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  • 本文引入闭区间上实值函数关于向量值函数的Henstock-Stieltjes积分,研究了Henstock- Stieltjes积分的性质,给出了Henstock-Stieltjes积分可积的充要条件,并得到了Henstock- Stieltjes积分的收敛定理,最后证明了...
  • 2. 向量值函数(二维向量值函数、三维向量值函数) 3. 向量值函数的极限及连续性 4. 向量值函数的可导性(向量值函数的导数、切向量、切线、法平面、光滑曲线) 5. 向量值函数...

     

    1. 问题引入

     

    2. 向量值函数(二维向量值函数、三维向量值函数)

     

    3. 向量值函数的极限及连续性

     

    4. 向量值函数的可导性(向量值函数的导数、切向量、切线、法平面、光滑曲线)

     

     

    5. 向量值函数的物理意义(运动速度、速率、加速度)

     

    6. 向量值函数的求导法则

     

    7. 向量值函数的不定积分

     

    8. 向量值函数的定积分

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  • 高等数学学习笔记——第六十讲——向量值函数的导数与积分.pdf
  • 用于向量值函数(即许多函数的积分)的 quadgk 的改编。 输入函数应该返回一个大小为 (NF, NX) 的矩阵,其中 NF 是要计算的积分数,NX 是每个函数的点数。 该例程在单个函数上与 quadgk 一样有效,在计算同一跨度...
  • 函数使用全局自适应正交方法计算标量/向量 x 的菲涅耳积分。 x 是菲涅耳积分的上界tor 是绝对容差默认tor = 1e-6 迪斯A--Apr,9th,2013 adis@mit.edu
  • Banach空间值白噪声广义泛函是一类重要的向量值白噪声广义泛函,讨论Banach空间值白噪声广义泛函值函数Bochnerwick可积的充分必要条件,建立此类积分的Fubini定理。
  • 通过引进奇异积分算子和矩阵函数分解的概念,研究了实轴上一类向量Riemann边问题与奇异积分算子、矩阵函数分解之间的关系.在实轴上向量问题的系数矩阵满足某种分解条件下,给出了其可解的充要条件和解的封闭...
  • 引入对应于多元向量值正交尺度函数的多元向量值小波包的定义,运用代数学理论和积分变换进一步研究多元向量值小波包的性质,得到多元向量值小波包的一个新的正交公式。
  • 引进了向量值多分辨分析与多元向量值正交小波的概念。给出多元向量值正交小波包的定义...运用代数学理论、算子理论与积分变换讨论了多元向量值正交小波包的性质。进而构造向量值函数空间L2(Rd,Ct)的一组新的正交基。
  • 然后通过调用函数 q(x),其中 x 是积分极限,你可以得到 q 函数。 示例 1 >> q(.1) 回答= 0.4602 示例 2 >> q(5.3) 回答= 5.7901e-008 示例 3 >> vec=[1 -2 0.001 5.3 -1.04]; >> qfunc(vec) 回答= 0....
  • 高等数学多元函数积分学思维导图
  • 向量积分基础

    千次阅读 2019-05-29 14:08:08
    向量积分其实并不难,但大学数学一般不提,导致在看机器学习的一些推导时常常感觉疑惑。 机器学习里经常用到标量和向量向量向量的求导,其实只是把向量对应位置的元素进行求导。但是,这些元素的组织方式有两...

    本文首发在我的个人博客:https://jlice.top/p/7kemt/。欢迎大家前去参观,么么哒~

    机器学习里经常需要用到向量微积分。向量微积分其实并不难,但大学数学一般不提,导致在看机器学习的一些推导时常常感觉疑惑。

    机器学习里经常用到标量和向量、向量和向量的求导,其实只是把向量对应位置的元素进行求导。但是,这些元素的组织方式有两种,分别是分子布局和分母布局,二者并无本质上的差别,只是结果相差个转置。这两种布局都存在,初学者常常混淆。

    例如求\(\frac {\partial \mathbf{y}} {\partial x}\),其中\(\mathbf{y}\)是\(n\)维列向量,\(x\)是标量。这个求导就是把\(\mathbf{y}\)里每个元素分别对\(x\)求导,但求导后是得到列向量还是行向量呢?

    对于分子布局:

    \[ \frac {\partial \mathbf{y}} {\partial x} = \begin{bmatrix} \frac {\partial y_1} {\partial x} \\ \frac {\partial y_2} {\partial x} \\ \vdots \\ \frac {\partial y_n} {\partial x} \\ \end{bmatrix} \]

    对于分母布局:

    \[ \frac {\partial \mathbf{y}} {\partial x} = \begin{bmatrix} \frac {\partial y_1} {\partial x} & \frac {\partial y_2} {\partial x} & \dots & \frac {\partial y_n} {\partial x} \\ \end{bmatrix} \]

    两种布局容易混淆,建议选择自己习惯的布局即可。这里我们选择分子布局进行后面的说明。

    符号约定:小写粗体:值为向量;大写粗体:值为矩阵;小写斜体:值为标量。以a、b、c、d表示和x无关的函数,u=u(x),v=v(x),f、g、h是函数。

    \[ \frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_1} & \frac{\partial y}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial y}{\partial x_n} \\ \end{bmatrix} \]

    \[ \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial y_2}{\partial x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \frac{\partial y_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{bmatrix} \]

    这个矩阵又叫雅可比(Jacobi)矩阵

    \[ \frac{\partial y}{\partial \mathbf{X}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_{11}} & \frac{\partial y}{\partial x_{21}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{p1}}\\ \frac{\partial y}{\partial x_{12}} & \frac{\partial y}{\partial x_{22}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{p2}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y}{\partial x_{1q}} & \frac{\partial y}{\partial x_{2q}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{pq}}\\ \end{bmatrix} \]

    虽然看着挺复杂,但不难看出:分子布局的特点是,分子的编号排列和分子相同,分母的编号排列和分母的转置相同。

    一些求导公式比较常用,在此列举一下:

    \[ \frac {\partial {\mathbf{Ax}}} {\partial \mathbf{x}} = \mathbf{A} \]

    \[ \frac {\partial \mathbf{x}^\top \mathbf{X}} {\partial \mathbf{x}} = \mathbf{A}^\top \]

    \[ \frac {\partial \mathbf{x}^\top \mathbf{x}} {\partial \mathbf{x}} = 2 \mathbf{x}^\top \]

    \[ \frac {\partial \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x}} {\partial \mathbf{x}} = \mathbf{x}^\top(\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top) \]

    若\(\mathbf{A}\)为对称阵,则对于上式:

    \[ \begin{split} \frac {\partial \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x}} {\partial \mathbf{x}} &= \mathbf{x}^\top(\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top) \\ &= 2 \mathbf{x}^\top\mathbf{A} \end{split} \]

    和、积的导数:

    \[ \frac {\partial (\mathbf{u} + \mathbf{v})} {\partial \mathbf{x}} = \frac {\partial \mathbf{u}} {\partial \mathbf{x}} + \frac {\partial \mathbf{v}} {\partial \mathbf{x}} \]

    \[ {\frac {\partial ({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})}{\partial {\mathbf {x}}}}={\frac {\partial {\mathbf {u}}^{\top }{\mathbf {v}}}{\partial {\mathbf {x}}}}= {\mathbf {u}}^{\top }{\frac {\partial {\mathbf {v}}}{\partial {\mathbf {x}}}}+{\mathbf {v}}^{\top }{\frac {\partial {\mathbf {u}}}{\partial {\mathbf {x}}}} \]

    链式求导:

    \[ \frac{\partial \mathbf{f(u)}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{f(u)}}{\partial \mathbf{u}} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{x}} \]

    更多详细内容可以参考:Matrix calculus - Wikipedia

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  • matlab 向量化编程cellfun函数使用方法

    千次阅读 2019-08-18 16:59:02
    本文介绍matlab中cellfun函数的使用,以便实现向量化编程

    cellfun 常用于向量化编程,比for循环要快


    对元胞数组中的每个元胞应用函数

    语法


    A = cellfun(func,C)
    A = cellfun(func,C1,…,Cn)
    A = cellfun(___,Name,Value)
    [A1,…,Am] = cellfun(___)

    说明


    A = cellfun(func,C) 将函数 func 应用于元胞数组 C 的每个元胞的内容,每次应用于一个元胞。然后 cellfun 将 func 的输出串联成输出数组 A,因此,对于 C 的第 i 个元素来说,A(i) = func(C{i})。输入参数 func 是一个函数的函数句柄,此函数接受一个输入参数并返回一个标量。func 的输出可以是任何数据类型,只要该类型的对象可以串联即可。数组 A 和元胞数组 C 具有相同的大小。
    您不能指定 cellfun 计算 A 的各元素的顺序,也不能指望它们按任何特定的顺序完成计算。


    A = cellfun(func,C1,…,Cn) 将 func 应用于 C1,…,Cn 的各元胞的内容,因此 A(i) = func(C1{i},…,Cn{i})。函数 func 必须接受 n 个输入参数并返回一个标量。元胞数组 C1,…,Cn 的大小必须全部相同。


    A = cellfun(___,Name,Value) 应用 func 并使用一个或多个 Name,Value 对组参数指定其他选项。例如,要以元胞数组形式返回输出值,请指定 ‘UniformOutput’,false。当 func 返回的值不能串联成数组时,可以按元胞数组的形式返回 A。您可以将 Name,Value 对组参数与上述任何语法中的输入参数结合使用。


    当 func 返回 m 个输出值时,[A1,…,Am] = cellfun(___) 返回多个输出数组 A1,…,Am。func 可以返回不同数据类型的输出参数,但每次调用 func 时返回的每个输出的数据类型必须相同。您可以将此语法与前面语法中的任何输入参数结合使用。
    从 func 返回的输出参数的数量不必与 C1,…,Cn 指定的输入参数的数量相同。


    示例1 单个元胞输入

    C = {1:10, [2; 4; 6], []};
    A = cellfun(@mean,C)  % 对元胞中每一个元素求均值
    
    A = 1×3
    
        5.5000    4.0000       NaN
    

    示例2 多个元胞输入

    X = {5:5:100, 10:10:100, 20:20:100};
    Y = {rand(1,20), rand(1,10), rand(1,5)}
    figure
    hold on
    p = cellfun(@plot,X,Y);
    p(1).Marker = 'o';
    p(2).Marker = '+';
    p(3).Marker = 's';
    hold off
    

    在这里插入图片描述
    示例3 多个数组输出

    C = {1:10, [2; 4; 6], []}
    [nrows,ncols] = cellfun(@size,C)
    
    C = 1x3 cell array
        {1x10 double}    {3x1 double}    {0x0 double}
        
    nrows = 1×3
    
         1     3     0
    
    ncols = 1×3
    
        10     1     0
    

    示例4 UniformOutput参数
    A = cellfun(@mean,C,‘UniformOutput’,false) 以元胞数组的形式返回 mean 的输出。

    >> C = {1:10, [2; 4; 6], []};
    >> A = cellfun(@mean,C,'UniformOutput',false) 
    
    A =
    
      1×3 cell 数组
    
        {[5.5000]}    {[4]}    {[NaN]}
    
    >>A = cellfun(@mean,C,'UniformOutput',true) 
    
    A =
    
        5.5000    4.0000       NaN
    

    更多向量化编程函数参见 arrayfun structfun bsxfun

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向量值函数积分