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  • 图像插值是在基于模型框架下,从低分辨率图像生成高分辨率图像的过程,用以恢复图像中所丢失的信息。图象插值方法有:最近邻插值,双线性插值,双平方插值,双立方插值以及其他高阶方法。 在很多情况下,人们需要对...

    图像插值是在基于模型框架下,从低分辨率图像生成高分辨率图像的过程,用以恢复图像中所丢失的信息。图象插值方法有:最近邻插值,双线性插值,双平方插值,双立方插值以及其他高阶方法。

    在很多情况下,人们需要对数字图像进行进一步的处理比如,为了做广告宣传,需要将拍摄的艺术照片做成巨幅海报;为了分析深层地质结构,需要对仪器采集的图像做局部细化;为了分析外星球的大气和地面状况,需要使遥感卫星图片模糊细节变得有意义;为了侦破缺少目击证人的案件,需要对监控录像做清晰化处理这些,就需要用到图像的插值技术,将原始低分辨率图像或模糊图像进行放大,并且要保证所要求的清晰度有时候,图像在获取、传输过程中不可避免地会产生噪声,这些噪声大大损坏了图像的质量,影响了图像的可用性所以,考虑要对图像进行去噪。而去噪的实质,是在去噪模型下用新的灰度估计值来取代原噪声点的灰度值,因此去噪问胚也可以转化为插值问题来研究。

    插值,分为图像内插值和图像间插值,其主要应用是对图像进行放大以及旋转等操作,是根据一幅较低分辨率图像再生出另一幅均具有较高分辨率的图像,是图像内插值。图像间的插值,也叫图像的超分辨率重建,是指在一图像序列之间再生出若干幅新的图像,可应用于医学图像序列切片和视频序列之间的插值图像内插值实际上是对单帧图像的图像重建过程,这就意味着生成原始图像中没有的数据。

    参考文章:图象插值

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  • 展开全部插值法原理:数学插法即“直线插入法”。其原理,若A(i1‚1)‚B(i2‚2)为两点e69da5e6ba9062616964757a686964616f31333366303062,则点P(i‚)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1‚i2之注意...

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    插值法原理:

    数学内插法即“直线插入法”。

    其原理是,若A(i1‚1)‚B(i2‚2)为两点e69da5e6ba9062616964757a686964616f31333366303062,则点P(i‚)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1‚i2之

    注意:

    (1)“内插法”的原理是根据等比关系建立一个方程,然后解方程计算得出所要求的数据。例如:假设与A1对应的数据是B1,与A2对应的数据是B2,A介于A1和A2之间,已知与A对应的数据是B,则可以按照(A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)计算得出A的数值。

    (2)仔细观察一下这个方程会看出一个特点,即相对应的数据在等式两方的位置相同。例如:A1位于等式左方表达式的分子和分母的左侧,与其对应的数字B1位于等式右方的表达式的分子和分母的左侧。

    (3)还需要注意的一个问题是:如果对A1和A2的数值进行交换,则必须同时对B1和B2的数值也交换,否则,计算得出的结果一定不正确。

    扩展资料:

    若函数f(x)在自变数x一些离散值所对应的函数值为已知,则可以作一个适当的特定函数p(x),使得p(x)在这些离散值所取的函数值,就是f(x)的已知值。从而可以用p(x)来估计f(x)在这些离散值之间的自变数所对应的函数值,这种方法称为插值法。

    如果只需要求出某一个x所对应的函数值,可以用“图解内插”。它利用实验数据提供要画的简单曲线的形状,然后调整它,使得尽量靠近这些点。

    如果还要求出因变数p(x)的表达式,这就要用“表格内插”。通常把近似函数p(x)取为多项式(p(x)称为插值多项式),最简单的是取p(x)为一次式,即线性插值法。在表格内插时,使用差分法或待定系数法(此时可以利用拉格朗日公式)。在数学、天文学中,插值法都有广泛的应用。

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  • 线性插值 多项式插值 样条插值 牛顿插值总结

    万次阅读 多人点赞 2019-01-19 20:53:26
    1.什么是插值 在数值分析中,插值(interpolation)一种通过已知的、离散的数据点,在范围推求新数据点的过程或方法。求解科学和工程的问题时,通常有许多数据点借由采样、实验等方法获得,这些数据可能代表了...

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    1.什么是插值

    在数值分析中,插值(interpolation)是一种通过已知的、离散的数据点,在范围内推求新数据点的过程或方法。求解科学和工程的问题时,通常有许多数据点借由采样、实验等方法获得,这些数据可能代表了有限个数值函数,其中自变量的值。而根据这些数据,我们往往希望得到一个连续的函数(也就是曲线);或者更密集的离散方程与已知数据互相吻合,这个过程叫做拟合。
    与插值密切相关的另一个问题是通过简单函数逼近复杂函数。假设给定函数的公式是已知的,但是太复杂以至于不能有效地进行评估。来自原始函数的一些已知数据点,或许会使用较简单的函数来产生插值。当然,若使用一个简单的函数来估计原始数据点时,通常会出现插值误差;然而,取决于该问题领域和所使用的插值方法,以简单函数推得的插值数据,可能会比所导致的精度损失更大。

    举个简单的例子,已知数据:
    x1=1,y1=2x2=2,y2=3x3=4,y3=6x_1 = 1, y_1 = 2 \\ x_2 = 2, y_2 = 3 \\ x_3 = 4, y_3 = 6
    x=3x = 3时y的值是多少?

    2.示例

    x f(x)
    0 0
    1 0 .8415
    2 0.9093
    3 0.1411
    4 -0.7568
    5 -0.9589
    6 -0.2794

    在这里插入图片描述
    上图为数据点在x,y平面的显示图

    插值就是提供了一些算法估算中间点函数的值。比如当x=2.5时,f(x)=?
    有许多不同的插值方法,其中一些在下面描述。 在选择适当的算法时需要考虑的一些问题是:方法有多准确? 它的计算成本有多高? 插值有多平滑? 需要多少数据点?

    3.片段插值,最近邻插值

    最简单的插值方法是找到最近的数据值,并分配相同的值。这种方法又称为最近邻插值。在简单的问题中,不太可能使用这种方法,因为线性插值几乎一样容易,但在高维度的多变量插值中,这可能是衡量速度和简单性的有利选择。
    在这里插入图片描述

    4.线性插值

    假设我们已知坐标(x0,y0),(x1,y1)(x_0, y_0), (x_1, y_1),当要求[x0,x1][x_0, x_1]区间内任一位置x在该条直线上的值时,由初中数学知识我们就可以求解:
    yy0xx0=y1y0x1x0\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}
    因为x值已知,从上面的公式很容易求得y的值。

    在这里插入图片描述

    线性插值经常用于已知函数 f 在两点的值要近似获得其它点数值的方法,这种近似方法的误差定义为
    RT=f(x)p(x)R_{T}=f(x)-p(x)
    其中p(x)p(x)表示上面定义的线性插值多项式。
    根据罗尔定理,可以证明:如果f(x)有二阶连续导数,那么误差范围为:

    RT(x1x0)28maxx0xx1f(x)|R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f''(x)|

    正如所看到的,函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样:函数的曲率越大,简单线性插值近似的误差也越大。

    5.多项式插值

    多项式插值是线性插值的推广。线性插值是一个线性函数,我们现在用一个更高阶的多项式代替这个插值。 再考虑一下上面给出的问题。以下的六次多项式经历了所有七个点:
    f(x)=0.0001521x60.003130x5+0.07321x40.3577x3+0.2255x2+0.9038xf(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x

    如果将x=2.5带入,有f(2.5)=0.5965。一般情况下,如果我们有n个数据点,那么在所有的数据点中只有一个最多n-1次多项式可以完美拟合。此外,插值是一个多项式,因此是无限可微的。所以我们看到多项式插值克服了线性插值的大部分问题。但是,多项式插值也有一些缺点。与线性内插相比,计算内插多项式的成本是昂贵的。此外,多项式插值可能会出现振荡伪像,特别是在端点。

    6. 样条曲线插值

    线性插值对每个区间xk,xk+1x_k, x_{k+1}使用线性函数。 样条插值在每个间隔中使用低阶多项式,并选择多项式以使它们平滑地吻合在一起。 结果函数被称为样条曲线。例如,三次样条是分片段立方,两次连续可微。 此外,它的二阶导数在终点为零。 在上表中插入点的三次样条函数由下式给出
    f(x)={0.1522x3+0.9937x,x[0,1],0.01258x30.4189x2+1.4126x0.1396,x[1,2],0.1403x31.3359x2+3.2467x1.3623,x[2,3],0.1579x31.4945x2+3.7225x1.8381,x[3,4],0.05375x30.2450x21.2756x+4.8259,x[4,5],0.1871x3+3.3673x219.3370x+34.9282,x[5,6].f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x, \qquad x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,\qquad x \in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,\qquad x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,\qquad x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,\qquad x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,\qquad x\in [5,6].\end{cases}}

    在这种情况下,我们得到 f(2.5) = 0.5972。 与多项式插值的方法相比较,样条跟多项式一样,其插值误差会小于线性插值,而且插值更平滑;使用样条会比使用高阶多项式更容易评估。 它也不会受到龙格现象的影响。

    7.牛顿插值

    有关牛顿插值法的内容发表在大名鼎鼎的《自然哲学的数学原理》的第三卷的引理五中
    牛顿多项式(英语:Newton Polynomial)是数值分析中一种用于插值的多项式。
    在这里插入图片描述
    因此,牛顿多项式可以写作:
    N(x)=[y0]+[y0,y1](xx0)++[y0,,yk](xx0)(xx1)(xxk1)N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1})

    总结上面的计算方法可以归纳出算法的大致思想:先计算差商表,类似于乘法口诀的思路,两个for循环就可以计算出,然后对于每一次内for循环以后,计算出了第一列,接着把相对应的f(x)计算出来,接着进入第二列的计算,接着计算相应的f(x)…一直到计算完毕最后一个f(x),把所有的f(x)相加,便是最终的插值。

    参考文献:
    1.https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8F%92%E5%80%BC
    2.https://blog.csdn.net/zb1165048017/article/details/48343861
    3.https://www.zhihu.com/question/22320408
    4.https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F

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  • 双线性插值原理

    千次阅读 2018-09-23 09:45:07
    双线性插值,这个名字一听就很高大上,在维基百科上...所以只要了解什么是线性插值,分别在x轴和y轴都做一遍,就是双线性插值了。 线性插值的概念也非常简单,就是两个点A,B,要在AB中间插入一个点C(点C坐标在A...

    双线性插值,这个名字一听就很高大上,在维基百科上一查(见文末一堆的公式),虽然看着好复杂,但仔细一看道理其实比较简单,所以还是梳理一下好。

    双线性插值,顾名思义就是两个方向的线性插值加起来。所以只要了解什么是线性插值,分别在x轴和y轴都做一遍,就是双线性插值了。

    线性插值的概念也非常简单,就是两个点A,B,要在AB中间插入一个点C(点C坐标在AB连线上),就直接让C的值落在AB的值的连线上就可以了。

    如A点坐标(0,0),值为3,B点坐标(0,2),值为5,那要对坐标为(0,1)的点C进行插值,就让C落在AB线上,值为4就可以了。

    但是如果C不在AB的线上呢? 所以就有了双线性插值。如图,已知Q12,Q22,Q11,Q21,但是要插值的点为P点,这就要用双线性插值了,首先在x轴方向上,对R1和R2两个点进行插值,即蓝色R1的值根据Q11和Q21的值可求得为:

    f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),

    蓝色R2的值为:

    f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).

    然后根据R1和R2在纵坐标y的方向上对P点进行插值,即

    f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).

    这就是所谓的双线性插值。

    clip_image001

     

    附:维基百科--双线性插值:

    双线性插值,又称为双线性内插。在数学上,双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展,其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

    假如我们想得到未知函数 f 在点 P=\left( x, y\right) 的值,假设我们已知函数 f 在 Q_{11} = \left( x_1, y_1 \right)Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right)Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right), 及 Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right) 四个点的值。

    首先在 x 方向进行线性插值,得到

    f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),
    f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).

    然后在 y 方向进行线性插值,得到

    f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).

    这样就得到所要的结果 f \left( x, y \right),

    f(x,y) \approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)
    + \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).

    如果选择一个坐标系统使得 f 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1),那么插值公式就可以化简为

    f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.

    或者用矩阵运算表示为

    f(x,y) \approx \begin{bmatrix}1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f(0,0) & f(0,1) \\f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1-y \\y \end{bmatrix}

    与这种插值方法名称不同的是,这种插值方法的结果通常不是线性的,它的形式是

    b_1 + b_2 x + b_3 y + b_4 x y. \,

    常数的数目都对应于给定的 f 的数据点数目

    b_1 = f(0,0)
    b_2 = f(1,0) - f(0,0)
    b_3 = f(0,1) - f(0,0)
    b_4 = f(1,1) - f(1,0) - f(0,1) + f(0,0)

    线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值,然后进行 x 方向的插值,所得到的结果是一样的。

    另一种解释如下:

    在这里插入图片描述

    参考自博文:
    (1) https://blog.csdn.net/lxlclzy1130/article/details/50922867

    (2) http://blog.csdn.net/wangxiaokun671903/article/details/37973365

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