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  • NP完全问题(NP-C问题),是世界七大数学难题之一。 1.NP完全问题 人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。 既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内...

    NP完全问题(NP-C问题),是世界七大数学难题之一。

    1.NP完全问题

    P (确定性多项式算法)对NP (非确定性多项式算法)

    在这里插入图片描述
    人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。

    既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,人们于是就猜想,是否这类问题,存在一个确定性算法,可以在多项式时间

    内,直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。

    不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑

    和计算机科学中最突出的问题之一。

    它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。

    如果任何一个NP问题都能通过一个多项式时间算法转换为某个NP问题,那么这个NP问题就称为NP完全问题(Non-deterministic

    Polynomial complete problem)。

    在这里插入图片描述
    无法直接计算得到的问题,只能通过间接的“猜算”来得到结果。这就是非确定性问题。

    而这些问题的通常有个算法,它不能直接告诉你答案

    是什么,但可以告诉你,某个可能的结果是正确的答案还是错误的。

    这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法,假如可以在多项式时间

    内算出来,就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案,都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话,就叫完全多

    项式非确定问题。

    完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案,一个个检验下去,最终便能得到结果。

    但是这样算法的复杂程度,是指数关系,因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长,很快便变得不可计算了。

    人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。

    既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,

    人们于是就猜想,是否这类问题存在一个确定性算法,可以在多项式时间内直接算出或是搜寻出正确的答案呢?

    这就是著名的NP=P?的猜想。

    一种是找到一个这样的算法,只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法,所有这类问题都可以迎刃而解了,因为他们可以转化为同一个

    问题。

    另外的一种可能,就是这样的算法是不存在的。

    那么就要从数学理论上证明它为什么不存在

    如:

    #遗传算法

    遗传算法是仿真生物遗传学和自然选择机理,通过人工方式所构造的一类搜索算法,从某种程度上说遗传算法是对生物进化过程进行的数学

    方式仿真。

    生物种群的生存过程普遍遵循达尔文进化准则,群体中的个体根据对环境的适应能力而被大自然所选择或淘汰。

    进化过程的结果反映在个体的结构上,其染色体包含若干基因,相应的表现型和基因型的联系体现了个体的外部特性与内部机理间逻辑关

    系。

    通过个体之间的交叉、变异来适应大自然环境。生物染色体用数学方式或计算机方式来体现就是一串数码,仍叫染色体,有时也叫个体;适

    应能力是对应着一个染色体的一个数值来衡量;染色体的选择或淘汰则按所面对的问题是求最大还是最小来进行。

    #神经网络算法

    根据一个简化的统计,人脑由百亿条神经组成 — 每条神经平均连结到其它几千条神经。

    通过这种连结方式,神经可以收发不同数量的能量。

    神经的一个非常重要的功能是它们对能量的接受并不是立即作出响应,而是将它们累加起来,当这个累加的总和达到某个临界阈值时,它们

    将它们自己的那部分能量发送给其它的神经。

    大脑通过调节这些连结的数目和强度进行学习。

    尽管这是个生物行为的简化描述。

    但同样可以充分有力地被看作是神经网络的模型。

    2.霍奇猜想

    二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不

    断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;

    最终导致一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。

    不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。

    霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组

    合。

    An isomorphism preserving Hamming weight between two algebraic geometry (AG) codes is presented to obtain the main parameters of

    Justesen’s algebraic geometry (JAG) codes. To deduce a simple approach to the decoding algorithm, a code word in a “small” JAG code is

    used to correspond to error-locator polynomial. By this means, a simple decoding procedure and the ability of error correcting are explored

    obviously. The low and up bounds of the dimension of AG codes are also obtained.

    给出了两个代数几何码之间保持汉明权值的同构性,得到了查士丁森代数几何码的主要参数。为了推导出解码算法的简单方法,使

    用“小”JAG代码中的一个码字对应于错误定位多项式。通过这种方法,可以明显地探索一种简单的译码过程和纠错能力。得到了AG码维数的

    上下界。

    3.庞加莱猜想

    如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我

    们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表

    面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中

    与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。

    在2002年11月和2003年7月之间,俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本,并声称证明了几何化猜想。

    在佩雷尔曼之后,先后有2组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特;哥伦

    比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚。

    2006年8月,第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

    4.黎曼假设

    有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2、3、5、7……等等。这样的数称为素数;

    它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。

    在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;

    然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。

    著名的黎曼假设断言,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。

    这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

    黎曼假设之否认:

    其实虽然因素数分布而起,但是却是一个歧途,因为伪素数及素数的普遍公式告诉我们,素数与伪素数由它们的变量集决定的。

    5.杨-米尔斯存在性和质量缺口

    量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭

    示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的

    高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和驻波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已

    知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上

    令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

    6.纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性

    起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风

    还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然

    极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

    7.BSD猜想

    数学家总是被诸如 那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,

    这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个

    整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。

    特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)。相反,如果z(1)不等于0。那么只存在着有限多个这样的点。

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  • 世界七大数学难题

    千次阅读 2015-04-09 11:06:25
    七点数学难题 [1] P问题对NP问题 在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。宴会的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。...

    大家来啃啃
    ,
    世界七大数学难题[1]
     
    P问题对NP问题
    在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。宴会的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现宴会的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。
    生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13717421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以 分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
    人们发现,所有的完全 多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的 逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案,都可以在 多项式时间内计算,人们于是就猜想,是否这类问题,存在一个确定性算法,可以在多项式时间内,直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。 不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作 逻辑计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。
    霍奇猜想
    二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单 几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的 几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何 几何解释的部件。 霍奇猜想断言,对于所谓 射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作 代数闭链几何部件的(有理线性)组合。
    庞加莱猜想
    如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“ 单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前, 庞加莱已经知道, 二维 球面本质上可由 单连通性来刻画,他提出 三维球面( 四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。
    在2002年11月和2003年7月之间,俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本,并声称证明了几何化猜想
    佩雷尔曼之后,先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特;哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚;以及理海大学的曹怀东中山大学朱熹平
    2006年8月,第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
    黎曼假设
    有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2丶3、5、7……等等。这样的数称为 素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而, 德国数学家 黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔 函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕 素数分布的许多奥秘带来光明。
    杨-米尔斯存在性和质量缺口
    量子物理的定律是以经典力学牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁米尔斯发现, 量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系 。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、 斯坦福 欧洲粒子物理研究所 筑波 。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的 方程 没有已知的解。特别是,被大多数 物理 学家所确认、并且在他们的对于“ 夸克 ”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
    纳维叶-斯托克斯方程的存在性与光滑性
    起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代 喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯 方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。
    贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
    数学家总是被诸如x²+y²=z²那样的 代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。 欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个 阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔 函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)。相反,如果z(1)不等于0。那么只存在有限多个这样的点。
    参考资料
    词条标签:
    数学 , 理学
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  • NP-Hard问题--世界七大数学难题之首

    千次阅读 2020-03-04 21:01:05
    上《算法设计与分析》课程上课提到NP-Hard问题,以下是一些...世界七大数学难题: https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%B8%83%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%9A%BE%E9%A2%98/9388677?fr=aladdin

    上《算法设计与分析》课程上课提到NP-Hard问题,以下是一些简单的科普。

    P问题与NP(Non-deterministic Polynomial )问题

    所有能用多项式时间算法计算得到结果的问题,称为多项式问题,也就是P,所有绝对不可能用多项式时间求解的可解问题,称为指数型问题。当然,还有一类问题属于不可解问题,也就是说你无论花多少时间也不能得到解答。

    有这样一类问题,假使你得到了问题的解,我要验证你的解是否正确,我验证所花的时间是多项式,至于求解本身所花的时间是否是多项式我不管,可能有多项式算法,可能没有,也可能是不知道,这类问题称为NP问题。
    NP概念的奥妙在于,它躲开了求解到底需要多少时间这样的问题,而仅仅只是强调验证需要多少时间,从而为P与NP这一千年难题的产生埋下了伏笔。显然,P肯定是NP,因为你既然能用多项式求解,就肯定能用多项式验证(难不成我再算一遍!),但NP是否是P谁也确定不了。另外,目前已经很明确的指数型问题也肯定不是NP。

    用通俗的话来解释,NP问题就是其解的正确性很容易被检验出来,这里的很容易检验指的是存在一个多项式算法。

    七大数学难题

    1.NP完全问题
    例:在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。宴会的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现宴会的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。
    生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13717421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
    人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,人们于是就猜想,是否这类问题,存在一个确定性算法,可以在多项式时间内,直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。
    2.霍奇猜想
    二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
    3.庞加莱猜想
    如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。
    在2002年11月和2003年7月之间,俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本,并声称证明了几何化猜想。
    在佩雷尔曼之后,先后有2组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特;哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚。
    2006年8月,第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
    4.黎曼假设
    有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2、3、5、7……等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
    黎曼假设之否认:
    其实虽然因素数分布而起,但是却是一个歧途,因为伪素数及素数的普遍公式告诉我们,素数与伪素数由它们的变量集决定的。具体参见伪素数及素数词条。
    5.杨-米尔斯存在性和质量缺口
    量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和驻波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
    6.纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性
    起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。
    7.BSD猜想
    数学家总是被诸如 那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)。相反,如果z(1)不等于0。那么只存在着有限多个这样的点。

    参考文献

    NP-Hard问题浅谈 https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51935400
    世界七大数学难题: https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%B8%83%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%9A%BE%E9%A2%98/9388677?fr=aladdin

    展开全文
  • 杨-米尔斯理论最初论文 世界七大数学难题之一
  • 世界七大数学难题 原文网站:http://www.claymath.org/millennium/  计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就,同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首20世纪数学的发展...


                      世界七大数学难题



              原文网站: http://www.claymath.org/millennium /

      计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就,同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首20世纪数学的发展, 数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希尔伯特。希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧,指引数学前进的方向,其对数学发展的影响和推动是巨大的,无法估量的。

    目录
    难题的提出
    世界七大数学难题
    1. P/NP问题P versus NP
    2. 霍奇猜想The Hodge Conjecture
    3. 庞加莱猜想The Poincaré Conjecture),此猜想已获得证实。
    4. 黎曼假设The Riemann Hypothesis
    5. 杨-米尔斯存在性与质量间隙Yang-Mills Existence and Mass Gap
    6. 纳维-斯托克斯存在性与光滑性Navier-Stokes existence and smoothness
    7. 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture


    难题的提出

       20世纪是 数学大发展的一个世纪。数学的许多重大难题得到完满解决, 如 费马大定理的证明,有限单群分类工作的完成等, 从而使数学的基本理论得到空前发展。
      效法 希尔伯特, 许多当代世界著名的 数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题,希冀为新世纪数学的发展指明方向。 这些数学家知名度是高的, 但他们的这项行动并没有引起世界数学界的共同关注。
      2000年初 美国 克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”,克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金, 每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。克雷数学研究所“千年大奖问题”的选定,其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向, 而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。
      2000年5月24日,千年数学会议在著名的 法兰西学院举行。会上,98年 费尔兹奖获得者伽沃斯以“数学的重要性”为题作了演讲,其后, 塔特和阿啼亚公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对“千年大奖问题”的解决与获奖作了严格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可,才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖.

    世界七大数学难题

       这七个“千年大奖问题”是:  NP完全问题霍奇猜想庞加莱猜想黎曼假设、杨-米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、 BSD猜想

    千年大奖问题

       美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事:对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
      其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.(庞加莱猜想,已由俄罗斯数学家 格里戈里·佩雷尔曼破解。我国 中山大学 朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授 曹怀东做了证明的封顶工作。)
      “千年大奖问题”公布以来, 在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的,但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。 可以预期, “千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。

    P问题对NP问题


    Turing

       在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以因式分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,人们于是就猜想,是否这类问题,存在一个确定性算法,可以在多项式时间内,直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。 不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作 逻辑计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1871年陈述的。

    霍奇(Hodge)猜想


    William Vallance Douglas Hodge?(英,1903-1975)

    二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中, 程序几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作 代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

    庞加莱(Poincare)猜想



    Henri Poincaré(法)

       如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前, 庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出 三维球面( 四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。
       在2002年11月和2003年7月之间,俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本,并声称证明了几何化猜想。
      在 佩雷尔曼之后,先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特; 哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的 田刚;以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。
       2006年8月,第25届 国际数学家大会授予佩雷尔曼 菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼(参看 这里)的证明解决了庞加莱猜想。

    黎曼(Riemann)假设



    Georg Friedrich Bernhard Riemann (德)

       有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2、3、5、7……等等。这样的数称为 素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而, 德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

    杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口



    Yang(杨振宁,中国物理学家) & Mills()

        量子物理的定律是以 经典力学牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前, 杨振宁米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、 斯坦福欧洲粒子物理研究所筑波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的 方程没有已知的解。特别是,被大多数 物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

    纳维叶-斯托克斯方程的存在性与光滑性



    Navier & Stokes

      起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代 喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

    贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

       数学家总是被诸如x 2+y 2=z 2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。 欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个 阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
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  • 世界七大数学难题与Hilbert的23个问题 本文参考:1987年版《数学家小辞典》、百度百科、维基百科 世界七大数学难题   这七个“千年大奖问题”是:  NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼...
  • 世界只有3.14 %的人关注了爆炸吧知识百万富翁你也可以昨天一早,知识君就收到模友送的3枝红玫瑰。仔细一看,原来又是来跟知识君约稿的。。。知识君只能说:1900年,希尔伯特(传送门...
  • NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想
  • 1.P=NP?  首先引用《嫌疑人X的献身》里面的内容,假设把其中的谋杀案这个结果看做是一个方程,x^2+y^3+z=78,那么石神为汤川设计了一个答案是x=3,y=4,z=5,汤川...所以说黎曼函数的解对素数的分布规律有很影响。
  • 七大数学难题

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    世界七大数学难题 编辑 计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就,同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首20世纪数学的发展, 数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师...
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    千次阅读 2019-09-06 10:42:38
    千禧年七大难题之 P = NP 那么什么是 P 类型的问题 ​ P 类型的问题说的是如果给你 100 张扑克牌你需要找出这一百张扑克牌中最大的那一张, 如果目前你有一百张扑克牌那么你只需要比较 100 -1 次就可以找出最大的...
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    2000年,美国克雷Cray)数学研究所给世界数学工作者提出七大数学难题,至今已经解决了一个。这七个数学难题是什么呢? 本世纪七大数学难题如下:: (一)Poincaré conjecture(庞加莱猜想已解决); (二)P ...
  • 世界七大数学难题 20世纪是数学大发展的一个世纪。数学的许多重大难题得到完满解决, 如费马大定理的证明,有限单群分类工作的完成等, 从而使数学的基本理论得到空前发展。计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就...
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    千次阅读 2017-01-08 10:38:23
    “千僖难题”之一: P (多项式算法)问题对NP (非多项式算法)问题  “千僖难题”之二: 霍奇(Hodge)猜想  “千僖难题”之三: 庞加莱(Poincare)猜想  “千僖难题”之四: 黎曼(Riemann)假设  “千僖难题...
  • “千年难题”之:贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这...
  • 近代数学七大难题及其解释

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    近代数学七大难题及其解释http://bbs.kaoyan.com/thread-1545672-1-1.html 本文转载自:http://blog.csdn.net/chief1985/archive/2007/03/23/1538916.aspx2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特...
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世界数学七大难题

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