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  • 向量范数

    万次阅读 多人点赞 2019-06-04 11:03:05
    声明: 仅个人小记 效果展示 绘制∥v⃗∥p=1\left \| \vec{v}\right \|_p = 1∥v∥p​=1的图像如下 当 p = 0 ...向量范数定义 总体定义 ∥v⃗∥p=(∣v1∣p+∣v2∣p+...+∣vn∣p)1p\left \| \vec{v}\righ...

    声明: 仅个人小记
    前言:范数在不同场合下可以有不同的解释,利用范数优良的抽象性质,在不同的场合下可以解释为不同的东西。于我而言,学习范数概念使我意会到 “高度抽象的距离” 这个概念。而“距离”这个概念在机器学习等领域随处可见

    一、向量范数总体定义

    ∥ v ⃗ ∥ p = ( ∣ v 1 ∣ p + ∣ v 2 ∣ p + . . . + ∣ v n ∣ p ) 1 p \left \| \vec{v}\right\|_p = {({|v_1|}^{p}+{|v_2|}^{p}+...+{|v_n|}^{p})}^{\frac{1}{p}} v p=(v1p+v2p+...+vnp)p1

    二、向量范数效果展示

    绘制 ∥ v ⃗ ∥ p = 1 \left \| \vec{v}\right \|_p = 1 v p=1的图像如下

    1. 当 p = 0
    2. 当 p = 1
    3. 当 p = 2
    1. 当 p = + ∞ \infty
    2. 随着p的大小的演变过程,如下
    上述绘图编制的python代码
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    
    x = np.linspace(-1,1,10000)
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.set_aspect('equal')
    P = 5
    for p in np.arange(0.3,P,0.2):
        y = np.power(1-np.power(np.abs(x),p),1/p)
        # 注意plot 是连点绘图方法,所以注意避免额外的连线产生
        ax.plot(np.hstack([x,x[::-1]]),np.hstack([y,-y[::-1]]))
        plt.title('p = '+str(p))
        plt.pause(0.8)
    

    三、向量范数细究

    根据总体定义具体分析几个特殊定义

    (1) 0范数 ∣ ∣ v ⃗ ∣ ∣ 0 = 非 零 元 素 个 数 ||\vec{v}||_0=非零元素个数 v 0=
    (2) 1范数 ∥ v ⃗ ∥ 1 = ( ∣ v 1 ∣ 1 + ∣ v 2 ∣ 1 + . . . + ∣ v n ∣ 1 ) 1 = ∣ v 1 ∣ + ∣ v 2 ∣ + . . . + ∣ v n ∣ \left\| \vec{v}\right\|_1 = (|v_1|^1+|v_2|^1+...+|v_n|^1)^1 \\=| v_1|+|v_2|+...+|v_n| v 1=(v11+v21+...+vn1)1=v1+v2+...+vn1范数可以用来表示曼哈顿距离,示意图如下,规定:只允许上下左右移动,不允许斜着移动,在这种情景下,1范数就可以很好的用来作为两点之间的距离的测度。

    图中AB两点的曼哈顿距离为8,即 ∣ ∣ A B ⃗ ∣ ∣ 1 = 8 ||\vec{AB}||_1=8 AB 1=8,图(1)、(2)和(4)的虚线都是A到B点的最短距离轨迹。
    (3) 2范数 ∥ v ⃗ ∥ 2 = ( v 1 2 + v 2 2 + . . . + v n 2 ) 1 2 \left\|\vec{v}\right\|_2={(v_1^2+v_2^2+...+v_n^2)}^{\frac{1}{2}} v 2=(v12+v22+...+vn2)21显然,2范数可以用来表示欧式距离

    (4)无穷范数 ∥ v ⃗ ∥ ∞ = ( ∣ v 1 ∣ ∞ + ∣ v 2 ∣ ∞ + . . . + ∣ v n ∣ ∞ ) 1 ∞ = ( ( ∣ v 1 ∣ ∞ m a x ∣ v i ∣ ∞ + ∣ v 2 ∣ ∞ ) m a x ∣ v i ∣ ∞ + . . . + ∣ v n ∣ ∞ m a x ∣ v i ∣ ∞ ) m a x ∣ v i ∣ ∞ ) 1 ∞ = ( ∣ v 1 ∣ ∞ m a x ∣ v i ∣ ∞ + ∣ v 2 ∣ ∞ ) m a x ∣ v i ∣ ∞ + . . . + ∣ v n ∣ ∞ m a x ∣ v i ∣ ∞ ) 1 ∞ m a x ∣ v i ∣ = k 1 ∞ m a x ∣ v i ∣ \left\|\vec{v}\right\|_\infty={(|v_1|^\infty+|v_2|^\infty+...+|v_n|^\infty )}^{\frac{1}{\infty}}\\={((\frac{|v_1|^\infty}{max|v_i|^\infty}+\frac{|v_2|^\infty)}{max|v_i|^\infty}+...+\frac{|v_n|^\infty}{max|v_i|^\infty}){max|v_i|^\infty})}^{\frac{1}{\infty}}\\={(\frac{|v_1|^\infty}{max|v_i|^\infty}+\frac{|v_2|^\infty)}{max|v_i|^\infty}+...+\frac{|v_n|^\infty}{max|v_i|^\infty})^{\frac{1}{\infty}}{max|v_i|}}=k^\frac{1}{\infty }max|v_i| v =(v1+v2+...+vn)1=((maxviv1+maxviv2)+...+maxvivn)maxvi)1=(maxviv1+maxviv2)+...+maxvivn)1maxvi=k1maxvik为正整数,所以 ∣ ∣ v ⃗ ∣ ∣ ∞ = m a x ∣ v i ∣ ||\vec{v}||_\infty=max|v_i| v =maxvi无穷范数可以表示向量的最大元素

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  • 向量范数与矩阵范数

    万次阅读 多人点赞 2016-07-18 20:35:26
    1.范数(norm)的意义要更好的理解范数,就要从函数、几何与矩阵的角度去理解。 我们都知道,函数与几何图形往往是有对应的关系,这个很好想象,特别是在三维以下的空间内,函数是几何图像的数学概括,而几何图像是...

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    1.范数(norm)的意义

    要更好的理解范数,就要从函数、几何与矩阵的角度去理解。
    我们都知道,函数与几何图形往往是有对应的关系,这个很好想象,特别是在三维以下的空间内,函数是几何图像的数学概括,而几何图像是函数的高度形象化,比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。
    但当函数与几何超出三维空间时,就难以获得较好的想象,于是就有了映射的概念,映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合。通常数学书是先说映射,然后再讨论函数,这是因为函数是映射的一个特例。
    为了更好的在数学上表达这种映射关系,(这里特指线性关系)于是就引进了矩阵。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合,而我们通常所说的基,就是这个集合的最一般关系。于是,我们可以这样理解,一个集合(向量),通过一种映射关系(矩阵),得到另外一个几何(另外一个向量)。
    那么向量的范数,就是表示这个原有集合的大小。
    而矩阵的范数,就是表示这个变化过程的大小的一个度量。

    总结起来一句话,范数(norm),是具有“长度”概念的函数。

    2.范数满足的三个特性

    1.非负性: ∣ ∣ x ∣ ∣ ≥ 0 ||x|| \geq 0 x0,且 ∣ ∣ x ∣ ∣ = 0 ||x||=0 x=0当且仅当 x = 0 x=0 x=0时成立 。
    2.齐次性: ∣ ∣ k ⋅ x ∣ ∣ = ∣ k ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ ||k\cdot x|| = |k| \cdot ||x|| kx=kx
    3.三角不等式: ∣ ∣ x + y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣ ||x+y|| \leq ||x|| + ||y|| x+yx+y

    3.向量的范数

    1-范数,计算方式为向量所有元素的绝对值之和。
    ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ i n ∣ x i ∣ ||x||_1 = \sum_{i} ^{n}|x_i | x1=inxi
    2-范数,计算方式跟欧式距离的方式一致。
    ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ 2 ) 1 2 ||x||_2=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^2 \right)^\frac{1}{2} x2=(i=1nxi2)21
    ∞ \infty -范数,所有向量元素中的最大值。
    ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = max ⁡ i ∣ x i ∣ ||x||_{\infty} = \max_i |x_i| x=imaxxi
    − ∞ -\infty -范数,所有向量元素中的最小值。
    ∣ ∣ x ∣ ∣ − ∞ = min ⁡ i ∣ x i ∣ ||x||_{-\infty} = \min_i |x_i| x=iminxi
    p p p-范数,所有向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂。
    ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 p ||x||_p = {\left( \sum_{i=1}^n{|x_i|}^p \right)} ^ { \frac {1}{p} } xp=(i=1nxip)p1

    4.矩阵的范数

    首先假设矩阵的大小为 m ∗ n m*n mn,即m行n列。

    1-范数,又名列和范数。顾名思义,即矩阵列向量中绝对值之和的最大值。
    ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ j ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ ||A||_1=\max_j \sum_{i=1}^m|a_{ij}| A1=jmaxi=1maij
    2-范数,又名谱范数,计算方法为 A T A A^TA ATA矩阵的最大特征值的开平方。
    ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = λ 1 ||A||_2 = \sqrt{\lambda _1} A2=λ1
    其中 λ 1 \lambda _1 λ1 A T A A^TA ATA的最大特征值。

    ∞ \infty -范数,又名行和范数。顾名思义,即矩阵行向量中绝对值之和的最大值。
    ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ = max ⁡ j ∑ i = 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_{\infty}=\max_j \sum_{i=1}^n|a_{ij}| A=jmaxi=1naij

    F-范数,Frobenius范数,计算方式为矩阵元素的绝对值的平方和再开方。
    ∣ ∣ A ∣ ∣ F = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ 2 ) 1 2 ||A||_F={\left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \right)}^{\frac{1}{2}} AF=(i=1mj=1naij2)21

    5.在python里计算范数

    numpy包里的linalg模块,是专门处理基本线性代数问题的模块。借助该模块中的norm()函数可以轻松计算向量与矩阵的范数。

    先看看norm()方法的原型:

    def norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False):
        Matrix or vector norm.
    
        This function is able to return one of eight different matrix norms,
        or one of an infinite number of vector norms (described below), depending
        on the value of the ``ord`` parameter.
    
    

    再看看更为详细的计算说明:

        The following norms can be calculated:
    
        =====  ============================  ==========================
        ord    norm for matrices             norm for vectors
        =====  ============================  ==========================
        None   Frobenius norm                2-norm
        'fro'  Frobenius norm                --
        'nuc'  nuclear norm                  --
        inf    max(sum(abs(x), axis=1))      max(abs(x))
        -inf   min(sum(abs(x), axis=1))      min(abs(x))
        0      --                            sum(x != 0)
        1      max(sum(abs(x), axis=0))      as below
        -1     min(sum(abs(x), axis=0))      as below
        2      2-norm (largest sing. value)  as below
        -2     smallest singular value       as below
        other  --                            sum(abs(x)**ord)**(1./ord)
        =====  ============================  ==========================
    

    看到上面这个表以后,同学们应该特别清楚了吧。

    6.上代码

    看了上面的说明以后,必须亲自动手写写代码,验证一下。前面全是理论,最后自然要实践一把。talk is cheap, show me the code!

    #!/usr/bin/env python
    #coding:utf-8
    
    '''
    Created on 2016年7月17日
    
    @author: lei.wang
    '''
    
    import numpy as np
    import numpy.linalg as LA
    
    def compute_norm():
        mat = np.matrix([[1,2],[3,4]])
        inv_mat = np.linalg.inv(mat)
        print inv_mat
    
    def vector_norm():
        a = np.arange(9) - 4
        print LA.norm(a,np.inf) #无穷范数
        print LA.norm(a,-np.inf)
        print LA.norm(a,1) #1范数
        print LA.norm(a,2) #2范数
    
    def matrix_norm():
        a = np.arange(9) - 4
        b = a.reshape(3,3)
        b_t = np.transpose(b)
        b_new = np.dot(b_t,b) #b_new矩阵为b^t * b
        x = np.linalg.eigvals(b_new) #求b_new矩阵的特征值
        print x
        print LA.norm(b,1) #列范数
        print LA.norm(b,2) #谱范数,为x里最大值开平方
        print LA.norm(b,np.inf) #无穷范数,行范数
        print LA.norm(b,"fro") #F范数
        
    vector_norm()
    print 
    matrix_norm()
    

    让代码run起来:

    4.0
    0.0
    20.0
    7.74596669241
    
    [  5.40000000e+01   6.00000000e+00   5.99792822e-16]
    7.0
    7.34846922835
    9.0
    7.74596669241
    

    注释已经写得很详细,相信大家都已经看明白。

    展开全文
  • 相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。 在欧几里得空间中,点x=(x1,...,xn)x = (x_1,...,x_n)x=(x1​,...,xn​)和y=(y1,...,yn)y = (y_1,...,y_n)y=(y1​,...,yn​)之间的...
     
    

    又称为欧几里得距离,指的是欧几里得空间中两点间“普通”(即直线)距离。使用这个距离,欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量

    欧几里得空间中,点 x = ( x 1 , . . . , x n ) x = (x_1,...,x_n) x=(x1,...,xn) y = ( y 1 , . . . , y n ) y = (y_1,...,y_n) y=(y1,...,yn)之间的欧氏距离为:
    d ( x , y ) : = ( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( x n − y n ) 2 d(x,y):= \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdot\cdot\cdot+(x_n-y_n)^2} d(x,y)=(x1y1)2+(x2y2)2++(xnyn)2
    向量 x ⃗ \vec{x} x 的自然长度,即该点到原点的距离为
    ∣ ∣ x ⃗ ∣ ∣ 2 = ∣ x 1 ∣ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ∣ x n ∣ 2 ||\vec{x}||_2=\sqrt{|x_1|^2+\cdot\cdot\cdot|x_n|^2} x 2=x12+xn2
    它是一个纯数值。在欧几里得度量下,两点之间线段最短。

    • 范数(维基百科

      范数(norm),是具有“长度”概念的函数。

      • 1-范数:向量元素绝对值之和

      ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ ||x||_1 = \sum_{i=1}^{N}|x_i| x1=i=1Nxi

      • 2-范数:Euclid范数(欧几里得范数,常用计算向量长度),即向量元素绝对值的平方和再开方

      ∣ ∣ X ∣ ∣ 2 = ∑ i − 1 N x i 2 ||X||_2=\sqrt{\sum_{i-1}^{N}x_i^2} X2=i1Nxi2

      • + ∞ +\infty +范数:所有向量元素绝对值中的最大值

      ∣ ∣ X ∣ ∣ + ∞ = max ⁡ i ∣ x i ∣ ||X||_{+\infty} = \max_{i}|x_i| X+=imaxxi

      • − ∞ -\infty 范数:所有向量元素绝对值中的最小值

      ∣ ∣ X ∣ ∣ − ∞ = min ⁡ i ∣ x i ∣ ||X||_{-\infty} = \min_{i}|x_i| X=iminxi

      • p-范数:向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂

      ∣ ∣ X ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ p ) 1 p ||X||_p=(\sum_{i=1}^{N}|x_i|^p)^\frac{1}{p} Xp=(i=1Nxip)p1

    • 矩阵范数

      • 1-范数:列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
      • 2-范数:谱范数,即A’A矩阵的最大特征值的开平方
      • ∞ \infty 范数:行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
      • F-范数:Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方
      • 核范数:矩阵A的奇异值
    • Reference

    1. 0 范数、1 范数、2 范数有什么区别?
    展开全文
  • 阅读文献时,经常看到各种范数,机器学习中的稀疏模型等,也有各种范数,其名称往往容易混淆,例如:L1范数也常称为“1-范数”,但又和真正的1-... 向量无穷范数: p-范数:,其中正整数p≥1,并且有 例:...

       阅读文献时,经常看到各种范数,机器学习中的稀疏模型等,也有各种范数,其名称往往容易混淆,例如:L1范数也常称为“1-范数”,但又和真正的1-范数又有很大区别。下面将依次介绍各种范数。

    1、向量的范数

      向量的1-范数: {\left\| X \right\|_1} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {​{x_i}} \right|} ; 各个元素的绝对值之和;

      向量的2-范数:{\left\| X \right\|_2} = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {​{x_i}^2} } \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {​{x_i}^2} };每个元素的平方和再开平方根;

      向量的无穷范数:{\left\| X \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| {​{x_i}} \right|

      p-范数:{\left\| X \right\|_p} = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {​{​{\left| {​{x_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{1}{p}}},其中正整数p≥1,并且有\mathop {\lim }\limits_{p \to \infty } {\left\| X \right\|_p} = \mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| {​{x_i}} \right|

     

    例:向量X=[2, 3, -5, -7] ,求向量的1-范数,2-范数和无穷范数。

    向量的1-范数:各个元素的绝对值之和;{\left\| X \right\|_1}=2+3+5+7=17;

    Matlab代码:X=[2, 3, -5, -7]; XLfs1=norm(X,1);

     

    向量的2-范数:每个元素的平方和再开平方根;{\left\| X \right\|_2} = {\left( {​{\rm{2}} \times {\rm{2}} + {\rm{3}} \times {\rm{3}} + {\rm{5}} \times {\rm{5}} + {\rm{7}} \times {\rm{7}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = 9.3274

    Matlab代码:X=[2, 3, -5, -7]; XLfs2=norm(X,2);

     

    向量的无穷范数:

    (1)正无穷范数:向量的所有元素的绝对值中最大的;即X的正无穷范数为:7;

    Matlab代码:X=[2, 3, -5, -7]; XLfsz=norm(X,inf);

     

    (2)负无穷范数:向量的所有元素的绝对值中最小的;即X的负无穷范数为:2;

              Matlab代码:X=[2, 3, -5, -7]; XLfsf=norm(X,-inf);

     

    2、矩阵的范数

    设:向量X \in {R^n},矩阵A \in {R^{n \times n}},例如矩阵A为:

    A=[2, 3, -5, -7;

       4, 6,  8, -4;

       6, -11, -3, 16];

    (1)矩阵的1-范数(列模):{\left\| A \right\|_1} = \mathop {\max }\limits_{X \ne 0} \frac{​{​{​{\left\| {AX} \right\|}_1}}}{​{​{​{\left\| X \right\|}_1}}} = \mathop {\max }\limits_{1 \le j \le n} \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {​{a_{ij}}} \right|};矩阵的每一列上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(列和最大);即矩阵A的1-范数为:27

              Matlab代码:fs1=norm(A,1);

     

    (2)矩阵的2-范数(谱模):{\left\| A \right\|_2} = \mathop {\max }\limits_{X \ne 0} \frac{​{​{​{\left\| {AX} \right\|}_2}}}{​{​{​{\left\| X \right\|}_2}}} = \sqrt {​{\lambda _{\max }}({A^T}A)} = \sqrt {\mathop {\max }\limits_{1 \le i \le n} \left| {​{\lambda _i}} \right|},其中   {\lambda _i}{A^T}A的特征值;矩阵的最大特征值开平方根。

              Matlab代码:fs2=norm(A,2);

     

    (3)矩阵的无穷范数(行模):{\left\| A \right\|_\infty } = \mathop {\max }\limits_{X \ne 0} \frac{​{​{​{\left\| {AX} \right\|}_\infty }}}{​{​{​{\left\| X \right\|}_\infty }}} = \mathop {\max }\limits_{1 \le {\rm{i}} \le n} \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {​{a_{ij}}} \right|};矩阵的每一行上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(行和最大)

             Matlab代码:fswq=norm(A,inf);

     

      下面要介绍关于机器学习中稀疏表示等一些地方用到的范数,一般有核范数,L0范数,L1范数(有时很多人也叫1范数,这就让初学者很容易混淆),L21范数(有时也叫2范数),F范数等,这些范数都是为了解决实际问题中的困难而提出的新的范数定义,不同于前面矩阵的范数。

    关于核范数,L0范数,L1范数等解释见博客:

    http://www.cnblogs.com/MengYan-LongYou/p/4050862.html

    https://blog.csdn.net/u013066730/article/details/51145889

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_7103b28a0102w73g.html

     

    (4)矩阵的核范数:矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩——低秩);

             Matlab代码:JZhfs=sum(svd(A));

     

    (5)矩阵的L0范数:矩阵的非0元素的个数,通常用它来表示稀疏,L0范数越小0元素越多,也就越稀疏。

     

    (6)矩阵的L1范数:矩阵中的每个元素绝对值之和,它是L0范数的最优凸近似,因此它也可以近似表示稀疏;

             Matlab代码:JZL1fs=sum(sum(abs(A)));

     

    (7)矩阵的F范数:矩阵的各个元素平方之和再开平方根,它通常也叫做矩阵的L2范数,它的有点在它是一个凸函数,可以求导求解,易于计算;

             Matlab代码:JZFfs=norm(A,'fro');

     

    (8)矩阵的L21范数:矩阵先以每一列为单位,求每一列的F范数(也可认为是向量的2范数),然后再将得到的结果求L1范数(也可认为是向量的1范数),很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数

              Matlab代码:JZL21fs=norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)++ norm(A(:,4),2);

     

    Matlab代码

    clear all;clc;
    
    %% 求向量的范数
    X=[2, 3, -5, -7];   %初始化向量X
    XLfs1=norm(X,1);    %向量的1-范数
    XLfs2=norm(X,2);    %向量的2-范数
    XLfsz=norm(X,inf);  %向量的正无穷范数
    XLfsf=norm(X,-inf); %向量的负无穷范数
    
    %% 求矩阵的范数
    A=[2, 3, -5, -7;
       4, 6,  8, -4;
       6, -11, -3, 16];     %初始化矩阵A
    
    JZfs1=norm(A,1);        %矩阵的1-范数
    JZfs2=norm(A,2);        %矩阵的2-范数
    JZfswq=norm(A,inf);     %矩阵的无穷范数
    JZhfs=sum(svd(A));      %矩阵的核范数
    JZL1fs=sum(sum(abs(A)));% 矩阵的L1范数
    JZFfs=norm(A,'fro');    %矩阵的F范数
    JZL21fs=norm(A(:,1),2) + norm(A(:,2),2) + norm(A(:,3),2)++ norm(A(:,4),2);% 矩阵的L21范数

     

    参考资料

    [1] https://blog.csdn.net/Michael__Corleone/article/details/75213123

    [2] https://wenku.baidu.com/view/dc9e6e3753d380eb6294dd88d0d233d4b04e3f48.html

    [3] http://www.cnblogs.com/MengYan-LongYou/p/4050862.html

    [4] https://blog.csdn.net/u013066730/article/details/51145889

    [5] http://blog.sina.com.cn/s/blog_7103b28a0102w73g.html

     


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向量范数无穷范数