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  • 对基于复数旋转码的(k, n)-秘密共享方案的分析与改进
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  • 复数旋转的矩阵推导

    千次阅读 2011-11-11 16:54:04
    许多图形学教科书在谈论2D旋转的时候,用一个表示旋转的矩阵来讲解旋转,例如: 这是一个表示旋转的矩阵,我们将一个2D向量乘以这个矩阵, 就能得到旋转θ角度的向量. 旋转后的向量x', y'就等于: ...

    首先,我要感谢莱昂哈德·欧拉先生,他的智慧之光打破了时间的界限,在200多年后的今天依然照耀着我们.

     

    许多图形学教科书在谈论2D旋转的时候,用一个表示旋转的矩阵来讲解旋转,例如:



    这是一个表示旋转的矩阵,我们将一个2D向量乘以这个矩阵, 就能得到旋转θ角度的向量.

    旋转后的向量x', y'就等于:

     

    我从来没有真正明白,这个旋转矩阵是怎么计算得来的, 直到我找到欧拉的公式:

    图中的圆表示”复数(complexnumber)平面”上的单位向量的集合.

    这个公式被称作”欧拉公式”,i表示复数, e是自然对数, 运用这个公式,我们可以很容易的计算出2D空间中的旋转矩阵.

     

    ”实数平面”和”复数平面”之间并没有很大差别,唯一的不同是在”复数平面”中, y轴表示复数.

     

    假设, 在”复数平面”上有这样的一个向量:

     

    运用欧拉公式,我们可以将该向量转换为:

     

    现在, 假设旋转β角度以后,新的向量为z':

     

    我们来展开这个表达式:

     

    所以,  

     

    从这里,我们就可以得到转换后的向量坐标:

     

    由此, 我们就可以推出旋转矩阵.


    转自:http://www.cnblogs.com/glshader/archive/2010/10/23/1858925.html

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  • 3D数学基础——复数旋转矩阵的推导

    千次阅读 2014-03-08 12:12:55
      首先,我要感谢莱昂哈德·欧拉先生,他的智慧之光打破了时间的界限,在200...许多图形学教科书在谈论2D旋转的时候,用一个表示旋转的矩阵来讲解旋转,例如: 这是一个表示旋转的矩阵,我们将一个2D向量乘以这

    原文链接:http://www.cnblogs.com/glshader/archive/2010/10/23/1858925.html

     

    首先,我要感谢莱昂哈德·欧拉先生,他的智慧之光打破了时间的界限,在200多年后的今天依然照耀着我们.

     

    许多图形学教科书在谈论2D旋转的时候,用一个表示旋转的矩阵来讲解旋转,例如:



    这是一个表示旋转的矩阵,我们将一个2D向量乘以这个矩阵, 就能得到旋转θ角度的向量.

    旋转后的向量x', y'就等于:

     

    我从来没有真正明白,这个旋转矩阵是怎么计算得来的, 直到我找到欧拉的公式:

    图中的圆表示”复数(complexnumber)平面”上的单位向量的集合.

    这个公式被称作”欧拉公式”,i表示复数, e是自然对数, 运用这个公式,我们可以很容易的计算出2D空间中的旋转矩阵.

     

    ”实数平面”和”复数平面”之间并没有很大差别,唯一的不同是在”复数平面”中, y轴表示复数.

     

    假设, 在”复数平面”上有这样的一个向量:

     

    运用欧拉公式,我们可以将该向量转换为:

     

    现在, 假设旋转β角度以后,新的向量为z':

     

    我们来展开这个表达式:

     

    所以,  

     

    从这里,我们就可以得到转换后的向量坐标:

     

    由此, 我们就可以推出旋转矩阵.

     

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  • 复数旋转

    千次阅读 2019-10-29 00:31:41
    最近看到复数的一些有趣性质,记录在此。 从定义开始,复数由实部和虚部构成: z=a+bi,i2=−1z = a + bi,i^2 = -1z=a+bi,i2=−1 有时方便起见,亦表示位向量形式(a,b)(a,b)(a,b). 对于两个复数z1=(a,b),z2=(c,d)z...

    最近看到复数的一些有趣性质,记录在此。
    从定义开始,复数由实部和虚部构成:
    z = a + b i , i 2 = − 1 z = a + bi,i^2 = -1 z=a+bii2=1
    有时方便起见,亦表示位向量形式 ( a , b ) (a,b) (a,b).
    对于两个复数 z 1 = ( a , b ) , z 2 = ( c , d ) z_1 = (a,b),z_2 = (c,d) z1=(a,b),z2=(c,d)相乘,
    z 1 z 2 = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c − b d + a d i + b d i = [ a − b b a ] ( c d ) z_1 z_2 = (a + bi)(c+di) \\ =ac -bd +adi+bdi\\ =\begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} a &-b \\ b&a \\ \end{array} \right]\left( \begin{array}{ccc} c\\ d \end{array} \right) \end{matrix} z1z2=(a+bi)(c+di)=acbd+adi+bdi=[abba](cd)

    可以看出,用一个复数左乘的效果相当于一个矩阵变换。
    对于矩阵做一些变形:
    [ a − b b a ] = a 2 + b 2 [ a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 b a 2 + b 2 a a 2 + b 2 ] = ∣ ∣ z ∣ ∣ [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] \begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} a &-b \\ b&a \\ \end{array} \right] \end{matrix} = \sqrt{a^2+b^2}\begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}&\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \end{array} \right] \end{matrix} = ||z|| \begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta\\ \end{array} \right] \end{matrix} [abba]=a2+b2 [a2+b2 aa2+b2 ba2+b2 ba2+b2 a]=z[cosθsinθsinθcosθ]
    变化后的矩阵部分
    [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] ( 1 0 ) = ( c o s θ s i n θ ) \begin{matrix}\left[ \begin{array}{ccc} cos\theta&-sin\theta \\ sin\theta&cos\theta\\ \end{array} \right] \end{matrix} \left( \begin{array}{ccc} 1\\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} cos\theta\\ sin\theta \end{array} \right) [cosθsinθsinθcosθ](10)=(cosθsinθ)
    将x轴单位向量逆时针旋转 θ \theta θ,如果乘以(0,1)效果类似。
    于是我们得到了复数与平面旋转的某种关系,复数z将二维向量v旋转 θ \theta θ角之后放大 ∣ ∣ z ∣ ∣ ||z|| z倍。
    为了方便的将这一旋转角度表示, ( a , b ) (a,b) (a,b)表示不能直接体现旋转角。记得微积分中的欧拉公式
    c o s θ + i s i n θ = e i θ cos\theta + isin\theta = e^{i\theta} cosθ+isinθ=eiθ
    c o s θ + i s i n θ cos\theta + isin\theta cosθ+isinθ是一个单位复向量,任何复数都可以表示为 z = ∣ ∣ z ∣ ∣ c o s θ + i s i n θ = ∣ ∣ z ∣ ∣ e i θ z = ||z||cos\theta + isin\theta=||z||e^{i\theta} z=zcosθ+isinθ=zeiθ.

    z = ∣ ∣ z ∣ ∣ c o s θ + i s i n θ = ∣ ∣ z ∣ ∣ e i θ z = ||z||cos\theta + isin\theta=||z||e^{i\theta} z=zcosθ+isinθ=zeiθ
    复数左乘的效果就是顺时针旋转θ角然后放大模长倍。

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  • 复数_旋转

    2013-11-22 01:30:00
    不管四元数和3D的旋转,我先要弄清楚复数和2D旋转: cos(b) * r = x => cos(b) = x / r (1) sin(b) * r = y => sin(b) = y / r (2) cos(a + b) * r = x' => cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = x'...

    不管四元数和3D的旋转,我先要弄清楚复数和2D旋转:

    cos(b) * r = x  =>  cos(b) = x / r        (1)

    sin(b) * r = y   =>  sin(b) = y / r         (2)

     

    cos(a + b) * r = x'    =>    cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = x'        (3)

    sin(a + b) * r = y'    =>    sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) = y'        (4)

     

    把(1),(2)代入(3),(4)中:

    x' = cos(a)x - sin(a)y

    y' = sin(a)x + cos(a)y

     

    这样(x + yi)(cos(a) + sin(a)i) = (cos(a)x - sin(a)y) + (sin(a)x + cos(a)y)i

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/YOUEN/p/3436744.html

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  • 复数与相位(旋转)

    千次阅读 2019-09-27 11:39:50
    复数与相位(旋转)
  • 复数与二维旋转

    2021-07-22 21:48:28
    复数与二维旋转 复数 如下图中所示,定义一个复平面,存在一个复数Z,其中横坐标Re代表复数Z的实部,纵坐标Im代表虚部。 可以得出复数 Z 其实就是对基底 {1, i} 的线性组合,且可以写成向量形式,如下所示: 定义...
  • c++ 复数控制向量旋转

    千次阅读 2014-02-11 15:37:44
    std::complex 复数可以很方便的做旋转 以下为实现:     //待旋转的点坐标 (fRotationX,fRotationY) //中心点坐标 (fCenterX, fCenterY) //旋转角度 void Rotation(float &fRotationX, float &...
  • 复数乘法与旋转

    千次阅读 2016-05-05 20:13:52
    问题复数乘法可以表示为向量旋转的证明。证明a+bi=r(cosA+i∗sinA)a+bi = r(cosA+i*sinA) c+di=q(cosB+i∗sinB)c+di = q(cosB+i*sinB) 相乘 =rq[(cosA+i∗sinA)∗(cosB+i∗sinB)]= rq[(cosA+i*sinA) * (cosB+i*...
  • 序:上一节介绍了复数的一些基本性质,这一节讲解复数与二维旋转的关系 复数乘法与二维旋转的关系 按照上节1-③的复平面定义https://blog.csdn.net/SKANK911/article/details/90033451 复数z=a+bi有如下性质: ...
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  • 序:本系列讨论复数的一些性质以及它与 2D 旋转之间的关系.然后讨论四元数与 3D 旋转之间的关系。本篇为复数基本介绍。 复数基本介绍: 1定义 ① z = a + bi ② {1,i} 这个基的线性组合,可以用向量来表示...
  • 点的旋转(1):二维平面及复数

    千次阅读 2018-12-29 10:51:37
    点的旋转(1):二维平面及复数前言加法乘法复平面旋转 前言 在阅读本文之前,你应该对笛卡尔坐标系和复数有一定了解,我们将从复数的角度来解释旋转。 不过在这之前我们先来看看加法和乘法的另一种思想 加法 在二维...
  • 复数的意义就表示旋转 乘以-1,表示x正半轴的数,围绕原点,逆时针偏转180°,落到x负半轴; 乘以i,表示x正半轴的数,围绕原点,逆时针偏转90°,落到y正半轴; 乘以-i,表示从x正半轴,围绕原点,逆时针偏转270°...
  • 复数

    千次阅读 2019-09-18 14:14:13
    今天在了解四元数的时候,发现自己连高中的基础知识复数都忘记了。真是惭愧啊!!! 然后就花了点时间重新复习了下,现在就做下笔记总结下。 (1)什么是复数 高中的时候,会粗略地学习下复数,首先定义: i = z = a...
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  • 理解复数

    千次阅读 2016-02-23 13:18:28
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  • 这个可以先设出a1 然后 一圈递...复数旋转就是类似这样的东西 以下来自 POJ Discuss point getnp(point ori, point cen, double angle) //向量cen->ori绕cen旋转逆时针旋转angle弧度 { //复数平面向量旋转 poin

空空如也

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