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    复习笔记的上篇在这里:

    辰晞:矩阵分析-期末复习笔记(上)​zhuanlan.zhihu.com
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    目录:

    1. 特征值,特征向量,相似 (Eigenvalues, eigenvectors, similarity)
    2. 酉相似 & 酉等价 & 正规矩阵 (Unitary similarity & unitary equivalence & normal matrices)
    3. Jordan标准型,LU分解 (Jordan canonical form, LU factorization)
    4. Hermitian矩阵,相合 (Hermitian matrices, Congruences)
    5. 向量范数 & 矩阵范数 (Vector norms, matrix norms)
    6. Gersgorin圆盘 (Gersgorin discs)
    7. 正定矩阵 & 半正定矩阵 & 极分解 & 奇异值分解 (Positive definite & semidefinite & polar decomposition & SVD)
    8. 正矩阵 & 非负矩阵 (Positive / nonnegative matrices)


    5. 向量范数 & 矩阵范数 (Vector norms, matrix norms)

    向量范数:Vector norms

    • 定义:一个向量范数(
      )应该满足以下几个条件:
      • 1 - 非负性 Nonnegativity:
        • 1a - 正定性 Positivity:
          if & only if
      • 2 - 齐次性 Homogeneity:
      • 3 - 三角不等式 Triangular Inequality:
    • 只满足1, 2, 3 但不满足1a的范数称为 prenorm.

    内积:Inner product

      • 定义:
        应该满足以下几个条件:
        • Nonnegativity:
          • Positivity:
            if & only if
        • Additivity
        • Homogeneity
        • Hermitian Property
    • 有用的推论:平行四边形不等式(necessary & sufficient)

    Cauchy-Schwarz柯西不等式

      • 不等式相等:x, y线性相关

    几个重要的向量范数:

    • norms:
      • p<1时:不再是norm,不满足三角不等式
    • : "Manhattan norm" - 等于各项绝对值相加
    • : Euclidean length
    • :

    向量范数的分析性质:

    • 数列收敛 Convergence of a sequence
      • 定义:a sequence
        (of vectors in
        ) converges to a vector
        with respect to
        if & only if
        可以写作:
        .
      • 如果数列关于一个范数的极限存在,那么这个极限是唯一的。
      • 同一个数列关于不同的范数的极限可以不一样。
    • Comparability
      • are positive, called comparability constant
      • 推论:for finite dimensional vector spaces,
        with respect to
        if & only if
        with respect to
      • For finite dimensional real / complex vector spaces, all norms are equivalent.
    • 柯西数列 Cauchy sequence
      • 通俗的定义:一个数列中在去掉有限个元素后,可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正数。
      • 严谨的定义:给定数列
        ,对于
        ,存在正整数
        使得
        ——我们叫这个数列为Cauchy sequence with respect to this norm
        .
      • 数列
        收敛于V中的一个向量 if & only if 这个数列是一个柯西数列,with respect to a norm
        in vector space V.
    • (这整个analytic的部分我都很虚,因为没正紧学过analysis,学起来比较吃力。非常期待下学期,终于可以开始上正式的analysis课了。)

    向量范数的几何意义:

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    Matrix Norm 矩阵范数

    • 定义打起来比较费劲,为了省事直接附笔记:

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    • 注意这里比矩阵范数多了一条Submultiplicative property(图上第四条),因为矩阵可以和矩阵相乘,而向量乘起来只能用内积,不能直接乘。
      • 从这一条也可以推出下面的三条:

    与向量范数相似,我们也可以定义

    矩阵范数:
    • p = 1:
      = largest absolute column sum of A
    • p = 2:
      = largest spectral radius of A
    • p =
      :
      = largest absolute row sum of A.

    向量范数与矩阵范数的相容 Compatible matrix norm

    • 在向量范数上定义矩阵范数:
    • 相容:
      • 存在矩阵范数和向量范数
        ,对于任意A, x都有:
        ,则我们称矩阵范数
        和向量范数
        相容。
    • 对于每个矩阵范数,都存在和它相容的向量范数。
    • 可用
      证得
      .
      • 时,
        converges to 0.

    Condition number

    • measures the closeness of the least-square approximation.
      • high condition number: magnifies err
    • 如果奇异值都靠近,则是一个好的approximation。

    矩阵范数与可逆

    • 如果存在矩阵范数
      使得
      ,则矩阵A是可逆矩阵。
    • 这种情况下,A的逆矩阵可以表示为:

    6. Gersgorin圆盘 (Gersgorin discs)

    Gersgorin圆盘

    • 定义:对一个n*n的矩阵,把每行的去心绝对和
      当作直径,对角元当作圆心,可以画n个圆盘。特征值就在这些圆盘中。

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    • 证明:

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    • There are as many eigenvalues in each connect component as there are discs.
      • 如果k个圆盘连在一起,那么它们的集合就包含了k个特征值。
    • 可以通过圆盘来估计特征值
      • 如果圆盘不包含(0,0),则这个矩阵可逆。
      • 因为A和A转置特征值一样,所以除了row disk,我们还可以考虑column disk。
      • 相似前后特征值不变,所以我们也可以对A做对角相似:
        , where D is a diagonal matrix. 这样可能可以缩短一些圆盘的半径(但会不可避免的扩大某些别的圆盘的半径。)
      • 如果是实矩阵+圆盘互不相交,则特征值都是实数
        • (如果特征值是复数,则有conjugate pair,圆盘无法互不相交)

    可约/不可约矩阵 Reducible & Irreducible matrices

    • Permutation similarity:
      ,如果能通过这种变换得到一个左下角的reducing block,则这个矩阵是可约的。
      • 一个n-by-n的矩阵的reducing block,是p-by-q的(p+q = n)
    • 如果我们画出矩阵的directed graph:
      • 不可约矩阵:strongly connected,且
        (it's a positive matrix)
    • 如果矩阵的图是strongly connected, then
      is not an eigenvalue of A unless
      lies on the boundary of every disc.
      • 这种情况下:特征向量的每个项绝对值相等。特征值几何重数=1.
    • 不可约 + 对角优势(diagonal dominant)
      • 如果一个矩阵是irreducible & diagonal dominant, with at least one strict diagonal dominant, 那么这个矩阵可逆。

    7. 正定矩阵 & 半正定矩阵 & 奇异值分解 (Positive definite & semidefinite & SVD)

    • 定义:通过quadratic forms定义(只适用于Hermitian矩阵,一个矩阵要先是Hermitian,才能讨论它正定与否——我老是忘这个前提)
      • 正定矩阵 positive definite:
      • 半正定矩阵 positive semidefinite:
      • 同理,也有negative (semi)definite & indefinite
    • 如果一个矩阵正定(括号内:半正定),则:
      • 特征值都是大于(等于)0的实数 - (因为Hermitian矩阵特征值都是实数)
        • 正定的A是可逆的
        • 正定的A,Gersgorin圆盘都在y轴右侧
      • 所有的principal submatrices都为(半)正定 - (可以从interlacing推出)
      • trace, det, principal minors 都大于(等于)零
        • 所以,正定的A一定有LU分解
      • 如果A是半正定:
        • tr(A) = 0 if & only if A = 0.
        • if & only if
    • Congruence: 相合前后正定性不变
      • 所有的正定矩阵A都可以写成
        ,B是可逆矩阵。
        • 原因:特征值>0, congruence to identity
    • (半)正定的A存在square root:
      ,这个square root也是(半)正定的。
    • 正定矩阵 + 正定矩阵,得到的也是正定矩阵
    • 正定矩阵
      正定矩阵,得到的不一定是正定矩阵。(可能根本都不Hermitian)
      • 但如果得到的是Hermitian的,那就是正定的

    极分解 Polar Decomposition

    • :
      , with 正定的P和酉矩阵U.
    • General case: 也适用于非square的矩阵:此时的P是半正定,U有orthonormal columns.
    • 求极分解:
      ,所以
      ,然后可以倒回去求U.
    • 同理,我们也可以换位:
      ,V是酉矩阵,Q为正定矩阵
      • 求这种极分解时,把AA*变成A*A就行了。
    • 极分解有点像数字中的极坐标系,把一个数字写成
      (r是正数,
      在单位圆上)。在A=PU中,P是正定矩阵(像正数),U是酉矩阵(也像个单位圆)。

    奇异值分解 - Singular Value Decomposition

    • 在general case的极分解中,可以把半正定的P酉对角化:
      ,这样,就能把A分解成:酉矩阵 乘 对角矩阵 乘 酉矩阵。
    • 我们把D中的元素叫做A的奇异值:singular values
      ,它们都是非负实数(因为P的特征值都为非负)。
    • 求奇异值 = 求A*A 或 AA*的特征值,再开方。
    • A的奇异值的乘积 =
    • 求奇异值分解:
      • 的(i,i) position: A的奇异值
        (从大到小排列,奇异值不够0来凑)
      • : 从左到右按奇异值的顺序排列normalized的、A*A的特征向量
      • :
        (
        分别是U和V的
        column)
    • 奇异值也可以有interlacing,像特征值一样。

    Hadamard积 - Hadamard Product

    • 定义:entry-wise multiplication,
    • 两个(半)正定的矩阵的Hadamard积也为(半)正定。——普通的乘积可不一定,都不一定Hermitian.
      • Hadamard product preserves Hermisity.
    • Haramard-wise多项式:
      • p(t) sends positive number to positive number:如果A是(半)正定,那么
        也是(半)正定矩阵。
    • 最大奇异值 largest singular value:

    同时对角相合 - Simultaneously diagonalized by congruence

    • 如果A正定,B是Hermitian,那么A, B can be simultaneously diagonalized by congruence.
      • In this event, the congruence matrix C can be taken so that
        with identity
        and diagonal
    • Hermitian的A, B都不是正定的也不要紧,如果一个A和B的linear combination是正定的,那他们也可以simultaneously diagonalized by congruence.

    Loewner partial order

    • 定义:
      • : A 是正定矩阵
      • : A 是半正定矩阵
      • : A-B是正定矩阵
      • : A-B是半正定矩阵
    • 若A,B都为正定,
      ,则有:
      • if and only if
      • If A succeq B
        , then
        for all k in increasing/decreasing order.
    • 若A为正定,B为半正定,则:
      • if & only if
    • Congruence不改变这个ordering:
      • If
        , then
    • Hadamard:
    • 以上几条的证明:

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    关于determinant的不等式 - Determinantal Inequality

    • Hadamard不等式
      • 对于正定矩阵A:
      • It's an equality if & only if A is diagonal
      • 推论:对于半正定矩阵B with column or row
    • Fisher不等式
      • 对于正定矩阵P:
        , 有:
    • Koteljanskii不等式
      • 对于正定矩阵A,有:

    8. 正矩阵 & 非负矩阵 (Positive / nonnegative matrices)

    非负矩阵的分类(从“严”到“松”):positive -> primitive -> nonnegative & irreducible -> nonnegative

    • 正矩阵 Positive matrices:
      , all entries are positive.
    • 本原矩阵 Primitive matrices:
      , 且存在
      for some power k.
      • primitive matrices are also irreducible
    • 非负&不可约矩阵 nonnegative & irreducible: 可以是primitive的,也可以不是primitive的。

    Perron定理: 正矩阵, positive matrices:

    1. --spectral radius is one eigenvalue of A.
    2. 作为特征值,有一个所有元素都是正的左or右特征向量 (x>0)。
    3. 's algebraic multiplicity = geometric multiplicity = 1. (代数重数=几何重数=1)
    4. If
    5. converges to a rank-one matrix:
    6. If B is a principal submatrix of A:
    7. For some small
      ,
      . (
      只有(i,j)元素是1,其他都是0)

    Perron定理的推广: 本原矩阵, primitive matrices:

    • 正矩阵的1~7条 still hold for primitive matrices.
    • 原因:primitive matrices have some power that are positive. Reducing from
      ,1~7条中的性质都在。
    • We treat primitive matrices like positive matrices.

    推广: 不可约的非负矩阵, nonnegative & irreducible matrices:

    • 1~4 都和正矩阵一样
    • 5:
      ——这里可以有等于的情况。实际上,如果有多个特征值绝对值等于spectral radius,它们都会被evenly placed on the spectral circle.
    • 6. no longer converges.
    • 7 & 8: still hold.

    推广: 非负矩阵, nonnegative matrices(到这一步,基本就不剩下什么了):

    1. still holds
    2. 作为特征值,有一个所有元素都是非负的左or右特征向量 (
      )。
    3. no longer holds——代数重数、几何重数都可以比1大。
    • 从上边第3条推出的一个重要推论:Positive, primitive, irreducible matrices只能有一个positive eigenvector (不算它的multiple的话)。
      • 原因:别的特征值的特征向量和它点乘起来要等于0 (biorthogonality),特征向量又不能为0,所以别的特征向量一定会有某些元素为负数。

    判断一个矩阵是否为primitive:

    • 首先,primitive和非0元素的大小没有关系,只和“元素是不是0”有关系
    • 判定方法:画出directed graph,数simple cycle的个数,找最大公约数(gcd: greatest common divisor)
      • gcd(cycle length) = 1 if & only if a matrix is primitive.
      • 推论:如果一个矩阵是irreducible & nonnegative,如果它有至少一个正的对角元,那它就是primitive的。(因为gcd(1, anything) = 1)
      • 这里的gcd也是number of eigenvalues on the spectral circle.
    • Critical component:
      • 是一个“极限”的power: 一个irreducible矩阵如果过了这个幂还不是正的,就永远不可能是正的了。
    • 对于任意非负矩阵A,估计spectral radius:
      • min row sum
        max row sum

    (完)

    (再次祝我final考好><!)

    展开全文
  • 理解特征值和特征向量是什么,如何推导它们,以及它们的应用,对于欣赏矩阵之美,以及更广泛地理解数据和数学在世界中扮演的角色,都是不可或缺的。首先,让我们考虑二维向量,它有两个元素,每个元素对应于二维平面...
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    特征值和特征向量可能看起来是很抽象的概念,但它们在你周围的世界中扮演着不可或缺的角色。因为一切都是由数据定义的,矩阵是处理数据的最佳工具,而它们又是矩阵中的瑰宝,可以揭示矩阵的性质。理解特征值和特征向量是什么,如何推导它们,以及它们的应用,对于欣赏矩阵之美,以及更广泛地理解数据和数学在世界中扮演的角色,都是不可或缺的。

    首先,让我们考虑二维向量,它有两个元素,每个元素对应于二维平面上的一个坐标。它们代表着从一个坐标到另一个坐标的运动。

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    当一个向量乘以一个矩阵时,就相当于应用了一个线性变换。这就产生了沿着两个向量拉伸(或挤压)坐标系的效果。例如,矩阵[[3,1],[1,2]]将x轴沿向量[3,1]和将y轴沿向量[1,2]对齐。视觉上,我们可以看出点(0,1)实际上映射到了(1,2)这可以通过将它乘以矩阵来实现。

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    假设有一个向量[-1,-1]乘上线性变换矩阵后,落在点[-4,-3]上。

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    向量长度(模)就是穿过这个向量的直线。当一个向量经过一个线性变换时,通常它会偏离原来的方向。

    然而,有些类型的向量不会被矩阵改变方向。这就是这个矩阵的特征向量。当特征向量乘以这个矩阵时,特征向量只是乘以特征值,使这个向量的长度改变,而方向不会改变。

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    • 特征向量和特征值很少是整数。

    ​由于特征向量的性质,简单地在相同或相反的方向缩放一个基向量就会得到另一个特征向量。

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    在三维空间中,这个矩阵描述了三个坐标轴——x、y和z的变换——对应于表示每个坐标所经历的变换的三个坐标。这就是为什么特征向量和特征值只对方阵定义,一个一般的n×n矩阵描述了n个轴的变换,每个轴对应一个有n个元素的坐标。

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    为了找到一个矩阵的特征向量,我们首先需要找到它的特征值。由特征值的定义,我们可以构造一个等式Ax = λx,其中A表示矩阵,λ表示特征值。将特征向量乘以变换矩阵x应该具有与将其乘以特征值的倍数相同的效果。

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    根据这个关系式,我们可以把两项都移到左边。为了使表达式A -λ有效(A是一个矩阵,而λ是一个数字),我们将λ乘以一个单位矩阵,单位矩阵不会作任何变换。

    如上所示,存在无穷多个解。为了解决这个问题,我们使用行列式。行列式只是一个度量因子,在这个因子中,区域被一个变换矩阵拉伸。例如,考虑坐标平面上的一个标准正方形,其面积为一个正方形单元。

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    当空间被一个变换矩阵拉伸时,新的面积是四个正方形单位。因为面积增加了4倍,矩阵的行列式是4。

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    当行列式等于0时,正方形的面积被缩小到0,这意味着描述坐标轴位置的两个向量在同一条直线上。在这种情况下,所有的空间被扭曲成一条线。通过设置行列式必须等于零的要求,可以舍弃很多解,使方程更容易解。

    因此,为了使先前设计的等式可解,首先必须满足矩阵的行列式等于零。

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    找到特征值是一个二次方程的任务。对于3维以上的矩阵,必须使用不同形式的行列式公式。

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    在这种情况下,矩阵[[1,4],[3,2]]的特征值分别为5和-2。这意味着当矩阵的特征向量乘以这个矩阵时,它们的向量长度将被拉长5倍和-2倍。通过将发现的特征值代入我们最初推导的方程,我们可以找到特征向量。

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    特征向量和特征值是矩阵的瑰宝。它体现了矩阵的本质。只要给定任意矩阵的特征向量和特征值,就可以很容易地完全重构原始矩阵。有了这个特殊的性质,特征向量几乎可以完全保证出现在任何有矩阵运算的地方。

    例如,考虑主成分分析(PCA),一种常见的机器学习技术,它试图降低数据的维数,同时保留关键的统计度量,如方差和均值。例如,考虑一个100维的数据集,PCA将试图将其缩小为两个维。首先,算法构建一个协方差矩阵,它评估两个变量之间的相关性。矩阵作为一个整体定义了数据的形状。

    协方差矩阵的特征向量用于在x轴和y轴之间沿方差最大的直线重新定向数据。本质上,特征向量相当于矩阵的“快照”,它告诉算法哪些区域需要放大,哪些区域需要缩小。从机器学习到拓扑,利用特征向量的关键特性提供有用的信息矩阵,压缩高维图像、优化搜索算法等。

    也许特征向量和特征值如此特殊的原因是因为它的定义——向量的方向保持不变,而它们周围的空间是弯曲的。

    展开全文
  • 求协方差矩阵matlab代码实现: % 计算矩阵的协方差矩阵 % 加载数据 dataSet = [-1,1,0;-4,3,0;1,0,2]; %% 方法一:直接调用 dataCov = cov(dataSet); %% 方法二:了解原理,一步步计算 [rows, cols] = ...

    话不多说,我们直接拿具体的问题讲解。

    问题:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    手写稿,因为输入起来实在是太烦啦(实际是因为菜。。。字有点丑,不妨碍阅读哈)

    求协方差矩阵matlab代码实现:

    % 计算矩阵的协方差矩阵
    
    % 加载数据
    dataSet = [-1,1,0;-4,3,0;1,0,2];
    
    %% 方法一:直接调用
    dataCov = cov(dataSet);
    
    %% 方法二:了解原理,一步步计算
    [rows, cols] = size(dataSet);
    meanMatrix = mean(dataSet); % 每一列
    X = dataSet - ones(rows, 1) * meanMatrix; % 原始数据减去各自维度的均值
    covMatrix = 1 / (rows - 1) * (X' * X); % 计算协方差
    

    以前考研的时候,做线性代数题,还是很拿手的,现在忘的差不多啦。在解题过程中,感谢zm小姐姐的指导。

    参考和引用:

    https://jingyan.baidu.com/article/27fa7326afb4c146f8271ff3.html

    http://www.elecfans.com/dianzichangshi/20171205594693.html

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  • 协方差,协方差矩阵矩阵特征值

    千次阅读 2019-07-25 16:00:39
    一、统计学的基本概念 ...统计学里最基本的概念就是样本的均值、...就能出所有特征值和Q矩阵。 A*Q=Q*D, D是由特征值组成的对角矩阵. 由特征值和特征向量的定义知,Q的列向量就是A的特征向量。

    一、统计学的基本概念

    统计学里最基本的概念就是样本的均值、方差、标准差。首先,我们给定一个含有n个样本的集合,下面给出这些概念的公式描述:


    均值:


    标准差:


    方差:


    均值描述的是样本集合的中间点,它告诉我们的信息是有限的,而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。

    以这两个集合为例,[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12],两个集合的均值都是10,但显然两个集合的差别是很大的,计算两者的标准差,前者是8.3后者是1.8,显然后者较为集中,故其标准差小一些,标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是n,是因为这样能使我们以较小的样本集更好地逼近总体的标准差,即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。

    二、为什么需要协方差

    标准差和方差一般是用来描述一维数据的,但现实生活中我们常常会遇到含有多维数据的数据集,最简单的是大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集,我们当然可以按照每一维独立的计算其方差,但是通常我们还想了解更多,比如,一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子的欢迎程度是否存在一些联系。协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量,我们可以仿照方差的定义:



    来度量各个维度偏离其均值的程度,协方差可以这样来定义:



    协方差的结果有什么意义呢?如果结果为正值,则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义),也就是说一个人越猥琐越受女孩欢迎。如果结果为负值, 就说明两者是负相关,越猥琐女孩子越讨厌。如果为0,则两者之间没有关系,猥琐不猥琐和女孩子喜不喜欢之间没有关联,就是统计上说的“相互独立”。



    三、协方差矩阵

    前面提到的猥琐和受欢迎的问题是典型的二维问题,而协方差也只能处理二维问题,那维数多了自然就需要计算多个协方差,比如n维的数据集就需要计算

    个协方差,那自然而然我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义:


    这个定义还是很容易理解的,我们可以举一个三维的例子,假设数据集有三个维度,则协方差矩阵为:



    可见,协方差矩阵是一个对称的矩阵,而且对角线是各个维度的方差。



    尽管协方差矩阵很简单,可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵,这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度来看,也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。


    ,则称是A的特征值,X是对应的特征向量。实际上可以这样理解:矩阵A作用在它的特征向量X上,仅仅使得X的长度发生了变化,缩放比例就是相应的特征值

    当A是n阶可逆矩阵时,A与P-1Ap相似,相似矩阵具有相同的特征值。特别地,当A是对称矩阵时,A的奇异值等于A的特征值,存在正交矩阵Q(Q-1=QT),使得:



    对A进行奇异值分解就能求出所有特征值和Q矩阵。

    A*Q=Q*D,D是由特征值组成的对角矩阵.由特征值和特征向量的定义知,Q的列向量就是A的特征向量。


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空空如也

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协方差矩阵求特征值