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  • n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关1 向量间的线性关系2 向量组的等价3 线性相关与线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义:n个数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1​,a2​...an​组成的有序数组(a1,a2......

    n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关


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    1 向量间的线性关系

    向量定义:n个数 a 1 , a 2 . . . a n a_{1},a_{2}...a_{n} a1,a2...an组成的有序数组 ( a 1 , a 2 . . . a n ) (a_{1},a_{2}...a_{n}) (a1,a2...an),按照表示的方式不同可以分为行向量和列向量

    线性组合: β , α 1 , α 2 . . . α n \beta,\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} β,α1,α2...αn是n维向量,若存在 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn使得 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n \beta = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{n}\alpha_{n} β=k1α1+k2α2+...+knαn成立,则成 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn β \beta β的线性组合,或者成 β \beta β可由 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn线性表示,其中 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn被称作为组合系数,系数可以全取0,比如
    ( 0 0 ) = 0 ∗ ( 1 2 ) + 0 ∗ ( 1 0 ) \left(\begin{matrix} 0\\0\end{matrix}\right) = 0*\left(\begin{matrix} 1\\2\end{matrix}\right)+0 *\left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) (00)=0(12)+0(10)

    向量性质:
    1)零向量可由任意向量组表示。只需要组合系数全部为0即可
    2)向量组中任一向量可由向量组进行表示。只需要该向量的组合系数取1,其他的系数取0即可
    3)任一向量都可由 ε 1 = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , ε n = ( 0 , 0 , . . . , 1 ) \varepsilon_{1} =(1,0,...,0), \varepsilon_{2} =(0,1,...,0),...,\varepsilon_{n} =(0,0,...,1) ε1=(1,0,...,0),ε2=(0,1,...,0),...,εn=(0,0,...,1)表示,这n个向量组被称作n维单位向量组或者n维基本单位向量组

    ( 1 2 3 ) = 1 ∗ ( 1 0 0 ) + 2 ∗ ( 0 1 0 ) + 3 ∗ ( 0 0 1 ) \left(\begin{matrix} 1\\2\\3\end{matrix}\right) = 1*\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+2 *\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)+3 *\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right) 123=1100+2010+3001

    例题: β = ( − 3 , 2 , − 4 ) , α 1 = ( 1 , 0 , 1 ) , α 2 = ( 2 , 1 , 0 ) , α 3 = ( − 1 , 1 , − 2 ) \beta = (-3,2,-4),\alpha_{1}=(1,0,1),\alpha_{2} = (2,1,0),\alpha_{3} = (-1,1,-2) β=(3,2,4),α1=(1,0,1),α2=(2,1,0),α3=(1,1,2),请问 β \beta β 能否使用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} α1,α2,α3进行表示?

    解:直接设 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 \beta = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3} β=k1α1+k2α2+k3α3,然后将向量带入
    ( − 3 , 2 , − 4 ) = k 1 ( 1 , 0 , 1 ) + k 2 ( 2 , 1 , 0 ) + k 3 ( − 1 , 1 , − 2 ) ⇒ { k 1 + 2 k 2 − k 3 = − 3 k 2 + k 3 = 2 k 1 − 2 k 3 = − 4 ⇒ { k 1 = 2 k 2 = − 1 k 3 = 3 (-3,2,-4) = k_{1} (1,0,1) + k_{2} (2,1,0) + k_{3} (-1,1,-2) \Rightarrow \begin{cases} k_{1} +2k_{2}-k_{3} =-3 \\ k_{2} +k_{3} =2\\ k_{1} -2k_{3} = -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{1} =2 \\ k_{2}=-1\\ k_{3} = 3 \end{cases} (3,2,4)=k1(1,0,1)+k2(2,1,0)+k3(1,1,2)k1+2k2k3=3k2+k3=2k12k3=4k1=2k2=1k3=3 β = 2 α 1 − α 2 + 3 α 3 \beta = 2\alpha_{1}-\alpha_{2}+3\alpha_{3} β=2α1α2+3α3

    规律:通过上面的例题,发现不管给出的向量是行还是列, α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn按列均作为方程组的系数, β \beta β按列作为右端常数项(对比一下上面的方程组)

    进一步发现: β \beta β 能否使用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} α1,α2,α3进行表示 就变成了 方程组是否有解

    2 向量组的等价

    前面针对于矩阵的等价是指:矩阵A经过初等变换后可以变成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价(矩阵的秩为:非零子式的最高阶数)
    向量组等价: α 1 , α 2 . . . α m \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m} α1,α2...αm β 1 , β 2 . . . β n \beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n} β1,β2...βn同维,若两个向量组可以相互线性表示,则称两个向量组等价,记作 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn}

    1)反身性: { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { α 1 , α 2 . . . α m } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff\{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} {α1,α2...αm}{α1,α2...αm}
    2)对应性: 若 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn},则 { β 1 , β 2 . . . β n }    ⟺    { α 1 , α 2 . . . α m } \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\}\iff \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} {β1,β2...βn}{α1,α2...αm}
    3)传递性:若 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn} { β 1 , β 2 . . . β n }    ⟺    { γ 1 , γ 2 . . . γ s } \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\}\iff \{\gamma_{1},\gamma_{2}...\gamma_{s}\} {β1,β2...βn}{γ1,γ2...γs},则可推出 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { γ 1 , γ 2 . . . γ s } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\gamma_{1},\gamma_{2}...\gamma_{s}\} {α1,α2...αm}{γ1,γ2...γs}

    3 线性相关与线性无关

    α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn是n个m维向量,若存在一组不全为0 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{n}\alpha_{n} = 0 k1α1+k2α2+...+knαn=0 ,则称 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn是线性相关

    线性无关:1)不是相关;2)找不到一组不全为0的 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn,3)若上述的等式成立,则说明 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn必全为0

    性质:
    1) 向量组中两向量成比例,则向量组是线性相关。按照比例将成比例的两个向量值化为0,其余的组合系数为0即可
    − 1 ∗ ( 1 2 ) + 1 2 ∗ ( 2 4 ) + 0 ∗ ( 0 1 ) + 0 ∗ ( 3 4 ) = 0 -1*\left(\begin{matrix} 1\\2\end{matrix}\right)+\frac{1}{2} *\left(\begin{matrix} 2\\4\end{matrix}\right)+0 *\left(\begin{matrix} 0\\1\end{matrix}\right) + 0* \left(\begin{matrix} 3\\4\end{matrix}\right)= 0 1(12)+21(24)+0(01)+0(34)=02)含有零向量的任一向量组必线性相关。 0 α 1 + 0 α 2 + . . . + 1 ∗ 0 = 0 0\alpha_{1}+0\alpha_{2}+...+1*0 = 0 0α1+0α2+...+10=0
    3)一个零向量必线性相关
    4) 一个非零向量必线性无关
    5)一个向量 α \alpha α如果线性相关    ⟺    α = 0 \iff \alpha = 0 α=0

    例题,若 α 1 , α 2 . . . α r \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r} α1,α2...αr线性相关,证明 α 1 , α 2 . . . α r , α r + 1 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r},\alpha_{r+1},...,\alpha_{s} α1,α2...αr,αr+1,...,αs也是线性相关

    解: 已知 α 1 , α 2 . . . α r \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r} α1,α2...αr线性相关    ⟺    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k r α r = 0 \iff k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{r}\alpha_{r} = 0 k1α1+k2α2+...+krαr=0,其中 k 1 , k 2 , . . . k r k_{1},k_{2},...k_{r} k1,k2,...kr不全为0,

    预证明 α 1 , α 2 . . . α r , α r + 1 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r},\alpha_{r+1},...,\alpha_{s} α1,α2...αr,αr+1,...,αs也是线性相关,则需要
    k 1 α 1 + k 2 α 2 . . . k r α r + k r + 1 α r + 1 , . . . , + k s α s = 0 , k 1 , k 2 , . . . k r , k r + 1 , . . . , k s 不 全 为 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}...k_{r}\alpha_{r}+k_{r+1}\alpha_{r+1},...,+k_{s}\alpha_{s} = 0, k_{1},k_{2},...k_{r},k_{r+1},...,k_{s}不全为0 k1α1+k2α2...krαr+kr+1αr+1,...,+ksαs=0,k1,k2,...kr,kr+1,...,ks0只需要将下标在r后的k值全都赋值等于0即可

    6)上述例子可以推出:部分组线性相关 ⇒ \Rightarrow 全部组线性相关;全体组线性无关 ⇒ \Rightarrow 部分组线性无关
    7) 无关的向量组,接长向量组也是线性无关的;接长向量组是线性相关的,那么截短的向量组也是线性相关的
    8) n个n维向量(向量的个数等于向量的维数),若构成的行列式 D ≠ 0 D \not=0 D=0,可得出向量组线性无关; D = 0 D =0 D=0,向量组线性相关
    ( 1 , 0 , 3 ) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ⇒ ∣ 1 0 3 1 1 1 1 1 0 ∣ (1,0,3),(2,1,1),(1,1,0) \Rightarrow \begin{vmatrix}1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1&1 & 0 \end{vmatrix} (1,0,3),(2,1,1),(1,1,0)111011310
    9)n个单位向量组线性无关

    例题,判断向量组$(1,0,-1),(-1,-1,2),(2,3,-5)是否线性相关?

    解:直接按照定义,假设存在 k 1 , k 2 , k 3 k_{1},k_{2},k_{3} k1,k2,k3,使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3} = 0 k1α1+k2α2+k3α3=0,然后带入向量组数组,就变成解方程组了
    { k 1 − k 2 + 2 k 3 = 0 − k 2 + 3 k 3 = 0 − k 1 + 2 k 2 − 5 k 3 = 0 ⇒ { k 1 = k 3 k 2 = 3 k 3 , 假 定 k = 1 , 则 说 明 存 在 不 全 为 0 的 值 使 得 式 子 为 0 ⇒ 线 性 相 关 \begin{cases} k_{1} -k_{2} + 2 k_{3} =0 \\ -k_{2} + 3k_{3} =0\\ -k_{1} + 2 k_{2} -5k_{3} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{1} = k_{3} \\ k_{2} =3k_{3} \end{cases},假定k=1,则说明存在不全为0的值使得式子为0 \Rightarrow 线性相关 k1k2+2k3=0k2+3k3=0k1+2k25k3=0{k1=k3k2=3k3,k=1,0使0线
    可以发现这里判断向量组线性相关还是线性无关的条件就变成了判断方程是够有非零解的问题,对照前面刚好也有一个类似的判定,是用来判定一个向量是否可以由其它向量组进行表示。

    区别:

    • 线性组合    ⟺    \iff 方程有解
    • 不是线性组合    ⟺    \iff 方程无解
    • 向量组线性相关    ⟺    \iff 方程有非零解
    • 向量组线性无关    ⟺    \iff 方程只有零解

    4 定理

    1) α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性相关    ⟺    \iff 至少一个向量可由其余向量表示
    2) α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关, α 1 , α 2 . . . α s , β \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s},\beta α1,α2...αs,β线性相关,则 β \beta β可由 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs唯一线性表示

    证明:

    先证可线性表示
    α 1 , α 2 . . . α s , β \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s},\beta α1,α2...αs,β线性相关,则存在不全为零的 k 1 , k 2 , . . . k s + 1 k_{1},k_{2},...k_{s+1} k1,k2,...ks+1,使得
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s + k s + 1 β = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s} + k_{s+1}\beta= 0 k1α1+k2α2+...+ksαs+ks+1β=0假使这里的 k s + 1 = 0 k_{s+1} = 0 ks+1=0,则得到 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s} = 0 k1α1+k2α2+...+ksαs=0,则 k 1 , k 2 , . . . k s k_{1},k_{2},...k_{s} k1,k2,...ks中必存在一个不为0的数,然而却又和 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关相矛盾,所以拒绝假使,只能是 k s + 1 ≠ 0 k_{s+1} \not= 0 ks+1=0,这时候同时除于这个不为0的系数后,将 β \beta β移到另一边就实现了 β \beta β α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性表示

    再证唯一性
    假设存在两组系数使得 β = m 1 α 1 + m 2 α 2 + . . . + m s α s ; β = n 1 α 1 + n 2 α 2 + . . . + n s α s \beta = m_{1}\alpha_{1}+m_{2}\alpha_{2}+...+m_{s}\alpha_{s};\beta = n_{1}\alpha_{1}+n_{2}\alpha_{2}+...+n_{s}\alpha_{s} β=m1α1+m2α2+...+msαs;β=n1α1+n2α2+...+nsαs,两式子相减就得到 ( m 1 − n 1 ) α 1 + ( m 2 − n 2 ) α 2 + . . . + ( m s − n s ) α s = 0 (m_{1}-n_{1})\alpha_{1}+(m_{2}-n_{2})\alpha_{2}+...+(m_{s}-n_{s})\alpha_{s}=0 (m1n1)α1+(m2n2)α2+...+(msns)αs=0,根据 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关,所以可推出 m i − n i = 0 ⇒ m i = n i m_{i} - n_{i} = 0 \Rightarrow m_{i} = n_{i} mini=0mi=ni,故只存在唯一值

    3)替换定理: α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关,可由 β 1 , . . . , β t \beta_{1},...,\beta_{t} β1,...,βt表示,则 s < = t s <= t s<=t

    这里举的例子就是小王、小李、小张的问题,都拿出他们爸爸的照片,如果说都拿出对应父亲的照片,那么自然他们的父亲就可以来代替儿子,如果一旦说只有两张不同,小张发现小王的爸爸老王的照片竟然和自己的父亲一样,问题就大了,所以不能小于,可以等于也可以大于,这个大于的理解是可以拿出多张父亲的照片也可以把母亲的照片也拿上。这个例子就可以很容易的理解这个替换定理

    4) 替换定理的逆否命题: α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs可以由 β 1 , . . . , β t \beta_{1},...,\beta_{t} β1,...,βt表示,且 s > t s > t s>t,则 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性相关

    5)推论:若m>n(向量的个数大于向量的维数), m个线性n维向量组线性相关;n+1个n维向量一定线性相关

    6)推论:等价的线性无关组含向量的个数是相同的。相当于是 s < = t s <= t s<=t s > = t s >= t s>=t ,最后推出 s = t s= t s=t

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  • 线性代数之线性相关线性表示的求法 线性相关 向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 使得 则 是线性相关的,反之线性无关。... 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量 线性表示...

    线性代数之线性相关线性表示的求法

    线性相关

    向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 

      使得 是线性相关的,反之线性无关。 

    线性无关即等价于以下命题:

    1. 线性不相关
    2. 找不到一组不全0的   使得
    3.  全为0

    几种情况:

    关于单个向量

    1. 向量组中两个向量成比例,则两个向量必线性相关
    2. 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0)
    3. 一个零向量必线性相关
    4. 一个非零向量必然线性无关
    5. 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

    线性表示

    如果向量   则b是向量组A的线性组合,这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解,全是0也是有解。 

    特别的:

    1. 线性表示时系数可以全是0
    2. 0向量可有任意向量组表示。

    任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

    线性相关例子汇总

    判断线性相关(不含参数)

    该方法是根据矩阵的秩的定义来求,如果找到k阶子式为0,而k-1阶不为0,那么k-1即该矩阵的秩。

    #Sample1(示例一),判断如下向量组是否线性相关:

    1:

    2:

    :针对第一题:

    Step1:首先我们先立方程

    针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关(无解)。

    Step2:于是我们得到下式:

    Step3: 我们对k的行列式化简得到如下行列式:

    该行列式不为0,所以当前关于k的方程组有唯一解,即

    所以当前向量组里的向量 线性无关。

    针对第二题:同样的思路

    Step1:设

    Step2:于是我们得到

    Step3:针对k化简得到如下行列式,易得其为0,所以k有非零解。

    Step4:因为关于k的解有无穷个,所有这里取

    换言之存在不全为0的数使得 线性相关。

    判断线性相关(含参数)

    针对这种类型的问题,一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵,对矩阵做行(列)变换,使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行(列)为零行来判断向量组的线性相关性。(参数所在行全为0则行列式为0,线性无关,否则相关)。

    #Sample2(示例二):已知向量组

    判断其相关性。

    Step1:因这里向量组的向量个数和向量的维数相同,所以可以按照列组成行列式。

    Step2:第1行的-1倍加到第2行上去,第1行的-5倍加到第3行上去,则得:

    即行列式等于2(t-1)

    Step3:针对Step2里的t进行讨论,如果t=1,则行列式等于0(即方程有无穷非非零解),则线性相关,如果t≠1则行列式不等于0(即方程只有零解),则线性无关。

    线性表示例子汇总

    阶梯法判断线性表示

    利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。

    #Sample3(示例三)

    向量β=(4,4,1,2)是否可由如下向量组线性表示,如果可以,写出表达式。

    1:

    2:

    针对第一题:

    Step1:用 作为列向量构成矩阵A,则A为

     

    Step2:交换第1和第2行,则化为:

    Step3:第1行的2倍加到第2行上去,第1行的5倍加到第4行上去,第1行乘-1,则最终化为:

    Step4:在对step3里的矩阵化简,第3行的3倍加到第2、4行上去,则得:

    Step5:在对step4里的矩阵化简,第2行的-3倍加到第3行上去,第2行的1倍加到第3行上去,则得:

    Step6:在对step5里的矩阵化简,第3行的1倍加到第4行上去,第3行除以-5,则得:

    Step7:由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩(阶梯型里非零行的行数)是4,所以该向量组的秩必定包含β,即β不能由 线性表示。

    针对第二题

    类似第一题,可将构成的矩阵

    化简为:

    则可见即β可由 线性表示,即

    展开全文
  • 矩阵向量线性无关

    千次阅读 2019-10-31 15:44:02
    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0

    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0

    展开全文
  • 线性无关向量不一定正交

    千次阅读 2020-10-31 17:23:14
    1. 线性无关向量定义1        如果x1\pmb{x}_1xxx1​,x2\pmb{x}_2xxx2​,...\pmb{...}.........,xr(r≥1)\pmb{x}_r(r\ge1)xxxr​(r≥1)为线性空间VVV中一组向量,k1{k}_1k1...
    1. 线性无关向量组定义1

           如果 x 1 \pmb{x}_1 xxx1 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r ( r ≥ 1 ) \pmb{x}_r(r\ge1) xxxr(r1)为线性空间 V V V中一组向量, k 1 {k}_1 k1 k 2 {k}_2 k2 . . . {...} ... k r {k}_r kr是数域 P P P中的数,那么向量 x = k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k r x r (1) \pmb{x}=k_1\pmb{x}_1+k_2\pmb{x}_2+\pmb{...}+k_r\pmb{x}_r \tag{1} xxx=k1xxx1+k2xxx2+.........+krxxxr(1) 称为向量 x 1 \pmb{x}_1 xxx1 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r \pmb{x}_r xxxr的一个线性组合,有时也可以说向量 x \pmb{x} xxx可用向量组 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r \pmb{x}_r xxxr线性表示。
           如果式 ( 1 ) (1) (1)中的 k 1 {k}_1 k1 k 2 {k}_2 k2 . . . {...} ... k r {k}_r kr不全为零,且使 k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k r x r = 0 (2) k_1\pmb{x}_1+k_2\pmb{x}_2+\pmb{...}+k_r\pmb{x}_r = \pmb{0} \tag{2} k1xxx1+k2xxx2+.........+krxxxr=000(2)则称向量组 x 1 \pmb{x}_1 xxx1 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r \pmb{x}_r xxxr线性相关,否则就称其为线性无关。换句话说,如果等式 ( 2 ) (2) (2)只有在 k 1 = k 2 = . . . = k r = 0 k_1 = k_2 = \pmb{...} = k_r = 0 k1=k2=.........=kr=0时才成立,则称 x 1 \pmb{x}_1 xxx1 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r \pmb{x}_r xxxr线性无关。

    2. 以两个线性无关向量为例

            v 1 = ( − 1 ,    2 , − 1 ) , v 2 = (        0 ,    2 , − 1 ) \pmb{v}_1=(-1,\;2,-1), \pmb{v}_2=(\;\;\;0,\;2,-1) vvv1=(1,2,1),vvv2=(0,2,1)向量 v 1 , v 2 \pmb{v}_1,\pmb{v}_2 vvv1,vvv2的线性组合为
    v = k 1 v 1 + k 2 v 2 = k 1 ( − 1 , 2 , − 1 ) + k 2 ( 0 , 2 , − 1 ) \pmb{v}=k_1\pmb{v}_1+k_2\pmb{v}_2=k_1(-1,2,-1)+k_2(0,2,-1) vvv=k1vvv1+k2vvv2=k1(1,2,1)+k2(0,2,1) v \pmb{v} vvv 0 \pmb{0} 000时,可得到如下线性方程组
    { − k 1 + 0        = 0    2 k 1 + 2 k 2 = 0 − k 1 −      k 2 = 0 \begin{cases} -k_1+0 \;\;\;=0 \\ \;2k_1+2k_2=0 \\ -k_1-\;\;k_2=0 \end{cases} k1+0=02k1+2k2=0k1k2=0
    只有当 k 1 , k 2 \pmb{k}_1,\pmb{k}_2 kkk1,kkk2同时为0时,才满足上述线性方程组,因此向量 v 1 , v 2 \pmb{v}_1,\pmb{v}_2 vvv1,vvv2线性无关,但向量 v 1 , v 2 \pmb{v}_1,\pmb{v}_2 vvv1,vvv2的内积 ( v 1 , v 2 ) = 0 + 4 + 1 = 5 ≠ 0 (\pmb{v}_1,\pmb{v}_2)=0+4+1=5\ne0 (vvv1,vvv2)=0+4+1=5=0,因此并不正交。

    线性无关向量组可使用施密特(Schmidt)正交化方法进行正交化。


    1. 方保镕,周继东,李医民. 矩阵论. 北京:清华大学出版社,2004.11(P8) ↩︎

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