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  • 目的 解决判断一个具有非零元素链的矩阵为H矩阵的条件。...结果 得到了当矩阵含有零元素链时,判断其为H矩阵的条件。结论 此结果对于控制系统的稳定性、特征值分布、线性方程组迭代解等方面都具有重要的理论意义。
  • 1、稀疏矩阵的储存方式对于稀疏矩阵,MATLAB仅储存矩阵所有非零元素的值及其位置(行号和列号)。2、稀疏矩阵的生成1)利用sparse函数从满矩阵转换得到稀疏矩阵函数名称表示意义sparse(A)由非零元素和下标建立稀疏...

    1、稀疏矩阵的储存方式

    对于稀疏矩阵,MATLAB仅储存矩阵所有非零元素的值及其位置(行号和列号)。

    2、稀疏矩阵的生成

    1)利用sparse函数从满矩阵转换得到稀疏矩阵

    函数名称表示意义
    sparse(A)由非零元素和下标建立稀疏矩阵A。如果A已是一个稀疏矩阵,则返回A本身。
    sparse(u,v,a)生成大小为max(u) x max(v)的稀疏矩阵。其中u和v是整数向量,a是实数或者复数向量
    sparse(u,v,a,m,n)生成m x n 的一个稀疏矩阵,(ui,vi)对应值ai,向量u,v和a的长度必须一样
    spconvert(D)生成一个稀疏矩阵D。D共有三列,第一列为行下表,第二列为列下表,第三列为元素值
    full(S)将稀疏矩阵S转换为满矩阵
    >> clear all
    >> x=[1 2 3]
    
    x =
    
         1     2     3
    
    >> y=[4 5 6]
    
    y =
    
         4     5     6
    
    >> sparse(x,y,7)
    
    ans =
    
       (1,4)        7
       (2,5)        7
       (3,6)        7
    
    >> S=sparse([1,2,3,4,5],[2,1,4,6,2],[10,3,-2,-5,1],10,12)
    
    S =
    
       (2,1)        3
       (1,2)       10
       (5,2)        1
       (3,4)       -2
       (4,6)       -5
    
    >> A=full(S)
    
    A =
    
         0    10     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
         3     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
         0     0     0    -2     0     0     0     0     0     0     0     0
         0     0     0     0     0    -5     0     0     0     0     0     0
         0     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
         0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
         0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
         0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
         0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
         0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0

    nnz(S):查看非零元素的个数

    nonzeros(S):非零元素的值

    nzmax(S):获取储存非零元素的空间长度

    spy(S):对稀疏矩阵的非零元素进行图形化显示

    2)利用一些特定函数创建包括单位稀疏矩阵在内的特殊稀疏矩阵

    特殊稀疏矩阵的创建函数
    函数d调用格式m描述
    speyeS=speye(m,n)创建单位稀疏矩阵
    sponesS=spones(X)创建非零元素为1的稀疏矩阵
    sprandS=sprand(X)创建非零元素为均匀分布的随机数稀疏矩阵
    sprandnS=sprandn(X)创建非零元素为高斯分布的随机数的稀疏矩阵
    sprandsymS=sprandsym(X)创建非零元素为高斯分布的随机数的对称稀疏矩阵
    spdiagsS=spdiags(X)创建对角稀疏矩阵
    spallocspalloc(X)

    为稀疏矩阵分配空间


    >> A=speye(5)
    
    A =
    
       (1,1)        1
       (2,2)        1
       (3,3)        1
       (4,4)        1
       (5,5)        1
    
    >> B=speye(5,6)
    
    B =
    
       (1,1)        1
       (2,2)        1
       (3,3)        1
       (4,4)        1
       (5,5)        1
    
    >> a=full(A)
    
    a =
    
         1     0     0     0     0
         0     1     0     0     0
         0     0     1     0     0
         0     0     0     1     0
         0     0     0     0     1
    
    >> b=full(B)
    
    b =
    
         1     0     0     0     0     0
         0     1     0     0     0     0
         0     0     1     0     0     0
         0     0     0     1     0     0
         0     0     0     0     1     0
    
    >> C=spones(a)
    
    C =
    
       (1,1)        1
       (2,2)        1
       (3,3)        1
       (4,4)        1
       (5,5)        1
    

    3、稀疏矩阵的运算

    满矩阵的四则运算对稀疏矩阵同样有效

    对单个稀疏矩阵的输入,大部分函数输出的结果都是稀疏矩阵

    对多个矩阵的输入,如果至少有一个矩阵式满矩阵,那么,大部分结果输出的是满矩阵

    对矩阵的加减乘除运算,只要有一个是满矩阵,输出结果是满矩阵

    稀疏矩阵的数乘是稀疏矩阵

    稀疏矩阵的幂是稀疏矩阵

    c创建非零元素为高斯分布的随机数的稀疏矩阵
    展开全文
  • 零矩阵就是所有元素都是0的矩阵,一般记做O。可以在后面加 m,n表示其规模。 在前一章,我们讲到,矩阵就是映射。零矩阵,就表示了将所有的点都映到原点的映射。 因此,对于任意向量 x,都有Ox = o。对于任意矩阵A...

    零矩阵

    零矩阵就是所有元素都是0的矩阵,一般记做O。可以在后面加 m,n 表示其规模。

    在前一章,我们讲到,矩阵就是映射。零矩阵,就表示了将所有的点都映到原点的映射。

    因此,对于任意向量 x,都有 Ox = o。对于任意矩阵 A,都有:

    • A + O = O + A = A

    • AO = OA = O

    • 0A = O

    单位矩阵

    在一个方阵中,如果从左上到右下的对角元素均为1,其余元素均为0,那么该矩阵被称为单位矩阵,常用 I 表示,用In来表示n阶单位矩阵。

    单位矩阵,是一个“什么都不做”的映射,对于任意向量 x,都有 Ix = x。对于任意矩阵 A,都有:AI = IA = A

    对角矩阵

    在方阵中,从左上向右下方向的对角线上的值称为对角元素,其他元素称为非对角元素。非对角元素全部为0的矩阵就是对角矩阵。对角矩阵也可以用 diag( a1,a2,a3...an ) 来表示,其中diag就代表diagonal,即对角线。

    对角矩阵表示的映射是“沿着坐标轴伸缩”,其中对角元素就是各轴伸缩的倍率,因此不难反过头理解单位矩阵“什么都不干”的映射。

    对角矩阵的乘法和乘方规则也非常简单:

    逆矩阵

    对于方阵A,它的逆映射对应的矩阵称为 逆矩阵,记为A^{-1}。直接一点说,是将出发点 转换至目标点 的映射,而 的逆矩阵,则是将目标点 转换至出发点 的映射。因此,A^{-1}A=AA^{-1}=I,因此,逆矩阵的定义也可以是,与 A 的乘积是单位矩阵 的矩阵就是 A 的逆矩阵。逆矩阵有以下这些有趣的性质:

    (A^{-1})^{-1}=A ; (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}; (A^{k})^{-1}=(A^{-1})^{k}

    其中,需要注意映射的前后顺序。

    在这里要注意,逆矩阵并不是一定存在的。比如,将向量扁平化为一点的映射所对应的逆矩阵就是不存在的。

    转置矩阵

    对于矩阵 A,将其行列互换得到的矩阵,就称为 A 的转置矩阵,记为A^{T},其中 T 代表Transpose。

    转置运算与乘方运算同级别,比如AB^{T}实际上是A(B^{T})的意思。转置的性质主要有:

    (A^{T})^{T}=A \\(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\\ (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}\\(A+B)^T=A^T+B^T\\(\lambda A)^T=\lambda A^T

    还有一点点关于共轭转置的内容,不想打了,就这么看吧:

    对称矩阵

    A为方阵,如果满足A^{T}=A也就是说,a_{ij}=a_{ji},则称A对称矩阵。对称矩阵的元素以主对角线为对称轴。

    类似的,如果方阵A满足A^{T}=-A,即 a_{ij}=-a_{ji},则称A反对称矩阵,显然,反对称矩阵的主对角元都是零。

    对称矩阵也有一些有趣的规则:

    • 对于n阶矩阵AA+A^{T}是对称矩阵,A-A^{T}是反对称矩阵;

    • 对于任意n阶矩阵A,都可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和

    • 对称矩阵的和是对称矩阵,对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。


    参考:

    《程序员的数学3》

    https://jingyan.baidu.com/article/da1091fb69f0b7027849d612.html

     

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  • 面试题 01.08. 零矩阵

    2021-01-21 11:05:30
    零矩阵 编写一种算法,若M × N矩阵中某个元素为0,则将其所在的行与列清零。 示例 1: 输入: [ [1,1,1], [1,0,1], [1,1,1] ] 输出: [ [1,0,1], [0,0,0], [1,0,1] ] 示例 2: 输入: [ [0,1,...

    面试题 01.08. 零矩阵

    编写一种算法,若M × N矩阵中某个元素为0,则将其所在的行与列清零。

     

    示例 1:

    输入:
    [
      [1,1,1],
      [1,0,1],
      [1,1,1]
    ]
    输出:
    [
      [1,0,1],
      [0,0,0],
      [1,0,1]
    ]


    示例 2:

    输入:
    [
      [0,1,2,0],
      [3,4,5,2],
      [1,3,1,5]
    ]
    输出:
    [
      [0,0,0,0],
      [0,4,5,0],
      [0,3,1,0]
    ]


    基本思路:用两个数组标记为零的行和列,空间复杂度O(m+n);

        void setZeroes(vector<vector<int>>& matrix) {
            vector<int> rows(matrix.size(),1);
            vector<int> cols(matrix[0].size(),1);
            for(int i=0;i<matrix.size();i++){
    
                for(int j=0;j<matrix[0].size();j++){
                    if(matrix[i][j]==0){
                        rows[i]=0;
                        cols[j]=0;
                    }
                }
            }
    
            for(int i=0;i<matrix.size();i++){
    
                for(int j=0;j<matrix[0].size();j++){
                    if(rows[i]*cols[j]==0){
                        matrix[i][j]=0;
                    }
                }
            }
    
    
        }

    基本思路:首先用两个标记首行和首列中是否含有零,再用首行和首列标记所在的行或者列中是否含有零  空间复杂度O(1)

        void setZeroes(vector<vector<int>>& matrix) {
            bool isFirstRows=false;
            bool isFirstCols=false;
            for(int i=0;i<matrix.size();i++){
                if(matrix[i][0]==0){
                    isFirstCols=true;
                    break;
                }
            }
    
            for(int j=0;j<matrix[0].size();j++){
                if(matrix[0][j]==0){
                    isFirstRows=true;
                    break;
                }
            }
            for(int i=0;i<matrix.size();i++){
                for(int j=0;j<matrix[0].size();j++){
                    if(matrix[i][j]==0){
                        matrix[i][0]=0;
                        matrix[0][j]=0;
                    }
                }
            }
    
            for(int i=1;i<matrix.size();i++){
    
                for(int j=1;j<matrix[0].size();j++){
                    if(matrix[0][j]==0||matrix[i][0]==0){
                        matrix[i][j]=0;
                    }
                }
            }
            if(isFirstCols){
                for(int i=0;i<matrix.size();i++)
                    matrix[i][0]=0;      
            }
            if(isFirstRows){
                for(int j=0;j<matrix[0].size();j++)
                    matrix[0][j]=0;      
            }
        }

     

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  • Numpy是python常用的一个类库,在python的使用中及其常见,广泛用在矩阵的计算中,numpy对矩阵的操作与纯python比起来速度有极大的差距。一、 构造矩阵矩阵的构造可以有多种方法:1.使用python中的方法构造矩阵- ...

    Numpy是python常用的一个类库,在python的使用中及其常见,广泛用在矩阵的计算中,numpy对矩阵的操作与纯python比起来速度有极大的差距。

    一、 构造矩阵

    矩阵的构造可以有多种方法:

    1.使用python中的方法构造矩阵

    - 生成一维矩阵

    # 使用python自带的range()方法生成一个矩阵

    a = list(range(100))#range()产生从0-99的一个列表

    print(a)

    2019101814522831.png

    - 生成二维及多维矩阵

    # 使用python自带的range()方法生成一个矩阵

    a = list([[1,2,3],

    [4,5,6],

    [7,8,9]])

    print(a)

    2.使用numpy中的方法来生成矩阵

    numpy类库中生成的矩阵的数据类型为numpy.ndarray,与python中的列表不同。

    (1)array()方法生成矩阵

    #numpy入门

    import numpy as np

    data = [6,7.5,8,0,1]

    data1 = [[1,2,3],[4,5,6]]

    arr = np.array(data)

    arr1 = np.array(data1)

    print(arr)

    print(arr1)

    2019101814522832.png

    array()方法可以将一个列表转换为对应维度相同的numpy矩阵。

    (2)生成随机矩阵方法rand()和randn()

    import numpy as np

    #生成一个随机数矩阵

    data = np.random.randn(2,3)#是从标准正态分布中返回一个或多个样本值

    data1 = np.random.rand(2,3)#随机样本位于[0, 1)中

    print(data)

    print(data1)

    2019101814522833.png

    (3)矩阵的加法与乘法,numpy矩阵中矩阵与数字相加或相乘,则数组中每一个元素都执行相加或相乘。

    import numpy as np

    data = np.random.randn(10)#是从标准正态分布中返回一个或多个样本值

    print(data)

    print("data * 10 :\n",data*10)#每一个元素乘以十

    print("data+data:\n",data+data)#实现数组中每一个位置自加操作

    2019101814522834.png

    (4)零矩阵

    可以用numpy的zeros()方法生成元素值全为0的矩阵。

    import numpy as np

    data = np.zeros(10)#生成一个一维的全零矩阵,矩阵的元素为十个

    print("data:",data)

    data1 = np.zeros((3,4))#生成一个三行四列的全零矩阵

    print("data1:",data1)

    data2 = np.zeros((3,4,3))

    print("data2:",data2)#生成一个三维的全零矩阵

    2019101814522835.png

    (5)一矩阵

    同零矩阵一样,numpy中的ones()方法可以生产元素值全为一的矩阵

    import numpy as np

    data = np.ones(10)#生成一个一维的全零矩阵,矩阵的元素为十个

    print("data:",data)

    data1 = np.ones((3,4))#生成一个三行四列的全零矩阵

    print("data1:",data1)

    data2 = np.ones((3,4,3))

    print("data2:",data2)

    2019101814522836.png

    (6)empty()方法

    python中也可以使用numpy.empty()方法来生产一些看似是0的数,语法和ones()方法一样

    #numpy入门

    import numpy as np

    data = np.empty(10)#生成一个一维的全零矩阵,矩阵的元素为十个

    print("data:",data)

    data1 = np.empty((3,4))#生成一个三行四列的全零矩阵

    print("data1:",data1)

    data2 = np.empty((3,4,3))

    print("data2:",data2)

    2019101814522837.png

    就算是在编译器中显示的值为0,但其实际的值并不是0,只是一个很靠近0的数。

    #numpy入门

    import numpy as np

    data1 = np.empty((3,4))#生成一个三行四列的全零矩阵

    print("data1:\n",data1)

    print("1/data1:\n",1/data1)

    2019101814522938.png

    inf表示无穷大的意思,如若data1中数据的值为0的话,在运行的过程中解释器会出错。

    #注意:认为np.empty会返回全0数组的想法是不安全的。很多情况下(如前所示),它返回的都是一些未初始化的垃圾值。

    (7)arange()方法

    类似于range()方法

    import numpy as np

    a = np.arange(10)

    b = np.arange(2,20)

    c = np.arange(0,50,5)

    print("a:",a)

    print("b:",b)

    print("c:",c)

    当只有一个参数n时表示产生一个从[0–n)的不包含n的一个矩阵

    当有两个参数m,n时表示产生一个从[m,n)的不包含n的一个矩阵

    当含有三个参数m,n,l时,表示从m开始,每次已l为步长,产生一个矩阵,最大值不超过n

    2019101814522939.png

    (8)reshape()方法,重新生成矩阵的维度大小

    import numpy as np

    a = np.arange(10)

    print(a)

    a=a.reshape(2,5)

    print(b)

    2019101814522940.png

    上例中,将一个一维的十元素矩阵转换成一个两行五列的矩阵。

    注意:使用reshape()方法从一维转多维时,一维矩阵的元素个数必须与多维矩阵的相同,也即是上例中的10=2*5,如若不相等的话解释器或出现错误。

    (9)一些与矩阵的大小有关的值

    import numpy as np

    array = np.array([[1,2,3],

    [4,5,6],

    [7,8,9]])

    print(array)

    print(array.ndim)#维度

    print(array.shape)#各维度的值

    print(array.size)#元素个数

    print(array.dtype)#元素的数据类型

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  • 如何理解“矩阵是MATLAB最基本的数据对象”?答:因为向量可以看成是仅有一行或一列的矩阵,单个数据(标量)可以看成是仅含一个元素的矩阵,故向量和单个数据都可以作为矩阵的特例来处理。因此,矩阵是MATLAB最基本、...
  • Leetcode 矩阵

    2021-02-14 17:33:37
    矩阵 题目描述: 给定一个 m x n 的矩阵,如果一个元素为 0,则将其所在行和列的所有元素都设为 0。请使用原地算法。 进阶: 一个直接的解决方案是使用 O(mn) 的额外空间,但这并不是一个好的解决方案。 一个...
  • matlab有关对数组/矩阵的一些操作,包括,创建、翻转、判断两个矩阵是否相等...
  • 零矩阵–Java实现 题目链接 https://leetcode-cn.com/problems/zero-matrix-lcci/ 题目描述 编写一种算法,若M × N矩阵中某个元素为0,则将其所在的行与列清零。 示例 1: 输入: [ [1,1,1], [1,0,1], [1,1,1] ] ...
  • 矩阵

    2017-10-12 22:45:35
    矩阵的概念 矩阵的概念 几种特殊的矩阵 矩阵的运算 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 矩阵的转置 共轭矩阵 方阵的行列式 排列与逆序 nn阶方阵的行列式的定义 方阵的行列式的性质 行列式按行列展开 拉普拉斯定理 方阵的...
  • 给定一个矩阵,然后找到所有含有 0 的地方,把该位置所在行所在列的元素全部变成 0。 解法一 暴力解法,用一个等大的空间把给定的矩阵存起来,然后遍历这个矩阵,遇到 0 就把原矩阵的当前行,当前列全部变作 0,然后...
  • 本篇博客承接上篇矩阵论(零):线性代数基础知识整理(上),主要整理秩相关的结论。...零矩阵的判定定理 线性方程组的解与向量组的秩 线性方程组的解(初步讨论) 对任意线性方程组Ax=bAx=bAx=b,其中A...
  • 原博文2014-11-09 23:16 −例如定义一个矩阵: 1 >>> a=mat([[1,2,3],[2,3,4]]) 2 >>> a 3 matrix([[1, 2, 3], 4 [2, 3, 4]]) 5 >>> sum(a) 6 15 7 >>...07505相关推荐2018-07-19 14:40 −点乘和矩阵乘的区别: 1)...
  • 对于那些零元素数据远远多于非零元素数目,并且非零元素的分布没有规律的矩阵称之为稀疏矩阵。 1. 对称矩阵的概念 元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。 2. 对称矩阵的特性 对角矩阵都是对称矩阵,对称矩阵...
  • 本篇博客是线性代数的基础理论知识下篇,限于篇幅,不会把所有定义都罗列...本篇博客的上篇是矩阵论():线性代数基础知识整理(上)。 为更具一般性,讨论复矩阵和复向量,向量如无特别说明均为列向量 本篇博客...
  • 矩阵判断是否有0元素

    千次阅读 2012-09-13 19:34:08
    如果sum(abs(A))==0,则A为全零向量。 如果any(A)=0,则A为全零向量。 ...any 用来判断向量中是否存在非零元素。 any([1,0,0,0])=1 all 用来判断所有元素全非。 all([1,0,0,0])=0
  • MATLAB稀疏矩阵

    2019-01-03 12:02:30
    稀疏矩阵稀疏矩阵是一种特殊类型的矩阵,即矩阵中包括较多的零元素。对于稀疏矩阵的这种特性,在MATLAB中可以只保存矩阵中非零元素及非零元素在矩阵中的位置。在用稀疏矩阵进行计算时,通过消去零元素可以减少计算的...
  • 矩阵论】矩阵的相似标准型(1)

    千次阅读 2020-10-26 11:10:27
    线性变换的特征量↔矩阵的特征量;运用化多项式求解特征量。
  • Matlab矩阵操作

    千次阅读 2021-03-25 20:26:57
    矩阵是进行数据处理和运算的基本元素。在MATLAB中 a、通常意义上的数量(标量)可看成是”1*1″的矩阵; b、n维矢量可看成是”n*1″的矩阵; c、多项式可由它的系数矩阵完全确定。 一、矩阵的创建 在MATLAB中创建...
  • 干货|机器学习-稀疏矩阵的处理

    万次阅读 2019-01-20 18:08:06
      2019-01-16 18:43:19   什么是稀疏矩阵?...当这个矩阵的绝大部分数值为,且非零元素呈不规律分布时,则称该矩阵为稀疏矩阵(Sparse Matrix)。下图所示的是一个8 x 8的稀疏矩阵。 ...
  • 空间、行空间都属于子空间,所以需要理解子空间,而要理解子空间,自然需要知道“空间”的意思。 “空间”,这里特指向量空间,是对于线性运算封闭的向量集合,即对于空间中的任意向量和,对于任何实数和,线性...
  • 矩阵的压缩存储所谓存储,是指对多个值相同的元素只分配一个空间...特殊矩阵是指值相同的元素的分布具有一定规律的矩阵,通过这个关系可以对矩阵的元素进行随机存取。稀疏矩阵中非零元素分布无规律,可以用三元组存储。
  • 矩阵的操作

    2016-12-22 17:09:02
    数组和串 矩阵 稀疏矩阵 对角线矩阵 ...稀疏矩阵稀疏矩阵是0元素较多且出现的位置无固定规律的矩阵.存储稀疏矩阵时只存储非0元素,这样可以有效的利用存储空间.因为非0元素位置不固定,可以用(行号,列号,元
  • 稀疏矩阵

    千次阅读 2017-03-31 10:46:27
    稀疏矩阵  编辑 本词条缺少名片图,补充相关内容使词条更完整,还能快速升级,赶紧来编辑吧...定义非零元素的总数比上矩阵所有元素的总数为矩阵的稠密度。 中文名 稀疏矩阵 外文名 sparse matrix
  •  然而当矩阵含有大量0元素时,也称为稀疏矩阵,这样的表示方法会浪费大量的存储空间,为了节省存储单元,最好只存非零元素。常用的存储稀疏矩阵的方法有顺序存储和链式存储两种,这里只介绍顺序存储。  稀疏...
  • 矩阵运算

    2021-03-07 20:58:39
    矩阵运算1.1 矩阵分析1.1.0 向量和矩阵的范数运算1.1.1 矩阵的秩1.1.2 矩阵的行列式1.1.3 矩阵的迹1.1.4 矩阵的化零矩阵1.1.5 矩阵的正交空间1.1.6 矩阵的约化行阶梯形式1.1.7 矩阵空间之间的夹角1.2 矩阵分解 ...
  • 函数功能:生成稀疏矩阵  使用方法 : S = sparse(A)  将矩阵A转化为稀疏矩阵形式,即矩阵A中任何0元素被去除,非...由向量i,j,s生成一个m*n的含有nzmax个非零元素的稀疏矩阵S,并且有 S(i(k),j(k)) = s(k)。
  • 矩阵论】矩阵的相似标准型(2)

    千次阅读 2020-10-28 11:03:31
    从Hamilton-Cayley定理引出最小多项式、化多项式以及特征多项式之间的关系及性质。
  • 线性代数——矩阵1

    2020-03-09 22:40:56
    矩阵(Matrix) 不要把矩阵放在分母上 矩阵的概念 有m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称m×n。记作 这m×n个数称为矩阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵A的第i行第...复矩阵是元素含有复数的矩...

空空如也

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含有零元素的矩阵是零矩阵