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  • 增广矩阵的秩* 主要内容: 一.矩阵的秩 二.一般线性方程组的 三.矩阵的秩及其求法 7.5 一般线性方程组 矩阵的秩是矩阵的重要特性之一,它在线性 方程组的讨论中起着关键的作用. 定义:矩阵A的阶梯形矩阵所含非...

    增广矩阵的秩

    * 主要内容: 一.矩阵的秩 二.一般线性方程组的解 三.矩阵的秩及其求法 7.5 一般线性方程组 矩阵的秩是矩阵的重要特性之一,它在线性 方程组解的讨论中起着关键的作用. 定义:矩阵A的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩 阵A的秩,记为r(A). 根据这个定义,可以得出求矩阵A的秩的一般步骤: (1)用矩阵的初等行变换把A化为阶梯形矩阵; (2)数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行 一、矩阵的秩 所以 r(A)=3. 所以 r(B)=3. 一般的线性方程组,它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等.对于n个未知数n个方程的线性方程组,当它的系数行列式不为零时,可以有以下三种求解方法: ⑴克莱姆法则;⑵逆矩阵;⑶矩阵法.其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程组.本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解.先考察先面的两个例子. 例3 讨论线性方程组 二 、一般线性方程组的解 ① 最后一个矩阵对应于方程组: 因此有 由于当x3和x4分别任意取定一个值时,都可 得到方程组的一组解,因此该方程组有无穷多 组解. 最后一个矩阵对应于方程组: 其中第三个方程0=3是不可能成立的.因而方程组无解. ② 从以上两个例子最后得到的两个矩阵①和②来看,它们的左上角都是一个单位矩阵,以下各行中除去最后一列可能有非零元素(如矩阵②)外,其余元素均为零. 一个含有n个未知数的m个方程的线性方程组 它的增广矩阵 ③ 一般经过适当的行初等变换,它的左上角会出现一个r阶的单位矩阵(r≤n),而在以下(m-r)各行,除去最后一列可能有非零元素外,其余的元素均为零.即增广矩阵经过行初等变换后可化成以下形式,其中r≤n: 为说明方便起见,先介绍方程组的相容性的概念. 定义 若方程组③有解,则称方程组③是相容 的;若方程组③无解,则称方程组③是不相容的. 下面分别按矩阵④出现的各种不同情形来讨论 对应的线性方程组的解. 1.若cr+1=0,则线性方程组③的系数矩阵与增广矩阵 的秩相等,并且都等于r(r≤n),则线性方程组③是相容的.当r

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  • 系数矩阵A和常数矩b阵...=R(Ab) 则方程无解 R(A)=R(Ab)=N时方程有唯一解 (齐次方程称无非0解) R(A)=R(Ab)<N时方程有无穷个解 (齐次方程称有非0解) 得到的解通常是X=ΣCi * Vi + V0的形式 称...

    系数矩阵A和常数矩b阵组成的分块矩阵称增广矩阵Ab

    先将增广矩阵Ab化成行最简形式,即非0行首元素都是1且该元素所在列的其他元素都是0,则非0行数即是矩阵的秩

    如果R(A)<=R(Ab) 则方程无解
    R(A)=R(Ab)=N时方程有唯一解 (齐次方程称无非0解)
    R(A)=R(Ab)<N时方程有无穷个解 (齐次方程称有非0解)

    得到的解通常是X=ΣCi * Vi + V0的形式

    称 CI*Vi为基础解 是某个齐次方程的通解

    V为特解 是某个非齐次方程的特解

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  • PYthon 高斯列主元消去法求增广矩阵/方程组的 Numpy模块“对 A * X = B” 矩阵的阶数不限模块导入直接上代码 “对 A * X = B” 矩阵的阶数不限 可通过修改 a 的值来改变A a = np.array([[2, 1, 1], [3, 1, 2], [1,...

    PYthon 高斯列主元消去法求增广矩阵/方程组的解 Numpy模块

    “对 A * X = B” 矩阵的阶数不限

    可通过修改 a 的值来改变A

    a = np.array([[2, 1, 1], [3, 1, 2], [1, 2, 2]],dtype=float)
    

    可通过修改 b 的值来修改B

    b = np.array([[4],[6],[5]],dtype=float)
    

    模块导入

    import numpy as np
    

    直接上代码

    # 导入 numpy 模块
    import numpy as np
    
    
    # 行交换
    def swap_row(matrix, i, j):
        m, n = matrix.shape
        if i >= m or j >= m:
            print('错误! : 行交换超出范围 ...')
        else:
            matrix[i],matrix[j] = matrix[j].copy(),matrix[i].copy()
        return matrix
    
    
    # 变成阶梯矩阵
    def matrix_change(matrix):
        m, n = matrix.shape
        main_factor = []
        main_col = main_row = 0
        while main_row < m and main_col < n:
            # 选择进行下一次主元查找的列
            main_row = len(main_factor)
            # 寻找列中非零的元素
            not_zeros = np.where(abs(matrix[main_row:,main_col]) > 0)[0]
            # 如果该列向下全部数据为零,则直接跳过列
            if len(not_zeros) == 0:
                main_col += 1
                continue
            else:
                # 将主元列号保存在列表中
                main_factor.append(main_col)
                # 将第一个非零行交换至最前
                if not_zeros[0] != [0]:
                    matrix = swap_row(matrix,main_row,main_row+not_zeros[0])
                # 将该列主元下方所有元素变为零
                if main_row < m-1:
                    for k in range(main_row+1,m):
                        a = float(matrix[k, main_col] / matrix[main_row, main_col])
                        matrix[k] = matrix[k] - matrix[main_row] * matrix[k, main_col] / matrix[main_row, main_col]
                main_col += 1
        return matrix,main_factor
    
    
    # 回代求解
    def back_solve(matrix, main_factor):
        # 判断是否有解
        if len(main_factor) == 0:
            print('主元错误,无主元! ...')
            return None
        m, n = matrix.shape
        if main_factor[-1] == n - 1:
            print('无解! ...')
            return None
        # 把所有的主元元素上方的元素变成0
        for i in range(len(main_factor) - 1, -1, -1):
            factor = matrix[i, main_factor[i]]
            matrix[i] = matrix[i] / float(factor)
            for j in range(i):
                times = matrix[j, main_factor[i]]
                matrix[j] = matrix[j] - float(times) * matrix[i]
        # 先看看结果对不对
        return matrix
    
    
    # 结果打印
    def print_result(matrix, main_factor):
        if matrix is None:
            print('阶梯矩阵为空! ...')
            return
        m, n = matrix.shape
        result = [''] * (n - 1)
        main_factor = list(main_factor)
        for i in range(n - 1):
            # 如果不是主元列,则为自由变量
            if i not in main_factor:
                result[i] = 'x_' + str(i + 1) + '(free var)'
            # 否则是主元变量,从对应的行,将主元变量表示成非主元变量的线性组合
            else:
                # row_of_main表示该主元所在的行
                row_of_main = main_factor.index(i)
                result[i] = str(matrix[row_of_main, -1])
                for j in range(i + 1, n - 1):
                    ratio = matrix[row_of_main, j]
                    if ratio > 0:
                        result[i] = result[i] + '-' + str(ratio) + 'x_' + str(j + 1)
                    if ratio < 0:
                        result[i] = result[i] + '+' + str(-ratio) + 'x_' + str(j + 1)
        print('方程的通解是:', )
        for i in range(n - 1):
            print('x_' + str(i + 1), '=', result[i])
    
    
    # 得到简化的阶梯矩阵和主元列
    def Handle(matrix_a, matrix_b):
        # 拼接成增广矩阵
        matrix_01 = np.hstack([matrix_a, matrix_b])
        print('增广矩阵为:')
        print(matrix_01)
        matrix_01, main_factor = matrix_change(matrix_01)
        print('阶梯矩阵为:')
        print(matrix_01)
        matrix_01 = back_solve(matrix_01, main_factor)
        print('方程的简化阶梯矩阵:')
        print(matrix_01)
        print('方程的主元列为:')
        print(main_factor)
        print_result(matrix_01, main_factor)
        return matrix_01, main_factor
    
    
    if __name__ == '__main__':
        #a = np.array([[0, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]])
        a = np.array([[2, 1, 1], [3, 1, 2], [1, 2, 2]],dtype=float)
        b = np.array([[4],[6],[5]],dtype=float)
        Handle(a, b)
        print('*' * 20)
    
    
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  • 1. 增广矩阵 2. matrix, pmatrix, bmatrix 的区别 3. 左大括号,右大括号

    latex 基本用法

    • modm \mod
    • (modn) \pmod

    1. 增广矩阵

    比如鸡兔同笼问题的线性方程组:

    x+y=152x+4y=40

    首先是有无解的判断,也即是否 R(A|b)=R(Am×n)=n ,我们用latex写出增广矩阵 R(A|b)
    [12141540]

    \left [
    \begin{array}{c:c}
    \begin{matrix}
    1&1\\
    2&4
    \end{matrix}&
    \begin{matrix}
    15\\
    40
    \end{matrix}
    \end{array}
    \right ]

    2. matrix, pmatrix, bmatrix 环境的区别

    • \begin{matrix} \end{matrix}没有外层的括号之类

    1001

    • \begin{pmatrix} \end{pmatrix} 外层的是大括号

    (1001)

    • \begin{bmatrix} \end{bmatrix} 外层的是中括号

    [1001]

    References

    [1] 在线LaTex公式编辑器

    [2] LaTeX技巧315:如何写出一个增广矩阵中的长坚虚线?

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  • 本片文章以非齐次线性方程组例题引出增广矩阵(A,b)的集,配合矩阵的QR分解对增广矩阵(A,b)重新构造。在转置方面从代数两个角度切入,但这个角度比较浅显,我们需要真正明白的是在转置在向量空间层面发挥了什么作用...
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增广矩阵无解