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  • 主成分分析与因子分析及SPSS实现

    万次阅读 多人点赞 2018-05-25 11:27:12
    主成分分析与因子分析及SPSS实现一、主成分分析(1)问题提出在问题研究中,为了不遗漏和准确起见,往往会面面俱到,取得大量的指标来进行分析。比如为了研究某种疾病的影响因素,我们可能会收集患者的人口学资料、...

    主成分分析与因子分析及SPSS实现

    一、主成分分析

    (1)问题提出
    在问题研究中,为了不遗漏和准确起见,往往会面面俱到,取得大量的指标来进行分析。比如为了研究某种疾病的影响因素,我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标。如果将这些指标直接纳入多元统计分析,不仅会使模型变得复杂不稳定,而且还有可能因为变量之间的多重共线性引起较大的误差。有没有一种办法能对信息进行浓缩,减少变量的个数,同时消除多重共线性?
    这时,主成分分析隆重登场。
    (2)主成分分析的原理
    主成分分析的本质是坐标的旋转变换,将原始的n个变量进行重新的线性组合,生成n个新的变量,他们之间互不相关,称为n个“成分”。同时按照方差最大化的原则,保证第一个成分的方差最大,然后依次递减。这n个成分是按照方差从大到小排列的,其中前m个成分可能就包含了原始变量的大部分方差(及变异信息)。那么这m个成分就成为原始变量的“主成分”,他们包含了原始变量的大部分信息。
    注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量,而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。
    我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。假设现在有两个变量X1、X2,在坐标上画出散点图如下:

     

    可见,他们之间存在相关关系,如果我们将坐标轴整体逆时针旋转45°,变成新的坐标系Y1、Y2,如下图:
    根据坐标变化的原理,我们可以算出:
    Y1 = sqrt(2)/2 * X1 + sqrt(2)/2 * X2
    Y2 = sqrt(2)/2 * X1 – sqrt(2)/2 * X2
    其中sqrt(x)为x的平方根。
    通过对X1、X2的重新进行线性组合,得到了两个新的变量Y1、Y2。
    此时,Y1、Y2变得不再相关,而且Y1方向变异(方差)较大,Y2方向的变异(方差)较小,这时我们可以提取Y1作为X1、X2的主成分,参与后续的统计分析,因为它携带了原始变量的大部分信息。
    至此我们解决了两个问题:降维和消除共线性。
    对于二维以上的数据,就不能用上面的几何图形直观的表示了,只能通过矩阵变换求解,但是本质思想是一样的。
     
    二、因子分析
    (一)原理和方法:
    因子分析是主成分分析的扩展。
    在主成分分析过程中,新变量是原始变量的线性组合,即将多个原始变量经过线性(坐标)变换得到新的变量。
    因子分析中,是对原始变量间的内在相关结构进行分组,相关性强的分在一组,组间相关性较弱,这样各组变量代表一个基本要素(公共因子)。通过原始变量之间的复杂关系对原始变量进行分解,得到公共因子和特殊因子。将原始变量表示成公共因子的线性组合。其中公共因子是所有原始变量中所共同具有的特征,而特殊因子则是原始变量所特有的部分。因子分析强调对新变量(因子)的实际意义的解释。
    举个例子:
    比如在市场调查中我们收集了食品的五项指标(x1-x5):味道、价格、风味、是否快餐、能量,经过因子分析,我们发现了:
    x1 = 0.02 * z1 + 0.99 * z2 + e1
    x2 = 0.94 * z1 – 0.01 * z2 + e2
    x3 = 0.13* z1 + 0.98 * z2 + e3
    x4 = 0.84 * z1 + 0.42 * z2 + e4
    x5 = 0.97 * z1 – 0.02 * z2 + e1
    (以上的数字代表实际为变量间的相关系数,值越大,相关性越大)
    第一个公因子z1主要与价格、是否快餐、能量有关,代表“价格与营养”
    第二个公因子z2主要与味道、风味有关,代表“口味”
    e1-5是特殊因子,是公因子中无法解释的,在分析中一般略去。
    同时,我们也可以将公因子z1、z2表示成原始变量的线性组合,用于后续分析。
    (二)使用条件:
    (1)样本量足够大。通常要求样本量是变量数目的5倍以上,且大于100例。
    (2)原始变量之间具有相关性。如果变量之间彼此独立,无法使用因子分析。在SPSS中可用KMO检验和Bartlett球形检验来判断。
    (3)生成的公因子要有实际的意义,必要时可通过因子旋转(坐标变化)来达到。
     
    三、主成分分析和因子分析的联系与区别
    联系:两者都是降维和信息浓缩的方法。生成的新变量均代表了原始变量的大部分信息且互相独立,都可以用于后续的回归分析、判别分析、聚类分析等等。
    区别:
    (1)主成分分析是按照方差最大化的方法生成的新变量,强调新变量贡献了多大比例的方差,不关心新变量是否有明确的实际意义。
    (2)因子分析着重要求新变量具有实际的意义,能解释原始变量间的内在结构。
     
    SPSS没有提供单独的主成分分析方法,而是混在因子分析当中,下面通过一个例子来讨论主成分分析与因子分析的实现方法及相关问题。
     
    一、问题提出
     
    男子十项全能比赛包含100米跑、跳远、跳高、撑杆跳、铅球、铁饼、标枪、400米跑、1500米跑、110米跨栏十个项目,总分为各个项目得分之和。为了分析十项全能主要考察哪些方面的能力,以便有针对性的进行训练,研究者收集了134个顶级运动员的十项全能成绩单,将通过因子分析来达到分析目的。
     
    二、分析过程
     
    变量视图:
     
    数据视图(部分):
    菜单选择(分析->降维->因子分析):

    打开因子分析的主界面,将十项成绩选入”变量“框中(不要包含总分),如下:
    点击”描述“按钮,打开对话框,选中”系数“和”KMO和Bartlett球形度检验“:

    上图相关解释:
    ”系数“:为变量之间的相关系数阵列,可以直观的分析相关性。
    ”KMO和Bartlett球形度检验“:用于定量的检验变量之间是否具有相关性。
    点击”继续“,回到主界面,点击”抽取“,打开对话框。
    ”方法“ =>”主成分“,”输出“=>”未旋转的因子解“和”碎石图“,”抽取“=>”基于特征值“,其余选择默认。

    解释:
    ①因子抽取的方法:选取默认的主成分法即可,其余方法的计算结果可能有所差异。
    ②输出:”未旋转的因子解”极为主成分分析结果。碎石图有助于我们判断因子的重要性(详细介绍见后面)。
    ③抽取:为抽取主成分(因子)的方法,一般是基于特征值大于1,默认即可。
    点击”继续“,回到主界面,点击”确定“,进入分析。
    输出的主要表格如下:
    (1)相关性检验
    因子分析要求变量之间有相关性,所以首先要进行相关性检验。首先输出的是变量之间的相关系数矩阵:

    可以直观的看到,变量之间有相关性。但需要检验,接着输出的是相关性检验:
    上图有两个指标:第一个是KMO值,一般大于0.7就说明不了之间有相关性了。第二个是Bartlett球形度检验,P值<0.001。综合两个指标,说明变量之间存在相关性,可以进行因子分析。否则,不能进行因子分析。
    (2)提取主成分和公因子
    接下来输出主成分结果:

    这就是主成分分析的结果,表中第一列为10个成分;第二列为对应的”特征值“,表示所解释的方差的大小;第三列为对应的成分所包含的方差占总方差的百分比;第四列为累计的百分比。一般来说,选择”特征值“大于1的成分作为主成分,这也是SPSS默认的选择。
    在本例中,成分1和2的特征值大于1,他们合计能解释71.034%的方差,还算不错。所以我们可以提取1和2作为主成分,抓住了主要矛盾,其余成分包含的信息较少,故弃去。
    下面,输出碎石图,如下:
    碎石图来源于地质学的概念。在岩层斜坡下方往往有很多小的碎石,其地质学意义不大。碎石图以特征值为纵轴,成分为横轴。前面陡峭的部分特征值大,包含的信息多,后面平坦的部分特征值小,包含的信息也小。
    由图直观的看出,成分1和2包含了大部分信息,从3开始就进入平台了。
    接下来,输出提取的成分矩阵:

    上表中的数值为公因子与原始变量之间的相关系数,绝对值越大,说明关系越密切。公因子1和9个运动项目都正相关(注意跑步运动运动的计分方式,时间越短,分数越高),看来只能称为“综合运动”因子了。公因子2与铁饼、铅球正相关,与1500米跑、400米跑负相关,这究竟代表什么意思呢?看来只能成为“不知所云”因子了。
    (三)因子旋转
    前面提取的两个公因子一个是大而全的“综合因子”,一个不知所云,得到这样的结果,无疑是分析的失败。不过,不要灰心,我们可以通过因子的旋转来获得更好的解释。在主界面中点击“旋转”按钮,打开对话框,“方法”=>“最大方差法”,“输出”=>“旋转解”。

    点击“继续”,回到主界面点击“确认”进行分析。输出结果如下:
    这是选择后的成分矩阵。经过旋转,可以看出:
    公因子1得分越高,所有的跑步和跨栏成绩越差,而跳远、撑杆跳等需要助跑类项目的成绩也越差,所以公因子1代表的是奔跑能力的反向指标,可称为“奔跑能力”。
    公因子2与铁饼和铅球的正相关性很高,与标枪、撑杆跳等需要上肢力量的项目也正相关,所以该因子可以成为“上肢力量”。
    经过旋转,可以看出公因子有了更合理的解释。
    (四)结果的保存
    在最后,我们还要将公因子储存下来供后续使用。点击“得分”按钮,打开对话框,选中“保存为变量”,方法采用默认的“回归”方法,同时选中“显示因子得分系数矩阵”。

    SPSS会自动生成2个新变量,分别为公因子的取值,放在数据的最后。同时会输出一个因子系数表格:

    由上图,我们可以写出公因子的表达式(用F1、F2代表两个公因子,Z1~Z10分别代表原始变量):

    F1 = -0.16*Z1+0.161*Z2+0.145*Z3+0.199*Z4-0.131*Z5-0.167*Z6+0.137*Z7+0.174*Z8+0.131*Z9-0.037*Z10
    F2同理,略去。
    注意,这里的变量Z1~Z10,F1、F2不再是原始变量,而是标准正态变换后的变量。
    展开全文
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  • R-因子分析(主成分提取法)

    千次阅读 2020-03-23 10:59:58
    R-使用空气质量数据做因子分析(主成分提取法) 首先,加载我们需要用到的包, install.packages("corrplot")#相关系数矩阵可视化 install.packages("psych")#因子分析,本次实验使用其平行分析的能力 #另外需要下载...

    R-使用空气质量数据做因子分析(主成分提取法)

    首先,加载我们需要用到的包,

    install.packages("corrplot")#相关系数矩阵可视化
    install.packages("psych")#因子分析,本次实验使用其平行分析的能力
    #另外需要下载mvstat程序包,安装到library的路径下
    

    读取我们准备好的数据

    airquality <- read.csv("C:/Users/LRT/Desktop/graduate/paper/data/Airdata.csv", 
                           sep=",", header = TRUE,stringsAsFactors = FALSE)
    

    因为原始数据中的变量名称都是中文,所以先简化一次变量名称

    colnames(airquality) <- c("city", "SO2", "NO2","PM10", "CO","O3","PM2.5","days","rain")
    

    简化结束后,查看数据结构等

    #查看数据结构
    summary(airquality)
    str(airquality)
    

    进行因子分析时,需要先检验变量之间的相关性,在这里先将变量之间的相关系数进行可视化

    #相关系数矩阵及具有双色表正负相关
    airquality_cor <- cor(airquality[2:9], method = "spearman")#spearman法求相关系数矩阵
    library(corrplot)#加载corrplot包
    corrplot.mixed(airquality_cor, number.cex = .9)#绘制混合型相关系数矩阵图
    

    效果如图:在这里插入图片描述
    只有图形展示还是不够的,我们需要进行KMO和巴雷特球形检验

    #巴雷特球形检验&KMO检验
    library(psych)#加载检验用到的包
    cortest.bartlett(airquality_cor)#巴雷特球形检验
    KMO(airquality_cor)#kmo检验
    

    注意这里的KMO函数书写格式必须为大写
    检验结果如图,且结果说明适合做因子分析。KMO
    在这里插入图片描述
    接下来需要判断这几个变量需要提取几个因子

    #判断需要提取的公因子个数
    library(psych)#加载检验用到的包
    fa.parallel(airquality_cor, n.obs = 320, 
                fa = "fa", n.iter = 100)#制作碎石图判断个数
    

    代码中,fa表示适合提取的因子个数,如改成pc则表示主成分个数,如果都想展示就改成both,n.iter为要执行的模拟分析的数量。
    结果如图:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里R建议我们选择两个因子
    接下来进行主成分法提取因子,并对因子进行最大方差旋转,最后得到一系列我们需要的值

    library(mvstats)
    airquality_score <- factpc(airquality[2:9],2,rotation="varimax",scores = "regression")
    airquality_score$Vars#输出因子方差、方差贡献率以及累计方差贡献率
    airquality_score$loadings#输出因子载荷矩阵
    airquality_score$scores#输出因子得分
    airquality_score$Rank#输出排名
    factor.plot(airquality_score,labels = rownames(airquality_score$loadings),
                title = "Factor Analysis",pos = "3")
    

    其中,计算得分的方法可以为regression(回归),也可以为bartlett(巴雷特)。
    最后依据结果进行分析即可。

    展开全文
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  • 因子分析在SPSS中的操作过程及结果解读

    万次阅读 多人点赞 2019-01-14 16:28:27
    因子分析在SPSS中的操作过程及结果解读 笔者在做该项研究时在网络上查阅了大量资料,都写得不够十分完整,所以该篇文章将因子分析从前到后做一个通俗易懂的解释,全文并不涉及非常晦涩的公式原理。 一.因子分析是...

    因子分析在SPSS中的操作过程及结果解读

    笔者在做该项研究时在网络上查阅了大量资料,都写得比较专业,所以该篇文章将因子分析从前到后做一个通俗易懂的解释,全文并不涉及非常晦涩的公式原理。

    一.因子分析是什么:

    1.因子分析:

    因子分析模型中,假定每个原始变量由两部分组成:共同因子唯一因子共同因子是各个原始变量所共有的因子,解释变量之间的相关关系唯一因子顾名思义是每个原始变量所特有的因子,表示该变量不能被共同因子解释的部分。
    (帮助解读:举个例子,现在一个excel表有10个变量,因子分析可以将这10个变量通过某种算法变为3个,4个,5个等等因子,而每个因子都能表达一种涵义,从而达到了降维的效果,方便接下来的数据分析)

    2.因子分析与主成分分析的区别:

    主成分分析是试图寻找原有变量的一个线性组合。这个线性组合方差越大,那么该组合所携带的信息就越多。也就是说,主成分分析就是将原始数据的主要成分放大
    因子分析,它是假设原有变量的背后存在着一个个隐藏的因子,这个因子可以可以包括原有变量中的一个或者几个,因子分析并不是原有变量的线性组合。
    (帮助解读:主成分分析降维凸显变量中起主导作用的变量,因子分析寻找变量背后可以概括变量特征的因子)

    ---------------------------算法及原理就不介绍了,比较秃头-----------------------------

    二.因子分析怎么做(在spss中):

    1.数据准备:

    下图数据是一份某城市的空气质量数据,一共6个变量,分别是:二氧化硫、二氧化氮、可吸入颗粒物、一氧化碳、臭氧、细颗粒物。在SPSS中打开数据如下:
    图1

    2.操作步骤:

    1)打开因子分析工具:

    在这里插入图片描述

    2)选择要进行因子分析的变量:

    在这里插入图片描述

    3)设置因子分析模型:(可以按照以下截图设置模型,一般来说足够)

    a.描述:这里要说一下KMO和Bartlett的球形度检验,
    KMO检验统计量是用于比较变量间简单相关系数和偏相关系数的指标。主要应用于多元统计的因子分析。KMO统计量是取值在0和1之间。Kaiser给出了常用的kmo度量标准: 0.9以上表示非常适合;0.8表示适合;0.7表示一般;0.6表示不太适合;0.5以下表示极不适合。KMO统计量是取值在0和1之间。当所有变量间的简单相关系数平方和远远大于偏相关系数平方和时,KMO值接近1.KMO值越接近于1,意味着变量间的相关性越强,原有变量越适合作因子分析;当所有变量间的简单相关系数平方和接近0时,KMO值接近0.KMO值越接近于0,意味着变量间的相关性越弱,原有变量越不适合作因子分析。
    Bartlett’s球形检验用于检验相关阵中各变量间的相关性,是否为单位阵,即检验各个变量是否各自独立。如果变量间彼此独立,则无法从中提取公因子,也就无法应用因子分析法。Bartlett球形检验判断如果相关阵是单位阵,则各变量独立,因子分析法无效。由SPSS检验结果显示Sig.<0.05(即p值<0.05)时,说明各变量间具有相关性,因子分析有效

    在这里插入图片描述
    b.抽取:一般来说方法我们都选择主成分方法,但是在python中进行因子分析时用的不是这个方法。
    在这里插入图片描述
    c.旋转:旋转的作用是为了方便最后看什么变量属于哪个因子。
    在这里插入图片描述d.得分
    在这里插入图片描述
    e.选项
    在这里插入图片描述
    到此模型设置完毕,点击确定即可在SPSS窗口中看到分析结果。

    三.因子分析结果解读:

    主要看以下几部分的结果。

    1.KMO和Bartlett的检验结果:

    首先是KMO的值为0.733,大于阈值0.5,所以说明了变量之间是存在相关性的,符合要求;然后是Bartlett球形检验的结果,在这里只需要看Sig.这一项,其值为0.000,所以小于0.05。那么也就是说,这份数据是可以进行因子分析的。
    在这里插入图片描述

    2.公因子方差:

    公因子方差表的意思就是,每一个变量都可以用公因子表示,而公因子究竟能表达多少呢,其表达的大小就是公因子方差表中的“提取”,“提取”的值越大说明变量可以被公因子表达的越好,一般大于0.5即可以说是可以被表达,但是更好的是要求大于0.7才足以说明变量能被公因子表的很合理。在本例中可以看到,“提取”的值都是大于0.7的,所以变量可以被表达的很不错。
    在这里插入图片描述

    3.解释的总方差和碎石图:

    简单地说,解释地总方差就是看因子对于变量解释的贡献率(可以理解为究竟需要多少因子才能把变量表达为100%)。这张表只需要看图中红框的一列,表示的就是贡献率,蓝框则代表四个因子就可以将变量表达到了91.151%,说明表达的还是不错的,我觉得一般都要表达到90%以上才可以,否则就要调整因子数据。再看碎石图,也确实就是四个因子之后折线就变得平缓了。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4.旋转成分矩阵:

    这一张表是用来看哪些变量可以包含在哪些因子里,一列一列地看:第一列,最大的值为0.917和0.772,分别对应的是细颗粒物和可吸入颗粒物,因此我们可以把因子归结为颗粒物。第二列,最大值为0.95对应着二氧化硫,因此我们可以把因子归结为硫化物。第三列,最大值为0.962,对应着臭氧,因此可以把因子归结为臭氧。第四列,最大值为0.754和0.571,分别对应着二氧化氮和一氧化碳,因子归结为什么这个我也不清楚,可能要请教一下环工环科的同学们,此处我选择滑稽…
    在这里插入图片描述

    四.总结:

    因子分析还是非常好用的一种降维方式的,在SPSS中进行操作十分简单方便,结果一目了然。喜好机器学习的同学们自然也知道,这么好的方法怎么能少得了python呢,没错python也可以做因子分析,代码量也并不是很大,但是,python做因子分析时会有一些功能需要自己根据算法写(头皮发麻),比如说KMO检验。喜欢本文的话请点赞或留言哦,接下来还会有一些数据分析和机器学习方面的知识与大家分享~

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    当我们的研究数据集指标过多,不利于我们进行后期的分析和研究时,我们就可以通过因子分析法,对指标成分进行提取,进而减少总体的指标数目,同时也能去除一些相关性较小的指标,提高算法的分析准确率。

    IBM SPSS Statistic软件提供了因子分析工具,帮助我们进行成分提取,下面我们来看看如何实现。

    一、操作步骤

    我们准备了Q1到Q25这25个研究指标,其中指标都是有序的分类变量,符合因子分析的前提条件。首先我们在分析菜单中,选择降维中的因子工具,如图1。

    图1:因子分析工具

    图1:因子分析工具

    我们将25个研究指标全部放入到右侧的“变量”栏中,然后点击“描述”按钮。

    图2:放入变量栏

    图2:放入变量栏

    “描述”界面中,勾选上“初始解”、相关性矩阵中的“系数”、“再生”、“反映像”和“KMO和巴特利特球形度检验”。

    图3:描述界面

    图3:描述界面

    回到上个界面中点击“提取”,在提取界面中方法选择“主成分”,分析选用相关性矩阵。

    另外,下方的提取项中,我们要根据自身的需求进行选择,如果选择基于特征值大于1进行成分提取,那么如果没有特征值大于1的成分,SPSS将不会为我们进行提取;如果选择固定数目提取因子,那么无论因子特征值多少,SPSS都会为我们提取前几个固定的因子。

    图4:提取界面

    图4:提取界面

    之后点击“得分”选项,在得分界面中,勾选“保存为变量”,方法选用“回归”方法,这样会将我们提取的特征成分保存为新的变量,便于后期的统计分析。

    图5:保存为变量

    图5:保存为变量

    二、结果说明

    通过上述的设置,SPSS为我们生成了7个结果表格,我们看其中的“KMO和巴特利特检验”表格的KMO检验系数值,可以看到值为0.828。一般认为,该系数大于0.8时,因子分析提取的结果才有较好的实用性。

    图6:KMO和巴特利特检验

    图6:KMO和巴特利特检验

    再看“总方差解释”表格,我们可以看到得分大于1的有五个成分,由于上方我们选择特征值大于1的成分因子进行提取,因此在本次演示案例中,SPSS将为我们从25个指标中提取出5个主要的成分。

    图7:总方差解释

    下图8红框标出的指标即为SPSS为我们提取的成分指标。

    图8:新成分指标

    在本文中,我们利用了SPSS因子分析工具,使用其中的主成分分析法,对指标成分进行了分析,并提取其中特征值大于1的前五个成分。因子提取在大数据量和多指标的数据集中,应用是非常广泛的,SPSS给我们提供了这样的一个工具,非常有利于我们后期的统计工作。

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    2018-06-04 14:42:50
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空空如也

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因子分析提取因子数