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  • 这里讲一下算法中常用到的唯一因子分解定理: 合数a仅能以一种方式写成如下乘积形式: a = p1^e1*p2^e2*...*pr^er 其中pi为素数,p1<p2<...<pr,且ei为正整数。例如数6000=2^4*3*5^3。 证明就不讲了,...

    这里讲一下算法中常用到的唯一因子分解定理:

    合数a仅能以一种方式写成如下乘积形式:

        a = p1^e1*p2^e2*...*pr^er
        其中pi为素数,p1<p2<...<pr,且ei为正整数。例如数6000=2^4*3*5^3。

    证明就不讲了,网上一抓一大把,这里应用这个定理写了一个类,可以在分解合数的时候增加效率。

    #include <iostream>
    #include <vector>
    #include <cstring>
    
    using namespace std;
    
    #define maxn 65535
    
    class Resolve
    {
    public:
        bool list[maxn];
        vector<long long> v;
        Resolve()
        {
            find_Prime();
        }
        void find_Prime()
        {
            memset(list,true,sizeof(list));
            for(long long i=2;i<=maxn;i++)
            {
                for(long long j=i*i;j<=maxn;j+=i)
                {
                    list[j]=false;
                }
            }
            for(long long i=2;i<=maxn;i++)
            {
                if(list[i])
                    v.push_back(i);
            }
        }
        vector<long long> reso(long long x)
        {
            vector<long long>ans;
            long long k=0;
            while(x>1)
            {
                if(x%v[k]==0)
                {
                    ans.push_back(v[k]);
                    x/=v[k];
                    continue;
                }
                k++;
            }
            return ans;
        }
        ~Resolve()
        {
            vector<long long>().swap(v);
            delete[] list;
        }
    };

    最后再附上释放向量vector内存的方法。

    //方法一
    vector<int>v;
    //释放语句
    vector<int>().swap(v);
    
    //方法二,动态创建对象时
    vector<int> *v=new vector<int>();
    //释放语句
    delete[] v;

     

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  • 1.唯一分解定理,也叫算术基本定理,指的是任何n>=2,都可以分解为n=p1* p2 * p3 * … * pn,其中pi为质数。 其包括两个断言: 断言1:数n可以以某种方式分解成素数乘积。 断言2:仅有一种这样的因数分解。(除...

    1.唯一分解定理,也叫算术基本定理,指的是任何n>=2,都可以分解为n=p1* p2 * p3 * … * pn,其中pi为质数。

    其包括两个断言:

    断言1:数n可以以某种方式分解成素数乘积。

    断言2:仅有一种这样的因数分解。(除因数重排外)。

    其可以化简为
    在这里插入图片描述
    另有一些推论:
    在这里插入图片描述
    推论(2)中的公式还可以进一步推导为
    在这里插入图片描述

    写法一,对单个n的时间复杂度为O(n):
    求n的所有素因子数列a

    public static void main(String args[])  
       	long n=0;
       	int maxn=100007;//存起来绰绰有余,毕竟2的100次方就有18位了
       	long a[]=new long[maxn];
       	int cnt=0;
       	for(long i=2;i*i<=n;i++) {
       		while(n%i==0) {
       			a[cnt++]=i;
       			n/=i;
       		}
       	}
       	if(n!=1) {//如果n是一个合数,那么它的分解素因子只可能有一个大于sqrt(n)的;
       		//原因:设d能整除n,则n=d*n/d,则min(d,n/d)<=sqrt(n)。
       		a[cnt++]=n;
       	}
       }
    

    写法二,先把一定范围内的素数筛出来,然后再让n对素数进行遍历除等。对大量n比写法一更省时间。

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  • 唯一分解定理

    2018-11-26 19:30:43
    唯一分解定理是数论中重要的思想之一。简述就是一个大于一的整数N,可以由他的素因子唯一构成。证明用到了反证法。 数学 假设N是大于一的正整数,我们有: N=q1^p1*q2^p2*……*qn^pn q1……qn是N的质因数 有...

    简介

    唯一分解定理是数论中重要的思想之一。简述就是一个大于一的整数N,可以由他的素因子唯一构成。证明用到了反证法。

    数学

    假设N是大于一的正整数,我们有:

    N=q1^p1*q2^p2*……*qn^pn
    

    q1……qn是N的质因数
    有如下性质:

     1. 约数个数 = (p1+1)*(p2+1)*……*(pn+1)
     2. 约数和 = (1+q1+……+q1^p1)*(1+q2+……+q2^p2)*……*(1+qn+……+qn^pn)
    

    质因数分解

    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    	{
    		if(n%i==0)
    		{
    			a[k++]=i;//将素因数存在数组中
    			while(n%i==0)n/=i;//将所有的素因数除掉
    		}
    		if(n==1)break;
    	}
    	if(n!=1)a[k++]=n;
    
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  • 算术基本定理(唯一分解定理) 一句话:   任何大于1的自然数,都可以唯一分解成有限个质数的乘积 例如对于大于1的自然数n,  这里Pii均为质数,其指数aii是正整数。  这样的分解称为的标准分解式。 唯一...

    算术基本定理(唯一分解定理)

    一句话: 
         
    任何大于1的自然数,都可以唯一分解成有限个质数的乘积

    例如对于大于1的自然数n, 
    来自维基百科 
    这里Pii均为质数,其指数aii是正整数。 
    这样的分解称为的标准分解式


    唯一分解定理具有: 
     ①唯一性(分配方式的唯一性) 
     ②存在性    


    证明:

    百度百科+自己胡搞了+自己以前做的笔记

    ①唯一性 
      首先明确一个事实,若p是ab的约数(p|ab,p可以整除ab),则p不是a的约数,就是b的约数。 
      如果p是a的约数则证毕。如果p不是a的约数,则p和a的最大公约数为1。 
      则由裴蜀定理推得,因为使a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1。 
      于是b=b(ma+np) =abm+bnp(……); 
      因为先前已经知道p是ab的约数,则上式右边两项都可以被p整除。 
      所以p就是b的约数。 
      唯一性得证。 
       
    ②存在性 
      假设n为不能被分为质数的乘积的自然数之一,切n为最小 
      因为设n为大于1的合数(如果n为质数,则只有n=n,显然这是质数的乘积) 
      因为每个合数都可以分为两个大于1小于它的两自然数的乘积 
      所以n=a×b 
      又因为n为不能被分为质数的乘积的自然数中最小的一个 
      所以a和b可以分为质数的乘积 
      所以n已就可以分为质数的乘积,与假设不符合,故假设错误 
      存在性得证。 


    定理应用:

    (1)一个大于1的正整数N,如果它的标准分解式为:  

    ,那么它的正因数个数为                      

    (2) 它的全体正因数之和为

      

    当  

    时就称N为完全数。 是否存在奇完全数,是一个至今未解决之猜想。

    (3) 利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子 gcd(a,b)

    最小公倍数 lcm(a,b), 并证明

     a*b=gcd(a,b) * lcm(a,b) 

    (原来这里直接用的结论,现在知道如何证明的了,证明见下)

    (4)此外还可证明根号2是无理数等等。

    (5)证明素数个数无限。 


    证明(3):(用唯一分解定理)

      现在我们来看下下下面这个式子: 
      已知gcd[最小公约数] (a,b),lcm[最大公倍数] (a,b); 
      a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b) 
       
      a=12;b=14 
      gcd(a,b)=2 ; lcm(a,b)=84 ; 
      tot=168 [gcd(a,b)×lcm(a,b)] 
      a×b=12×14=168 
      然后 
      12=3×4 
      14=2×7 
      : 
      : 
      12=2^1×2^1×3^1 
      14=2^1×7^1 
      所以 max=7^1×3^1×=21 
         min=2^1×2^1×2^1=8 
         min×max=168 = gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b 
       
      所以gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b 
       
      证明: 
      设x=gcd(a,b),y=lcm(a,b) 
      则a=m×x,b=n×x,m与n互质 
      故y=m×n*x 
      因此x×y=x×(m×n×x)=(m×x)×(n×x)=a×b 
      即a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)

    证明完毕


    另加一个用欧拉函数求小于等于n的和n互质的数的数量 
    公式:

    phi(n) = n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pn)      容斥很爆炸

    例如 n=12

    12=2^2*3^1

    phi(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4

    与 12 互质的数量是 4个,分别是 1,5,7,11

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唯一因子分解定理的证明