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  • 线性代数之 实对称矩阵,正交对角化,二次型与正定矩阵
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    2021-11-16 10:16:20

    前言

    终于快到矩阵分解了。在矩阵分解前,最后一个内容是实对称矩阵,二次型和正定矩阵。这三个概念与矩阵分解相关。

    实对称矩阵

    对于矩阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} ARn×n,如果 A T = A A^T=A AT=A,则称 A A A为实对称矩阵。

    实对称矩阵不同特征值的特征向量正交,n重特征值有n个线性无关的特征向量。因此实对称矩阵必然能够对角化。

    实对称矩阵是 n × n n\times n n×n矩阵能够正交对角化的充分必要条件。

    正交对角化

    如果存在一个正交矩阵 Q Q Q,使得方阵 A = Q Λ Q − 1 = Q Λ Q T A=Q\Lambda Q^-1=Q\Lambda Q^T A=QΛQ1=QΛQT能够对角化,称为正交对角化。

    能够正交对角化的矩阵都是对称矩阵。
    证明:
    A = Q Λ Q T A T = Q Λ T Q T = Q Λ Q T = A A=Q\Lambda Q^T \\ A^T=Q\Lambda^T Q^T=Q\Lambda Q^T=A A=QΛQTAT=QΛTQT=QΛQT=A

    二次型

    A A A是实对称矩阵,将一个变量满足 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx函数称为二次型。

    对于 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx,替换变量 x = P y , f ( x ) = f ( P y ) = y T P T A P y x=Py,f(x)=f(Py)=y^TP^TAPy x=Py,f(x)=f(Py)=yTPTAPy,而 A A A是实对称矩阵,因此存在正交矩阵 Q , f ( Q y ) = y T Λ y Q,f(Qy)=y^T\Lambda y Q,f(Qy)=yTΛy,使得二次型化为标准型。

    正定矩阵

    广义的正定矩阵:对于矩阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} ARn×n,函数 f ( x ) = x T A x > 0 f(x)=x^TAx>0 f(x)=xTAx>0对任意非零向量 x ∈ R n x\in R^n xRn都成立,则称 A A A为正定矩阵。如果 f ( x ) = x T A x ≥ 0 f(x)=x^TAx\ge0 f(x)=xTAx0,则称 A A A为半正定矩阵。

    狭义的正定矩阵:对于对称矩阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} ARn×n,函数 f ( x ) = x T A x > 0 f(x)=x^TAx>0 f(x)=xTAx>0对任意非零向量 x ∈ R n x\in R^n xRn都成立,则称 A A A为正定矩阵。如果 f ( x ) = x T A x ≥ 0 f(x)=x^TAx\ge0 f(x)=xTAx0,则称 A A A为半正定矩阵。也把这种正定矩阵称为对称正定矩阵。

    实对称矩阵的正定判断条件

    如果实对称矩阵的特征值都大于0,则是对称正定矩阵;如果特征值都非负,则是对称半正定矩阵。

    证明:
    f ( x ) = x T A x Q Q T = E x = Q y f ( x ) = f ( Q y ) = y T Q T A Q y = y T Λ y = ∑ i = 1 n λ i y i 2 i f λ i > 0 , f ( x ) > 0 i f λ i ≥ 0 , f ( x ) ≥ 0 f(x)=x^TAx \\ QQ^T=E \\ x=Qy\\ f(x)=f(Qy)=y^TQ^TAQy=y^T\Lambda y=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \\ if \quad \lambda_i>0,f(x)>0 \\ if \quad \lambda_i\ge0,f(x)\ge 0\\ f(x)=xTAxQQT=Ex=Qyf(x)=f(Qy)=yTQTAQy=yTΛy=i=1nλiyi2ifλi>0,f(x)>0ifλi0,f(x)0

    一个常见的半正定矩阵

    对于任意矩阵 A ∈ R m × n A\in R^{m\times n} ARm×n矩阵 A T A A^TA ATA是半正定矩阵

    证明:
    x T A T A x = ( A x ) T A x = ( A x ) ⋅ ( A x ) = ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 ≥ 0 x^TA^TAx=(Ax)^TAx=(Ax)\cdot(Ax)=||Ax||^2_2\ge0 xTATAx=(Ax)TAx=(Ax)(Ax)=Ax220

    如果 A ∈ R m × n A\in R^{m\times n} ARm×n列满秩,则 A T A A^TA ATA是正定矩阵

    证明:
    A x = 0 → A T A x = 0 A T A x = 0 → x T A T A x = 0 → ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 = 0 → A x = 0 ∴ N U L ( A ) = N U L ( A T A ) ∵ d i m N U L ( A ) + r a n k ( A ) = n ∴ r a n k ( A T A ) = r a n k ( A ) r a n k ( A ) = n , d i m N U L ( A ) = 0 ∴ ∀ x ≠ 0 , A x ≠ 0 ∴ ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 > 0 i . e . x T A T A x > 0 Ax=0 \to A^TAx=0 \\ A^TAx=0 \to x^TA^TAx=0 \to ||Ax||^2_2=0\to Ax=0 \\ \therefore NUL(A)=NUL(A^TA) \\ \because dimNUL(A)+rank(A)=n \\ \therefore rank(A^TA)=rank(A) \\ \quad \\ rank(A)=n,dimNUL(A)=0 \\ \therefore \forall x\ne 0, A x\ne0 \\ \therefore ||Ax||_2^2>0 \\ \quad \\ i.e. \quad x^TA^TAx>0 Ax=0ATAx=0ATAx=0xTATAx=0Ax22=0Ax=0NUL(A)=NUL(ATA)dimNUL(A)+rank(A)=nrank(ATA)=rank(A)rank(A)=n,dimNUL(A)=0x=0,Ax=0Ax22>0i.e.xTATAx>0

    后记

    线性代数的矩阵性质部分大概就记录完了。下一篇就进入到了矩阵计算的内容——矩阵分解。

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    摘自《矩阵论教程》第2版,张绍飞,p52

    在这里插入图片描述
    摘自《矩阵论教程》第2版,张绍飞,p52

    展开全文
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    • 当然不是啦!
    • 因为奇异值分解 Σ \Sigma Σ是个对角线都是正的啊!
    • 而对称矩阵的正交对角化显然不是的!

    • 如果 A A A是对称的,特征值为 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn
      • ∣ λ 1 ∣ ≥ ∣ λ 2 ∣ ≥ . . . ≥ ∣ λ r ∣ > ∣ λ r + 1 ∣ = . . . = ∣ λ n ∣ = 0 |\lambda_1|\ge |\lambda_2|\ge ...\ge|\lambda_r|>|\lambda_{r+1}|=...= |\lambda_n|=0 λ1λ2...λr>λr+1=...=λn=0
      • A = W Σ W T A=W\Sigma W^T A=WΣWT, W = ( α 1 , . . . , α n ) W=(\alpha_1,...,\alpha_n) W=(α1,...,αn)
      • A 2 = W Σ 2 W T A^2=W\Sigma^2W^T A2=WΣ2WT
    • 这说明 A 2 A^2 A2也可对角化,特征值为 λ 1 2 , . . . , λ n 2 \lambda_1^2,...,\lambda_n^2 λ12,...,λn2
      • 特征向量为 W = ( α 1 , . . . , α n ) W=(\alpha_1,...,\alpha_n) W=(α1,...,αn)

    • A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT

      • Σ \Sigma Σ的对角线是 A 2 A^2 A2的特征值开根号
        • 分别为 ∣ λ 1 ∣ , ∣ λ 2 ∣ , . . . , ∣ λ n ∣ |\lambda_1|,|\lambda_2|,...,|\lambda_n| λ1,λ2,...,λn
    • V V V的每一列是 A 2 A^2 A2的特征向量

      • 也就是 ( α 1 , . . . , α n ) (\alpha_1,...,\alpha_n) (α1,...,αn)
    • U U U的每一列就是 ( A α 1 , . . . , A α n ) (A\alpha_1,...,A\alpha_n) (Aα1,...,Aαn)

    • 所以

    • 上面写的不对。
    • 要记得把 A α i A\alpha_i Aαi单位化一下!
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    n阶矩阵A可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵,即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。

    首先,有以下定理:

    A\in R^{n*n}的特征值为\lambda _{1},\lambda _{1},...,\lambda _{n},且\lambda {i}\in R(i=1,2,...,n),则存在正交矩阵Q,使A相似于如下三角矩阵:

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正交对角化

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