与圆交点的两条线段长的比例中项 
    133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条
    割线与圆的交点的两条线段长的积相等 
    134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 
    135①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r 
    ③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r) 
    ④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含d<R-r(R>r) 
    136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 
    137定理 把圆分成n(n≥3): 
    ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 
    ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 
    138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 
    139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 
    140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个
    全等的直角三角形 
    141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 
    142正三角形面积√3a/4 a表示边长 
    143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 
    360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 
    144弧长计算公式:L=n兀R/180 
    145扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2 
    146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 三角函数公式 
    两角和公式 
    sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 
    sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 
    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB 
    cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 
    tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 
    tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 
    ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) 
    ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 
    倍角公式 
    tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 
    cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 
    半角公式 
    sin(A/2)=√((1-cosA)/2) 
    sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) 
    cos(A/2)=√((1+cosA)/2) 
    cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) 
    tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) 
    tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 
    ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) 
    ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 
    积化和差 
    2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 
    2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 
    2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) 
    -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 
    和差化积
    sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 
    cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) 
    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-
    B)/cosAcosB 
    ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin
    (A+B)/sinAsinB 
    正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 
    余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 
    诱导公式 
    sin(-a)=-sin(a) 
    cos(-a)=cos(a) 
    sin(pi/2-a)=cos(a) 
    cos(pi/2-a)=sin(a) 
    sin(pi/2+a)=cos(a) 
    cos(pi/2+a)=-sin(a) 
    sin(pi-a)=sin(a) 
    cos(pi-a)=-cos(a) 
    sin(pi+a)=-sin(a) 
    cos(pi+a)=-cos(a) 
    tgA=tanA=sinA/cosA 
    万能公式 
    sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) 
    cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) 
    tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 
    其它公式 
    a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a] 
    a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b] 
    1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 
    1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 
    其他非重点三角函数 
    csc(a)=1/sin(a) 
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