可微但偏导数不连续

函数可微，偏导数连续，函数连续，函数可导的关系 千次阅读

2022-04-01 20:03:15

1）函数连续无法推出函数可导，同理函数可导无法推出函数连续。

2）函数可微可以推迟函数连续，也可以推出函数可导，但是函数连续推不出函数可微，函数可导也无法推出函数可微。

3）偏导数连续（偏导数存在且连续）可以推出函数可微，但是函数可微无法退出偏导数连续。

数学

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如果非常熟悉了，可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。 1 连续的含义通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的： 1.1 没有缝隙我们对连续的函数曲线的直观感受是没...
多变量微积分里面有这么一个结论：

如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，那么函数在该点可微。

下面来解释这个结论，并且减弱这个结论的条件。

先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义，后面要用到。如果非常熟悉了，可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

1 连续的含义

通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的：

1.1 没有缝隙

我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙：

如果把曲线看作一条道路的话，那么不管是蚂蚁、人还是自行车，都有能力从左边走到右边：

而不连续的曲线会有断裂：

蚂蚁通过能力太差，就没有办法跨过裂缝：

1.2 另一层含义

从代数上我们可以看到另外一层含义。假设 $f(x_0)$ 附近某点为 $f(x_0+\Delta x)$ ，根据连续的性质有：

$\lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)$

利用极限的性质可以得到：

$\lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}$

因此上式表明， $f(x_0)$ 与附近 $f(x_0+\Delta x)$ 的值相差非常小，这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

2 可微的含义

2.1 单变量函数的微分

一元的情况下，在 $(x_0,f(x_0))$ 点可微指的是，在 $(x_0,f(x_0))$ 点附近可以用直线来近似曲线，这根直线就是切线：

距离 $(x_0,f(x_0))$ 越近，这种近似越好，体现为切线和曲线之间的相差越来越小：

令 $\Delta x=x-x_0$ ，那么 $x_0$ 附近曲线与直线的近似可以表示为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}$

2.2 多变量函数的微分

多元的情况下，就要复杂一些。关于下面内容，想了解更详细的可以参看：
2.2.1 偏导数

首先要对偏导数有所了解。多变量的函数 $f(x,y)$ 可以是三维空间中的曲面

平面 $y=t,t\in\mathbb{R}$ 是一系列平面，它们与曲面交于一条条曲线：

很显然，点在这些曲线上运动， $y$ 是不会变化的，只有 $x$ 会变化：

偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度（变化率），对于 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点，知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似，也就是这条曲线的切线，或者称为偏微分：

这种近似关系可以表示为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}$

同样的道理，偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 描述的是只有 $y$ 值变化的曲线上的点的速度，假设这样的曲线为 $f_y(x,y)$ ，其切线与之的近似关系可以表示为：：

$\underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}$

2.2.2 微分

多变量的函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点的微分，指的是在 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点找到一个平面来近似曲面，这就是切平面：

切平面与曲面的近似可以表示为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}$

上面出现了 $o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$ ，这是因为此点的邻域是一个平面（下面用圆来表示这个平面，实际上这个圆可以任意大小）：

此圆的半径可以表示为：

$r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$

2.3 微分与偏微分的关系

很显然，过 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点，并不是只有 $x,y$ 方向的曲线（两个方向的曲线的切线就是偏微分）：

还有无数别的方向的曲线（随便画了两条）：

这些曲线的切线（假如有的话）要在同一个平面，这个平面就是切平面，才叫做可微（详情参考之前给出的参考文章）。

而偏微分只是无数切线中的两条，所以：

$偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微$

比如 $f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 就是偏导数存在，但是不可微。它的图像是：

在 $(0,0,0)$ 点， $f(x,y)$ 与 $x=0,y=0$ 的交线是下面红色的直线，分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴重叠：

因此，在 $(0,0,0)$ 点的偏微分就是 $x$ 轴和 $y$ 轴。但是 $f(x,y)$ 与 $y=x$ 的交线是：

在 $(0,0,0)$ 点形成了一个尖点：

很显然此曲线的切线不存在（此曲线的左右切线由方向导数决定）。因此 $f(x,y)$ 在 $(0,0,0)$ 点不可微（具体细节也请参看参考文章）。

3 偏导数连续推出可微

前面说了很多，就是为了得到下面这个表格：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\ \hline \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\ \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\ \hline \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\ \hline\end{array}$

下面讲解涉及的三维图像太复杂，不容易看清，所以把三维图像画到二维中，应该不会影响理解。

先给出 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个点，把它们的三维坐标也标出来：

$A$ 点的偏导数连续，分别为：

$\frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}$

从 $A$ 出发，运动到 $B$ ，很显然只有 $x$ 方向有变化：

因此 $B$ 点的值为：

$\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)$

继续往上走到 $C$ 点：

因为偏导数连续，所以附近的偏导数也是存在的，假设 $B$ 的偏导数为 $\frac{\partial f}{\partial y_b}$ ，那么可得：

$\begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点} &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\ \\ &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y) \\ &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}$

这里就是关键了，因为偏导数连续，所以 $A$ 、 $B$ 偏导数差不多，有：

$\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)$

因此上式可以改写为：

$\begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\ \\ &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\ \\ &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}$

至此，得到了 $A$ 点可微的结论（上面的等价性没有证明，在一些《数学分析》书籍中，可微采用的是类似的定义）。

如果仔细看上面的证明，会发现只用到了 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 连续，因此条件可以减弱一些：

如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 及其邻域存在，偏导数其中之一在邻域内连续，那么函数在该点可微。

最新版本可以参见：为什么偏导数连续，函数就可微？
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高等数学
函数可微，那么偏导数一定存在，且连续吗？
千次阅读 2021-01-14 15:31:46

多元函数可微则偏导数一定存在，可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微，但反推不行。若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。必要条件：若函数在某点可微，...

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函数可微则这个函数一定32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643066连续，但连续不一定可微．多元函数可微则偏导数一定存在，可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微，但反推不行。

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。必要条件：若函数在某点可微，则函数在该点必连续，该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:

△z＝f(x0＋△x，y＋△y)－f(x0，y0)＝A△x＋B△y＋o(ρ)，其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ＝〔(△x)＾2＋(△y)＾2〕＾0．5．o(ρ)是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o(ρ)／ρ趋于零．则称f在P0点可微。

可微的充要条件是曲面z＝f(x，y)在点P(x0，y0，f(x0，y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0，y0)可微，这个切面的方程应为Z－z＝A(X－x0)＋B(Y－y0)。

扩展资料：

可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

一般来说，若X是函数ƒ定义域上的一点，且ƒ′(X)有定义，则称ƒ在X点可微。这就是说ƒ的图像在(X，ƒ(X))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。

实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。

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连续、偏导数、可微
千次阅读 2020-10-03 06:36:56

1 连续的含义通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的： ...首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面 https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/83310653 ...

1 连续的含义

通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的：

1.1 没有缝隙

我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙：

1.2 另一层含义

2 可微的含义

可微可导的几何意义

对于一元函数,可微的几何意义是该点处存在切线;对于二元函数,可微表示该点处存在切平面.
一元函数可微与可导等同.在一点可微的几何意义是图形在该点有不与y轴平行的切线.二元函数在一点可微的几何意义是图形曲面在该点有不与z轴平行的切平面.
对于可导的点来说,这一点得到数是切线的斜率,这时的切线就是唯一的一条不穿过曲线但和曲线只有一个交点的直线.

2.1 单变量函数的微分

在一元函数中的微分就是函数的切线

2.2 多变量函数的微分

多元的情况下，就要复杂一些。

2.2.1 偏导数

首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面

平面y=t,t $\in R$ 是一系列平面，它们与曲面交于一条条曲线：

很显然，点在这些曲线上运动，y 是不会变化的，只有x 会变化：

2.2.2 微分

多变量的函数f(x,y) 在 $x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点的微分，指的是在 $x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 点找到一个平面来近似曲面，这就是切平面：

偏微分

在一元函数中的微分就是函数的切线：

关于微分就是切线，我写的很多文章（比如我最近的如何通俗解释全微分？）都希望大家可以理解这一点，虽然要严格讲清楚需要微分几何、流型的知识，但是我认为掌握了这一点对于我们学习微积分很有帮助。

我们发挥一下空间想象力，把它从平面中拽出来，进入三维空间：

之前是平面曲线，现在是空间曲线。切线仍然是切线，微分仍然是微分。

我们再想象一下，其实这个空间曲线是y=0这个空间平面与f(x,y)这个空间曲面的交线：

我们就把这个切线称为f(x,y)对于x的偏微分。为什么是对于x的呢？因为这是y=0与f(x,y)的交线，在这条线上无论点怎么变化，都要满足y=0，即y是常数不会变化。

你来玩玩下面这个互动操作就知道了，点在线上变化只会改变z和x：

理解了这个，就可以举一反三，所有y=C（C为常数）的平面与f(x,y)的交线都是满足刚才说的特点：

这些交线上的点的切线都是f(x,y)关于x的偏微分。

当然，如果f(x,y)与x=C（C为常数）得到的交线，这些交线的切线就是f(x,y)关于y的偏微分。

总结，偏微分就是：

固定y，变换x得到的就是f(x,y)关于x的偏微分
固定x，变换y得到的就是f(x,y)关于y的偏微分

偏导数

偏微分理解了偏导数就好理解了，就是偏微分的斜率，现在你应该可以明白为什么我们在求f(x,y)对于x的偏导数的时候，我们把y当作常数来看待了吧。

只是有一点需要说明，在三维空间中角度可以有不同的定义，计算斜率的时候我们是看下面这个 $\alpha$ 角：

总结，偏导数就是偏微分的斜率。

2.3 全微分

其实，不光是y=C或者x=C这样的平面可以和f(x,y)相交得到交线，所有和xy平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线（微分）：

这个平面相交得到的交线：

这个平面也可以：

总之，应该是360°无死角，自己动手试试：

如果这些切线都存在，并且这些切线（无数条）还都在同一个平面上（平面不是曲面），那么得到的这个平面就是全微分（也叫做切平面，或者说切空间）：

总结，全微分就是：
360°微分都存在
并且这些微分要共面，得到的就是全微分

2.3 微分与偏微分的关系

很显然，过(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点，并不是只有x,y 方向的曲线（两个方向的曲线的切线就是偏微分）

还有无数别的方向的曲线（随便画了两条）：

在(0,0,0) 点，f(x,y) 与x=0,y=0 的交线是下面红色的直线，分别与x 轴和y 轴重叠：

因此，在(0,0,0) 点的偏微分就是x 轴和y 轴。但是f(x,y) 与y=x 的交线是：

在(0,0,0) 点形成了一个尖点

很显然此曲线的切线不存在（此曲线的左右切线由方向导数决定）。因此f(x,y) 在(0,0,0) 点不可微（具体细节也请参看参考文章）。
总结，全微分与偏导数、偏微分的关系：

全微分存在偏导数、偏微分一定存在
偏导数、偏微分存在全微分不一定存在

3 偏导数连续推出可微

前面说了很多，就是为了得到下面这个表格：

下面讲解涉及的三维图像太复杂，不容易看清，所以把三维图像画到二维中，应该不会影响理解。

先给出A 、B 、C 、D 四个点，把它们的三维坐标也标出来：

3 全微分

其实，不光是y=C或者x=C这样的平面可以和f(x,y)相交得到交线，所有和xy平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线（微分）：

这个平面相交得到的交线：

马同学高等数学
这个平面也可以：

马同学高等数学
总之，应该是360°无死角，自己动手试试：

Created with GeoGebra
如果这些切线都存在，并且这些切线（无数条）还都在同一个平面上（平面不是曲面），那么得到的这个平面就是全微分（也叫做切平面，或者说切空间）：

Created with GeoGebra
总结，全微分就是：

360°微分都存在
并且这些微分要共面，得到的就是全微分

https://www.matongxue.com/madocs/219
https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/83310653

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如何理解多元函数可微与可偏导的关系？
千次阅读 2021-01-14 06:50:52

原标题：如何理解多元函数可微与可偏导的关系？谈到多元函数可微与可偏导时，相信不少人头皮有点发麻。一元函数中，可微与可导是等价的，但是在多元函数中，可微与可偏导之间的关系就没那么简单了，这是为什么呢？...

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重极限连续 偏导数 全微分
2021-09-27 16:33:32

如果二阶混合偏导数连续，则二阶混合偏导可交换求导次序题型判断是否可微，第一步先看偏导数是否存在，第二步再看那个极限是否等于0 D选项不是偏导数连续！偏导数连续指的是二元连续！利用前面...

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数学
梯度-lagrange乘子法-偏导数连续必然可微分
千次阅读 2018-04-05 18:13:42

因为某点的偏导数连续才能保证该点可微分，即有 Δz=fxΔx+fyΔy+o(Δx2+Δy2)\Delta z = f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\sqrt {{\Delta x}^{2}+{\Delta y}^{2}})Δz=fxΔx+fyΔy+o(Δx2+Δy2 )当 Δx2+Δy2→0\...

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梯度拉格朗日乘数法