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  • 求两个三维向量夹角(带正负

    千次阅读 2020-08-04 16:08:37
    1、数学上,两个三维向量是没有正负的。但是从公垂线的角度来看,可以有方向性。参考如下: 三维空间中两个向量会有一条公垂线(向量叉乘可以求得),以公垂线为轴,将第二个向量旋转一个角度,使其与第一个向量平行.这个...

    1、数学上,两个三维向量是没有正负的。但是从公垂线的角度来看,可以有方向性。参考如下:

    三维空间中两个向量会有一条公垂线(向量叉乘可以求得),以公垂线为轴,将第二个向量旋转一个角度,使其与第一个向量平行.这个角度即为两向量的夹角.因为向量叉乘所得到的公垂线是一个有方向的向量,假如你用右手握住公垂线,大姆指的方向指向公垂线方向.假如你只能以食指所指的方向旋转第二个向量,那么旋转的角度就应该在0到2*PI之间.所以说值域为(-pi,pi)也是有道理的.

    作者:叶飞影
    链接:https://www.zhihu.com/question/23817206/answer/42955951
    来源:知乎

    2、先看二维(XY)平面中,两个向量的叉积是 X1Y2-Y1X2 。几何上代表了垂直于XY平面的一个向量,向量的Z值是我们刚刚计算得到的值。
    这种情况下,得到的值的正负可以对应到向量夹角的正负。

    3、三维向量的情况

    首先要确定一个平面,即两个三维向量形成的平面。得到这个平面的方程 AX+BY+CZ+D =0。
    接着将这两个向量叉乘,得到垂直于这个平面的法向量(X0,Y0,Z0)。
    将法向量带入平面方程,得到大于0 ,小于0 两种情况,分别对应正负值。

    模型思想:由于叉乘自带方向性,根据右手定则,求得的法向量的方向就是“大拇指”指向的方向,利用这个方向性就可以分类正负角度的情况。

    注:这样得到的正负其实还是没有普适性,因为正负需要我们先定义好,才能适用于其他的情况中。

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  • 向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题,都可以用向量法来解,而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比,向量法的计算量稍微大一些,但它的优点是不需要费脑筋做...

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      向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题,都可以用向量法来解,而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比,向量法的计算量稍微大一些,但它的优点是不需要费脑筋做辅助线,而只需要简单粗暴地按套路进行计算,所以尤其适用于复杂的问题。

      向量法的完整套路中,包含一种名为「叉积」的运算,它在部分地区是超出教学大纲的。但是没有「叉积」的向量法在很多情况下发挥不出它的魔力。本文就来把「叉积」这个缺口补上,让大家领略一下向量法的简单、粗暴、有效。当然啦,我知道你们会有「考试时不让用叉积」的抱怨。没关系,我会教你怎样把叉积「伪装」成不超纲的内容。

      本文的第一部分将介绍向量间的点积、叉积两种运算,包括它们的定义、计算公式、运算律,以及向量法中直线和平面的方向的表示方法。高中立体几何题的大部分问题都是求角或求距离,本文的第二、三部分就来介绍各种角和距离用向量法怎么求。证明题一般是要证明线、面之间的平行或垂直,或者两个角的大小、两条线段的长度相等,都可以化归成求角或求距离。在第四部分,我会讲一下叉积在求面积、求体积这两种相对罕见的题型中的用法。最后展示一道例题。

    一、基础知识

     1.1 向量的点积运算

      向量的点积是大纲之内的内容。设两个向量为

    ,它们的夹角为
    的点积记作
    ,读作「a 点乘 b」,或干脆读作「a 点 b」(「点」字常常儿化)。
    是一个数,它等于
    各自的模之积再乘以夹角的余弦:
    。当
    垂直时,

      点积运算适用于任何维度的向量,不过本文只讨论三维情况。在空间直角坐标系中,设

    的坐标为
    ,则
    可用这些坐标表达为

      向量的点积具有交换律和分配律:

      • 交换律:
      • 分配律:

    但没有结合律,因为两个向量的点积是一个数,不能再与第三个向量进行点积运算。

     1.2 向量的叉积运算

      向量的叉积是本文要介绍的重点。叉积仅对三维向量有定义。设两个三维向量为

    ,它们的夹角为
    的叉积记作
    ,读作「a 叉乘 b」,或干脆读作「a 叉 b」(「叉」字也可以儿化)。
    是一个
    向量,它具有以下性质:
      1. 它的模等于
        各自的模之积再乘以夹角的正弦,即
      2. 它的方向与
        都垂直,且满足
        右手定则,如下图所示。

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      右手定则有两种理解方式,如下图。一种是:伸出拇指和食指,让它们分别朝向

    的方向,然后伸出中指让它与手掌垂直,则中指的方向就是
    的方向。另一种是:让四指从
    的方向弯向
    的方向,并伸出拇指,则拇指的方向就是
    的方向。

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    平行时,
    (注意结果是
    零向量)。
      在空间直角坐标系中,设
    的坐标为
    ,则
    可用这些坐标表达为
    。这个公式可以用交叉相乘法来记忆:

    5eb1a7ffa13cdd360db86e4d91397ae2.png

    注意,左、右两个交叉相乘是「捺减撇」,中间的交叉相乘是「撇减捺」。

      向量的叉积具有反交换律和分配律:

      • 反交换律:
      • 分配律:

    两个向量的叉积是一个向量,可以继续与第三个向量进行叉积运算,但不幸的是,叉积运算也不满足结合律,即没有

     1.3 直线与平面方向的表示

      在能建立空间直角坐标系的题目中,提到一条直线,一定会已知直线上两点

    的坐标。两个坐标的差就是直线的方向向量
    ,它可以表示直线的方向,在求角和求距离时都很有用。

      而平面的方向,则是用与平面垂直的向量来表示的,这个向量称为「法向量」。提到一个平面,一定会已知平面上不共线的三点

    的坐标,由此可以得到两个向量
    。这两个向量的叉积就是平面的法向量。根据需要,可以选择
    作为平面的法向量,这两个法向量大小相同,方向相反。

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      在立体几何题中,叉积的主要用途就是求平面的法向量。如果考试时不允许在步骤中使用叉积运算,可以用如下方法绕过去:既然法向量就是与平面中两个已知向量都垂直的向量,那么可以设出法向量

    的坐标
    ,并利用
    都垂直来列出两个方程。设
    的坐标分别为
    ,则两个垂直可以用点积表示为:

    在试卷上列出这个方程组后,不必真正去解它,而是在草稿纸上根据

    ,利用交叉相乘法算出法向量坐标,直接把结果写到试卷上。但这种「伪装」具有一定的局限性——方程组只能解出法向量的方向,不能解出它的模,所以遇到需要使用叉积的模的场合,就绕不过去了。

    二、用向量法求各种角

      高中立体几何涉及的角度有:线线角、线面角、面面角。

     2.1 求两条直线的夹角

      设两条直线的方向向量分别为

    ,它们的夹角为
    。两条直线的夹角,就是
    中较小的那个,它的余弦一定是非负的。由点积定义
    可得两个方向向量的夹角为
    ,于是两条直线的夹角就是

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      有同学要问了:上面的方法利用的是点积,那么利用叉积求得两条直线的夹角为

    行不行呢?答案是:行,但是
    叉积的计算量比点积大,所以优先选择点积。

      注意向量法并不要求两条直线共面,它同样适用于异面直线!这就避免了传统方法中作平行线的麻烦。

     2.2 求直线与平面的夹角

      设直线的方向向量为

    ,平面的法向量为
    ,两个向量的夹角为
    。容易看出,待求的线面角
    中较小者的余角,
    。由点积定义,
    ,于是有
    。与 2.1 节相同,我们优先选择计算量小的点积运算,而不是叉积。

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      请再次领略向量法的简单粗暴有效:传统方法中,要求线面角,必须找到直线与平面的交点,并作出直线在平面内的投影。而在向量法中,只要知道直线上的任意两点和平面中任意三点(不共线)的坐标,就可以代入公式计算出直线的方向向量和平面的法向量,再代入公式计算夹角,完全不必考虑五个已知点的位置关系。

     2.3 求两个平面的夹角

      设两个平面的法向量分别为

    ,它们的夹角为
    。两个平面的夹角,就是
    中较小的那个。用与 2.1 节相同的方法,可以得到两个平面的夹角为

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      在几何题中,提到「二面角」,往往指的不是两个「平面」的夹角,而是两个「半平面」的夹角——也就是说,求的是

    中特定的某一个。怎么知道是哪一个呢?还记得在求法向量的时候,可以人为选择箭头指向哪一头吗?只要让两个法向量
    一个指向角外,一个指向角内(如上图),那么两个半平面构成的二面角
    ,就一定是两个法向量的夹角
    (注意分子上没有绝对值),而不是它的补角了。反之,如果两个法向量都指向角内或都指向角外,那么二面角
    就是法向量夹角
    的补角

      用向量法求二面角,同样不需要找到两个面的交线和它在两个面内的垂线,而只需要知道两个面内六个点的坐标。在很多情况下,交线上会有两个已知点,那么就只需要在两个面中各再找一个点。

    三、用向量法求各种距离

      点、线、面三种图形两两组合,可以得到六种距离:两点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距。其中线面距、面面距只在线面或面面平行时才有定义,此时可以在直线或其中一个平面中任取一点,转化为点面距。因此这一部分将介绍前四种距离的求法。

     3.1 求两点间的距离

      设两点的坐标分别为

    ,则它们的距离为

     3.2 求点到直线的距离

      如图,设直线上任意一点到已知点的向量为

    ,直线的方向向量为
    ,两个向量的夹角为
    。可以看出,点到直线的距离为
    。由叉积的定义,有
    ,所以点到直线的距离就是

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      这里为什么使用了计算量大的叉积,而不是点积呢?这是为了利用叉积定义中现成的

     3.3 求点到平面的距离

      如图,设平面上任意一点到已知点的向量为

    ,平面的法向量为
    ,两个向量的夹角为
    。可以看出,点到直线的距离为
    (余弦取绝对值是因为
    可能是钝角)。由点积的定义,有
    ,所以点到平面的距离就是

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      点到平面的距离,其实是向量

    在法向量
    上的投影长度,
    也正是投影长度公式。

     3.4 求两条直线的距离

      三维空间中直线有三种位置关系:相交、平行、异面。后两种情况都可以求距离,但方法不一样。若两条直线平行,则可在其中一条直线上任取一点,转化成求该点到另一条直线的距离。若两条直线异面,则可以按如下步骤求出它们的距离。设第一条直线上有两个已知点

    ,第二条直线上有两个已知点
    。首先,找一个向量与两条直线都垂直,这个向量可以是两条直线的方向向量的叉积
    。然后,任作一条连结两条直线的线段(比如
    ),将它投影到
    上,投影长度
    就是异面直线的距离。

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      我们看到,两条直线的位置关系不同时,它们的距离求法不一样。但向量法最有用的时候,正是图形的位置关系不清楚的时候。有没有简便的方法判断直线的位置关系呢?有!先不管三七二十一地计算「法向量」

    ,如果算出来发现是零向量,那么说明两条直线平行,转化成点线距。如果算出来法向量非零,那么就继续计算投影长度,如果投影长度为 0,说明两条直线相交,否则两条直线异面,投影长度是它们之间的距离。

    四、用向量法求三角形面积和四面体体积

      这两种题型在高中立体几何中出现的频率不高,但它们与高等数学中「行列式」的概念联系紧密,有兴趣的同学可以涉猎一下。

     4.1 求三角形的面积

      设三角形三个顶点

    的坐标均已知,则三角形的面积为
    。而由叉积的定义,
    ,所以

      这个公式同样适用于平面几何,此时

    坐标均为 0。设
    ,则
    。这个向量的
    坐标的绝对值的一半就是三角形
    的面积,而
    坐标的绝对值是以
    为邻边的平行四边形的面积。
    坐标的正负号,表示在平面中从
    是逆时针还是顺时针旋转,因此
    坐标也称为平行四边形的
    有向面积

      把

    的二维坐标排成两行两列
    ,这个东西称为「行列式」,它的值是一个数。二阶行列式的计算公式是「交叉相减」:
    。二阶行列式对应着平面中两个向量的叉积,其几何意义就是「平行四边形的有向面积」。

     4.2 求四面体的体积

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      设四面体四个顶点

    的坐标均已知。由 4.1 节,底面三角形
    的面积为
    ;而四面体的高是顶点
    到底面的距离,由 3.3 节,这个距离为
    。四面体的体积为

      上述结果去掉

    后剩下的部分
    ,是以
    为三边的平行六面体的体积。再去掉绝对值,剩下的部分称为向量
    混合积,它表示了平行六面体的 有向体积——若从角
    内部观察,向量
    呈逆时针排列,则体积为正,反之为负。

      设

    。容易验证,
    。这正是三阶行列式
    的计算公式。三阶行列式对应着三维空间中三个向量的混合积,其几何意义是「平行六面体的有向体积」。

      行列式的概念还可以推广到更高维的空间。从同一个点出发的

    维向量的坐标排成的
    阶行列式,代表了以这些向量为边的
    维「超平行体」的「有向超体积」。

    五、一道例题

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      图中是一座金字塔。它是一个正四棱锥,底面

    是一个边长 10 米的正方形,各个侧面都是正三角形。在底边
    的中点
    处竖立着一根高
    米的火把
      1. 求金字塔相邻侧面所成的二面角
      2. 求金字塔的棱
        所在直线与底边
        所在直线的距离。
      3. 求火苗
        到棱
        所在直线的距离。

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    解:如上图建立空间直角坐标系,原点

    为底面中心。容易求得下列各点坐标:
    (单位均为米,下略)。金字塔的高未知,设顶点的坐标为
    。由于侧面都是等边三角形,
    ,解得

    求二面角

    侧面
    的一个法向量为
    ,不妨缩短成
    ,它指向二面角
    外部。侧面
    的一个法向量为
    ,不妨缩短成
    ,它指向二面角
    内部。二面角的大小就是法向量的夹角,即

    求直线

    的距离:
    先求一个与两条直线都垂直的向量
    ,不妨缩短成
    。将
    投影到这个向量上,投影长度为
    ,这就是直线
    的距离。

    求点

    到直线
    的距离:
    此距离
    ,代入得
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  • Java 求向量夹角,坐标旋转

    千次阅读 2020-01-17 17:21:20
    Java实现 求两个向量夹角 ​​​​​​​// 向量1的坐标:(x1,y1),向量2的坐标:(x2,y2); 则 double value = (x1 * x2 + y1 * y2) / (Math.sqrt(x1 * x1 + y1 * y1) * Math.sqrt(x2 * x2 + y2 * y2)); // 余弦值 ...

    Java实现 求两个向量的夹角

    ​​​​​​​// 向量1的坐标:(x1,y1),向量2的坐标:(x2,y2); 则
    double value = (x1 * x2 + y1 * y2) / (Math.sqrt(x1 * x1 + y1 * y1) * Math.sqrt(x2 * x2 + y2 * y2)); // 余弦值
    double angle = Math.toDegrees(Math.acos(value));   // 角度
    System.out.println(angle / 180 * Math.PI);  // 弧度

     

    Java实现 坐标旋转任意角度

    常规的x轴向右,y轴向上坐标系

    // 旋转((x,y)为要旋转的坐标)
    double angel = 90.3905; // 旋转角度(逆时针为正,顺时针为负)
    double theta = Math.PI * angel / 180;  // 弧度
    double resultX = pointX + (x - pointX)*Math.cos(theta) - (y - pointY)*Math.sin(theta);
    double resultY = pointY + (x - pointX)*Math.sin(theta) + (y - pointY)*Math.cos(theta);
    System.out.println("旋转结果:X = " + resultX + "   Y = " + resultY);

     

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  • 上篇讲了向量的基本概念和简单的加减运算,这部分的数学运算与几何图形变换之间的联系是非常直观的,理解起来非常容易本篇讲的内容在数学运算与几何图形变换之间的联系不那么直观,需要花功夫反复琢磨运算的数学意义...

    上篇讲了向量的基本概念和简单的加减运算,这部分的数学运算与几何图形变换之间的联系是非常直观的,理解起来非常容易

    本篇讲的内容在数学运算与几何图形变换之间的联系不那么直观,需要花功夫反复琢磨运算的数学意义,与图像的关系

    等熟练掌握这部分内容后,就可以经常脱离图像,单纯做数学计算来解决几何问题了

    向量的数量积(点乘)

    很容易理解,向量的加减法就是沿着坐标轴方向的平移变换

    那么向量的乘法是怎么运算呢?又是什么几何意义呢

    1.1 余弦定理

    回顾下余弦定理:

    对△ABC,

    角A、B、C分别为边a、b、c的对角

    我们把△ABC放在坐标系里,设A

    B
    C

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    则:向量AB=

    , 向量BA=

    向量BC=

    , 向量CB=

    向量CA=

    , 向量AC=

    则:c=|向量AB|=|向量BA|=

    a=|向量BC|=|向量CB|=

    b=|向量CA|=|向量AC|=

    代入余弦定理:

    cosC=

    把分子上的a、b、c分别代入坐标:

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    1.2 向量的数量积(点乘)

    我们规定,两个向量

    的数量积为

    也就是横坐标相乘,加上 纵坐标相乘

    1.1中最后的

    也就是向量AC与向量BC的数量积

    求向量的数量积又叫作点乘

    它的运算符号是个点

    ,不能用叉
    ,叉乘是另一种运算,大学再学

    1.3 向量数量积的几何含义

    向量的数量积表示什么含义呢?

    从1.1余弦定理的推导式中可知:

    cosC=

    =

    =

    把右边的分母移到等号另一边可得:

    向量AC与向量BC的数量积,等于向量AC的模,乘以向量BC的模,乘以两向量夹角的余弦

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    从图中很容易看出,它的几何意义是:当这两个向量有共同的起点时,其中一个向量在另一个向量方向上投影的模,与另一个向量的模的乘积

    向量是可以随意平移的,所以它们肯定可以有共同的起点,这样它们就可以构成一个三角形

    向量AC在向量BC方向上投影(蓝色加粗线段)的大小乘以向量BC的大小

    与向量BC在向量AC方向上投影(红色加粗线段)的大小乘以向量AC的大小是相等的!

    两个向量的数量积点乘得到结果是个数!不是向量!这个数是有正负号的!

    1.4 实际运算举例

    把上述抽象的例子赋予具体的数值来更加直观了解下

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    A(1,3), B(3,1), C(-2,-2)

    向量AC=(-2-1,-2-3)=(-3,-5)

    向量BC=(-2-3,-2-1)=(-5,-3)

    向量AB=(3-1,1-3)=(2,-2)

    |向量AC|=

    |向量BC|=

    |向量AB|=

    根据向量数量积的定义:

    向量AC · 向量BC

    =|向量AC|*|向量BC|*cosC

    =|向量AC|*|向量BC|*(

    )/(2|向量AC|*|向量BC|)

    =(

    )/2

    =(34+34-8)/2

    =30

    根据向量数量积的运算定义:

    向量AC · 向量BC

    =(-3)*(-5)+(-5)*(-3)

    =30

    可见二者结果是相同的

    直接用数量积运算要简便得多

    1.5 向量数量积的运算法则

    现在根据点乘的定义

    来简单讨论下点乘的运算法则

    数字的乘法有交换律、结合律和分配率,那么点乘呢?

    (1)交换律

    可见向量的点乘是符合乘法交换律的

    此处中间步骤用到了数字乘法的交换律

    (2)乘法结合率

    向量的点乘不存在结合率

    假设有三个向量OA,PB,QC

    假设OA·PB得到数字X,那么数字X与向量QC相乘得到的是向量QC方向上的某个向量

    假设PB·QC得到数字Y,那么数字Y与向量OA相乘得到的是向量OA方向上的某个向量

    得到的结果通常是两个不同的向量

    因为点乘得到的是个数值,这个数值再与第三个向量相乘,最终结果是个向量,它的方向只由第三个向量决定

    向量的点乘不存在结合率,也没有任何几何意义

    举个具体例子,向量(2,1) (1,-3) 和 (-2, -2)

    顺序一:

    (2,1) · (1,-3)=2*1+1*(-3)=-1

    -1* (-2, -2)=(2, 2)

    顺序二:

    (1,-3) · (-2, -2)=1*(-2)+(-3)*(-2)=4

    4*(2,1)=(8, 4)

    (3)乘法分配率

    向量的点乘对分配律是成立的

    证明如下:

    可以看出二者是相同的,因此:

    由于点乘满足交换律,因此也有:

    1.6 向量数量积的应用

    向量数量积的应用非常有限的,但是每个都极其好用!

    应用(1)求两个向量的夹角

    根据数量积的几何含义:

    向量a · 向量b=|向量a|*|向量b|*cos(向量a,向量b)

    和定义:

    向量a · 向量b=

    可以很轻松求得向量a和向量b的夹角:

    cos(向量a,向量b)=

    =

    要注意的是,分母肯定是正数,分子可能是零和负数

    分子为零时两个向量垂直

    分子为正数时两个向量夹角为锐角

    分子为负数时两个向量夹角为钝角

    基本的三角函数性质不会忘记了吧???

    这个公式要烂熟于心,不是死记硬背公式,而是要牢记数量积的几何意义和运算法则

    应用(2):判断两个向量垂直

    若两条直线垂直,它们的夹角就是π/2(尽量熟悉弧度,少用度数),cos(π/2)=0

    因此,两个向量垂直,与它们的数量积为零是等价的

    也就是说,如果两个向量垂直,那么它们的数量积一定为0!

    如果两个向量的数量积为0,那么它们一定垂直!

    从几何意义上很容易理解,如果两个向量垂直,那么从一条直线向另一条引垂线,就是它本身,投影就只有交点一个点,大小为0

    这在解析几何中是非常有用的性质,会经常用到,现在由于是初学向量可能暂时体会不到,以后会的

    小结

    要牢记:向量的数量积的运算定义,也就是:

    横坐标乘以横坐标,纵坐标乘以纵坐标,再相加


    向量的数量积,结果是个数,不再是向量,因此不能使用结合律

    平面向量的分解

    上篇在引入向量时,曾经简单地提到了“坐标系”,为了方便起见使用其中较为特殊的平面直角坐标系

    事实上,任意一堆互相不平行的向量,都可以组成一组坐标系

    我们常用的坐标系是以“1”为单位长,取互相垂直的两个方向为坐标方向

    如果我们不以“1”而以其他长度为单位长,以其他任意两个不同也不相反的方向为坐标方向,也可以形成坐标系

    在这个坐标系中,任意的给定向量,都是可以用一对坐标唯一确定表示的

    就如同在直角坐标系中一样

    实际生活中这样的例子不少,比如北京的地图道路是方方正正的,就很像直角坐标

    而上海的很多地方道路并不是正南正北,角度也不是直角

    df6050b270cb2fbfdc2fe0506d8a794b.png

    如上图,我们以东南向的世纪大道为坐标轴a,1km为该坐标轴的单位长

    以东偏北一点的潍坊路为坐标轴b,500m为该坐标轴的单位长

    如果想要从起点世纪大道站前往终点上海科技馆

    则需要沿着坐标轴a走2个单位(2km),再沿着坐标轴b走-0.6个单位(-300m)

    该向量就是(2,-0.6)

    如果可以不受地形限制,用正南北和正东西的坐标系要方便得多

    但是这样的道路导致了只能用非正交的坐标系

    当然,单位长度是可以用更方便的,比如都用1m

    下面来举个抽象的一般性的例子

    如下图所示:

    bf346ff25e6eeefec7b7627d17505cf1.png

    我们规定p(3,1) q(1,3)为坐标轴,那么原直角坐标系中的向量都可以用形如

    xp+yq的形式唯一表示

    比如 (4,4)=1*p+1*q

    (8, -16)=5*p+(-7)*q

    对任意的原坐标

    这里我们只需要联立解二元一次方程组:

    求出x,y即可得到

    在p、q为基础向量的新坐标(x,y)

    如果p、q互相平行,就回到一维的坐标轴了,就不是二维的坐标了,因此无法表示二维向量

    总结

    把平面几何坐标化,运用代数的方法解决几何问题是非常有力的数学工具

    只要计算能力足够强,通常的平面几何全部都可以用解析几何解决

    这里只是初步入门解析几何,对坐标系的建立、向量的含义和平移变换、数量积的数学计算和几何意义要非常熟悉才行

    这里仅仅是入门

    真正难的和有用的还在后面

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空空如也

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