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  • 在这一篇 BlogBlogBlog 中,博主打算记录一下周期信号傅里叶级数的一些重要性质。在阅读本文之前,请明确一件事情:对于周期信号我们讲的是傅里叶级数展开。对于非周期信号我们讲傅里叶变换。 文章目录一、什么样的...

    在这一篇 B l o g Blog Blog 中,博主打算记录一下周期信号傅里叶级数的一些重要性质。在阅读本文之前,请明确一件事情:对于周期信号我们讲的是傅里叶级数展开。对于非周期信号我们讲傅里叶变换。

    一、什么样的周期信号才能够做傅里叶展开?

    当时傅里叶的论文中有这样一句话:“所有的连续时间信号都能够表示成成谐波关系的复指数信号的加权和”。在当时引来了像拉普拉斯等人的强烈反对。傅里叶认为:对于周期方波信号,只要我取的正弦信号足够多,那么我就一定能够完美地拟合出来。如下图所示:
    在这里插入图片描述
    但实际上并不是这样,无论我们的正弦信号取了多少,在原方波的间断点处不可避免地会出现震荡和超量。超量的幅度并不会随着我们所选取的正弦波的数量增多而减少,选取的正弦波的数量增多只会使得超量的震荡频率更大,并且朝着间断点处压缩。这就是所谓的 “吉布斯现象”。

    那么,到底什么样的连续时间信号才能够展开成傅里叶级数呢?我们下面给出三个条件(其中条件三是狄里克雷第一定理)。连续时间的周期信号只要满足三者之一,就可以展开成傅里叶级数:
    【条件一】:信号全部连续
    【条件二】:信号在一个周期内能量有限: 1 T 0 ∫ T 0 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t < ∞ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt <∞ T01T0x(t)2dt<
    【条件三】:信号在一个周期内绝对可积: 1 T 0 ∫ T 0 ∣ x ( t ) ∣ < ∞ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|<∞ T01T0x(t)<

    二、周期信号傅里叶级数的重要性质

    2.1 线性

    首先我们给出定义:

    连续时间信号傅里叶级数的线性性:若信号 x 1 ( t ) x_1(t) x1(t)的傅里叶级数是 a k a_k ak,信号 x 2 ( t ) x_2(t) x2(t) 的傅里叶级数是 b k b_k bk,那么,信号 A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t) 的傅里叶级数就是 A a k + B b k Aa_k + Bb_k Aak+Bbk

    首先,我们先知道求傅里叶系数的过程就是一个积分的过程,如果我们用 ∫ \int 表示计算傅里叶系数(当然这样的写法不够准确,但是为了说明问题暂且先这样用)。

    所以,我们如果对信号 A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t) 求傅里叶系数: ∫ A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) \int Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t),就可以这样变换: ∫ A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) = ∫ A x 1 ( t ) + ∫ B x 2 ( t ) = A ∫ x 1 ( t ) + B ∫ x 2 ( t ) \begin{aligned} &\int Ax_1(t) + Bx_2(t) = \int Ax_1(t) + \int Bx_2(t) = A\int x_1(t) + B\int x_2(t) \end{aligned} Ax1(t)+Bx2(t)=Ax1(t)+Bx2(t)=Ax1(t)+Bx2(t)
    而我们知道: a k = ∫ x 1 ( t ) a_k = \int x_1(t) ak=x1(t) b k = ∫ x 2 ( t ) b_k = \int x_2(t) bk=x2(t),所以信号 A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) Ax_1(t) + Bx_2(t) Ax1(t)+Bx2(t) 的傅里叶系数就是: A a k + B b k Aa_k+Bb_k Aak+Bbk

    2.2 时移特性

    我们同样先看定义:

    连续时间信号傅里叶级数的时移特性:假设 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶系数是 a k a_k ak,那么 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 的傅里叶系数就是 a k e − j k ω 0 t 0 a_ke^{-jkω_0t_0} akejkω0t0,也即是说,时移并不会改变傅里叶级数的幅度,改变的是傅里叶级数的相位。

    首先根据定义,我们可以得到: a k = 1 T 0 ∫ T 0 x ( t ) e − j k ω 0 t d t a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jkω_0t}dt ak=T01T0x(t)ejkω0tdt
    下面我们对信号 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 求傅里叶级数:因为 x ( t − t 0 ) x(t-t_0) x(tt0) 只是时移,所以周期并不会改变,仍为 T 0 T_0 T0 1 T 0 ∫ x ( t − t 0 ) e − j k ω 0 t d t = e − j k ω 0 t 0 1 T 0 ∫ x ( t − t 0 ) e − j k ω 0 ( t − t 0 ) d ( t − t 0 ) = e − j k ω 0 t 0 1 T 0 ∫ x ( t ) e − j k ω 0 t d t \begin{aligned} \frac{1}{T_0}\int x(t-t_0)e^{-jkω_0t}dt &= e^{-jkω_0t_0}\frac{1}{T_0}\int x(t-t_0)e^{-jkω_0(t-t_0)}d(t-t_0)\\ &=e^{-jkω_0t_0}\frac{1}{T_0}\int x(t)e^{-jkω_0t}dt \end{aligned} T01x(tt0)ejkω0tdt=ejkω0t0T01x(tt0)ejkω0(tt0)d(tt0)=ejkω0t0T01x(t)ejkω0tdt
    注意:在最后一行我们做了变量代换:令 t = t − t 0 t = t-t_0 t=tt0

    2.3 尺度变换

    这个稍微难理解一点点,我们先推导,再给出定义:
    首先对于信号 x ( t ) x(t) x(t) ,我们有: a k = 1 T 0 ∫ T 0 x ( t ) e − j k ω 0 t d t a_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jkω_0t}dt ak=T01T0x(t)ejkω0tdt
    而我们知道,尺度变换相当于对信号做拉伸或者压缩,自然会改变原信号的周期。例如,如果信号 x ( t ) x(t) x(t) 的周期是 T ,那么信号 x ( a t ) x(at) x(at) 的周期就是 T 1 = T a T_1 = \frac{T}{a} T1=aT。那么角频率就是 ω 1 = a ω 0 ω_1 = aω_0 ω1=aω0。好,下面我们计算 x ( a t ) x(at) x(at) 的傅里叶系数,根据定义,有:
    1 T 1 ∫ T 1 x ( a t ) e − j k ω 1 t d t = a T 0 ∫ T a x ( a t ) e − j k a ω 0 t d t \begin{aligned} \frac{1}{T_1}\int_{T_1}x(at)e^{-jkω_1t}dt&=\frac{a}{T_0}\int_{\frac{T}{a}}x(at)e^{-jkaω_0t}dt \end{aligned} T11T1x(at)ejkω1tdt=T0aaTx(at)ejkaω0tdt
    所以,我们对于计算带时移的周期信号的傅里叶级数,我们首先要做的就是明确这个信号和原本信号周期、角频率之间的关系。然后才能根据定义求解。

    那么,下面我们给出定义:对于带时移的周期信号 x ( a t ) x(at) x(at),其傅里叶级数表示为: b k = a T 0 ∫ T 0 a x ( a t ) e − j k a ω 0 t d t (1) b_k = \frac{a}{T_0}\int_{\frac{T_0}{a}}x(at)e^{-jkaω_0t}dt\tag{1} bk=T0aaT0x(at)ejkaω0tdt(1)
    更进一步讲,如果我们使用 τ τ τ 表示 a t at at,那么,因为我们的积分范围就是在一个周期 T 0 a \frac{T_0}{a} aT0 内,因此,我们知道, t t t 的取值范围是: 0 ≤ t ≤ T 0 a 0 ≤ t ≤ \frac{T_0}{a} 0taT0(当然这个范围并不唯一)。那么 τ τ τ 的取值范围就是 0 ≤ τ ≤ T 0 0 ≤ τ ≤ T_0 0τT0 下面我们就把 τ τ τ 带入(1) 式: b k = a T 0 ∫ T 0 x ( τ ) e j k ω 0 τ d ( τ a )   = 1 a a T 0 ∫ T 0 x ( τ ) e j k ω 0 τ d τ = 1 T 0 ∫ T 0 x ( τ ) e j k ω 0 τ d τ = a k b_k = \frac{a}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}d(\frac{τ}{a})\\ \space\\ =\frac{1}{a}\frac{a}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}dτ = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(τ)e^{jkω_0τ}dτ = a_k bk=T0aT0x(τ)ejkω0τd(aτ) =a1T0aT0x(τ)ejkω0τdτ=T01T0x(τ)ejkω0τdτ=ak

    2.4 反转

    这里我们直接给出结论:对于周期信号 x ( t ) x(t) x(t),其傅里叶系数是 a k a_k ak。那么其反转信号 x ( − t ) x(-t) x(t) 的傅里叶系数就是 a − k a_{-k} ak,即也是对于 a k a_k ak 的反转。进一步讲,若 x ( t ) x(t) x(t) 是偶信号,那么 a k a_k ak 也是偶的。如果 x ( t ) x(t) x(t)是奇信号,那么 a − k = − a k a_{-k} = -a_k ak=ak

    2.5 时域相乘等价于频域卷积

    我们先给出结论:若 x ( t ) , y ( t ) x(t), y(t) x(t),y(t) 的傅里叶级数分别是 a k , b k a_k, b_k ak,bk,那么有: x ( t ) y ( t ) x(t)y(t) x(t)y(t) 的傅里叶级数就是: a k ∗ b k a_k*b_k akbk
    我们证明一下,直接用求傅里叶系数的公式即可: 1 T ∫ T x ( t ) y ( t ) e − j ω 0 k t d t = 1 T ∫ T ∑ l = − ∞ + ∞ a l e j ω 0 l t y ( t ) e − j ω 0 k t d t = ∑ l = − ∞ + ∞ a l 1 T ∫ T y ( t ) e − j ω 0 ( k − l ) t d t = ∑ l = − ∞ + ∞ a l b k − l = a k ∗ b k \begin{aligned} \frac{1}{T}\int_Tx(t)y(t)e^{-jω_0kt}dt &=\frac{1}{T}\int_T\sum_{l=-∞}^{+∞}a_le^{jω_0lt}y(t)e^{-jω_0kt}dt\\ &=\sum_{l=-∞}^{+∞}a_l\frac{1}{T}\int_Ty(t)e^{-jω_0(k-l)t}dt\\ &=\sum_{l=-∞}^{+∞}a_lb_{k-l} = a_k*b_k \end{aligned} T1Tx(t)y(t)ejω0ktdt=T1Tl=+alejω0lty(t)ejω0ktdt=l=+alT1Ty(t)ejω0(kl)tdt=l=+albkl=akbk

    2.6 周期卷积定理(和2.5 对偶)

    对于连续时间的、周期相同的周期信号 x ( t ) , y ( t ) x(t), y(t) x(t),y(t),我们在一个周期内的卷积,就等于它们对应的傅里叶级数相乘,再乘上周期。表述为: ∫ T x ( τ ) y ( t − τ ) d τ = T a k b k \int_Tx(τ)y(t-τ)dτ = Ta_kb_k Tx(τ)y(tτ)dτ=Takbk

    2.7 共轭以及共轭对称性

    首先我们看看第一个结论:假设周期信号 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数是 a k a_k ak,那么,如果取 x ( t ) x(t) x(t) 的共轭: x ∗ ( t ) x^*(t) x(t),那么这个共轭信号 x ∗ ( t ) x^*(t) x(t) 的傅里叶系数就应该要对 a k a_k ak 取共轭,并且进行反转,即: a − k ∗ a^*_{-k} ak
    用数学语言表述即为: x ( t ) F S ↔ a k   x ∗ ( t ) F S ↔ a − k ∗ x(t) \quad\underleftrightarrow{FS} \quad a_k\\ \space\\ x^*(t)\quad \underleftrightarrow{FS}\quad a^*_{-k} x(t) FSak x(t) FSak

    更进一步:如果 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,即 x ( t ) = x ∗ ( t ) x(t) = x^*(t) x(t)=x(t),那么应有: a k = a − k ∗ a_k = a^*_{-k} ak=ak不过我们更常用的是: a k ∗ = a − k a_k^* = a_{-k} ak=ak

    下面的几个推导大家需要跟上,否则可能会造成混乱:
    【1】若 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,而且是偶函数,即 x ( t ) = x ( − t ) x(t) = x(-t) x(t)=x(t)。那么因为 x ( − t ) x(-t) x(t) 的傅里叶级数应该是 a − k a_{-k} ak。所以应有: a k = a − k a_k = a_{-k} ak=ak,同时,我们根据 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,又可以得到: a k = a − k ∗ a_k = a^*_{-k} ak=ak综上,我们得到了一串等式: a k = a − k = a − k ∗ a_k = a_{-k} = a^*_{-k} ak=ak=ak。前面一个等号说明 a k a_k ak 也是偶的、后面的等号说明 a k a_{k} ak 是实的。 即若 x ( t ) x(t) x(t) 是实偶函数,那么其频谱将会是实偶函数

    【2】若 x ( t ) x(t) x(t) 是实信号,同时又是奇函数 x ( t ) = − x ( − t ) x(t) = -x(-t) x(t)=x(t),因为 − x ( − t ) -x(-t) x(t) 的傅里叶级数是 − a − k -a_{-k} ak。所以我们也可以得到一串等式: a k = − a − k = a − k ∗ a_k = -a_{-k} = a^*_{-k} ak=ak=ak。前一个等号表示 a k a_k ak 是奇函数、后一个等号表示 a k a_k ak 是纯虚数,因此,若 x ( t ) x(t) x(t) 是实奇函数,那么其频谱 a k a_k ak 将会是纯虚奇函数。

    【补充点】: x ( t ) x(t) x(t) 信号偶分量的傅里叶级数是 a k a_k ak 的实部,即: R e { a k } Re\{a_k\} Re{ak} x ( t ) x(t) x(t) 的奇分量的傅里叶级数是 a k a_k ak 的虚部,即: j I m { a k } j Im\{a_k\} jIm{ak}。下面给出信号奇分量和偶分量的求法: E v { x ( t ) } = x ( t ) + x ( − t ) 2   O d { x ( t ) } = x ( t ) − x ( − t ) 2 Ev\{x(t)\} = \frac{x(t) + x(-t)}{2} \\ \space\\ Od\{x(t)\} = \frac{x(t) - x(-t)}{2} Ev{x(t)}=2x(t)+x(t) Od{x(t)}=2x(t)x(t)

    2.8 微分性

    我们先给出结论: x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数是 a k a_k ak,那么 ∂ x ( t ) ∂ t \frac{\partial{x(t)}}{\partial t} tx(t) 的傅里叶系数就是: a k j ω 0 t a_k jω_0t akjω0t

    下面给出证明:我们先从 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶展开表达式入手。由于: x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t} x(t)=k=+akejkω0t
    下面我们直接对等式两边求导,得: ∂ x ( t ) ∂ t = ∑ k = − ∞ + ∞ ( a k j k ω 0 )   e j k ω 0 t \frac{\partial{x(t)}}{\partial t} = \sum_{k=-∞}^{+∞}(a_kjkω_0)\space e^{jkω_0t} tx(t)=k=+(akjkω0) ejkω0t
    因此,新的傅里叶系数就是: a k j k ω 0 a_k jkω_0 akjkω0

    利用微分型,我们一样可以计算出连续时间周期矩形信号的频谱。这里不详细展开,但是提几个突破口:

    1. 对周期矩形信号求导,将会得到有上有下的单位冲激函数。
    2. 周期为 T 的单位冲激函数串的傅里叶系数的幅值都是 a k = 1 T a_k = \frac{1}{T} ak=T1
    3. 有上有下的单位冲激函数是可以写成单位冲激函数串右移 T 1 T_1 T1 和左移 T 1 T_1 T1 的差值。再利用傅里叶系数时移的特点,即可求出周期矩形信号的频谱。

    三、帕斯瓦尔定理

    这个定理的表示简单,但是证明是比较困难的。下面我们直接给出:
    对于一个周期信号的平均功率的计算,可以把它的所有傅里叶系数的平方加起来。
    1 T ∫ T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∑ k = − ∞ + ∞ ∣ a k ∣ 2 \frac{1}{T}\int_{T}|x(t)|^2dt = \sum_{k=-∞}^{+∞}|a_k|^2 T1Tx(t)2dt=k=+ak2

    同时,我们也引入周期信号功率谱的概念:周期信号的 ∣ a k ∣ 2 |a_k|^2 ak2 随着 k ω 0 kω_0 kω0 变化的情况称为功率谱。 对应地,非周期信号还有功率谱密度,我们以后再来介绍。

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  • 第三章:3.8 周期信号的傅里叶变换

    万次阅读 多人点赞 2017-08-29 09:38:35
    傅里叶级数分解这是得到周期信号的一般方法,我们要想得到离散频谱信号可以使用这样的方法如图所示,将Fn=1TF0(w)F_n = \frac{1}{T}F_0(w)带入箭头所示的式子,2π/T就变成了w,这样就会得到右边的式子。因为单位...

    傅里叶级数分解

    这里写图片描述

    这是得到周期信号的一般方法,我们要想得到离散频谱信号可以使用这样的方法

    如图所示,将 Fn=1TF0(w) 带入箭头所示的式子,2π/T就变成了w,这样就会得到右边的式子。因为单位周期信号是间断的,所以很容易就得到了离散信号。

    这里写图片描述

    卷积

    也可以用卷积的方式加以描述

    这里写图片描述

    第一个公式可以看成是一个信号与一个周期冲击序列信号卷积的结果。他们卷积之后周期冲击序列信号就进行了周期延拓。任何一个信号都可以看成是它单个周期内的信号经过周期延拓而成。数学上可以表示为单个周期信号与周期脉冲序列卷积的结果。

    我们接下来先从几个简单的傅里叶变换开始

    正弦、余弦、复指数信号傅里叶变换

    这里写图片描述

    一般周期信号傅里叶变换

    这里写图片描述

    我们举一个例子,其中公式有的地方用到了周期信号傅里叶分解的相关知识。如果忘记可以从前面找一下相关的公式

    这里写图片描述

    我们看到,对于单位脉冲信号的傅里叶变换以及但为脉冲信号经过周期延拓之后的傅里叶变换,发现。傅里叶变换变得离散了。下面我们具体介绍一下周期延拓的知识

    信号的周期延拓

    信号在时域进行周期延拓它形成了周期信号,对应的信号频谱他发生了离散化。对于信号的周期延拓可以使用信号与周期冲击序列卷积来描述。于是对于信号的频谱分析就可以借助于信号的傅里叶变换的卷积特性进行分析。于是时域的卷积在频域就成了相乘的关系。乘积后的信号实际上就是对原来的信号进行了离散化。

    这里写图片描述

    最后我们举两个例子

    这里写图片描述

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    这里写图片描述

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  • 1.3 扩展分析:当周期信号的周期T很大的情况下的频谱 二、非周期矩形信号的频谱【由x(t)求X(f)】 三、如何通过频谱X(f)求信号x(t) 四、傅里叶变换 一、周期方波的频谱分析【由x(t)求X(f)】 1.1 周期方波的复...

    一、周期方波的频谱分析【由x(t)求X(f)】

    1.1 周期方波的复傅里叶系数与sinc函数的关系

    在之前文章中,我们已经会求 a c o s ω 0 t − b s i n ω 0 t acosω_0t - bsinω_0t acosω0tbsinω0t的复傅里叶系数了,下面我们来看这种矩形波的复傅里叶系数的求解(我们设这个方波的周期为 T 0 T_0 T0好了)

    k = -8:0.001:8;   %频率
    plot(k, 0.5+0.5*square(2*pi*k+0.5*pi, 50));    
    %上面这段代码的注释:主要针对square()函数
    %2*pi*k代表了角速度ω, +0.5*pi主要是为了将这个方波平移到和k=0所在纵轴对称的位置,便于计算
    %50表示占空比:50%,即方波
    
    axis([-8 8 -0.5 +1.5]);
    grid on;
    

    c m = 1 T 0 ∫ − T 0 2 + T 0 2 x ( t ) e − j m ω 0 t d t c_m = \frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{+\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-jmω_0t}dt cm=T012T0+2T0x(t)ejmω0tdt
    c 0 = 1 T 0 ∫ − T 0 2 + T 0 2 x ( t ) d t = 1 2 = 0.5 c_0 = \frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{+\frac{T_0}{2}}x(t)dt = \frac{1}{2} = 0.5 c0=T012T0+2T0x(t)dt=21=0.5
    c k = 1 T 0 ∫ − T 0 2 + T 0 2 x ( t ) e − j k ω 0 t d t = 1 T 0 ∫ − T 0 4 + T 0 4 [ c o s ( k ω 0 t ) − j s i n ( k ω 0 t ) ] d t = 1 T 0 ∫ − T 0 4 + T 0 4 c o s ( k ω 0 t ) d t − j T 0 ∫ − T 0 4 + T 0 4 s i n ( k ω 0 t ) d t = 1 T 0 ∫ − T 0 4 + T 0 4 c o s ( k ω 0 t ) d t = 1 T 0 k ω 0 ∫ − T 0 4 + T 0 4 c o s ( k ω 0 t ) d ( k ω 0 t ) = 2 s i n ( k ω 0 T 0 4 ) T 0 k ω 0 = 1 2 s i n ( k ω 0 T 0 4 ) k ω 0 T 0 4 \begin{aligned} c_k &= \frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{+\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-jkω_0t}dt\\ &=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}[cos(kω_0t) - jsin(kω_0t)]dt\\ &=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}cos(kω_0t)dt - \frac{j}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}sin(kω_0t)dt\\ &=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}cos(kω_0t)dt\\ &=\frac{1}{T_0kω_0}\int_{-\frac{T_0}{4}}^{+\frac{T_0}{4}}cos(kω_0t)d(kω_0t)\\ &=\frac{2sin(kω_0\frac{T_0}{4})}{T_0kω_0}\\ &=\frac{1}{2}\frac{sin(kω_0\frac{T_0}{4})}{kω_0\frac{T_0}{4}} \end{aligned} ck=T012T0+2T0x(t)ejkω0tdt=T014T0+4T0[cos(kω0t)jsin(kω0t)]dt=T014T0+4T0cos(kω0t)dtT0j4T0+4T0sin(kω0t)dt=T014T0+4T0cos(kω0t)dt=T0kω014T0+4T0cos(kω0t)d(kω0t)=T0kω02sin(kω04T0)=21kω04T0sin(kω04T0)
    由于 T = 2 Π ω 0 T = \frac{2Π}{ω_0} T=ω02Π,因此,上面 c k c_k ck的表达式为:
    c k = 1 2 s i n ( k Π 2 ) k Π 2 c_k =\frac{1}{2}\frac{sin(\frac{kΠ}{2})}{\frac{kΠ}{2}} ck=212kΠsin(2kΠ)

    而在matlab中,这种矩形波的复傅里叶系数可以用一个函数sinc()来表示:我们来看看辛格函数(sinc)的样子:

    k = -8:1:8;
    y = sinc(k);
    plot(k, y), grid();
    

    s i n c ( k ) = s i n ( k Π ) k Π sinc(k) = \frac{sin(kΠ)}{kΠ} sinc(k)=kΠsin(kΠ)

    根据我们刚刚推导出来的矩形波的复傅里叶系数 c k c_k ck的表达式: c k = 1 2 s i n ( k Π 2 ) k Π 2 c_k =\frac{1}{2}\frac{sin(\frac{kΠ}{2})}{\frac{kΠ}{2}} ck=212kΠsin(2kΠ)
    我们可以得到: c k = 1 2 s i n c ( k 2 ) c_k= \frac{1}{2}sinc(\frac{k}{2}) ck=21sinc(2k)

    下面,我们来看看上面矩形波的频谱:(注意:我们k的取值是整数!)

    k = -8:1:8;   %这里只是画了一小部分,事实上频谱是无限延申的!
    stem(k, 0.5*sinc(0.5*k));
    

    1.2. 占空比为0.25的矩形波的复傅里叶系数和频谱

    下面,我们继续用Matlab画一个脉冲宽度和上面的呃方波一样,但是占空比为25%的矩形波,这意味着这个矩形波的周期变为了原来方波的2倍!即T = 2 T 0 T_0 T0

    k = -8:0.001:8;
    plot(k, 0.5+0.5*square(2*pi*k + 0.25*pi, 25));  
    axis([-8 8 -0.5 +1.5]);
    grid on;
    

    我们来看看 c 0 c_0 c0 c 0 = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ( t ) d t = 1 T ∫ − T 8 T 8 d t = 1 4 \begin{aligned} c_0 &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dt\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{8}}^{\frac{T}{8}}dt = \frac{1}{4} \end{aligned} c0=T12T2Tx(t)dt=T18T8Tdt=41
    c k = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j k ω 0 t d t = 1 T ∫ − T 8 T 8 e − j k ω 0 t d t = 1 T ∫ − T 8 T 8 ( c o s k ω 0 t − j s i n k ω 0 t ) d t = 1 k ω 0 T ∫ − T 8 T 8 c o s k ω 0 t d ( k ω 0 t ) = 1 4 s i n ( k ω 0 T 8 ) k ω 0 T 8 \begin{aligned} c_k &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jkω_0t}dt \\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{8}}^{\frac{T}{8}}e^{-jkω_0t}dt \\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{8}}^{\frac{T}{8}}(coskω_0t - jsinkω_0t)dt\\ &=\frac{1}{kω_0T}\int_{-\frac{T}{8}}^{\frac{T}{8}}coskω_0td(kω_0t)\\ &=\frac{1}{4}\frac{sin(kω_0\frac{T}{8})}{\frac{kω_0T}{8}} \end{aligned} ck=T12T2Tx(t)ejkω0tdt=T18T8Tejkω0tdt=T18T8T(coskω0tjsinkω0t)dt=kω0T18T8Tcoskω0td(kω0t)=418kω0Tsin(kω08T)
    由于 ω 0 = 2 Π T ω_0 = \frac{2Π}{T} ω0=T2Π,因此带入得: c k = 1 4 s i n ( k Π 4 ) k Π 4 = 1 4 s i n c ( k 4 ) c_k = \frac{1}{4}\frac{sin(\frac{kΠ}{4})}{\frac{kΠ}{4}} = \frac{1}{4}sinc(\frac{k}{4}) ck=414kΠsin(4kΠ)=41sinc(4k)
    我们画出它得频谱:

    t = -16:1:16;
    stem(k, 0.25.*sinc(k/4));
    grid on;
    

    1.3 扩展分析:当周期信号的周期T很大的情况下的频谱

    综合上面的分析我们发现:当 T = T 0 T = T_0 T=T0时,我们通过第一个频谱发现,频率成分还是比较零散的
    T = 2 T 0 T = 2T_0 T=2T0时,频谱成分就比较多了,频谱图也变得比较密集。
    当T继续增大时,我们来比较一下频谱:

    我们发现:相同频率处的谱线幅度随着周期的增大而减小,相同带宽内的谱线数量随着周期的增大而增多(谱线密度随着周期的增大而增大)

    当T 趋近于无穷大,即信号不是周期信号时,我们再来看看这个信号的频谱长什么样:

    因此,对于周期信号,使用离散频谱进行分析非常便捷,但是对于非周期信号,使用这种离散型频谱就显得非常复杂了。
    这是因为:随着T的无限增大,频率谱线的间据越来越小,用于描述频率的复傅里叶系数 c k c_k ck无穷多!

    二、非周期矩形信号的频谱【由x(t)求X(f)】

    当我们的信号是非周期信号时,我们使用连续谱来分析:
    连续谱是用一个个宽度为 △ f △f f,高度为: c k △ f \frac{c_k}{△f} fck的矩形的顶端连成的阶梯状折现就构成了非周期信号的频谱密度曲线:

    X R ( f ) X_R(f) XR(f)(纵坐标)对应的就是频谱密度,即为: c k △ f \frac{c_k}{△f} fck,那么我们有: c k △ f = c k T = ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j k ω 0 t d t \frac{c_k}{△f} = c_kT = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jkω_0t}dt fck=ckT=2T2Tx(t)ejkω0tdt
    【下面,我们也来看看周期信号的连续谱】:
    通过前几节的学习我们发现:

    1. 当T = T 0 T_0 T0,且脉冲宽度为: T 0 2 \frac{T_0}{2} 2T0时: c k = 1 2 s i n c ( k 2 ) c_k = \frac{1}{2}sinc(\frac{k}{2}) ck=21sinc(2k)
    2. 当T = 2 T 0 2T_0 2T0,且脉冲宽度为: T 0 2 \frac{T_0}{2} 2T0时: c k = 1 4 s i n c ( k 4 ) c_k = \frac{1}{4}sinc(\frac{k}{4}) ck=41sinc(4k)
    3. 当T = 4 T 0 4T_0 4T0,且脉冲宽度为: T 0 2 \frac{T_0}{2} 2T0时, c k = 1 8 s i n c ( k 8 ) c_k = \frac{1}{8}sinc(\frac{k}{8}) ck=81sinc(8k)

    综上,我们可以归纳出: c k = 1 2 T 0 T s i n c ( k 2 T 0 T ) (1) c_k = \frac{1}{2}\frac{T_0}{T}sinc(\frac{k}{2}\frac{T_0}{T})\tag{1} ck=21TT0sinc(2kTT0)(1)
    对于非周期信号,也即是T -> ∞时, k T − > 1 T = f \frac{k}{T} -> \frac{1}{T} = f Tk>T1=f,因此上式变为: c k T = c k △ f = T 0 2 s i n c ( T 0 2 f ) (2) c_kT = \frac{c_k}{△f} = \frac{T_0}{2}sinc(\frac{T_0}{2}f)\tag{2} ckT=fck=2T0sinc(2T0f)(2)
    其中, T 0 2 \frac{T_0}{2} 2T0是矩形波的脉冲宽度。对比(1)式和(2)式,我们发现: f = k △ f f = k△f f=kf
    那么,结合我们一开始的式子: c k △ f = c k T = ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j k ω 0 t d t = ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j k 2 Π △ f t d t = ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j 2 Π f t d t \begin{aligned} \frac{c_k}{△f} = c_kT &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jkω_0t}dt\\ &=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk2Π△ft}dt\\ &=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j2Πft}dt \end{aligned} fck=ckT=2T2Tx(t)ejkω0tdt=2T2Tx(t)ejk2Πftdt=2T2Tx(t)ej2Πftdt
    上式就是周期信号的连续谱函数,那么非周期信号T -> ∞时,上式变为: X ( f ) = c k △ f = c k T = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j 2 Π f t d t X(f) = \frac{c_k}{△f} = c_kT = \int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{-j2Πft}dt X(f)=fck=ckT=+x(t)ej2Πftdt
    上式就是非周期信号的频谱!

    【辨析】:一串非周期矩形脉冲信号的频谱和单个矩形脉冲信号的频谱是不一样的!!分析频谱时一般不会一次分析一串脉冲信号的频谱,而只是一次分析一个脉冲信号的频谱,所以分析一串脉冲信号的频谱没什么实用价值。

    三、如何通过频谱X(f)求信号x(t)

    这里博主对它的推导过程还存在一点疑问,先把公式贴出来: x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ X ( f ) e j 2 Π f t d f x(t) = \int_{-∞}^{+∞}X(f)e^{j2Πft}df x(t)=+X(f)ej2Πftdf

    四、傅里叶变换

    我们上面所讲到的,由 x ( t ) x(t) x(t)求频谱 X ( f ) X(f) X(f)的过程成为傅里叶正变换,由频谱 X ( f ) X(f) X(f)求信号 x ( t ) x(t) x(t)的过程称为傅里叶逆变换:

    X ( f ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j 2 Π f t d t X(f) = \int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{-j2Πft}dt X(f)=+x(t)ej2Πftdt傅里叶正变换
    x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ X ( f ) e j 2 Π f t d f x(t) = \int_{-∞}^{+∞}X(f)e^{j2Πft}df x(t)=+X(f)ej2Πftdf傅里叶逆变换

    如果把 2 Π f 2Πf 2Πf用ω替换,那么也是可以的:

    X ( f ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t X(f) = \int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{-jωt}dt X(f)=+x(t)ejωtdt傅里叶正变换
    x ( t ) = 1 2 Π ∫ − ∞ + ∞ X ( f ) e j ω t d ω x(t) = \frac{1}{2Π}\int_{-∞}^{+∞}X(f)e^{jωt}dω x(t)=2Π1+X(f)ejωtdω傅里叶逆变换
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    如果一个非周期信号在时域被一序列的冲击函数抽样,那么对于频域会有什么样的变化呢。

    定义时域抽样序列单位冲击函数为:\delta_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT_0)

    因为已经知道\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega - n\omega_0)的时域函数是\frac{T_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT0)

    那么\delta_s(t)的频域函数是\frac{2\pi}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega - n\omega_0)


    根据频域卷积定理

    \mathbb{F}[F_s(t)]=\frac{1}{2\pi}F(\omega)*\frac{2\pi}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega -n\omega_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega - n\omega_0)

    结论:非周期信号在时域抽样之后,频域变为周期信号,幅度变为原来的\frac{1}{T_0}倍。


    假定原始信号的频谱宽度为(-\omega_a ,+\omega_a),那么采样间隔\omega_0至少是2倍的\omega_a,换算成时间域里面就是采样频率f_0\geq 2f_a

    如何从抽样信号里面无失真恢复原始信号呢?

           假定没有产生混叠效应,如果在频域使用一个矩形函数跟抽样信号的频率函数相乘,就可以截取一个周期的频谱,对应于原始信号的频谱函数,这样原始信号就恢复了。实现起来可以这样理解,频域相乘对应于时域相卷积。而卷积的过程就是让信号通过滤波器。我们要的矩形函数是低通滤波的频率函数,意思就是让抽样信号通过合适的低通滤波器就可以还原原始信号。

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周期信号相乘的周期