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  • 概率

    千次阅读 2018-07-10 19:55:43
    (一)概率 设A的先验概率为P(A),假设由A得到B的概率为P(B|A),那么由B再重新修正A,得到的就是A的概率P(A|B)。从上可知,不论是先验概率还是概率,我们所讨论的对象都是A,从未变过。 正所谓...

    (一)后验概率

            设A的先验概率为PA),假设由A得到B的概率为PB|A),那么由B再重新修正A,得到的就是A的后验概率PA|B)。从上可知,不论是先验概率还是后验概率,我们所讨论的对象都是A,从未变过。

            正所谓:后验概率是为了修正先验概率,即在得到结果B的信息后重新修正“原因A”。

    (二)后验概率求解

            大家应该都知道,利用贝叶斯公式求解后验概率,即


         这正是我们常说的:利用先验概率P(A)和条件概率PB|A求解后验概率。


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  • 如何算概率

    千次阅读 2017-05-20 17:02:47
    在数学中,概率是一个很神奇的东西,那么我们如何算概率呢?很简单,我们用一个栗子例子来形容一下:

    在数学中,概率是一个很神奇的东西,那么我们如何算概率呢?很简单,我们用一个栗子例子来形容一下:

    • 在大学中,每一位同学都要交学费,这时有1个教导主任,他想要捞一把,他有0.1概率会抽取水分。
    • 现在又有一个教导主任,他也想捞一把,他有0.2的概率会抽取水分,那么这位同学被两位教导主任抽取水分的概率是多少?
    Created with Raphaël 2.1.0 教导主任1 教导主任1 张三 张三 教导主任2 教导主任2 哈哈小伙,我会收你的钱,概率是10%。 教导主任2愣了一下 这不是我要说的话吗? 哈哈小伙,我会收你的钱,概率是20%。 我去,你们有没有职业操守!

    那么我们该如何计算呢?仔细想想,教导主任1抽取水分的概率为10%,那么还有90%的可能性不会被抽取,那么在这90%中,又有20%的可能性会被教导主任2抽取水分,也就是说,在90%中,还有80%的概率不会被抽中,所以,总的来说(In a word),张三小盆友不会被抽取水分的概率为:
    90%*80%=72%。
    1-72%=36%(张三有26%的概率会被抽取水分,两位领导!)
    所以,概率就是这么算的!


    以上是一个简单的例子(For example),那么我们如何将这个例子推向所有的程序中呢?
    还是让可怜的张三来举举例子。

    • 张三被上两个教导主任抽取了水分后,在学校公园里散心,不料又碰到一个校长,这个校长看张三一身的名牌(Adidas、Nike、New Balance……),心想:“这个学生一定很有钱,我要狠狠地捞一把!”这时校长无赖地说,我要抽取你的水分的概率为0.5,张三听后就晕了!……

    看完这一个例子,我们有一个任务,如何求出张三可能被三位领导敲诈抽取水分的可能性呢?
    根据以上经验,我们已经得出来了1-72%=26%的概率会被两位教导主任给抽取水分,那么就还剩下72%,在72%中,校长有50%的概率会抽取,那么就还剩下50%的概率不会抽取,所以:
    72%*50%=36%,所以有36%的概率不会被校领导给抽取水分,那么就意味着,被三位领导抽取水分的概率为64%!


    我们用归纳法来总结一下,设有n个人,第i个人抽取水分(不一定是这么生动形象荒谬的例子)的概率为a[i],是一个小数,那么求某些人的概率为:
    ans=(1-这些人的概率(a[i]))*ans。(ans最开始为1)
    最终再用1减去ans就好了。

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  • 先验概率概率

    千次阅读 2018-04-10 11:58:23
    先验概率概率先验概率概率的定义如何获取先验概率概率(计算)参考资料1. 初步定义 先验概率:根据以往经验和分析得到的概率。先验概率分为客观先验概率(利用过去的历史资料计算得到的先验概率...

    先验概率和后验概率

    • 先验概率和后验概率的定义
    • 如何获取先验概率和后验概率(计算)
    • 参考资料

      1. 初步定义

            先验概率:根据以往经验和分析得到的概率。先验概率分为客观先验概率(利用过去的历史资料计算得到的先验概率)和主观先验概率(当历史资料无从获取或资料不完全时,凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率)。

            后验概率:在得到结果的信息后重新修正的概率。是指基于新的信息,修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。

            举例:

            假设桌子上有一块肉和一瓶醋,你如果吃了一块肉,然后你觉得是酸的,那你觉得肉里加了醋的概率有多大?你说:80%的可能性加了醋。那么,你已经进行了一次后验概率的猜测。

           

            形式化:

            设:P(A)=加了醋, P(B)=吃了之后是酸的, P(C)=肉变质,则可将上述公式转化为如下形式:

           

            其中,P(A)为先验概率,P(A|B)为后验概率。

         2. 计算

            先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量,通常是经验丰富的专家的纯主观估计。(例如,经验丰富的老人根据自己的经验,估计当地下雨的概率。或者某人根据当地若干年的气候规律,获取该地下雨的概率。)先验概率的计算通常比较简单,不需要使用贝叶斯公式。

            后验概率考虑了一个事实之后的条件概率。通常是通过贝叶斯公式,用先验概率和似然函数计算出来。

            一句话总结:先验概率P,乘以似然函数L,正比于后验概率。


            我们来看看贝叶斯公式:

           

            其中,P(A)为先验概率,P(B|A)为似然函数,P(B)是一个归一化项。整个公式就是表达了“后验概率正比于先验概率乘以似然函数”。


        3. 参考文献

              [1] https://blog.csdn.net/sjyttkl/article/details/51879859

              [2] https://www.cnblogs.com/yemanxiaozu/p/7680761.html

              [3] https://blog.csdn.net/jasonwayne/article/details/51824832

     


           

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  • 概率、先验概率概率

    千次阅读 2015-01-28 14:17:41
    今天看了 Larry Wasserman写的 All of Statistics中的第一章,第一章主要讲概率,其中最主要的就是贝叶斯公式。要了解贝叶斯公式,就得知道全概率公式: 通俗的讲,先验概率就是事情尚未发生前,我们...概率

    今天看了 Larry Wasserman写的 All of Statistics中的第一章,第一章主要讲概率,其中最主要的就是贝叶斯公式。要了解贝叶斯公式,就得知道全概率公式:

    通俗的讲,先验概率就是事情尚未发生前,我们对该事发生概率的估计,例如全概率公式中P(B)就是先验概率,求解方法有很多种,全概率公式是一种,也可以根据经验等,例如抛一枚硬币头向上的概率为0.5。

    后验概率则是表示在事情已经发生的条件下,要求该事发生原因是有某个因素引起的可能性的大小。

    先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量;而后验概率(Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.)是在考虑了一个事实之后的条件概率。

    通过贝叶斯公式,利用先验概率、似然函数可以计算出后验概率

    贝叶斯公式有很多应用,可以应用到分类,也可以用来决策,基本思路都是找出使后验概率最大的那个结果。以分类为例,就是找出一个最大的概率:已知样本的某些特性,求解该样本属于某个类别的后验概率。举个垃圾邮件的例子:

    将邮件分为三类,A1=spam,A2=low priority ,A3=high priority.从以前的经验中得到先验概率P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1.这三个的概率之和一定为1。设事件B为邮件中包含单词free(为啥是free,我也不知道,只是举个例子不要当真,也可以是democracy),我们可以古典概率模型计算出P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.01.当然这三个的和可能不为1,你知道原因么?言归正传,某天我收到一封邮件,发件人来自米国这个头号资本主义国家,这不是重点,重点是这封邮件包含了单词free,问这封邮件为spam的概率是多少?


    也就是说你有0.995的成功率判定该邮件为spam,至此你不知不觉地已经构建了最简单的反垃圾邮件算法,更多细节与拓展需要继续学习。

    贝叶斯只是反垃圾邮件的一种方法,还可以用svm等方法,这个还没细看。

    上述例子只是贝叶斯公式的一个简单应用,它还有更多的变形与应用,以后遇到在细写吧。

    再举一个很经典的例子来深入了解下贝叶斯公式。这个例子基本是每个总结贝叶斯公式必用的例子,一方面是这个例子很经典,另一个原因就是人们都太懒了不愿意去想新的例子,不幸的是我也很懒。

    如下:

    有三个门,一个门后面有一个里有汽车,如果选对了就可以得到这辆车,当应试者选定一个门之后,主持人打开了另外一个门,空的。问应试者要不要换一个选择。假设主持人知道车所在的那个门。
    经典解法(结论倒是正确的):
        第一次选择正确的概率是1/3,因此汽车在另外两个门里的概率是2/3。主持人指出一个门,如果你开始选错了(2/3概率),则剩下的那个门里100%有汽车;如果你第一次选对(1/3)了,剩下那个门里100%没汽车。
    所以主持人提示之后,你不换的话正确概率是1/3*100%+2/3*0=1/3,你换的话正确概率是1/3*0+2/3*100%=2/3。这个解法的的问题在于,现在主持人已经打开一个空门了(而且主持人是有意打开这个门的),在这一“信息” 出现后,还能说当初选错的概率是2/3吗?这一后验事实不会改变我们对于先验概率的看法吗?答案是会的。更具体地说,主持人打开一扇门后,对当初选择错误 的概率估计不一定等于2/3。
        从头说起。假设我选了B门,假设主持人打开了C门,那么他在什么情况下会打开C门呢?
        若A有车(先验概率P=1/3),那主持人100%打开C门(他显然不会打开B);
        若B有车(先验概率P=1/3),那此时主持人有A和C两个选择,假设他以K的概率打开C(一般K=1/2,但我们暂把它设成变量);
        若C有车(先验概率P=1/3),那主持人打开C的概率为0(只要他不傻。。。)
        已知他打开了C,那根据贝叶斯公式——这里P(M|N)表示N事件发生时M事件发生的概率:

                                P(C打开|B有车)* p(B有车)

    P(B有车|C打开)=     ------------------------------

                                     P(C打开)

                    P(C打开|B有车)* p(B有车)

    = ------------------------------------

       P(C打开|A有车)* p(A有车)+ P(C打开|B有车)* p(B有车)

                                K * 1/3

                    =      -------------------

                             1 * 1/3 + K * 1/3

                              K

                    =      -------

                            K + 1
        该值何时等于1/3 呢(也就是经典解法里的假设)? 只有 K=1/2 时。也就是一般情况下。但如果主持人有偏好,比方说他就是喜欢打开右边的门(假设C在右边),设K=3/4, 那么B有车的概率就变成了 3/5,不再是1/3,后验事实改变了先验概率的估计!

        但这并不改变正确的选择,我们仍然应该改选A门, 解释如下:

                                 P(C打开|A有车)* p(A有车)

    P(A有车|C打开)=   ------------------------------

                                     P(C打开)

                 P(C打开|A有车)* p(A有车)

     = --------------------------------------------

        P(C打开|A有车)* p(A有车)+ P(C打开|B有车)* p(B有车)

                                   1 * 1/3

                    =       -------------------

                                1 * 1/3 + K * 1/3

                           1

                    =   -------

                         K + 1

        而K < 1(假设主持人没有极端到非C不选的程度),所以永远有 P(B有车|C打开) < P( A有车|C打开).A有车的概率永远比B大,我们还是应该改变选择。
        这个解法的重点在于考虑了C被打开这个事实的影响,从而消除了关于先验后验的纷扰。

    文中难免会出现错误,希望发现者提出宝贵意见与建议,共同进步,非常感谢。

    All of statistics这本书还得继续看,希望能坚持下去。


    补充

    关于先验概率的求法:

    先验概率可以利用蒙特卡洛的方法求之,有人写了篇比较详细的文章,我就不赘述了。转载如下:

    最近,开始学习和概率模型相关的智能算法。这类算法能解决的问题很多,包括模式识别(分类问题)、预测、决策等等。是非常具有实际应用价值的一类算法。

    当然,这类算法体系也非常的庞大,尤其是其中涉及高深的数学原理的方法众多。但是,显然,我们要讨论的问题算法并不属于此类(很大原因是因为我概率挂了)。我们今天讨论的重点将放在:如果一个概率我无法求得,那么我们有什么其他办法获得。

    首先,我们来考虑著名的“蒙特卡洛法”——又是是个名字很猛,其实很“直白”的算法。

    考虑这样一个问题:投3个骰子,扔出8点的概率是多少?很简单是不是,但是其实算出来还是有一点点麻烦(记住,“懒惰”对于一个程序员 来时说一个优秀的品质,“懒惰”的人会详尽办法使问题变得容易处理)。那么,我们可不可以让计算机帮我们计算呢?计算机的最大特点是:计算快,但是不擅推 理。所以我们用一个和他很相配的办法来计算这个概率:试。具体来说就是,让计算机去投骰子,投100万次,看看其中有多少次是8点,然后我们就知道实际概 率了——这便是蒙特卡洛法,再简单不过的方法了,这个方法没有复杂的公式,没有麻烦的步骤,只是一个简单的思想:通过仿真来模拟现实,再用简单的统计方法得到概率。

    现在大家对蒙特卡洛有了一个基本的认识,那么来详细讨论下在什么情况下,我们可以使用蒙特卡洛法——当然,在这之前,我们先要考虑一个更一般的问题:在什么情况下,我们可以使用一个(任何一种)基于概率论的方法?

    对于刚刚的提出的骰子的问题,我们来考虑一个最最基本的问题:如果我只扔了1次骰子,那么我们可不可以认为结果就表示了实际概率呢?1000次呢?

    对于第一个问题,所有人相信马上就会回答:不可以。但是1000次呢?有些人可能就犹豫了:应该可以了吧?那么,我们究竟应该扔多少次才可以得到我们想要的概率呢?

    这里,请大家先沐浴更衣,因为我们要祭出一个有关概率论最最基础,也最有用的经验值:对于使用概率问题讨论的系统, 其必然存在的误差将约为(根号下样本数量)分之一。这个经验公式是薛定谔提出的,注意:这只是一个经验公式,没有任何的推理过程和证明,我们甚至“不好意 思”在正式公式里面把它作为一项来讨论——他就好像是谚语一样的存在。但是,正是这样的一个“谚语”,决定了我们科学研究对象的一个重要分界线:我们只能 对系统中,个体数量足够的多的系统(比如瓶子里面的空气分子)使用统计学方法(统计力学)进行精确研究,而如果样本数量减少,比如近千个样本,那么根据公 式,我们得到的结果,将至少存在一个3%左右的误差——也就是说,如果计算得出一个事件的发生概率是3%,那么他可能是0%-6%中的任何一个值。显然, 在这种精度下,我们将只能对系统进行定性的分析或粗略的定量分析了。如果我们继续减少样本数量,比如,25个样本(对于像研究一个班级的每个学生、改革开 放后的每年的某项指标等等),那么,使用统计学就意味着我们引入了20%的误差(注意,这个误差只是定性的估计,并不意味着,你可以再论文里面写:由于这 个误差,所以实际概率是10%-50%),显然只有在你已经走投无路的时候(比如建模比赛明早交题)才能考虑使用统计学手段。

    好,有了以上的基础,我们可以立刻就可以发现:对于使用蒙特卡洛法进行估计概率,只要我们可以对系统进行准确的仿真,那么,我们得到概率的精度将只和有限时间内,我们能进行的仿真次数有关了——大家可能已经注意到了,从上2篇开始,我们就在不断强调,我们的时间是有有限的,这是现在科学研究的一个重要限制:不是这个理论上可行就是可行的,他还要是“可计算”的。

    所以,我们很容易提出了蒙特卡洛方法的一个基本限制:仿真速度必须足够的快,以使得我们可以在指定时间内,运行足够多次,以获得足够精度(根据刚刚的经验公式推断精度)。

    现在,我们已经知道了蒙特卡洛法的基本限制了。那么,我们来考虑下另一个基本问题:我们在什么情况下,应该使用蒙特卡洛法呢?也就是说,这个方法可以解决什么问题呢?

    从刚刚的例子中我们可以很容易总结出来,蒙特卡洛针对的问题是:如果我们需要知道一个概率,这个概率事件的产生方式我们已知(每个骰子以6分之一概率投到一个数字,然后相加),而用公式对概率进行求解非常麻烦(或者根本不可能,比如涉及解一个很多变量的高阶方程组等等)。更进一步的说,对于一个有基本编程能力的人来说,如果写一个仿真程序比你实际推导一个公式时间短,那么我们经应该使用蒙特卡洛法求解(比如刚刚骰子的例子,会用Matlab的朋友应该都是蒙特卡洛求解更快)。

    所以,如果用一句话总结蒙特卡洛的用处,那么就是:复杂概率的简单求解办法。(就好像前面介绍的任何优化算法,都是复杂评价函数的快速求极值办法一样)

    现在,请大家先对上面一句话留有印象,我们来开始介绍贝叶斯方法。

    无论对于基于概率的模式识别,还是基于概率的决策问题,我们基本思路都是一样的,就是:找出概率最高的情况,作为的结果。对于模式识别问题,我们是找出他 最可能是的类型。而对于决策问题,我们则是找出最可能产生最好结果的方案。而找出概率的依据,就是我们现在的已知信息。(为了叙述方便,一下都以模式识别 问题说明,如果有与决策问题明显不同的地方,我会单独说明)

    比如,对于一个识别问题,我们需要找出的就是最大的概率p ( 是某一物体 | 观测到物品具有特性X ) ,这种方法被称为“最大后验假设”。这个概率的描述非常直白,不用我过多解释,我们需要考虑的问题是,我们如何得到这一概率。显然,如果这个可以直接求得 的话,任何识别问题就都解决了。既然不好直接得到,那么有没有办法来用其他概率表示这一概率呢?当然有,这就是我们大家都知道的 贝叶斯公式。

    P( h|D ) = P( D|h )*P(h)/P(D)

    贝叶斯公式提供了利用先验概率P(h)和似然度P(D|h)来推导后验概率P(h|D)的方法(下面将看到,P(D)并不重要)。利用贝叶斯公式,我们可以将最大后验假设(缩写为MAP)重写为

    MAP = max(P(h|D)) = max(P(D|h)*P(h)/P(D))

    由于我们是求最大值,所以,我们可以将式中与h无关的P(D)项(对于所有的h,P(D)均为一常数)去掉,得到了标准的最大后验假设公式

    MAP = max( P(D|h) * P(h) )

    特殊的,对于很多情况下,我们没有理由说明任何一种情况的先验概率更大(比如数字识别系统,那么被识别对象h是0-9的概率是相同的)。那么,P(h)也变成了一个常数,这时,我们将p(h)去掉,便得到了名为“最大似然假设”的方法(记为ML)

    ML = max( p(D|h) )

    至此,对于原有问题,我们将问题转换为了求解MAP或者ML的问题。那么我们怎么求解呢?下面我们首先来讨论P(D|h)的问题。

    P(D|h)的现实意义是:当我已知对象为h,观测到D的概率。写出这个概率的难度已经比我们写出P(h|D)的难度要低很多了,因为现在我们的问题已经 是:我知道这个是一个什么东西,那么它显出某一特性的概率有多少呢?显然,只要我们对我们要判断的东西有足够的认识,我们肯定能得到这个概率:最郁闷的情 况下,就用蒙特卡洛法仿真一下就是了!

    另一方面,由于我们的MAP或是ML是求最大值的问题,我们又获得了一个更为有效地简化办法:只要我们设定的P'(D|h)满足与真实P(D|h)单调就 可以了(并且,所有P(D|h)相加可以不为1)。这一特性使得我们可以用非常多、且非常简便的方法近似求得MAP或者ML。比如,对于一个事件h,我们 知道应该有的标准观测值为d'。那么,我们完全可以简单的定义P(D|h)的值为(D-d')^2,即观测误差越大,则我观测到这个观测值的概率越低——这种做法在绝大多数情况下将非常简单而且效果出乎意料的好。

    以上就是贝叶斯方法的基本形式。希望能给大家一些共鸣。

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  • 古典概率:随机现象所能发生的事件是有限的、互不相容的,而且每个基本事件发生的可能性相等。  两个特点:  一是试验的样本空间有限,如掷硬币有正反两种结果,掷骰子有6种结果等;   二是试验中每个结果出现...
  • 先验概率概率与似然函数

    千次阅读 2018-09-12 10:57:04
    1.先验概率与后验概率 先验(A priori;又译:先天)在拉丁文中指“来自先前的东西”,或稍稍引申指“在经验之前”。近代西方传统中,认为先验指无需经验或先...验前概率就是通常说的概率,验后概率是一种条件概率...
  • 为什么要最大化概率

    千次阅读 2018-10-19 10:09:38
    训练模型时,我们经常先为概率建模,也就是写出概率的数学表达式,然后求概率的最大值,使得概率最大的那些参数就是训练结果了。 为什么最大化概率是有意义的呢?本质上和我们日常生活中的判断...
  • 先验概率概率是什么

    千次阅读 2018-08-19 18:36:57
    一、先验概率概率事情还没有发生,要求这件事情发生的可能性的大小,是先验概率.事情已经发生,要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小,是概率.先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率,如...
  • 先验和概率

    千次阅读 2017-06-28 11:04:41
    1.概率是一个条件概率概率可以根据通过贝叶斯公式,用先验概率和似然函数计算出来。 2.极大验假设 机器学习的任务:在给定训练数据D时,确定假设空间H中的最佳假设。 学习器在候选假设集合H中寻找...

空空如也

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后概率怎么算