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  • 前面例子我们已经使用Matlab和VivadoFFT IP核进行了初步验证,掌握FFT/IFFT IP核脾气,那么接下来我们要玩点真了,基于我们STAR/SF-AT7板采集到MT9V034图像,我们要进行每个行FFT和IFFT变换,当然,...
    bb633807b657f50c88f6dfe2897f205c.gif4ac875d5aab63411080d10aa65bc23c8.png

    1关于傅里叶变换

    关于傅里叶变换,这么一个神奇的变换,其基本原理和应用在教科书、网络上漫天飞舞,这里就不赘述了,以免有凑字数的嫌疑。前面的例子我们已经使用Matlab和Vivado的FFT IP核进行了初步的验证,掌握的FFT/IFFT IP核的脾气,那么接下来我们要玩点真的了,基于我们STAR/SF-AT7板采集到的MT9V034图像,我们要进行每个行的FFT和IFFT变换,当然,生成的FFT结果我们可以进行必要的滤波,然后再进行IFFT查看滤波效果。

    2基于Matlab的FFT滤波

    使用at7_img_ex06matlab文件夹下的Matlab源码image_1D_fft_ifft.m或L1024_of_image_1D_fft_ifft.m(将640个点扩展为1024个点进行FFT变换,扩展的点以0填充,模拟FPGA的FFT IP核实际工作状况),对测试图像test进行FFT变换,进行必要的滤波,然后IFFT逆变换。

    测试图像为彩色图像,原始图像如下。

    81cf0aa6bc9b670eaa2f2c93245d6410.png

    首先进行彩色转灰度的变换,灰度图像如下。

    040238a906ff07c7d892ed189959d4c5.png

    提取出其中1行进行FFT变换后的图像频谱如下。很明显,大部分高频分量集中在前面几个点,而后面的点几乎频率都很小。

    c6b791290a05d5fbedc8c1873ba3568b.png

    放大频谱图,看到细节如下。这里绘制了一条取值为300的直线,有将近50%的频谱集中在这条线以下。若是做图像压缩,其实我们可以把这些低频分量忽略了,那么数据量可能会大大降低,当然了,副作用是图像可能会有一定程度的失真,有失必有得嘛。滤除这些低频分量,也会使图像更锐一些。话说做FFT变换的目的可远不止这些,在一些特殊的应用场景中,我们总是希望从原始图像中提取出一些和应用直接相关的特征信息,那么做了FFT后的图像常常非常有益于这些操作。为了演示,这里我们的代码里面就将这些低于300的点都滤除,即取0。

    385c6ff1779fd181d3d561856284b494.png

    从频谱图上看,如图所示,右侧的滤波后明显图像偏黑(很多值取0了)了。

    a5fe6f21579d3b83c098e216ecebff68.png

    我们重新把原图放到这里,和FFT滤波并IFFT以后的图像做比对,图像整体仍然保持不变,但是查看细节,可以发现处理后的图像明显锐了一些。

    4679e76dc92fcd85e4553a34ffd5b256.png

    Matlab源码如下:

    clc;clear `all;close all;

    IMAGE_WIDTH = 640;

    IMAGE_HIGHT = 480;

    %load origin image

    %I = imread('Lena_gray_niose.bmp');

    I = imread('test.bmp');

    I = rgb2gray(I);

    %fclose(fid1);

    %% output image data in hex file

    raw_image = reshape(I, IMAGE_HIGHT, IMAGE_WIDTH);

    raw_image = raw_image';

    fid2 = fopen('image_in_hex.txt', 'wt');

    fprintf(fid2, '%04x', raw_image);

    fid2 = fclose(fid2);

    %show origin image

    figure,imshow(I);

    title('Original image');

    %1D fft base on every image line

    II = zeros(IMAGE_HIGHT,1024);

    J = zeros(IMAGE_HIGHT,1024);

    for i = 1:IMAGE_HIGHT

    for j = 1:IMAGE_WIDTH

    II(i,j) = I(i,j);

    end

    J(i,:) = fft(II(i,:));%fft(I(i,:));

    end

    %show 1 linefft result

    t1 = (0:IMAGE_WIDTH); % Time vector

    line = ones(IMAGE_WIDTH) * 200;

    figure;

    plot(t1(1:IMAGE_WIDTH),abs(J(50,1:IMAGE_WIDTH)),t1(1:IMAGE_WIDTH),line(1:IMAGE_WIDTH))

    title(['1 line image in the Frequency Domain'])

    %show fft of origin image

    figure,imshow(log(abs(J)),);

    title('1D fft image base on every image line');

    %colormap(jet(64)),colorbar;

    %fftfiter

    J(abs(J) < 300) = 0;

    %J(abs(J) > 1000) = 1000;

    %show fft of fft filter image

    figure,imshow(log(abs(J)),);

    title('1D fft image after filter');

    %1D ifft base on every image line

    K = zeros(IMAGE_HIGHT,1024);

    for i = 1:IMAGE_HIGHT

    K(i,:) = real(ifft(J(i,:)));

    end

    KK = zeros(IMAGE_HIGHT,IMAGE_WIDTH);

    for i = 1:IMAGE_HIGHT

    for j = 1:IMAGE_WIDTH

    KK(i,j) = K(i,j);

    end

    end

    %show ifft image

    figure,imshow(KK,[])

    title('1D ifft image');

    3FPGA仿真

    在Sources面板中,展开Simulation Sources à sim_1,将sim_fft.v文件设置为top module。同样是对前面的测试图像,经过FFT和IFFT变换后存储在image_view0.txt文本中(仿真测试结果位于at7_img_ex06at7.simsim_1behav文件夹下)。为了确认FFT和IFFT IP核运算的精度和效果,这里没有做任何的滤波处理。

    fed36bcf3c58fc257edcaf9463addefc.png

    使用draw_image_from_FPGA_result.m脚本(at7_img_ex06matlab文件夹下)导入image_view0.txt文本的图像,和原始图像比对如下所示。看到图像几乎没有任何失真。

    47026e2533cef2658ea474abf9614294.png

    4 基于FPGA的图像平滑处理

    工程文件夹at7_img_ex06zstar.srcssources_1ew下的image_fft_filter.v模块以及3个子模块image_fft_controller.v、image_filter.v和image_ifft_controller.v实现了图像的FFT变换、滤波和IFFT变换处理。FPGA设计的功能框图如下。

    fd118f44973ed71374d871bc377b745f.png

    image_fft_controller.v模块例化FFT IP核,将采集的图像留以行为单位输入到FFT IP核,输出FFT频域数据。

    image_filter.v模块对FFT频域数据计算绝对值并进行必要的滤波处理,假设FFT结果的实部值为a,虚部值为b,那么其绝对值abs =sqrt(a^2+b^2)。如下代码,注释部分可以滤除低频分量,当前例程中为了验证FFT和IFFT变换后精度没有损失,未作滤波。

    always @(posedgeclk or negedgerst_n)

    if(!rst_n) begin

    o_image_filter_data_image<= 20'd0;

    o_image_filter_data_real<= 20'd0;

    end

    /*else if(sqrt_fft[19:0] < 20'd300) begin //此处可以做必要的高频或低频滤波处理

    o_image_filter_data_image<= 20'd0;

    o_image_filter_data_real<= 20'd0;

    end*/

    else begin

    o_image_filter_data_image<= r_image_fft_data_image[TOTAL_LATENCY-1];

    o_image_filter_data_real<= r_image_fft_data_real[TOTAL_LATENCY-1];

    end

    image_ifft_controller.v模块将滤波处理后的FFT结果进行IFFT变换,图像转回时域值,供后续模块缓存DDR3并显示。

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  • 1、为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么...而根据该原理创立傅立叶变换算法利用直接测量到原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应是反傅立叶变换算

    1为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么?

    傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。

    傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

    和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

    因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

    从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

    在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

    正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

    2、图像傅立叶变换的物理意义

    图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数

    傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰

    另外我还想说明以下几点:

    1图像经过二维傅立叶变换后,其变换系数矩阵表明:

    若变换矩阵Fn原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。

    、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮,平移之后中间部分是低频,最亮,亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)


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  • 本文设计了基于DDS的频谱分析仪,该频谱分析仪依据外差原理,被测信号与本征频率混频,实现信号的频谱分析。 本系统通过单片机和现场可编程门阵列(FPGA)共同控制AD985l,以产生正弦扫频输出信号,然后经滤波、程控...
  • 理解图像傅里叶变换的频谱

    千次阅读 2020-02-11 16:29:10
    很多人都不了解图像(二维)频谱中的每一点究竟...相比于时域分析图像的艰难,在频域分析图像就变得无比轻松,但是由于频域比较抽象,理解起来比较吃力,所以很多人并不能一下子就明白其原理。 在此选用了著名的C...

    很多人都不了解图像(二维)频谱中的每一点究竟代表了什么,有什么意义?


    一句话解释为: 二维频谱中的每一个点都是一个与之一 一对应的二维正弦/余弦波。

    视觉的优势永远大于其他器官对人的作用,所以对标眼睛的图像处理起到了非常重要的作用。

    相比于时域分析图像的艰难,在频域分析图像就变得无比轻松,但是由于频域比较抽象,理解起来比较吃力,所以很多人并不能一下子就明白其原理。

    在此选用了著名的Cameraman的图像,这幅照片向我们表达的信息是显而易见的,一位优秀的摄影师,黑色的风衣,潇洒的发型,很有质感的皮手套,灰色的裤子,一台照相机,一个三脚架,草坪,蓝天,背景是MIT。而他的频谱图则并没有像一维的频谱图那样,有助于我们理解图像自身以外的或者是隐藏在图像背后的信息。比如说,中间的那条白线是什么,如果你没看我之前写的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什么。这也就是我为什么说,图像的傅里叶变换有些多此一举,反而把一个简单的问题弄得很复杂,弄巧成拙了。

    言归正传,说了这么多,搞图像的哪有不和二维傅里叶变换打交道的呢。现在我就尽力说明一下图像二维傅里叶变换的一些属性(这里主讲二维频谱的特性,一维里面的共有特性就不细讲了)。

    1、周期性
    DFT的周期性:时时刻刻都要记住,对于DFT而言,他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。


    如果只取其中的一个周期,则我们会得到如下的结果(即,频谱未中心化)。

    为了便于频域的滤波和频谱的分析,常常在变换之前进行频谱的中心化。

    频谱的中心化
    从数学上说是在变换之前用指数项乘以原始函数,又因为e^jπ = 1,所以往往我们在写程序的时候实际上是把原始矩阵乘以(-1)^(x+y)达到频谱居中的目的。如下图所示:1<----->3 对调,2<----->4 对调,matlab中的fftshit命令就是这么干的。

    变换后对调频谱的四个象限(swap quadrant)

    经过中心化后的频谱

    截取了其中的一个周期,作为图像的频谱

    2、高低频率的分布
    除了周期性之外,还应该知道的就是哪里是高频哪里是低频。在经过频谱居中后的频谱中,中间最亮的点是最低频率,属于直流分量(DC分量)。越往边外走,频率越高。所以,频谱图中的四个角和X,Y轴的尽头都是高频。

    没有经过频谱居中处理的频谱图则正好相反,中间区域是高频,而四个角则是DC低频分量。

    这里我再用一个正弦波的例子来展示频谱图的高低频的分布,见下图。

    频谱中心化以后,正弦波的频点靠中心越近,频率越低,离中心越远,频率越高。

    3、频谱图的能量分布
    这里我顺便提一下频谱中的能级分布,则如下图所示。明显,DC分量所占能量最大最多,不论是二维还是一维都应该是这样。频率越高的部分,能量越少。如下图所示,图示画的不好,勉强能够理解就好。中间最小的那个圆圈内包含了大约85%的能量,中间那个圈包含了大约93%的能量,而最外面那个圈则包含了几乎99%的能量。

    4、纵横“交错”性
    在二维傅里叶变换中,空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上,而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向,反之亦然。说明见下图。

     

    最后再附加一个例子。

    5、方向性(direction)
    在二维频谱图中的任意“一对亮点”(注意:频谱的对称性),都在相应的空间域有一个与之相对应的二维正弦波。亮点在二维频谱中的位置决定了与之对应的正弦波的频率和方向。

    在空域图中的任意一条正弦线上,作该正弦线的法线。同时,把频谱图中的一对白色频点和坐标原点(DC中点)用一条直线连接起来。则,空域图中的法线正好和频谱图中的连线是完全平行的,一致的。

    上图是一个45度倾斜的正弦波图像。

    注意空间域中的任意一条法线和频谱图中频点和频谱图原点(DC)连线都是平行的,同时,空间域中的任意一条正弦线和频谱图中的连线是刚好正交的/垂直的。

    上图为相同方向,较低频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域(左图)的法线和频谱图中(右图)一对频点和DC的连线延长线,是平行的。

    上图为相同方向,较高频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域(左图)的法线和频谱图中(右图)一对频点和DC的连线延长线,是平行的。

    下面我们来验证一下其他角度的情况,这一法则是否适用。

    上面所有的例子中的频谱图都是频谱中心化的,那么针对没有经过频谱中心化的图呢?

    这些实验还说明了一个非常重要的问题,那就是:频谱图中的任意一对对称的两点,或者说是频点,经过傅里叶反变换之后,就是空间域中的一个与之对应的正弦波(即,相应的频率和方向)。如下图所示。

    6、平移和旋转
    图像的平移并不会影响图像的频谱,同时,图像的相位会随着图像的旋转而旋转。

    Part I 平移和旋转对频谱的影响
    下面我用矩形的频谱图来说明图像中矩形的平移并不会对频谱有丝毫的影响。

    再比如

    再来看看频谱随着矩形的旋转而旋转相同的角度。

    Part II 平移和旋转对相位的影响
    先用一个简单的例子来说明图像相位的作用(所用图像为cameraman),在图像的频域分析和滤波中,相位是常常被忽略的。虽然相位分量的贡献很不直观,但是它恰恰很重要。相位是频谱中各正弦分量关于原点的位移的度量。

    上面的小实验充分说明了,看似无用的,且常常被忽略的相位,在DFT的频域中起到了多么重要的作用(注意区分实部和虚部(直角坐标系)VS 频谱和相位(极坐标系)!)。

    接下来我们再来看看图像在空间域中的移位和旋转对相位有什么影响。下图中,左边一列是图像,中间一列是频谱,右边一列是相位图。你必须意识到,通过肉眼,你很难从相位图中得到什么有用的信息。

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  • 如何理解 图像傅里叶变换的频谱

    千次阅读 2019-03-25 10:19:14
    很多人都不了解图像(二维)频谱中的每一点...相比于时域分析图像的艰难,在频域分析图像就变得无比轻松,但是由于频域比较抽象,理解起来比较吃力,所以很多人并不能一下子就明白其原理。 在此选用了著名的Camera...

    很多人都不了解图像(二维)频谱中的每一点究竟代表了什么,有什么意义?

    一句话解释为:二维频谱中的每一个点都是一个与之一一对应的二维正弦/余弦波。

    视觉的优势永远大于其他器官对人的作用,所以对标眼睛的图像处理起到了非常重要的作用。

    相比于时域分析图像的艰难,在频域分析图像就变得无比轻松,但是由于频域比较抽象,理解起来比较吃力,所以很多人并不能一下子就明白其原理。

    这里写图片描述

    在此选用了著名的Cameraman的图像,这幅照片向我们表达的信息是显而易见的,一位优秀的摄影师,黑色的风衣,潇洒的发型,很有质感的皮手套,灰色的裤子,一台照相机,一个三脚架,草坪,蓝天,背景是MIT。而他的频谱图则并没有像一维的频谱图那样,有助于我们理解图像自身以外的或者是隐藏在图像背后的信息。比如说,中间的那条白线是什么,如果你没看我之前写的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什么。这也就是我为什么说,图像的傅里叶变换有些多此一举,反而把一个简单的问题弄得很复杂,弄巧成拙了。

    言归正传,说了这么多,搞图像的哪有不和二维傅里叶变换打交道的呢。现在我就尽力说明一下图像二维傅里叶变换的一些属性(这里主讲二维频谱的特性,一维里面的共有特性就不细讲了)。

    1、周期性

    DFT的周期性:时时刻刻都要记住,对于DFT而言,他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。
    这里写图片描述

    如果只取其中的一个周期,则我们会得到如下的结果(即,频谱未中心化)。

    这里写图片描述

    为了便于频域的滤波和频谱的分析,常常在变换之前进行频谱的中心化。

    频谱的中心化

    从数学上说是在变换之前用指数项乘以原始函数,又因为e^jπ = 1,所以往往我们在写程序的时候实际上是把原始矩阵乘以(-1)^(x+y)达到频谱居中的目的。如下图所示:1<----->3 对调,2<----->4 对调,matlab中的fftshit命令就是这么干的。

    这里写图片描述

    变换后对调频谱的四个象限(swap quadrant)

    这里写图片描述

    经过中心化后的频谱

    这里写图片描述

    截取了其中的一个周期,作为图像的频谱

    这里写图片描述

    2、高低频率的分布

    除了周期性之外,还应该知道的就是哪里是高频哪里是低频。在经过频谱居中后的频谱中,中间最亮的点是最低频率,属于直流分量(DC分量)。越往边外走,频率越高。所以,频谱图中的四个角和X,Y轴的尽头都是高频。

    这里写图片描述

    没有经过频谱居中处理的频谱图则正好相反,中间区域是高频,而四个角则是DC低频分量。

    这里写图片描述

    这里我再用一个正弦波的例子来展示频谱图的高低频的分布,见下图。

    这里写图片描述

    频谱中心化以后,正弦波的频点靠中心越近,频率越低,离中心越远,频率越高。

    3、频谱图的能量分布

    这里我顺便提一下频谱中的能级分布,则如下图所示。明显,DC分量所占能量最大最多,不论是二维还是一维都应该是这样。频率越高的部分,能量越少。如下图所示,图示画的不好,勉强能够理解就好。中间最小的那个圆圈内包含了大约85%的能量,中间那个圈包含了大约93%的能量,而最外面那个圈则包含了几乎99%的能量。

    这里写图片描述

    4、纵横“交错”性

    在二维傅里叶变换中,空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上,而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向,反之亦然。说明见下图。

    这里写图片描述

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    这里写图片描述

    最后再附加一个例子。

    这里写图片描述

    5、方向性(direction)

    在二维频谱图中的任意“一对亮点”(注意:频谱的对称性),都在相应的空间域有一个与之相对应的二维正弦波。亮点在二维频谱中的位置决定了与之对应的正弦波的频率和方向。

    在空域图中的任意一条正弦线上,作该正弦线的法线。同时,把频谱图中的一对白色频点和坐标原点(DC中点)用一条直线连接起来。则,空域图中的法线正好和频谱图中的连线是完全平行的,一致的。

    这里写图片描述

    上图是一个45度倾斜的正弦波图像。

    注意空间域中的任意一条法线和频谱图中频点和频谱图原点(DC)连线都是平行的,同时,空间域中的任意一条正弦线和频谱图中的连线是刚好正交的/垂直的。

    这里写图片描述

    上图为相同方向,较低频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域(左图)的法线和频谱图中(右图)一对频点和DC的连线延长线,是平行的。

    这里写图片描述

    上图为相同方向,较高频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域(左图)的法线和频谱图中(右图)一对频点和DC的连线延长线,是平行的。

    下面我们来验证一下其他角度的情况,这一法则是否适用。

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    上面所有的例子中的频谱图都是频谱中心化的,那么针对没有经过频谱中心化的图呢?

    这里写图片描述

    这些实验还说明了一个非常重要的问题,那就是:频谱图中的任意一对对称的两点,或者说是频点,经过傅里叶反变换之后,就是空间域中的一个与之对应的正弦波(即,相应的频率和方向)。如下图所示。

    这里写图片描述

    6、平移和旋转

    图像的平移并不会影响图像的频谱,同时,图像的相位会随着图像的旋转而旋转。

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    Part I 平移和旋转对频谱的影响
    下面我用矩形的频谱图来说明图像中矩形的平移并不会对频谱有丝毫的影响。
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    再比如

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    再来看看频谱随着矩形的旋转而旋转相同的角度。

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    Part II 平移和旋转对相位的影响
    先用一个简单的例子来说明图像相位的作用(所用图像为cameraman),在图像的频域分析和滤波中,相位是常常被忽略的。虽然相位分量的贡献很不直观,但是它恰恰很重要。相位是频谱中各正弦分量关于原点的位移的度量。

    上面的小实验充分说明了,看似无用的,且常常被忽略的相位,在DFT的频域中起到了多么重要的作用(注意区分实部和虚部(直角坐标系)VS 频谱和相位(极坐标系)!)。

    接下来我们再来看看图像在空间域中的移位和旋转对相位有什么影响。下图中,左边一列是图像,中间一列是频谱,右边一列是相位图。你必须意识到,通过肉眼,你很难从相位图中得到什么有用的信息。

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    转自:https://blog.csdn.net/ViatorSun/article/details/82387854

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图像的频谱分析原理