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  • 文[1]提出:任意三角形的三顶点与垂心,这四点构成垂心组。垂心组中的任意一点都是其余三点所构成的三角形的垂心。本文将垂心组的性质推广至垂心四面体上。
  • 四面体存在棱切球的充要条件是该四面体的三组对棱之和相等。对于存在棱切球的四面体,本文给出有关其二面角、三面角、外接球的一些特殊正弦定理及其各侧面面积、各侧面外接圆半径、各侧面内心连线、各侧面内心与棱切...
  • 本文将三角形的等距共轭点及其重心坐标关系推广至四面体与n维单形。
  • 四面体存在棱切球的充要条件是该四面体的三组对棱之和相等。对于存在棱切球的四面体,本文给出有关其二面角、三面角、外接球的一些特殊正弦定理及其各侧面面积、各侧面外接圆半径、各侧面内心连线、各侧面内心与棱切...

    李兴源,Email: lihpb@qq.com。

    四面体存在棱切球的充要条件是该四面体的三组对棱之和相等。对于存在棱切球的四面体,本文给出有关其二面角、三面角、外接球的一些特殊正弦定理及其各侧面面积、各侧面外接圆半径、各侧面内心连线、各侧面内心与棱切球心连线之间的各种关系。
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  • 移动四面体

    2016-12-08 11:48:26
    1.划分立方体。 体数据的每一个图像元素称为体素(Voxel),体素都位于一个立体栅格系统中,其最小的单元是立方体,移动立方体算法中只要保证单元沿...如果能用有限个四面体单元无缝隙地拼接出一个立方体单元,就可以利

    1.划分立方体。

    体数据的每一个图像元素称为体素(Voxel),体素都位于一个立体栅格系统中,其最小的单元是立方体,移动立方体算法中只要保证单元沿体数据的三个坐标轴方向移动,就可以保证遍历到全部的体素。但是移动四面时,如果不认真地构造单元,可能会漏掉一些体素,同时,相邻的四面体内的轮廓面要正确的拼接起来,也必须处理好各个单元的邻接面。如果能用有限个四面体单元无缝隙地拼接出一个立方体单元,就可以利用立方体单元的移动性质。

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  • 文[1]提出:任意三角形的三顶点与垂心,这四点构成垂心组。垂心组中的任意一点都是其余三点所构成 的三角形的垂心。本文将垂心组的性质推广至垂心四面体上。

    李兴源,Email: 742096830@qq.com,微信:lihpb00。
    文[1]提出:任意三角形的三顶点与垂心,这四点构成垂心组。垂心组中的任意一点都是其余三点所构成
    的三角形的垂心。本文将垂心组的性质推广至垂心四面体上。 在这里插入图片描述
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  • 得到5种四面体单元振动的不可约表示,然后在此基础上,通过特征标投影算符法推导计算了由内坐标到对称坐标的转换矩阵,以用于四面体单元振动光谱的计算以及拉曼和红外光谱中谱带的指代和性质分析.
  • 对任意四面体ABCD" role="presentation">ABCDABCDABCD,其体积V" role="presentation">VVV和外接球半径R" role="presentation">RRR满足6RV=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1)." role="presentatio

    【问题提出】克列尔(A.L.Crelle)公式

    对任意四面体 ABCD A B C D ,其体积 V V 和外接球半径R满足

    6RV=p(paa1)(pbb1)(pcc1). 6 R V = p ( p − a a 1 ) ( p − b b 1 ) ( p − c c 1 ) .

    其中 p=12(aa1+bb1+cc1) p = 1 2 ( a a 1 + b b 1 + c c 1 ) a,a1,b,b1,c,c1 a , a 1 , b , b 1 , c , c 1 分别为四面体的三组对棱的长.

     

    允许我先跑个题且在正文里介绍下近代欧氏几何学中的布洛卡点. 克列尔(1780-1855)法国数学家和数学教育家,布洛卡点早在1816年就被克列尔首次发现,1875年被法国军官布洛卡(Brocard)重新发现此特殊点并用他的名字命名,这才引起莱莫恩,图克等一大批数学家兴趣,一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮.

     

    【布洛卡点】 2013年全国卷I第17题的背景是也

    P P ABC内部一点,若 PAB=PBC=PCA=α ∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α ,则称 α α 为布洛卡角,点 P P 为布洛卡点.

    这里说个特殊情况,当α=30时,则此 ABC △ A B C 为正三角形,这是个看似简单实难的几何题.

     

    【简单引理】四面体的体积公式之一

    V=23aS1S2sinθ V = 2 3 a ⋅ S 1 S 2 ⋅ sin ⁡ θ ,其中, S1,S2 S 1 , S 2 为以 a a 为公共棱的两个面的面积,θ为这两个面所成的二面角.

    此式的证明极易,只需要将 V=13Sh V = 1 3 S h 中的 h h 用这两个面的夹角表示即可.

     

    【问题解决】 辅助线爽心悦目,千锤百炼,叹为观止

    证明:如图所示,过A作四面体外接球的切面 α α ,过 D D 作平面ABC平行平面 β β .

    平面 α α ,平面 β β ,平面 ABD A B D 相交于点 E E

    平面α,平面 β β ,平面 ACD A C D 相交于点 F F .

    平面β\sslash平面 ABC A B C ,平面 ACD A C D 与这两面均相交,由平面平行性质可知 AC\sslashDF A C \sslash D F ,需要提醒的是, AC A C DF D F 是否相等无法判断.

    于是 ADF=DAC ∠ A D F = ∠ D A C ,由于平面 α α 是四面体外接球的{\FZK \color{red}切面},所以在平面 ACD A C D 中, AF A F ACD ⊙ A C D 在点 A A 的切线,由弦切角定理,知FAD=ACD,所以

    FADDCAAFa=cbAF=acb. △ F A D ∼ △ D C A ⇒ A F a = c b ⇒ A F = a c b .

    同理由 AB\sslashDE A B \sslash D E ,有 ADE=DAB ∠ A D E = ∠ D A B 在平面 ABD A B D AE A E ABD ⊙ A B D 的切线,有 EAD=ABD ∠ E A D = ∠ A B D ,所以

    EADDBAAEb1=ca1AE=b1ca1. △ E A D ∼ △ D B A ⇒ A E b 1 = c a 1 ⇒ A E = b 1 c a 1 .

    下面求 EF E F 的长.

    同样的方法,如图,作平面 γ \sslash γ   \sslash 平面 ACD A C D ,这样三面相交得到点 G G H.

    同样可得

    AG=a1c1b,AH=a1b1c. A G = a 1 c 1 b , A H = a 1 b 1 c .

    平面 α  α   ∩ 平面 ABC=AG A B C = A G ,平面 α  α   ∩ 平面 β=EF β = E F ,平面 ABC\sslash A B C \sslash 平面 β β ,于是 AG\sslashEF A G \sslash E F ,同理知 GH\sslashAF G H \sslash A F ,而 H,A,E H , A , E 在一条线(平面 α α 与平面 ABD A B D 的交线)上,所以

    EFAAGHEFAG=AEAHEF=c2c1a1b. △ E F A ∼ △ A G H ⇒ E F A G = A E A H ⇒ E F = c 2 c 1 a 1 b .

    AEF △ A E F 放缩 a1bc a 1 b c 倍,就得到三边为 aa1 a a 1 bb1 b b 1 cc1 c c 1 的三角形,由海伦公式,将此三角形的面积记为

    S=p(paa1)(pbb1)(pcc1). S = p ( p − a a 1 ) ( p − b b 1 ) ( p − c c 1 ) .

    设点 D D 在四面体ABCD外接球过 A A 的直径上的投影为D,则

    h=AD=AD22R=c22R. h = A D ′ = A D 2 2 R = c 2 2 R .

    这样一来,

    V1=VDAEF=13S(ca1b)2h=c4a21b2S6R. V 1 = V D − A E F = 1 3 S ( c a 1 b ) 2 h = c 4 a 1 2 b 2 ⋅ S 6 R .

    另一方面,四面体 ADEF A D E F 与四面体 ABCD A B C D 的体积比为

    V1V=SADFSADESACDSABD=SADFSACDSADESABD=(AFa)2(AEb1)2=c2b2c2a21=c4a21b2 V 1 V = S △ A D F ⋅ S △ A D E S △ A C D ⋅ S △ A B D = S △ A D F S △ A C D ⋅ S △ A D E S △ A B D = ( A F a ) 2 ⋅ ( A E b 1 ) 2 = c 2 b 2 ⋅ c 2 a 1 2 = c 4 a 1 2 b 2

    V1=c4a21b2V. ∴ V 1 = c 4 a 1 2 b 2 ⋅ V .

    从而

    6RV=p(paa1)(pbb1)(pcc1) 6 R V = p ( p − a a 1 ) ( p − b b 1 ) ( p − c c 1 )
    . \qed

     

    PS:高考中的热点与难点
    PSS:1988年赵光明 、武建沛在《数学教学》发表了“任意四面体外接球半径的计算公式”,从角出发;本文从六条边出发,即 克列尔(A.L.Crelle)公式,参考了唐立华著的《向量与立体几何》;沈文选、张垚、冷岗松著的《奥林匹克数学中的几何问题》
    PSSS:\sslash 表示平行

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  • 各种性质、定理

    2014-04-20 23:13:00
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空空如也

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