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  • 一、多项式系数 、 二、多项式系数恒等式 、





    一、多项式系数



    下面 33 个数是等价的 :

    ① 多项式系数 (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}

    ② 多重集全排列数

    ③ 不同的球放到不同盒子中 , 不允许有空盒 , 每个盒子放指定个数的球 方案个数 ;



    1 . 多项式系数


    多项式定理中

        (x1+x2++xt)n\ \ \ \ (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n

    =n1+n2++nt=n(nn1n2nt)x1n1x2n2xtnt= \sum\limits_{满足 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非负整数解个数}\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}


    ① 多项式系数 (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}



    2 . 多重集全排列数 :


    同时又代表了 ② 多重集的全排列数 n!n1!n2!nk!\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} , 可以简记为 (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}



    3 . 放球子模型方案个数


    (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 可以代表放球模型的一个子类型的解个数 ,

    nn 不同的球 , 放到 tt 个不同的盒子里 , 注意此处 球 和 盒子都有区别 ,

    11 个盒子放 n1n_1 个球 , 第 22 个盒子放 n2n_2 个球 , \cdots , 第 tt 个盒子放 ntn_t 个球 的方案数 ;


    相当于多步处理 :

    • 11 步 : 选择 n1n_1 个球 , 放到 第 11 个盒子中 ; 选取方法有 (nn1)\dbinom{n}{n_1} 种 ;
    • 22 步 : 选择 n2n_2 个球 , 放到 第 22 个盒子中 ; 选取方法有 (nn1n2)\dbinom{n-n_1}{n_2} 种 ;
      \vdots
    • tt 步 : 选择 ntn_t 个球 , 放到 第 tt 个盒子中 ; 选取方法有 (nn1n2nt1nt)\dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t} 种 ;

    根据分步计数原理 , 乘法法则 , 将上面每步的种类个数相乘 , 就是所有的种类个数 :

        (nn1)(nn1n2)(nn1n2nt1nt)\ \ \ \ \dbinom{n}{n_1} \dbinom{n-n_1}{n_2} \dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t}

    =n!n1!n2!nt!=\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_t!}

    =(nn1n2nt)=\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}





    二、多项式系数恒等式



    多项式定理推论 3 :

    (nn1n2nt)=tn\sum\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = t^n



    多重集全排列 :

    (nn1n2nt)=n!n1!n2!nk!\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}



    递推式 :

    (nn1n2nt)=(n1(n11)n2nt)+(n1n1(n21)nt)+(n1n1n2(nt1))\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \dbinom{n-1}{(n_1-1) n_2 \cdots n_t} + \dbinom{n-1}{n_1 (n_2 - 1) \cdots n_t}+ \dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots (n_t -1)}


    证明上述递推式 :

    左侧 (nn1n2nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} 是放球问题的解 ,

    右侧第 11(n1(n11)n2nt)\dbinom{n-1}{(n_1-1) n_2 \cdots n_t} 是 指定某个球 a1a_1 必须落到第 11 个盒子中的方案个数 ;

    右侧第 22(n1n1(n21)nt)\dbinom{n-1}{n_1 (n_2 - 1) \cdots n_t} 是 指定某个球 a1a_1 必须落到第 22 个盒子中的方案个数 ;

    \vdots

    右侧第 tt(n1n1n2(nt1))\dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots (n_t -1)} 是 指定某个球 a1a_1 必须落到第 tt 个盒子中的方案个数 ;

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  • 多项式系数

    2016-07-25 11:35:26
    用杨辉三角算系数C(k,n),因为数字很大,即使是long long也会超,所以边乘边求余 #include #include using namespace std; #define N 10007 int s[1005][1005]; int fun(int a,int n) { int i,t; a=a%N; t=a; ...

    用杨辉三角算系数C(k,n),因为数字很大,即使是long long也会超,所以边乘边求余

    #include<iostream>
    #include<string.h>
    using namespace std;
    #define N 10007
    int s[1005][1005];
    int fun(int a,int n)
    {
        int i,t;
        a=a%N;
        t=a;
        for(i=0;i<n-1;i++)
            a=(t*a)%N;
        return a;
    }
    int main()
    
    {
        int a,b,k,n,m;
        cin>>a>>b>>k>>n>>m;
    
        int i,j;
        s[1][0]=1;
        s[1][1]=1;
        for(i=2; i<=k; i++)
        {
            s[i][0]=1;
            for(j=1; j<=i-1; j++)
                s[i][j]=(s[i-1][j-1]+s[i-1][j])%N;
            s[i][i]=1;
    
        }
    
        int ans;
        ans=(fun(a,n)*fun(b,m))%N;
        ans=(ans*s[k][n])%N;
    
        cout<<ans<<endl;
    
    
        return 0;
    }
    


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  • matlab程序用于产生拉盖尔多项式系数
  • matlab程序,产生广义拉盖尔多项式系数,亲测可行。如果要生成多项式,需要乘上变量
  • 多项式系数学习笔记

    2018-10-01 20:58:00
    多项式系数 对于多项式\((x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_k) ^n\)的展开式中\(x_1^{d_1}x_2^{d_2}x_3^{d_3} \dots x_k^{d_k}\)这一项(满足\(d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_k = N\))的系数,记做 \({\binom{n}{d_1,d_2,d...

    今天刚学的东西,简单记一下

    多项式系数

    对于多项式\((x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_k) ^n\)的展开式中\(x_1^{d_1}x_2^{d_2}x_3^{d_3} \dots x_k^{d_k}\)这一项(满足\(d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_k = N\))的系数,记做

    \({\binom{n}{d_1,d_2,d_3, \dots, d_k}} = \frac{n!}{d_1!d_2!d_3! \dots d_k!}\)

    组合意义

    \(n\)个可分辨的球放到\(m\)个不同的盒子\(T_1, T_2, \dots T_m\)中,在\(T_i\)中放\(d_i\)个,不记盒内的次序,且满足\(\sum_{i = 1}^m d_i= N\)的方案数为\[{\binom{n}{d_1,d_2,d_3, \dots, d_k}}\]

    一道题目

    给你一棵n个节点的有根树。你要给每个节点分配一个\(1 \sim n\)的数字,使得每个节点分配的数字不同,并且每个节点分配的数字都是它子树内最小的。求方案数。

    \(f[i]\)表示在以\(i\)为根的子树内放了\(1 \sim siz[i]\)的方案数

    转移的时候,根节点肯定放了\(1\)号元素

    那么

    \(f[i] = \binom{siz[i] - 1} {e siz[u_1], siz[u_2], \dots siz[u_k]} \prod f_{u_i}\)

    直接把\(1\)号节点的dp值展开之后得到

    \(ans = n! \prod \frac{1}{siz[i]}\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9735721.html

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  • 1021: 多项式系数

    2017-02-06 21:48:29
    1021: 多项式系数 Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 16 Solved: 6 [Submit][Status][Web Board] Description 求 (ax+by)^k 的展开中 x^n*y^m 项的系数。由于系数可能很大,只要求...

    1021: 多项式系数

    Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MB
    Submit: 16  Solved: 6
    [Submit][Status][Web Board]

    Description

    求 (ax+by)^k 的展开中 x^n*y^m 项的系数。由于系数可能很大,只要求输出除以 10007 的余数。

    Input

    一行共五个整数,分别为 a,b,k,n,m

    Output

    一个整数,为该项系数除以10007的余数。

    Sample Input

    1 1 3 1 2

    Sample Output

    3

    HINT

    数据范围:


    30% 0<=k<=10,


    50% a=1,b=1


    100% 0<=k<=1000, 0<=n,m<=k 且 n+m=k, 0<=a,b<=100,000


    NOIP2011 DAY2 factor

    Source

    [Submit][Status]

    #include<iostream>
    #include <cmath>
    #include "cstdio"
    /*
     1、大数一般用10007取模
     2、CKN=C(K-1)(N)+C(K-1)(N-1)//排列组合
     3、利用以上公式递归处理,避免产生大数
     
     */
    using namespace std;
    
    int a,b,k,n,m;
    int num[1001][1001];
    
    int test(int base,int number){
        if(num[base][number]!=-1)
            return num[base][number];
        
        if(base==number||number==0){
            num[base][number]=1;
            return num[base][number];
        }
        
        num[base][number]=test(base-1,number)+test(base-1,number-1);
        num[base][number]%=10007;
        return num[base][number];
    }
    
    
    int main()
    {
       
        
        
        //freopen("/Users/qigelaodadehongxiaodi/Desktop/data1.txt", "r", stdin);
        //这个不理,是用来方便输入输出的东西,利用文本输入流来读取数据
        //提交代码的时候记得注销这条语句
        
        scanf("%d %d %d %d %d",&a,&b,&k,&n,&m);;
        
        for(int i=0;i<=k;i++)
            for(int j=0;j<=k;j++)
                num[i][j]=-1;
        
        test(k,n);
        num[k][n]%=10007;
        
        for(int i=0;i<n;i++){
            num[k][n]*=a%10007;
            num[k][n]%=10007;
        }
        
        for(int i=0;i<m;i++){
            num[k][n]*=b%10007;
            num[k][n]%=10007;
        }
        
       printf("%d\n",num[k][n]%10007);
     
        
        return 0;
    }
    


    展开全文
  • 计算方法中,牛顿插值多项式系数的计算的C语言代码
  • 使用Python实现多项式系数卷积乘法

    千次阅读 2020-01-22 15:53:45
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  • MATLAB求多项式系数及次数

    千次阅读 2018-04-14 21:47:13
    之前在网上找关于求多项式系数及次数的算法,发现只有系数可以找到,但是对于下面这种函数:f=t^5+t^3-2,利用MATLAB自带的coeffs(f,t)函数只能得到看得到的此时的系数,即[ -2, 1, 1],而对于t^4,t^2,t前面的系数则...
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  • 计算多项式系数

    2020-05-31 11:41:33
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  • 多项式系数相加

    2017-10-16 17:10:11
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    千次阅读 2019-07-12 19:01:21
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  • 这里写自定义目录标题
  • #n次多项式的拟合曲线 y= a0 +a1x+a2x^2+'''+anx^n import numpy as np x_array = np.array( [0, 0.1111 ,0.2222, 0.3333, 0.4444, 0.5556 ,0.6667 ,0.7778, 0.8889 ,1]) y_array = np.array([0.0008,0.6419, 0....
  • // Polynomial Coefficients (多项式系数) // PC/UVa IDs: 110506/10105, Popularity: B, Success rate: high Level: 1 // Verdict: Accepted // Submissio
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空空如也

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