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  • 逻辑回归极大似然估计

    千次阅读 2019-02-25 11:08:41
    1、什么是逻辑回归? 逻辑回归是一种分类算法,...总结:逻辑回归假设数据服从伯努利分布,通过极大似然函数的方法,运用梯度下降来求解参数,最终达到数据二分类的目的。 假设有一个二分类的问题,输出结果为...

    参考博客:https://blog.csdn.net/yinyu19950811/article/details/81321944,感谢作者的分享

    1、什么是逻辑回归?

    逻辑回归是一种分类算法,不是回归算法。它利用了回归的思想来解决分类问题。

    总结:逻辑回归假设数据服从伯努利分布,通过极大似然函数的方法,运用梯度下降来求解参数,最终达到数据二分类的目的。

    假设有一个二分类的问题,输出结果为{0,1},而线性回归模型产生的预测值是z=w^{^{T}}x+b输出的都是实数值,我们希望有个越阶函数来说帮助我们把z值实现0/1之间的转化。使得:

    但是该分段函数不连续,希望有一个单调可微的函数来让我们使用,于是就找到了sigmoid函数来使用。sigmoid函数的定义如下:

    二者的关系如左图所示,因为sigmoid函数的取值为[0,1],可以将其视为类1的后验概率p(y=1|x),表示测试点x属于类别1 的概率有多大。

    此外,我们将sigmoid函数最后计算得到的值大于0.5的分类为1,小于0.5的分类为0:

    问题:为什么使用sigmoid函数做假设?

    因为线性回归模型预测的值为实数,而样本标记的分类为(0,1)之间,所以必须要将分类任务的真实标记y与线性回归模型的预测值联系起来,也就是找到一个广义线性模型中的联系函数。

    如果选择单位阶跃函数的话,它是不连续的不可微的。而sigmoid函数是连续的,可以将z转化为一共接近0或1的值。

    2、逻辑回归的假设

    其第一个假设是:假设数据服从伯努利分布

    其第二个假设是:假设模型的输出值是样本为正的概率。

    所以整个模型可以描述为

    3、逻辑回归的代价函数

    要根据给定的训练集,将参数w求出来,所以先定义代价函数,使用误差平法和来当作代价函数:

    \phi (z^i)带入的话,会发现这是一个非凸函数,这就意味着代价函数有着许多的局部最小值,不利于求解。

    而最大似然作为逻辑回归模型的损失函数,很容易得到参数的最优解(凸函数)。这就是说选取的标准更容易测量,能够求得最优解。

    4、极大似然估计

    逻辑回归与极大似然估计的关系:

    最大似然估计:是通过已知的结果反推处导致最大结果的参数,而极大似然估计是概率论在统计学中的应用,它提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法,即“模型已确定,参数未确定”,通过若干次实验观察,利用实验的某个参数使得样本出现的概率最大,称为极大似然轨迹。

    逻辑回归是一种监督式学习,有标签。即从已知的结果入手,去推导出能够获得最大概率的结果参数,只要能找到这个参数,那么此模型就可以较为准确的预测数据了。

    之前提到了h_{\theta}(x;\theta)可以视为类1的后验概率,所以有:

    costfunction

    可以看出,如果样本的类别为1,估计值\phi (z)越接近1付出的代价越小,反之越大。

    同理,如果样本的值为0的话,估计值\phi (z)越接近于0付出的代价越小,反之越大。

    5、利用梯度下降发求解参数w

    为什么梯度的负方向就是代价函数下降最快的方向?

    借助于泰勒展开:

    \theta =\pi时,也就是在f'(x)的负方向时,取得最小值,也就是下降的最快方向了。

    梯度下降:

    \eta为学习率,用来控制步长

    所以,在使用梯度下降法更新权重时,只要根据下式即可:

    w_j=w_j+\eta \sum^{n}_{i=1}\left(y_i- \phi(z^i)\right )x_j

    x_j代表第j列特征,w_j代表第j个特征对应的参数)

    当样本量极大时,每次权重更新都需要遍历整个数据集,会非常耗时,此时可以采用随机梯度下降方法:

    w_j=w_j+\eta\left(y_i- \phi(z^i)\right )x_j,for\ i\ in\ range(n)

    每次只利用1个样本点来更新回归系数,这种方法被称为随机梯度上升法,占用的资源会更少。

    6、三种梯度下降方法的比较

    1、批量梯度下降(Batch Gradient Descent)

    优点:可以获得全局最优解,易于并行实现;

    缺点:更新参数时需要遍历所有数据,计算量很大,更新慢

    2、随机梯度下降SGD:

    优点:训练速度快

    缺点:准确率下降,得到的并不是全局最优,不利于并行实现。

    具体设计思路:更新参数时,只使用一个样本来更新

    3、small batch梯度下降:

    结合上述两种方法的优点,每次更新参数时只使用一部分样本,减少参数更新的次数,可以达到更加稳定的结果,深度学习中用的很多。

    7、逻辑回归的优缺点:

    优点:

    1.直接对分类可能性进行建模,无需实现假设数据分布,这样就避免了假设分布不准确所带来的问题(周志华.机器学习)

    (其实很多机器学习模型本身都是对数据分布有一定的假设的,在这个假设前提之下去进行理论研究有助于我们关注主要矛盾,忽律次要矛盾。但是在工程当中,很多时候我们对数据的分布其实是不了解的,贸然对数据进行假设容易造成模型无法无法拟合真实的分布。)
    2、形式简单,模型的课解释好,可以看到不同特征对最后结果的影响。

    3、除了得到类别之外,还能得到近似概率预测

    缺点:

    1、准确率不高,形式较为简单,很难对真实数据进行模拟

    2、本身无法筛选特征

     

     

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  • 原文转自机器学习算法之线性模型 线性方程与非线性方程 线性方程:代数方程如y = 2x + 5,其中任何一个变量都为1次幂,这种方程的图像为一条直线(平面),所以称为...逻辑回归——对数几率回归) ...

    原文转自机器学习算法之线性模型

    线性方程与非线性方程

    线性方程:代数方程如y = 2x + 5,其中任何一个变量都为1次幂,这种方程的图像为一条直线(平面),所以称为线性方程

    非线性方程:y**2 = 2x + 5,因变量和自变量之间不是线性关系,如平方关系、对数关系、指数关系和三角函数关系等
    线性模型(线性回归;逻辑回归——对数几率回归)

    目录

    1、基本形式

    2、线性回归

    3、对数几率回归(逻辑回归)

    3.1、极大似然估计

    3.1.1、似然函数

    3.1.2、极大似然估计(MLE)

    3.1.3、log似然函数

    3.2、逻辑回归

    4、线性判别分析

    5、多分类学习问题

    6、类别不平衡问题


    1、基本形式

    给定有d个属性描述的示例x = (x_{1};x_{2};...;x_{d}); 线性模型试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数 ,即:

    f(x)=\omega _{1}*x_{1}+\omega _{2}*x_{2}+...+\omega _{d}*x_{d}

    许多功能强大的非线性模型可以在线性模型的基础上通过引入层级结构或高维映射而得。\omega值的大小反映了某个属性的重要程度。

    本部分共介绍三部分:1、回归问题,2、分类问题,3、多分类问题。

    2、线性回归

    线性模型试图学得f(x) = w*x + b,使得f(x)约等于y,如何确定w和b呢?这是一个组合问题,已知一些数据,如何求里面的未知参数,给出一个最优解。这是一个线性矩阵方程,直接求解很可能无法求解,有唯一解的数据集更是微乎其微,基本上都是解不存在的超定方程组。在这种情况下,我们将参数求解问题转化为误差最小化问题,求出一个最接近的解,这就是一个松弛求解。

    均方误差作为回归任务中最常用的性能度量,因此我们可以试图让均方误差最小化

    线性回归(Linear Regression)问题就是试图学到一个线性模型尽可能准确地预测新样本的输出值。均方误差是回归任务中最常用的性能度量,因此优化目标是最小化均方误差。基于均方误差最小化来进行模型求解的方法称为“最小二乘法”(least square method)。在线性回归中,最小二乘法就是试图找到一条直线,使得所有样本到直线上的欧式距离之和最小。求解w和b使均方误差最小化的过程,称为线性回归模型的最小二乘“参数估计(parameterestimation)”。更一般的样本由d个属性描述,此时称为多元线性回归

    (1)当输入属性只有一个的时候,就是最简单的情形,也就是我们高中时最熟悉的“最小二乘法”(Euclidean distance),算法如下:1、首先计算出每个样本预测值与真实值之间的误差并求和,通过最小化均方误差MSE;2、分别对\omega和b求偏导,另起等于0,计算出拟合直线y=wx+b的两个参数w和b,计算过程如下图所示:

     

    (2)当输入属性有多个的时候,例如对于一个样本有d个属性x = (x_{1};x_{2};...;x_{d}),则y=wx+b需要写成:

    通常对于多元问题,常常使用矩阵的形式来表示数据。在本问题中,将具有m个样本的数据集表示成矩阵X,将系数w与b合并成一个列向量,这样每个样本的预测值以及所有样本的均方误差最小化就可以写成下面的形式:

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    同样地,我们使用最小二乘法对w和b进行估计,令均方误差的求导等于0,需要注意的是,当一个矩阵的行列式不等于0时,我们才可能对其求逆,因此对于下式,我们需要考虑矩阵(X的转置*X)的行列式是否为0,若不为0,则可以求出其解,若为0,则需要使用其它的方法进行计算,书中提到了引入正则化,此处不进行深入。

    这里写图片描述

    另一方面,有时像上面这种原始的线性回归可能并不能满足需求,例如:y值并不是线性变化,而是在指数尺度上变化。这时我们可以采用线性模型来逼近y的衍生物,例如lny,这时衍生的线性模型如下所示,实际上就是相当于将指数曲线投影在一条直线上,如下图所示:

    更一般地,考虑所有y的衍生物的情形,就得到了“广义的线性模型”(generalized linear model),其中,g(*)称为联系函数(link function)。

    这里写图片描述

    3、对数几率回归(逻辑回归)

    3.1、极大释然估计

    3.1.1、似然函数

     似然(likelihood,可能性的意思),描述的是事件发生可能性的大小。

        似然函数的定义:

        设数据D=X1,…,XN为独立同分布(IID),其概率密度函数(pdf)为p(x|Ɵ),则似然函数定义为:

    clip_image001

     即为在给定数据D的情况下,参数为Ɵ的函数。

    3.1.2、极大似然估计(MLE)

        定义:使得似然函数L(Ɵ)最大的Ɵ的估计:

    3.1.3、log似然函数

    定义:

           clip_image003

        即:

           clip_image004

        性质:

    (1)  它和似然函数在相同的位置取极大值

    (2)  在不引起混淆的情况下,有时记log似然函数为似然函数

    (3)  相差常数倍也不影响似然函数取极大值的位置,因此似然函数中的常数项也可以抛弃

    (4)  在分类中log似然有时亦称为交叉熵 (cross-entropy)

    3.2、逻辑回归

    回归就是通过输入的属性值得到一个预测值。针对分类任务:只需找一个单调可微函数将分类任务的真实标记y与线性回归模型的预测值z联系起来。

        

                                            单位阶跃函数与对数几率函数

     

    这里写图片描述

    若将y看做样本为正例的概率,(1-y)看做样本为反例的概率,则上式实际上使用线性回归模型的预测结果器逼近真实标记的对数几率。因此这个模型称为“对数几率回归”(logistic regression),也有一些书籍称之为“逻辑回归”。下面使用最大似然估计的方法来计算出w和b两个参数的取值,下面只列出求解的思路,不列出具体的计算过程。

    这里写图片描述

    4、线性判别分析

    线性判别分析(Linear Discriminant Analysis,简称LDA),其基本思想是:将训练样本投影到一条直线上,使得同类的样例尽可能近,不同类的样例尽可能远。如图所示:

    这里写图片描述

    这里写图片描述想让同类样本点的投影点尽可能接近,不同类样本点投影之间尽可能远,即:让各类的协方差之和尽可能小,不用类之间中心的距离尽可能大。基于这样的考虑,LDA定义了两个散度矩阵。

    类内散度矩阵(within-class scatter matrix) 

    这里写图片描述

    类间散度矩阵(between-class scaltter matrix) 

    因此得到了LDA的最大化目标:“广义瑞利商”(generalized Rayleigh quotient)。

    这里写图片描述

    从而分类问题转化为最优化求解w的问题,当求解出w后,对新的样本进行分类时,只需将该样本点投影到这条直线上,根据与各个类别的中心值进行比较,从而判定出新样本与哪个类别距离最近。求解w的方法如下所示,使用的方法为λ乘子。

    这里写图片描述

    若将w看做一个投影矩阵,类似PCA的思想,则LDA可将样本投影到N-1维空间(N为类簇数),投影的过程使用了类别信息(标记信息),因此LDA也常被视为一种经典的监督降维技术。

    5、多分类学习问题

    现实中我们经常遇到不只两个类别的分类问题,即多分类问题,在这种情形下,我们常常运用“拆分”的策略,通过多个二分类学习器来解决多分类问题,即将多分类问题拆解为多个二分类问题,训练出多个二分类学习器,最后将多个分类结果进行集成得出结论。最为经典的拆分策略有三种:“一对一”(OvO)、“一对其余”(OvR)和“多对多”(MvM),核心思想与示意图如下所示。

    • OvO:给定数据集D,假定其中有N个真实类别,将这N个类别进行两两配对(一个正类/一个反类),从而产生N(N-1)/2个二分类学习器,在测试阶段,将新样本放入所有的二分类学习器中测试,得出N(N-1)个结果,最终通过投票产生最终的分类结果。
    • OvM:给定数据集D,假定其中有N个真实类别,每次取出一个类作为正类,剩余的所有类别作为一个新的反类,从而产生N个二分类学习器,在测试阶段,得出N个结果,若仅有一个学习器预测为正类,则对应的类标作为最终分类结果。
    • MvM:给定数据集D,假定其中有N个真实类别,每次取若干个类作为正类,若干个类作为反类(通过ECOC码给出,编码),若进行了M次划分,则生成了M个二分类学习器,在测试阶段(解码),得出M个结果组成一个新的码,最终通过计算海明/欧式距离选择距离最小的类别作为最终分类结果。

    这里写图片描述

    6、类别不平衡问题

    类别不平衡(class-imbanlance)就是指分类问题中不同类别的训练样本相差悬殊的情况,例如反例有900个,而正例只有100个,这个时候我们就需要进行相应的处理来平衡这个问题。常见的做法有三种:

    1. 在训练样本较多的类别中进行“欠采样”(undersampling),即直接对训练集里面的反例去除一部分,使得正反例数目相当;比如从正例中采出100个,常见的算法有:EasyEnsemble。优点:时间开销较小。
    2. 在训练样本较少的类别中进行“过采样”(oversampling),例如通过对反例中的数据进行插值,来产生额外的反例,常见的算法有SMOTE。缺点,时间开销较大。
    3. 直接基于原数据集进行学习,对预测值进行“再缩放”处理。其中再缩放也是代价敏感学习的基础。

    其中反映了正例可能性与反例可能性之比值,阈值常设置为0.5(y的值)恰表明分类器认为真实正、反例可能性相同。然而训练集中正、反例数目不同时,令 表示正例数目,表示反例数目,则观测几率为。公式的意义在于正例很小,反例很大,因此需要增大阈值,使得预测值很大时才有可能是正例。

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  • 极大似然法 梯度下降法 所以logistic回归算法实现为logistic回归是分类问题。前面我们讲的分类问题的输出都是 “yes”或者“no”。但是在现实生活中,我们并不是总是希望结果那么肯定,而是概率(发生的可能性)。...

    logistic回归是分类问题。前面我们讲的分类问题的输出都是 “yes”或者“no”。但是在现实生活中,我们并不是总是希望结果那么肯定,而是概率(发生的可能性)。比如,我们希望知道这个房子在第三个星期被卖出去的概率。那么以前的分类算法就无法使用了,这时logistic 回归就派上了用场。
    也就是说,logistic 回归输出的是一个概率值,而不是绝对的0/1。即目标函数变为
    这里写图片描述
    我们用logistic 回归做分类,结果输出的是+1的概率。但是我们的样本的y确是+1或者-1。打个比方,我们预测房子3个月后被卖出去的概率。
    但是对于我们搜集房子的样本,只知道样本3个月后是否成功被卖,并不知道该样本被卖的概率。
    也就是,我们的样本的数据,不是这样
    这里写图片描述
    而是这样
    这里写图片描述

    logistic 回归

    对于样本x的这里写图片描述
    这d个特征(还有一个偏移 x0 。核心还是对这些特征进行加权求和
    这里写图片描述
    这个s的取值范围是( 负无穷 到 正无穷 )。只是logisitc 回归用了一个函数将他压缩到 [0,1]之间。由于这个压缩函数是 单调递增的,所以结果并不影响。
    这个函数就是
    这里写图片描述
    他是光滑且单调的。
    那么logistic 函数为
    这里写图片描述

    这里写图片描述

    logistic 回归的 Ein

    我们总共讲了3种模型。线性分类,线性回归,logistic 回归。其实他们三者的核心都是这里写图片描述
    也就是都是 对特征的加权再求和。
    但是他们的h(x)和 Ein 是不同的。
    对于h(x)的形式,三着分别为
    这里写图片描述
    对于 Ein 形式
    linear classfication 的 Ein I[yf(x)]
    linear regression 的 Ein (yf(x))2
    而logistic回归又是什么呢??现在我们来求一求

    极大似然法

    我们可得到
    这里写图片描述
    我们现在有一堆样本
    这里写图片描述
    那么他有f产生的概率为
    这里写图片描述

    我们有一个h ,h产生这堆样本的概率为
    这里写图片描述

    极大自然法,如果h产生一模一样的资料的概率 同 f产生这堆资料的概率越相近,那么就可以说 上面h与f更加接近。
    由于我们的样本(资料)本就是f产生的,所以f产生这堆资料的概率很大,接近1。因此,我们希望h可以产生一模一样的资料的概率接近1。
    这里写图片描述

    所以我们现在的目标是,这里写图片描述

    对于logistic回归,通过画图,我们可以得到关于他的对称性
    这里写图片描述
    所以likelihood
    这里写图片描述
    现在,可以改写出
    这里写图片描述
    灰色的表示:由于我们相当于是再所有的h中找一个likelihood()最大的那个h,而对于所有的h,其 P(X1),P(X2)... 都是一样的,所以不用去考虑,所以将其表为灰色。

    即问题转化为
    这里写图片描述
    将其转化为求w的形式
    这里写图片描述
    由于是乘积的形式,将其转化为log形式
    这里写图片描述
    为了计算方便,将max转化为min,并乘以 1N (乘以 1N 并不影响结果,因为所有的h都乘了),再做进一步处理,即变为
    这里写图片描述

    那么我们的最终目标为
    这里写图片描述

    根据上面的式子,由于 Ein 是光滑且凸的,所以我们只要通过令其梯度为0,得到的参数 w1,w2,... 就可以使 Ein 最小。
    这里写图片描述

    梯度下降法

    Ein 的梯度为0,就是令 Ein 对每个 wi 的偏导为0。
    这里写图片描述
    最后一步就是把所有的偏导汇总成一个式子。所以橘色的 xn 是一个矢量。
    最终变为
    这里写图片描述
    如果 Θ(ynwTxn) 为0,那么-y_nw^Tx_n为无穷大,不成立。所以只能上面权重求和为0。

    我们回顾一下PLA算法
    这里写图片描述

    其实上面两步可以归为1步
    这里写图片描述
    所以PLA算法可以简化为
    这里写图片描述
    发现,上面两图有两个参数, η 和v .其中 η 表示 步长,而v表示 方向(修正是 改变的方向)
    PLA通过不断的迭代更新w的值,使得最终的值达到最优。这种算法迭代优化方法。
    logistic求解最小的 Ein(w) ,也是用的是类似的PLA提到的迭代优化算法。一步一步权值向量w,使得 Ein(w) 最小 变权值向量w,迭代优化方法的更新公式是
    这里写图片描述
    其中 η 表示 步长,而v表示 方向(修正是 改变的方向,我们令他为单位向量,仅仅表示方向,用 η 表示 步长)

    那么我们现在就通过求解正确的 步长 η 和方向v,使得 Ein(w) 最优。
    我们知道:
    这里写图片描述

    ,以上为非线性的。当 η 很小时,我们运用泰勒展开式将其化为 线性形式。
    根据泰勒公式:
    这里写图片描述
    η 很小时,可以将泰勒公式简化成前两个的和。且我令 x=wt+ηv , a=wt 就可以得到
    这里写图片描述

    那么问题就变为
    这里写图片描述
    我们想得到 wt+1 ,那么 wt 是已知的,又 η 是我们给定的。那么上面灰色的表示对最小值无影响。所以只需将上面黑色部分求最小即可。由于是向量相乘,且v我们认定他是单位向量,长度为1,那么我们只能改变中v的方向,就可以达到最小化 。当v的方向与梯度相反时,值最小。又v为单位向量,所以可得
    这里写图片描述
    这样我们就求出了v的值。

    即最终得到梯度下降为
    这里写图片描述

    步长 η 太小,导致算法太慢;太大,就很任意出错。
    这里写图片描述
    我们希望 η 可以在算法运行时不断的改变。梯度越陡峭,说明离极值点越远,那么希望步长越大;梯度越平缓,说明离极值点越近,那么希望步长越小
    这里写图片描述
    那么其实希望 η 与梯度成单调递增性即可。
    为了方便,这里用正比,当然也可以用其他的。
    这里写图片描述
    最终结果为
    这里写图片描述

    所以logistic回归算法实现为

    这里写图片描述

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  • 我在Logistic Regression回归中对损失函数用极大似然估计推导,在线性回归中对损失函数用最小二乘法推导,发现在推导梯度的过程中,结果是一样的,所以我对两种方法进行了分析对比。 一、最小二乘法 1.定义 当从模型...

    我在Logistic Regression回归中对损失函数用极大似然估计推导,在线性回归中对损失函数用最小二乘法推导,发现在推导梯度的过程中,结果是一样的,所以我对两种方法进行了分析对比。

    一、最小二乘法

    1.定义
    当从模型总体随机抽取n组样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据,也就是估计值和观测值之差的平方和最小。
    2.在线性回归中的损失函数
    在这里插入图片描述
    θ表示要求的参数,h(x)为观测值,y为理论值。

    3.对其求偏导后的函数为
    采用多元函数求极值的方法,对θ求偏导,让偏导等于0,求出θ值。当θ为向量时,需要对各个θi求偏导计算。

    参数更新的公式为:
    在这里插入图片描述

    二、极大似然估计

    1.定义
    对于最大似然法,当从模型总体随机抽取n组样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
    2.在Logistic Regression回归中的损失函数
    在这里插入图片描述
    3.似然估计的思想
    测量值 X 是服从概率分布的,求概率模型中的参数,使得在假设的分布下获得该组测量出现概率最大。

    4.对似然估计求解得出偏导得出
    多元函数求极值的方法,对θ求偏导,让偏导等于0,求出θ值。当θ为向量时,需要对各个θi求偏导计算。

    参数更新的公式为:
    在这里插入图片描述

    三、极大似然估计与最小二乘法的联系与区别

    由以上两点,我们可以看出用最小二乘法在线性回归和极大似然估计在Logistic Regression回归中根据损失函数求出的偏导是一样的。

    在后面我会具体写出极大似然估计是怎么推导出和最小二乘法一样的具体步骤。

    在回归算法中,用最小二乘法和最大似然估计求解损失函数时,最大似然法中,通过选择参数,使已知数据在某种意义下最有可能出现,而某种意义通常指似然函数最大,而似然函数又往往指数据的概率分布函数。与最小二乘法不同的是,最大似然法需要已知这个概率分布函数,这在实践中是很困难的。一般假设其满足正态分布函数的特性,在这种情况下,最大似然估计和最小二乘估计相同。

    最小二乘法以估计值与观测值的差的平方和作为损失函数,极大似然法则是以最大化目标值的似然概率函数为目标函数,从概率统计的角度处理线性回归并在似然概率函数为高斯函数的假设下同最小二乘建立了的联系。

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  • 逻辑回归是机器学习中最简单,也是提及次数最多的一个方法,所以适合拿来当做入门。本文简述逻辑回归的原理,使用sklearn自带的数据集iris,示例如何...逻辑回归通过使用极大似然法,利用数值解法,带入带有label的...
  • 老师要求我们对回归方程中的回归系数进行极大似然估计,回归方程如下: 正常的步骤应该是这样的: 步骤一:写出极大似然函数log(β),其中的β为(β0,β1,β2)t(β_0, β_1, β_2)^t(β0​,β1​,β2​)t 步骤二:...
  • 极大似然估计详解,写的太好了!

    万次阅读 多人点赞 2018-08-18 15:42:08
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  • 极大似然估计

    千次阅读 2017-05-17 18:43:46
    极大似然估计
  • 0x00 前言 在上一篇文章介绍了逻辑回归的模型,并详细讲了其推导过程。为了加深印象,在这篇文章中从对数几率的角度再次探索逻辑回归的推导过程,看看逻辑回归为什么要使用sigmoid函数作为假设。逻辑回归损失函数的...
  • 什么是极大似然估计?

    千次阅读 2018-08-12 19:08:30
    在机器学习中,逻辑回归就是基于极大似然估计来计算的损失函数。那么,如何直观理解极大似然估计? 极大似然估计 极大似然估计(maximum likelihood estimation,MLE),顾名思义,“极大”意为“最有可能的”,...
  • 0 前言 在上一篇文章介绍了逻辑回归的模型,并详细讲了其推导过程。为了加深印象,在这篇文章中从对数几率的角度再次探索逻辑回归的推导过程,看看逻辑回归为什么要使用sigmoid函数作为假设。逻辑回归损失函数的推导...
  • 1.极大似然估计中采样产生的样本需要满足一个重要假设,所有采样的样本都是独立同分布的。 2.极大似然估计是在模型已定,参数未知的情况下,估计模型中的具体参数。 3.极大似然估计的核心是让产生所采样的样本出现...
  • 导语 这是线性回归的第一篇,后面还有多篇,包括普通最小二乘、梯度下降、牛顿法等知识,本篇主要是阐述最小二乘法损失函数与高斯分布的联系,虽然逻辑回归也是线性回归的一个变种,但它主要是0-1分布,不在本篇...
  • 逻辑回归与最大似然估计推导

    万次阅读 多人点赞 2018-08-01 16:42:31
    3. 极大似然估计 4. 利用梯度下降法求解参数w 4.1 三种梯度下降方法的选择 5.逻辑回归优缺点: 参考资料: 逻辑回归(对数几率回归) 逻辑回归是一种分类算法,不是回归算法,因为它用了和回归类似的思想来...
  • 对数几率回归是二分类的问题,我们可以将随机变量yyy假设服从伯努利分布,即yyy的取值只有{0,1}。 这里需要补充一个概念,指数族分布,伯努利分布就属于指数族分布。 (注:ϕ\phiϕ指的是yyy取1是的概率) 我们都...
  • MLE极大似然估计

    千次阅读 2015-04-02 17:23:51
    极大似然估计(MLE)的总结!
  • 因子分析,主成分分析,主因子分析,因子分析函数,极大似然法——数据分析与R语言 Lecture 12因子分析因子分析的主要用途与主成分分析的区别因子分析使用了复杂的数学手段统计意义因子载荷矩阵和特殊方差矩阵的估计...
  •  以前多次接触过极大似然估计,但一直都不太明白到底什么原理,最近在看贝叶斯分类,对极大似然估计有了新的认识,总结如下:   贝叶斯决策  首先来看贝叶斯分类,我们都知道经典的贝叶斯公式:    其中...
  • \qquad 多元回归中的最大似然和最小二乘估计 最大似然估计 \quad 最大似然估计:对于因变量YYY,最大似然估计就是去找到YYY的参数估计值θθ\theta ,使其发生概率最大,利用已知的样本结果,反推最有可能(最大...
  • 极大似然估计Maximum Likelihood Estimation

    千次阅读 2018-09-13 11:24:20
    极大似然估计是概率论在统计学的应用,是一种参数估计。说的是已知随机样本满足某种具体参数未知的概率分布,参数估计就是通过若干次试验,利用结果推出参数的大概值。极大似然估计的一种直观想法是已知某个事件发生...
  • 极大似然估计(MLE)与推导 极大似然估计是什么? 原作者写的很好,转载部分 极大似然MLE 极大似然估计,通俗理解来说,就是利用已知的样本结果信息,反推最具有可能(最大概率)导致这些样本结果出现的模型参数值...
  • 我们在数学分析中学习过多项式拟合,并使用最小二乘法估计多项式参数。也在统计学中学习过线性回归模型,其参数估计由最小化误差函数给出。然后深究后可以发现二者描述的都是同一件事,本文将详细介绍其中的联系。
  • 别弄错了,Logistic回归是分类模型。 什么是分类问题? 在学习线性回归的时候,我们已经理解了什么是回归回归就是确定变量之间相互依赖的定量关系的统计学方法。那么同样,在开始学习Logistic回归模型前,我们先...
  • 误差一定产生了,既然产生,我们就根据极大似然估计断定一定发生在概率最大的地方。换句话说Log(L(θ))越大,预测值接近真实值的可能性就越大,为了尽可能接近真实值,所以Log(L(θ))要尽可能大, 而前一项可知是...
  • stata中极大似然估计方法,很不错的资源,可以下载下来学习下。
  • 极大似然估计、最大后验估计,都是总体的分布类型已知前提下的一种参数估计方法,他们对分布的未知参数 θ\thetaθ 进行估计,进而确定总体分布。区别在于极大似然估计仅根据观测到的结果(样本值)进行估计,而最大...
  • 线性回归中最大似然法的理解

    千次阅读 2018-12-26 22:23:53
    线性回归中使用最大似然法的文章蛮多的,这两天看了一些,总觉得有些“跳跃”的地方让人难以理解,现在把整个过程记录下来以便日后查阅,好记性不如烂笔头。。。 关于最大似然法已经写了一篇了: ...

空空如也

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回归分析极大似然