引出

  在图像的仿射变换中，很多地方需要用到插值运算，常见的插值运算包括最邻近插值，双线性插值，双三次插值，兰索思插值等方法，OpenCV提供了很多方法，其中，双线性插值由于折中的插值效果和运算速度，运用比较广泛。
  越是简单的模型越适合用来举例子，我们就举个简单的图像：3*3 的256级灰度图。假如图像的象素矩阵如下图所示（这个原始图把它叫做源图，Source）：

234 38  22
67  44  12
89  65  63

  这个矩阵中，元素坐标(x,y)是这样确定的，x从左到右，从0开始，y从上到下，也是从零开始，这是图象处理中最常用的坐标系。
  如果想把这副图放大为 4*4大小的图像，那么该怎么做呢？那么第一步肯定想到的是先把4*4的矩阵先画出来再说，好了矩阵画出来了，如下所示，当然，矩阵的每个像素都是未知数，等待着我们去填充（这个将要被填充的图的叫做目标图,Destination）：

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  然后要往这个空的矩阵里面填值了，要填的值从哪里来来呢？是从源图中来，好，先填写目标图最左上角的象素，坐标为（0，0），那么该坐标对应源图中的坐标可以由如下公式得出srcX=dstX* (srcWidth/dstWidth) , srcY = dstY * (srcHeight/dstHeight)
  好了，套用公式，就可以找到对应的原图的坐标了(0*(3/4),0*(3/4))=>(0*0.75,0*0.75)=>(0,0)，找到了源图的对应坐标,就可以把源图中坐标为(0,0)处的234象素值填进去目标图的(0,0)这个位置了。
  接下来,如法炮制,寻找目标图中坐标为(1,0)的象素对应源图中的坐标,套用公式:
(1*0.75,0*0.75)=>(0.75,0) 结果发现,得到的坐标里面竟然有小数,这可怎么办?计算机里的图像可是数字图像,象素就是最小单位了,象素的坐标都是整数,从来没有小数坐标。这时候采用的一种策略就是采用四舍五入的方法（也可以采用直接舍掉小数位的方法），把非整数坐标转换成整数，好，那么按照四舍五入的方法就得到坐标（1，0），完整的运算过程就是这样的：(1*0.75,0*0.75)=>(0.75,0)=>(1,0) 那么就可以再填一个象素到目标矩阵中了，同样是把源图中坐标为(1,0)处的像素值38填入目标图中的坐标。
  依次填完每个象素，一幅放大后的图像就诞生了，像素矩阵如下所示：

234 38  22  22
67  44  12  12
89  65  63  63
89  65  63  63

  这种放大图像的方法叫做最临近插值算法，这是一种最基本、最简单的图像缩放算法，效果也是最不好的，放大后的图像有很严重的马赛克，缩小后的图像有很严重的失真；效果不好的根源就是其简单的最临近插值方法引入了严重的图像失真，比如，当由目标图的坐标反推得到的源图的的坐标是一个浮点数的时候，采用了四舍五入的方法，直接采用了和这个浮点数最接近的象素的值，这种方法是很不科学的，当推得坐标值为 0.75的时候，不应该就简单的取为1，既然是0.75，比1要小0.25 ，比0要大0.75 ,那么目标象素值其实应该根据这个源图中虚拟的点四周的四个真实的点来按照一定的规律计算出来的，这样才能达到更好的缩放效果。
  双线型内插值算法就是一种比较好的图像缩放算法，它充分的利用了源图中虚拟点四周的四个真实存在的像素值来共同决定目标图中的一个像素值，因此缩放效果比简单的最邻近插值要好很多。

双线性内插值算法描述

  对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐标为(i+u,j+v) (其中i、j均为浮点坐标的整数部分，u、v为浮点坐标的小数部分，是取值[0,1)区间的浮点数)，则这个像素得值 f(i+u,j+v) 可由原图像中坐标为 (i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)所对应的周围四个像素的值决定，即：
f(i+u,j+v) = (1-u)(1-v)f(i,j) + (1-u)vf(i,j+1) + u(1-v)f(i+1,j) + uvf(i+1,j+1)
  其中f(i,j)表示源图像(i,j)处的的像素值，以此类推。
　　比如，像刚才的例子，现在假如目标图的象素坐标为（1，1），那么反推得到的对应于源图的坐标是（0.75 , 0.75）, 这其实只是一个概念上的虚拟象素,实际在源图中并不存在这样一个象素,那么目标图的象素（1，1）的取值不能够由这个虚拟象素来决定，而只能由源图的这四个象素共同决定：（0，0）（0，1）（1，0）（1，1），而由于（0.75,0.75）离（1，1）要更近一些，那么（1,1）所起的决定作用更大一些，这从公式1中的系数uv=0.75×0.75就可以体现出来，而（0.75,0.75）离（0，0）最远，所以（0，0）所起的决定作用就要小一些，公式中系数为(1-u)(1-v)=0.25×0.25也体现出了这一特点。

计算方法

首先，在X方向上进行两次线性插值计算

然后在Y方向上进行一次插值计算：

在图像处理的时候，我们先根据

srcX = dstX * (srcWidth/dstWidth),
srcY = dstY * (srcHeight/dstHeight)

来计算目标像素在源图像中的位置，这里计算的srcX和srcY一般都是浮点数，比如f（1.2, 3.2）这个像素点是虚拟存在的，先找到与它临近的四个实际存在的像素点：

（1，4） （2，4）
（1，3） （2，3）

写成f(i+u,j+v)的形式，则u=0.2,v=0.2, i=1, j=3
假设他们的值为：

100 200
300 400

根据上面公式：

x1=1  x=1.2  x2=2
y1=3  y=3.2  y2=4
f(Q12)=100  f(Q22)=200
f(Q11)=300  f(Q21)=400

f(R1)=( (2-1.2)/(2-1) )*300 + ( (1.2-1)/(2-1) )*400 = 0.8*300 + 0.2*400 = 320
f(R2)=( (2-1.2)/(2-1) )*100 + ( (1.2-1)/(2-1) )*200 = 0.8*100 + 0.2*200 = 120

f(P)=( (4-3.2)/(4-3) )*f(R1) + ( (3.2-3)/(4-3) )*f(R2) = 0.8*320 + 0.2*120 = 280

也可以一步直接计算：
f(i+u,j+v) = (1-u)(1-v)f(i,j) + (1-u)vf(i,j+1) + u(1-v)f(i+1,j) + uvf(i+1,j+1)

加速以及优化策略

  单纯按照上文实现的插值算法只能勉强完成插值的功能，速度和效果都不会理想，在具体代码实现的时候有些小技巧。参考OpenCV源码以及网上博客整理如下两点：

• 源图像和目标图像几何中心的对齐。
• 将浮点运算转换成整数运算

源图像和目标图像几何中心的对齐

在计算源图像的虚拟浮点坐标的时候，一般情况：

srcX = dstX * (srcWidth/dstWidth) ,
srcY = dstY * (srcHeight/dstHeight)

中心对齐(OpenCV也是如此)：

SrcX = (dstX+0.5) * (srcWidth/dstWidth) - 0.5
SrcY = (dstY+0.5) * (srcHeight/dstHeight) - 0.5

原理：
  将公式变形：

srcX=dstX* (srcWidth/dstWidth)+0.5*(srcWidth/dstWidth-1)

  相当于我们在原始的浮点坐标上加上了0.5*(srcWidth/dstWidth-1)这样一个控制因子，这项的符号可正可负，与srcWidth/dstWidth的比值也就是当前插值是扩大还是缩小图像有关，有什么作用呢？看一个例子：
  假设源图像是3*3，中心点坐标（1，1），目标图像是9*9，中心点坐标（4，4），我们在进行插值映射的时候，尽可能希望均匀的用到源图像的像素信息，最直观的就是（4,4）映射到（1,1），现在直接计算srcX=4*(3/9)=1.3333 != 1，也就是我们在插值的时候所利用的像素集中在图像的右下方，而不是均匀分布整个图像。现在考虑中心点对齐，srcX=(4+0.5)*3/9-0.5=1，刚好满足我们的要求。

将浮点运算转换成整数运算

  直接进行计算的话，由于计算的srcX和srcY 都是浮点数，后续会进行大量的乘法，而图像数据量又大，速度不会理想，解决思路是：
  浮点运算→→整数运算→→”<<左右移按位运算”。

  放大的主要对象是u，v这些浮点数，OpenCV选择的放大倍数是2048“如何取这个合适的放大倍数呢，要从三个方面考虑：

• 第一：精度问题，如果这个数取得过小，那么经过计算后可能会导致结果出现较大的误差。
• 第二，这个数不能太大，太大会导致计算过程超过长整形所能表达的范围。
• 第三：速度考虑。假如放大倍数取为12，那么算式在最后的结果中应该需要除以12*12=144，但是如果取为16，则最后的除数为16*16=256，这个数字好，我们可以用右移来实现，而右移要比普通的整除快多了。”我们利用左移11位操作就可以达到放大目的。

opencv代码

cv::Mat matSrc, matDst1, matDst2;  
 
matSrc = cv::imread("lena.jpg", 2 | 4);  
matDst1 = cv::Mat(cv::Size(800, 1000), matSrc.type(), cv::Scalar::all(0));  
matDst2 = cv::Mat(matDst1.size(), matSrc.type(), cv::Scalar::all(0));  
 
double scale_x = (double)matSrc.cols / matDst1.cols;  
double scale_y = (double)matSrc.rows / matDst1.rows;  
 
uchar* dataDst = matDst1.data;  
int stepDst = matDst1.step;  
uchar* dataSrc = matSrc.data;  
int stepSrc = matSrc.step;  
int iWidthSrc = matSrc.cols;  
int iHiehgtSrc = matSrc.rows;  
 
for (int j = 0; j < matDst1.rows; ++j)  
{  
    float fy = (float)((j + 0.5) * scale_y - 0.5);  
    int sy = cvFloor(fy);  
    fy -= sy;  
    sy = std::min(sy, iHiehgtSrc - 2);  
    sy = std::max(0, sy);  
 
    short cbufy[2];  
    cbufy[0] = cv::saturate_cast<short>((1.f - fy) * 2048);  
    cbufy[1] = 2048 - cbufy[0];  
 
    for (int i = 0; i < matDst1.cols; ++i)  
    {  
        float fx = (float)((i + 0.5) * scale_x - 0.5);  
        int sx = cvFloor(fx);  
        fx -= sx;  
 
        if (sx < 0) {  
            fx = 0, sx = 0;  
        }  
        if (sx >= iWidthSrc - 1) {  
            fx = 0, sx = iWidthSrc - 2;  
        }  
 
        short cbufx[2];  
        cbufx[0] = cv::saturate_cast<short>((1.f - fx) * 2048);  
        cbufx[1] = 2048 - cbufx[0];  
 
        for (int k = 0; k < matSrc.channels(); ++k)  
        {  
            *(dataDst+ j*stepDst + 3*i + k) = (*(dataSrc + sy*stepSrc + 3*sx + k) * cbufx[0] * cbufy[0] +   
                *(dataSrc + (sy+1)*stepSrc + 3*sx + k) * cbufx[0] * cbufy[1] +   
                *(dataSrc + sy*stepSrc + 3*(sx+1) + k) * cbufx[1] * cbufy[0] +   
                *(dataSrc + (sy+1)*stepSrc + 3*(sx+1) + k) * cbufx[1] * cbufy[1]) >> 22;  
        }  
    }  
}  
cv::imwrite("linear_1.jpg", matDst1);  
 
cv::resize(matSrc, matDst2, matDst1.size(), 0, 0, 1);  
cv::imwrite("linear_2.jpg", matDst2);  

写在前面的一点话

网上讲解基本双线性插值、双三次线性插值的文章很多，但大部分都是只在讲为什么是这样，并不算非常通俗（起码对我来说需要额外查很多资料来补充理解）。很少有文章能够给初学者一些比较直观的理解，因此在经过痛苦的学习过程后，希望把自己的一点理解分享给大家。（如有错误欢迎讨论指正）

在讲细节之前，我们要先明白插值的作用是什么

插值简单来说就是resize，改变图像的尺寸（不是简单的成比例扩大和缩小，可以理解为基于旧图片生成新的图片，总像素数量发生变化）。这样就意味着，插值实际上可以实现两种功能：upscaling(升维)和downscaling(降维)。直观来说可以让图像更清晰或者让图像更模糊。（刚学习的时候以为插值做的是超分辨的工作，只能让图片升维，后来看论文发现生成LR图片的时候也会使用插值）

还有点迷糊？没关系，我们先讲细节，最后再回头来看为什么插值有这样的作用。

双线性插值

实际使用：利用4个像素点计算出一个像素点的值。
理解：为什么叫双线性插值，双表示的对两个轴都要做插值。其步骤可以理解为，先对某个轴做一次线性插值，再对另一个轴做线性插值，最后得到预测点的值。关于双线性插值的公式，其实表示的就是这个过程，大家实际只需要知道是通过周围四个点来算出一个点即可。
具体过程：先通过AD、BC分别算出P0、P1的值。再通过P0和P1算出P的值。落实起来就是，周围四个点带进公式算算某个点的值。

双三次插值

实际使用：利用周围16个像素点计算出一个像素点的值。
理解：这个双其实依旧是对两个轴的操作。其本质上和双线性插值没有区别，只是插值公式更加复杂而已。双三次插值的重点在于，为什么要使用这种插值方法？其原因是线性插值效果不好（废话）。三次插值实际上是对像素做了平滑处理。我们可以理解为，不同像素点的值，实际上是一个函数的采样点。那么显然我们如果用曲线拟合这个函数去插值，比用直线要好。十六个像素点实际提供了比四个像素点更为准确的信息。比如：对于AB两个点，我们可以画直线和曲线。但如果三个点在一条直线上，那么他们是直线采样出来的概率就更高，点数越多，估计就越准确。曲线同理，这也就是为什么双三次差值效果会更好。
对曲线的拟合实际可以用梯度来理解，某个像素点提供该点的值和梯度，多个点多个梯度就可以近似预测出一个曲线。

具体过程：说了这么多，其实过程就是用这个公式算算某个点的值而已。。。。具体这个点的确定是由放大倍数决定的。

图片来源：https://blog.csdn.net/caomin1hao/article/details/81092134

比较直观的一个对比图：

图片来源：https://blog.csdn.net/eurus_/article/details/102755898

插值如何做升维（超分辨）和降维（退化）？

看论文就是这个把我看迷糊的，为什么很多超分辨生成数据会用插值来产生LR，插值不是产生HR的吗？其实这个方法既可以产生LR也可以产生HR。
我们回过头来看，插值的本质是通过几个点计算出一个点的值，那么被计算的点是如何确定的呢？
直观来理解就是由我原始图像和目标图像分辨率的关系来确定的（听君一席话，如听一席话hhh）。简单来说就是由原始图像像素总数和目标图像像素总数来确定的。
那么回过头来看这个问题，就很好理解为什么插值可以同时做升维和降维了。
因为实际上这个方法并不只可以生成更多的值，它还可以合并已有的值（即让像素点总数减少）！例如：初始分辨率是200x200，如果目标分辨率是100x100，插值依旧可以计算对应点的值，只是把总像素数减少了！
通俗一点来说就是：让图像总像素变少，相当于把合并了部分像素点，有信息丢失了；让图像总像素变多，相当于生成了部分像素点，生成了更多信息。

从另一个角度来理解插值（感谢肖老师耐心讲解）

（肖老师主页：http://people.ucas.ac.cn/~0066872 感兴趣的朋友欢迎报考）
假设我们实际某个物体的图像频谱如下图Truth，那么我们得到的数字图像频谱可以假设为下图Image红色部分所示（也可以理解为高分辨和低分辨图像的频谱）。实际上低分辨图像可以近似看成是高分辨图像的采样（只不过采样函数我们并不清楚），实际情况下采样后的频谱发生了失真，导致无法完美恢复出高分辨图像。那么插值在做的事情，实际上是假设了像素点大概满足的函数是什么样子的（双三次插值之所以用多项式函数是因为，通过傅立叶变换推导出来的公式大概是sinx/x的形式，无穷远处的值也会某个像素点有贡献，因此通过多项式函数截断，只考虑局部对某个点的影响），而后通过在这个函数来预测缺失部分的频谱。
从这个角度来理解升维和降维，本质上其实都是基于拟合的函数来做预测。升维实际上可以理解为是对频谱缺失部分做预测，而降维则可以理解为对已有部分又做了截断，在更小的范围内做预测。因而升维会生成一些高频信息，而降维则会丢失很多高频信息。

来自肖老师的一点补充：

插值的本质我理解是计算没有采集到的位置的值。本来没有点现在要增加一个点，所以叫“插”。如果这个位置在数据点包围（例如凸包）的范围内则叫内插，否则叫外插。

插值可以用于upscaling和downscaling，因为计算过程中可能会用到未采样的点的值。

Downscaling 时，为了避免 aliasing 产生的假象（如摩尔纹），通常会综合使用插值和滤波，即重新采样。当然如果为了简单和计算效率起见，偶尔（尤其是自己写实验性程序时）也会直接使用最临近点插值，或者直接使用双线性插值和点采样（忽略滤波）。

Upscaling 时，传统插值的算法是临近像素值的线性组合，当然组合的权重函数本身可以是线性或者非线性的(例如双三次)。线性组合插值计算出的图像可以理解为采样图像（即许多delta函数在网格点上）与权重函数的卷积，在傅里叶变换的观点下看即为周期的图像频谱与权重频谱的乘积，这一过程无法恢复出真正的高频(>1/2采样频率)信息。如果我们走出线性组合，更多使用图像的“内容”信息来尝试构造高频信息，那么就是超分辨了。