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  • 复杂性科学是研究复杂系统行为与性质的科学,把复杂性科学引入组织管理是组织管理适应当今时代经济和社会发展的需要,也是当代组织管理理论和实践自身发展的必然趋势。典型的复杂性管理模式有整体性管理公司,分形...
  • 复杂性科学

    千次阅读 2017-12-18 00:00:00
    简介 复杂性科学(Complexity Science)兴起于20世纪80年代的复杂性科学(complexity sciences),是系统科学发展的新阶段,也是当代科学发展的前沿领域之一。复杂性科学的发展,不仅引发了自然科学界的变革,而且也日...

        复杂性是混沌性的局部与整体之间的非线形形式,由于局部与整体之间的这个非线性关系,使得我们不能通过局部来认识整体。


    简介


        复杂性科学(Complexity Science)兴起于20世纪80年代的复杂性科学(complexity sciences),是系统科学发展的新阶段,也是当代科学发展的前沿领域之一。复杂性科学的发展,不仅引发了自然科学界的变革,而且也日益渗透到哲学、人文社会科学领域。英国著名物理学家霍金称“21世纪将是复杂性科学的世纪”。复杂性科学为什么会赢得如此盛誉,并带给科学研究如此巨大的变革呢?主要是因为复杂性科学在研究方法论上的突破和创新。在某种意义上,甚至可以说复杂性科学带来的首先是一场方法论或者思维方式的变革。尽管国内外学者已经认识到研究复杂性科学的重要意义,然而要想找出一个能够符合各方研究旨趣的复杂性科学的概念还有困难。虽然当代人们对复杂性科学的认识不尽相同,但是可以肯定的是“复杂性科学的理论和方法将为人类的发展提供一种新思路、新方法和新途径,具有很好的应用前景”。黄欣荣认为尽管复杂性科学流派纷呈、观点多样,但是复杂性科学却具有一些共同的特点可循:(1)它只能通过研究方法来界定,其度量标尺和框架是非还原的研究方法论。(2)它不是一门具体的学科,而是分散在许多学科中,是学科互涉的。(3)它力图打破传统学科之间互不来往的界限,寻找各学科之间的相互联系、相互合作的统一机制。(4)它力图打破从牛顿力学以来一直统治和主宰世界的线性理论,抛弃还原论适用于所用学科的梦想。(5)它要创立新的理论框架体系或范式,应用新的思维模式来理解自然界带给我们的问题。

    复杂性科学是指以复杂性系统为研究对象,以超越还原论为方法论特征,以揭示和解释复杂系统运行规律为主要任务,以提高人们认识世界、探究世界和改造世界的能力为主要目的的一种“学科互涉”(inter—disciplinary)的新兴科学研究形态。



    发展阶段


        复杂性科学研究主流发展的三个阶段主要是指:埃德加·莫兰的学说、普利高津的布鲁塞尔学派、圣塔菲研究所的理论。

    (1)埃德加·莫兰的学说 埃德加·莫兰是当代思想史上最先把“复杂性研究”作为课题提出来的人。莫兰正式提出“复杂性方法”是在他1973年发表的《迷失的范式:人性研究》 一书中。莫兰复杂性思想的核心是他所说的“来自噪声的有序”的原则,该原则可以简要表述如下:将一些具有磁性的小立方体散乱地搁置在一个盒子里,然后任意摇动这个盒子,最后人们看到盒子中的小立方体在充分运动之后根据磁极的取向互相连接形成一个有序的结构。在这个例子中,任意地摇动盒子是无序的表现,显然单靠它不能导致小立方体形成整体的有序结构。小立方体本身具有磁性,是产生有序性的潜能,但是这个潜能借助了无序因素的辅助或中介而得以实现。在这个原理里,无序性是必要条件而不是充分条件,它必须与已有的有序性因素配合才能产生现实的有序性或更高级的有序性。这条原理打破了有关有序性和无序性相互对立和排斥的传统观念,指出它们在一定条件下可以相互为用,共同促进系统的组织复杂性的增长口 。这正是莫兰在其书中阐发的复杂性方法的一条基本原则,它揭示了动态有序的现象的本质。

    (2)普利高津的布鲁塞尔学派 比莫兰稍晚,普利高津在他与斯唐热于1979年出版的法文版《新的联盟》一书中提出了“复杂性科学”的概念(此书的英文版改名为《从混沌到有序》)“ 。在那里,复杂性科学是作为经典科学的对立物和超越者被提出来的。他说:“在经典物理学中,基本的过程被认为是决定论的和可逆的。”今天,“我们发现我们自己处在一个可逆性和决定论只适用于有限的简单情况,而不可逆性和随机性却占统治地位的世界之中”。因此,“物理科学正在从决定论的可逆过程走向随机的和不可逆的过程”。普利高津紧紧抓住的核心问题就是经典物理学在它的静态的、简化的研究方式中从不考虑“时间”这个参量的作用,从而把物理过程看成是可逆的。实际上,普利高津并没有提出一个明确的“复杂性”的定义,他提出的复杂性的理论主要是揭示物质进化过程的理化机制的不可逆过程的理论,即耗散结构理论。

    (3)圣塔菲研究所的理论 1984年5月成立的美国圣塔菲研究所,由各学科的第一流精英参与,受到美国公私财政机构的大力资助,被视为世界复杂性问题研究的中枢。然而,圣塔菲研究所的复杂性观念与莫兰和普利高津的复杂性观念有很大的区别。例如,圣塔菲研究所的学术领头人盖尔曼(M.Gell~mann)指出 :“在研究任何复杂适应系统的进化时,最重要的是要分清这三个问题:基本规则、被冻结的偶然事件以及对适应进行的选择。”“被冻结的偶然事件”是指一些在物质世界发展的历史过程中其后果被固定下来并演变为较高级层次上的特殊规律的事件,这些派生的规律包含着历史特定条件和偶然因素的影响。盖尔曼认为,事物的有效复杂性只受基本规律少许影响,大部分影响来自“冻结的偶然事件”。盖尔曼随后还指出了复杂系统的适应性特征,即它们能够从经验中提取有关客观世界的规律性的东西作为自己行为方式的参照,并通过实践活动中的反馈来改进自己对世界的规律性的认识。也就是说,系统不是被动地接受环境的影响,而是能够主动地对环境施加影响,因此,他认为复杂性科学研究的焦点不是客体的或环境的复杂性,而是主体自身的复杂性—— 主体复杂的应变能力以及与之相应的复杂的结构。



    主要流派


        复杂性科学主要包括:早期研究阶段的一般系统论、控制论、人工智能;后期研究阶段的耗散结构理论、协同学、超循环理论、突变论、混沌理论、分形理论和元胞自动机理论。限于篇幅,本文只简要介绍协同学、突变论和耗散结构理论。

    (1)协同学

        协同学(Synergetics)是由德国学者哈肯创立的 。协同学是研究有序结构形成和演化的机制,描述各类非平衡相变的条件和规律。协同学认为,千差万别的系统,尽管其属性不同,但在整个环境中,各个系统间存在着相互影响而又相互合作的关系。协同学进一步指出,对于一种模型。随着参数、边界条件的不同以及涨落的作用,所得到的图样可能很不相同;而对于一些很不相同的系统,却可以产生相同的图样。由此可以得出一个结论:形态发生过程的不同模型可以导致相同的图样。在每一种情况下,都可能存在生成同样图样的一大类模型。

    (2)突变论

        突变论(Catastrophe Theory)的创始人是法国数学家勒内·托姆(Rene Thorn)。突变论是研究客观世界非连续性突然变化现象的一门新兴学科。突变论认为,系统所处的状态,可用一组参数描述。当系统处于稳定态时,标志该系统状态的某个函数就取惟一的值。当参数在某个范围内变化,该函数值有不止一个极值时,系统必然处于不稳定状态。勒内·托姆指出:系统从一种稳定状态进入不稳定状态,随参数的再变化,又使不稳定状态进入另一种稳定状态,那么,系统状态就在这一刹那间发生了突变。突变论还提出:高度优化的设计很可能有许多不理想的性质,因为结构上最优,因而可能存在对缺陷的高度敏感性,产生特别难于对付的破坏性,以致发生真正的“灾变” 。

    (3)耗散结构理论

        耗散结构理论是普利高津(Pregogine)于20世纪60和70年代创立的 普利高津一直在从事关于非平衡统计物理学的研究工作,当他将热力学和统计物理学从平衡态推到近平衡态,再向远平衡态推进时终于发现:一个远离平衡态的非线性的开放系统(不管是物理的、化学的、生物的乃至社会的、经济的系统)通过不断地与外界交换物质和能量,在系统内部某个参量的变化达到一定的阈值时,通过涨落,系统可能发生突变即非平衡相变,由原来的混沌无序状态转变为一种在时间上、空间上或功能上的有序状态。这种在远离平衡的非线性区形成的新的稳定的宏观有序结构,由于需要不断与外界交换物质或能量才能维持,因此称之为“耗散结构”(dissipative structure)“ 。



    研究现状


        最早明确提出探索复杂性方法论的是我国著名科学家钱学森,他在20世纪80年代,复杂性研究刚刚兴起的时候,就敏锐地提出要探索复杂性科学的方法论。他认为研究开放的复杂巨系统必须采用新的方法,即他提出的从定性到定量的综合集成方法,后来发展成为综合集成方法的研讨厅体系。随后,成思危教授在《复杂性科学与管理》一文中指出:“研究复杂系统的基本方法应当是在唯物辩证法指导下的系统科学方法”并提出这应包括四个方面的结合,即定性判断与定量计算、微观分析与宏观分析、还原论与整体论、科学推理与哲学思辨相结合。但是成思危教授并没有对这些方法论原则展开全面细致的论述。

    就目前来看,除了黄欣荣的《复杂性科学的方法论研究》外,国内对复杂性研究的方法论进行系统研究的还比较少,但是关于系统科学及其分支学科的方法论还是有比较多的探索。(p240)例如,吴彤教授对自组织方法论做过专门研究,苗东升教授对系统方法论和混沌研究方法有深入探索,赵松年研究员对非线性方法论做过比较系统的研究等。这些已有的关于系统科学及其分支学科的方法论的研究成果,对于我们探索复杂性科学的方法论都有一定的启发价值,值得后来的研究者借鉴和吸收。国外学者也已经认识到研究复杂性科学方法论的重要性,并作了一些探索性的努力。世界复杂性科学研究的中枢机构—— 美国圣菲研究所(SFI)的研究者已经认识到研究复杂性科学方法论的重要性,他们把计算模拟、隐喻类比等方法引入到复杂性研究之中。1999年,美国《科学》杂志在其刊发的复杂性专刊中,其编者按文章《超越还原论》,就是对复杂性科学的方法论所作的探索。法国著名思想家埃德加·莫兰在其六卷本巨著《方法》中,从哲学层面上对复杂性的研究方法以及其对科学思维和科学方法的影响进行了许多探索性的研究。德国学者克劳斯·迈因策尔在《复杂性中的思维》一书中阐述了复杂性思维给人们思维方式带来的冲击和影响,并试图建构一个跨学科的一般方法论。不过就研究态势来看,国外对复杂性研究的方法论探索成果不多,并且多体现为复杂性探索所运用的具体方法(如模拟方法、数值方法、计算方法等)上,系统全面的哲学研究还没有全面展开。



    具体特征



    非线性

        “非线性”与“线性”是一对数学概念,用于区分数学中不同变量之间两种性质不同的关系。苗东升教授认为,可以从本体论和方法论两个层面来认识和区分线性思维和非线性思维。从本体论角度来看,线性思维认为,现实世界本质上是线性的,非线性不过是对线性的偏离或干扰。非线性思维认为,现实世界本质上是非线性的,但非线性程度和表现形式千差万别,线性系统不过是在简单情况下对非线性系统的一种可以接受的近似描述。从方法论角度来看,线性思维认为,非线性一般都可以简化为线性来认识和处理。非线性思维认为,一般情况下都要把非线性当成非线性来处理,只有在某些简单情况下才允许把非线性简化为线性来处理。因此有学者明确指出:“非线性作用是系统无限多样性、不可预测性和差异性的根本原因,是复杂性的主要根源。非线性思维是一种直面事物本身的复杂性以及事物之间相互关系的复杂性、运用超越直线式的思维去力争更清晰的理解和把握认识对象的思维方式。不可否认,在认识简单的事物时,直线式的思维方式有利于提高认识的效率,但是在认识比较复杂的事物时,如果单单为了追求一种简单性、便捷性、效率性、因果性,而抛却事物的复杂性,我们得到的会是一种“假象式”的认识结果。实际上“随着我们的思维范式由线性(原子论、还原论)向非线性(系统论)的转变,我们对自然和社会的本来面目的认识就更加深刻”。


    不确定性

        不确定性是针对确定性而言的,是对确定性的否定。在近代科学发展史上,以牛顿力学为代表的经典自然科学向人们描绘了一幅确定性的世界愿景,并且宣称在这幅愿景图中的空白之处或者不清晰之处只是暂时的,是等待人类去逐渐填充的领域。然而20世纪60年代以来,现代系统科学中关于混沌现象的研究,却打破了传统科学中把“确定性”与“不确定性”截然分割的思想禁锢,并用大量客观事实和实验表明,正是由于确定性和不确定性的相互联系和相互转化,才构成了丰富多彩的现实世界。著名科学家普里高津曾说:“我坚信,我们正处在科学史中一个重要的转折点上。我们走到了伽利略和牛顿所开辟的道路的尽头,他们给我们描绘了一个时间可逆的确定性宇宙的图景。我们却看到了确定性的腐朽和物理学定义新表述的诞生。”事实上,许多学科领域关于“不确定性”的研究成果已经揭示了微观和宏观世界中不确定性的必然存在。如量子力学中的海森堡测不准原则、数理逻辑中的哥德尔定理、社会选择理论中的阿罗不可能定理以及模糊逻辑等方法的提出,都从不同的学科角度,为“不确定性”成为科学研究的对象提供了准备条件。美国密歇根大学地质科学家亨利·N.波拉克(H.N.Pollack,1936一)说:“科学会因为不确定性而衰弱吗?恰恰相反,许多科学的成功正是由于科学家在追求知识的过程中学会了利用不确定性。不确定性非但不是阻碍科学前行的障碍,而且是推动科学进步的动力。科学是靠不确定性繁荣的。”(叩"不确定性产生的根源是什么呢?“从本质上,不确定性源自《复杂性科学的方法论研究》是黄欣荣在其博士论文的基础上修改完成的,由重庆大学出版社2006年出版。社会系统本身所固有的、内在的层次性、开放性、动态性、相干性、非线性、临界性、自组织性、自强化性和突变性。根据不确定性的特点,一般可以把不确定性分为五类:客观不确定性、主观不确定性、过程不确定性、博弈不确定性和突变不确定性。”


    自组织性

        组织是指系统内的有序结构或这种有序结构的形成过程。德国理论物理学家哈肯依据组织的进化形式把“组织”分为他组织和自组织两类。自组织是相对于他组织而言的,我们一般把不能自行组织、自行创生、自行演化,不能够自主地从无序走向有序的组织称为他组织。他组织只能依靠外界的特定指令来推动组织向有序演化,从而被动地从无序走向有序。相反,自组织是指无需外界特定指令就能自行组织、自行创生、自行演化,能够自主地从无序走向有序,形成有结构的系统。

        自组织理论是20世纪60年代末期开始建立并发展起来的一种系统理论。它的研究对象主要是复杂自组织系统(生命系统、社会系统)的形成和发展机制问题,即在一定条件下,系统是如何自发地由无序走向有序、由低级有序走向高级有序的。吴彤教授认为自组织理论由耗散结构理论、协同学、突变论、超循环理论、分形理论和混沌理论组成。其中,耗散结构理论是解决自组织出现的条件环境问题的,协同学基本上是解决自组织的动力学问题的,突变论从数学抽象的角度研究了自组织的途径问题,超循环论解决了自组织的结合形式问题,分形理论和混沌理论则从时序和空间序的角度研究了自组织的复杂性和图景问题。一般认为,系统开放、远离平衡、非线性相互作用、涨落是自组织形成的基本条件。

    自组织现象无论在自然界还是在人类社会中都普遍存在。一个系统自组织功能愈强,其保持和产生新功能的能力也就愈强。我们把这种无需外界控制和干扰、通过系统自身的调节和演化达到有序的特性称为自组织性,如达尔文提出的“物竞天择,适者生存”,就可以看成是自然界中的生物通过生态系统的自身调节而达到的不同物种之间进化发展的自组织过程。


    涌现性

        复杂性科学把系统整体具有而部分或者部分和所不具有的属性、特征、行为、功能等特性称为涌现性。也就是说,当我们把整体还原为各个部分时,整体所具有的这些属性、特征、行为、功能等便不可能体现在单个的部分上。

        我国古代思想家老子的“有生于无”的论断,便是对涌现性古老而又深刻的理解和表达。贝塔朗菲借用亚里士多德的著名命题“整体大于部分之和”来表达涌现性;霍兰认为涌现的本质是“由小生大,由简入繁”。复杂性科学家常借用“复杂来自简单”来表述涌现,认为复杂性是随着事物的演化从简单性中涌现出来的。虽然涌现性是整体的一种现象和特性,但是整体的现象和特性不一定都是涌现。贝塔朗菲区分了累加性与生成性(非加和性)两种整体特征,把整体分为非系统总和与系统总和两种。要清楚地认识到单单只把各部分特性累加起来所形成的整体特性不是涌现性,只有依赖于部分之间特定关系的特征所构成的生成性(不是加和性)才称得上是“涌现性”。由此可以得出,从部分本身的简单相加来推断、预测涌现现象是不可能的,涌现性是一个描述复杂系统层次所呈现的模式、结构或特征的科学概念。



    研究旨趣


    (一)对还原论的批判和超越

        本文所论及的还原论(Reductionism),指的是涉及一切科学领域的、一般哲学意义上的还原论,是广义的还原论,不是局限在某一学科领域内(如生物学、物理化学)的还原论;是在方法论层次上谈论还原论,不是在本体论还原或者理论间还原层面上谈论的还原论。

    据考证,“还原论”一词最早由著名哲学家蒯因1951年在《经验论的两个教条》一文中正式提出,但还原论的思想却源远流长。中国古代的思想家们和古希腊的哲学家们在探讨物质的构成和世界的本源时所提出的一系列思想便可以看成是还原论思想的萌芽,但这些萌芽与现代意义上的还原论思想相差很大。

        “还原论是把物质的高级运动形式(如生命运动)归结为低级运动形式(如机械运动),用低级运动形式的规律代替高级运动形式的规律的方法。还原论认为,各种现象都可被还原成一组基本的要素,各基本要素彼此独立,不因外在因素而改变其本质,通过这些基本要素的研究,可推知整体现象的本质。”从科学和哲学思想史上来看,法国哲学家笛卡尔是还原论思想的奠基者,他所提出的指导人们思维活动的著名的“四条原则”,完整地表达了还原论的基本内涵,笛卡尔的方法论思想经过牛顿到爱因斯坦历代科学家的补充和发展,经过四百年科学实践的检验不断完善,形成了还原论在现代科学体系中的支配地位。“四条原则”,即除了清楚明白的观念外,绝不接受其他任何东西;必须将每个问题分解成若干个简单的部分来处理;思想必须从简单到复杂;我们应该时常彻底地检查,确保没有遗漏任何东西。

    复杂性科学研究的一个共同特点,便是在方法论层面对还原论的批判和超越。“超越”是西方哲学中经常用到的一个术语,超越不是彻底否定和抛弃原来。我国哲学家张世英曾说:“超越、扬弃不是绝对否定和抛弃,而是经过它又超越它。”复杂性科学如何才能够超越还原论呢?苗东升教授论述“把复杂性当作复杂性来处理”道出了答案。具体的策略则是:把非线性当作非线性处理、把远离平衡当作远离平衡来处理、把混沌当作混沌来处理、把分形当作分形来处理。

        如果我们从方法论层面上来理解还原论,就会发现近代科学的产生、发展与所取得的成就都离不开还原论的作用,诺贝尔奖获得者所取得的成就大部分是在还原论思想的指导下取得的。由此可见,在科学研究领域内,包括复杂性科学研究领域,想彻底否定还原论是不现实的。我们所做的是要“超越还原论”,而非“否定还原论”。

    (二)对整体论的追求和超越

        整体论(Holism)是指用系统、整体的观点来考察有机界的理论。20世纪30~50年代,贝塔朗菲总结了生命科学的新成就,在批判机械论和活力论的基础上,系统地提出了有机体论即整体论。如同还原论一样,整体论的思想萌芽也早已有之。我国古代医学经典《黄帝内经》最大的特点便是从调理人的整体机能入手看待和医治疾病。古希腊哲学家亚里士多德关于“离开人的手就不算人的手”的论断,更是对整体思想的强调。实际上,整体论思想应该比还原论思想诞生得还要早,只不过后来随着西方近代科学的兴起,整体论在科学研究中起到的作用逐渐衰微。

        整体论强调生命系统的组织化、目的性特征,反对机械论把世界图景归结为无机系统微观粒子无序的、盲目的运动,但是整体论却忽略了偶然性、随机性在生命发展中的作用。复杂性科学的兴起,首先举起了反对还原论方法的大旗,因为复杂性科学的研究对象是复杂系统,而复杂系统本身的多样性、相关性、一体性必然是与其自身的整体性紧密联系在一起的。由此可见,复杂性科学与整体论的渊源关系很深。虽然整体论思想批判了还原论思想的局限性,揭示了事物间的相互依赖性和联系性,但是整体论思想仍不可避免地带有机械构成论的局限。这说明,整体论思想并不等同于复杂性科学的方法论。

    (三)对“融贯论”的创建与追求

        法国思想家埃德加·莫兰曾说:“整体主义与它反对的还原主义同属于简化的原则(前者是关于整体的简化思想和把一切都划归为整体)”。整体主义只包含对整体的局部的单方面的简化的看法。它把整体的概念变成一个汇总的概念。因此整体主义属于简化范式。”法国哲学家帕斯卡同样旗帜鲜明地指出:“我认为不认识整体就不可能认识各个部分,同样不特别地认识各个部分也不可能认识整体。”由此可以得出,从部分解释整体和从整体解释部分,既不消除它们彼此之间的对立性,又通过它们连接起来的运动彼此变成互补。正如埃德加·莫兰所言:“我们的系统观是对还原论和整体论的超越,它通过统合两派各自所有的部分真理来寻找一个理解原则:它不应该为了部分而牺牲整体,也不可能为了整体而牺牲部分。重要的是阐明整体与部分之间的关系,他们互相凭借。”(以扣因此,复杂性科学要在对还原论和整体论超越的基础上,将二者有机地结合起来,以便形成复杂性科学所独有的方法论。在这一方面,国内外的学者们已经做出了一些探索,取得了一些成果。如,钱学森提出的“综合集成方法”,后来发展成为“综合集成研讨厅体系”。钱学森说:“我们所提倡的系统论,既不是整体论,也非还原论,而是整体论与还原论的辩证统一,是更高一层次的东西,即我们的系统论既要包括整体论,也要包括还原论。”成思危在论述复杂性科学方法论时,也曾明确提出还原论和整体论相结合的原则;美国学者欧阳莹之则提出了“综合微观分析”,而本文中所使用的“融贯论”(Syncretism),来源于黄欣荣的博士学位论文。这些提法虽然称呼不同,指的都是在超越还原论和整体论的基础上,将两者结合起来所形成的一种新的方法论。黄欣荣认为融贯论的精髓是:“既包括客观的过去和现在,也包括未来”;既重视分析,也重视综合;在研究具体系统时,既注意部分也注意整体;从内外上下、横纵前后认识和解决问题。

        由此可见,在超越还原论和整体论基础之上所形成的融贯论,既吸收了整体论从整体看问题的长处,又涵括了还原论深入分析问题的优点。这是一种在注意克服各自局限性的前提下,敞开胸怀、取长补短、实现互补而形成部分和整体、分析和综合有机融合的新的方法论。

        我们生活在一个复杂的世界里,要想穷尽复杂性科学的方法论意蕴,是完全超出我们能力范围的。对此,美国哲学家、匹兹堡大学哲学系教授、科学哲学中心主席尼古拉斯·雷舍尔(Nicholas Rescher,1928一)曾说:“对复杂性进行研究既是一种祸害也是一种福音,说它是福音是因为它总是不可避免的与我们相伴,并成为进步的真正先决条件;说它是祸害是因为它自身既是消极的,又是阻碍我们顺利实现进一步发展的重负。但是,我们并不能因此而停止探索的脚步,复杂性科学的研究之路任重而道远,我们才刚刚上路。



    应用


        复杂性科学不但在物理、数学、生物等传统自然科学中成就斐然,而且在经济、社会、管理等研究领域也已蓬勃兴起。虽然非线性分析最早揭示了确定性社会学中人口增长存在的混沌特征,但是后续研究却相对缺乏。乔治·梅森大学的Warfield率先探讨了管理中的复杂性,并提出了在复杂环境下提高决策效果的结构化系统分析方法。Flood等从系统方法的角度研究了管理混沌与复杂性的方法。Tesfatsion把人工生命模型用来为商业网的演化建模;Albin和Folay则把这一模型用于研究市场结构的演化、货币政策问题以及囚徒两难游戏中合作的出现等。作为世界复杂性研究发源地和研究中心,圣塔菲研究所在经济系统复杂性研究方面更是取得了突出成就,相关研究举世瞩目。Epstein和Axtell把人工生命模型应用到了人工社会。Loye和Eisler对社会科学中的混沌和非均衡现象的探讨,是复杂性在社会科学中的应用研究之一。

        复杂性科学同样逐渐被公共管理研究所接受。Kiel和Elliott认为政府预算是一个充满变化的非线性和复杂系统,Kiel还运用非线性动力学方法发现在政府组织中存在混沌和“隐序”现象。Comfort证明了复杂性科学能作为一种模型在自然的或技术的灾难发生期问协调组织内部的活动。回Thietart和Forgues研究了混沌与组织的关系。Stacey指出组织是复杂的演化系统。Sack—mann研究了组织的文化复杂性问题后指出,新时代的组织文化充满了冲突和复杂性,并从多个层次进行了初步分析。Axlord研究了组织合作复杂性问题,初步分析了组织合作稳定与不稳定性条件。@网络研究不仅被用于政府组织研究,而且发展了公共政策分析的网络视角,同时还被用于疾病传播等公共安全领域,Euel将多智能体建模和仿真的技术用于分析恐怖分子行为,发展出相应的公共安全策略。复杂网络研究已经从更深层次的人际网络互动,为突发公共卫生事件的处理提供了新的解决思路。网络不仅是疾病传播的载体,而且因为网络的特殊结构而直接导致了疾病传播规律的改变。固进一步研究表明,这些疾病传播网络内部的生物群落是由一个无限方差的连接分布所耦合的,均表现出显著的无标度特征和小世界现象, 正是具有这样的复杂网络特征,才使得传统的疾病传播模型找不到阈值,因而即使这种传染病的传染性极低,它也将持续传播。复杂网络研究已经从更深层次的人际网络互动为突发公共卫生事件处理提供了新的解决思路。

    总体而言,社会科学领域中的复杂性研究的理论和应用主要集中在经济管理领域,在公共管理等领域的研究还相对比较滞后,许多研究还主要停留在概念和定性的层面,定量分析和模型并不多见;而且,已有的研究成果多数只涉及公共管理的某一方面,分析方法也比较单一(多集中在以混沌为代表的系统非线性研究),将公共事务统筹管理作为整体评价研究目标,进而在相关复杂性研究中综合考虑经济、社会、管理等问题的研究成果还少见报道。正如克劳斯指出的“社会学理论中,对于复杂性和非线性的认识论考察仍然处于初期”,公共管理领域中的复杂性研究也正面临这样的情况。

        在我国,成思危教授领导了管理科学方面复杂系统的研究,其多数研究成果集中在对经济系统的非线性,尤其是混沌分析;另外,也有学者开始关注复杂性理论在人力资源管理、高技术企业成长机制以及组织管理中的应用。伴随着复杂性研究所在国内很多管理学院相继成立,管理科学中的复杂性研究已经成为这一领域中的热点问题之一。管理学的这一新的研究动向也开始影响到国内的公共管理复杂性研究。公共管理领域内,已经有学者已经开始注意Keil的有关混沌非线性公共管理研究,逐渐认识到复杂性科学的重要作用;也开始将复杂性科学的有关成果应用到诸如农民工流动这样的中国公共管理问题研究中。这些研究基本都处在跟踪阶段,与国际研究前沿差距较大;而这种差距,也正反映出与美国等发达国家相比,目前我国公共管理学科的教学与研究仍然比较落后的现实。




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  • 论文研究-复杂性科学研究的对称性视角———理论与规范建模方法.pdf,
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  • 这些介绍性注释概述了现代复杂性理论,定义了基本复杂性类别并提供了每个复杂性类别的一些示例。
  • 复杂性思维第二版 一、复杂性科学

    万次阅读 2017-10-27 21:44:26
    一、复杂性科学 原文:Chapter 1 Complexity Science 译者:飞龙 协议:CC BY-NC-SA 4.0 自豪地采用谷歌翻译 这本书的论点是,复杂性科学是一种“新型科学”,我借鉴自 Stephen Wolfram。2002年,Wolfram ...

    一、复杂性科学

    原文:Chapter 1 Complexity Science

    译者:飞龙

    协议:CC BY-NC-SA 4.0

    自豪地采用谷歌翻译

    这本书的论点是,复杂性科学是一种“新型科学”,我借鉴自 Stephen Wolfram。

    2002年,Wolfram 发表了 “新科学”一文,在这里介绍了他和其他人在细胞自动机上的工作,并描述了一种用于计算系统研究的科学方法。在之后的章节中,我们会回顾 Wolfram,但是现在我打算将他的标题用于更广泛的东西。

    我认为复杂性是新的,不是因为它将科学工具应用到一个新的主题,而是因为它使用不同的工具,允许不同种类的工作,并最终改变了我们认为是“科学”的东西。

    为了证明差异,我将从经典科学的一个例子开始:假设有人问你为什么行星轨道是椭圆形的。你可以引用万有引力的牛顿定律,并用它来写出描述行星运动的微分方程。然后,你可以求解微分方程,并展示出解是椭圆。证明完毕!

    大多数人发现这种解释令人满意。它包括一个数学推导 - 所以它有一些严格的证明 - 它解释了具体的观察,椭圆轨道,通过诉诸一般的原则,引力。

    让我用另一种解释来对比一下。假设你搬到像底特律这样种族隔离的城市,你想知道为什么这样。如果你做一些研究,你可能会发现 Thomas Schelling 的一篇文章,称为“分离动态模型”,它提出了一个简单的种族隔离模型:

    这里是我对这个模型的描述:

    • 城市的谢林模型是一个单元格数组,每个单元格代表一个房子。这些房子被两种“智能体”占据,标有红色和蓝色,数量大致相等。大约10%的房子是空的。

    • 在任何时间点,智能体可能会高兴或不高兴,这取决于附近的其他智能体。在模型的一个版本中,如果智能体至少有两个邻居像自己一样,则智能体很高兴,如果邻居是一个或者零个,则智能体不高兴。

    • 这个模拟通过随机选择一个智能体来运行,并检查它是否快乐。如果是的话,没有任何反应 如果不是,智能体随机选择一个未占用的单元格并移动。

    如果你从一个完全未分离的模拟城市开始,并在短时间内运行该模型,类似的智能体会聚集到一起。随着时间的流逝,这些社区会增长和合并,直到存在少量的大型社区,大多数智能体都生活在均匀的社区中。

    模型中的分离程度令人惊讶,这是真实城市的分离的解释。也许底特律是分离的,因为人们不喜欢人数太多,并且如果他们的社区的组成使他们不开心,将会搬走。

    这个解释与行星运动的解释是一样的吗?许多人会说不是,但为什么?

    最明显的是,谢林模型是非常抽象的,也就是说不现实的。我们很容易假设,人比行星更复杂,但是当你想想看,行星就像人一样复杂(特别是拥有人的行星)。

    这两个系统都很复杂,而且这两个模型都是基于简化的;例如,在行星运动的模型中,我们包含了地球与太阳之间的力,并忽略行星之间的相互作用。

    重要的区别是,对于行星运动,我们可以展示,我们忽略的力小于我们包含的力,来捍卫我们的模型。并且我们可以扩展模型,来包含其他相互作用,并显示这种效果很小。对于谢林模型,它难以合理简化。

    更糟糕的是,谢林模型不符合任何物理规律,它只使用简单的计算,而不是数学推导。谢林模型不像经典科学,许多人发现它们不那么引人注目,至少一开始是这样。但是,我将尝试演示,这些模型做了大量的实用工作,包括预测,解释和设计。本书的目标之一是解释如何这样做。

    1.1 范式转变

    当我向人们介绍这本书时,别人经常问我,这种新型科学是不是一种范式转变。我不这么认为,并且这里是解释。

    Thomas Kuhn 在 1962 年的“科学革命结构 ”中介绍了“范式转变”一词。它是指科学史上的一个过程,其中一个领域的基本假设改变,或者一个理论被另一个理论取代。他列举了哥白尼革命,燃烧的氧气模型取代了燃素说,以及相对论的出现。

    复杂性科学的发展不是取代旧的模型,而是(在我看来)标准模型的逐渐转变,它们是各种种类的可接受的模型。

    例如,经典模型倾向于以定律为基础,以方程式的形式表示,并通过数学推导求解。复杂性不足的模型通常是基于规则的,表示为计算,而不是由分析来模拟。

    不是每个人都认为这些模型令人满意。例如,在 Sync 中,Steven Strogatz 写道了他的萤火虫自发同步模型。他展示了一个演示该现象的仿真,但是写道:

    对于其它随机的初始条件和其他数量的振荡器,我重复模拟了几十次。每次都会同步 […] 现在的挑战是证明它。只有可靠的证明才能演示,同步是不可避免的,这种方式计算机都做不到;最好的证明就是澄清为什么它是不可避免的。

    Strogatz 是一位数学家,所以他对证明的热情是可以理解的,但他的证明并不能解决这个现象中最有趣的部分。为了证明“同步是不可避免的”,Strogatz 做了几个简化的假设,特别是每个萤火虫可以看到所有其他的萤火虫。

    在我看来,解释整个萤火虫族群为何可以同步,尽管事实上他们不能看到彼此,是更有趣的事情。这种全局行为,如何从局部交互中产生,是第(?)章的主题。这些现象的解释通常使用基于智能体的模型,它探索(以难以或不可能使用数学分析或的方式)允许或阻止同步的条件。

    我是一名计算机科学家,所以我对计算模型的热情可能并不奇怪。我不是说 Strogatz 是错误的,而是人们对于提出什么问题,和用什么工具来回答他们,有不同的看法。这些意见基于价值判断,所以没有理由能够达成一致。

    然而,科学家们对于哪些模型是好的科学,其他哪些是边缘科学,伪科学,或者是非科学,已经有了很大的共识。

    我声称,这是本书的核心论点,即这种共识是基于时间变化的标准,复杂性科学的出现反映了这些标准的逐渐转变。

    1.2 科学模型的轴线

    我将经典模型描述为基于物理定律,以方程式表示,并通过数学分析求解的模型;相反,复杂系统的模型通常基于简单的规则并以计算实现。

    我们可以将这一趋势看作是沿着两个轴线的转变:

    基于方程式 → 基于 模拟

    分析 → 计算

    这种新的科学方式在其他几个方面是不同的。我在这里介绍他们,所以你知道即将会发生什么,但是在你看到本书后面的例子之前,有一些可能没有任何意义。

    连续 → 离散

    经典模型倾向于基于连续数学,如微积分;复杂系统的模型通常基于离散数学,包括图和细胞自动机。

    线性 → 非线性

    经典模型通常是线性的,或者使用非线性系统的线性近似; 复杂性科学对非线性模型更为友好。一个例子是混沌理论。

    混沌理论在这本书中没有涉及,但是你可以在 http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos 上阅读它。

    确定性 → 随机

    经典模型通常是确定性的,这可能反映了底层哲学的确定性,它在第(?)章中讨论。复杂模型往往具有随机性。

    抽象 → 具体

    在经典模型中,行星是质点,飞机是无摩擦的,牛是球形的(见 http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_cow)。像这样的简化通常对于分析是必要的,但是计算模型可能更加现实。

    译者注:真空中的球形鸡

    一,二 → 很多

    在天体力学中,两体问题可以通过分析求解;而三体问题不能。经典模型通常限于少量相互作用的元素,复杂性科学作用于较大的复合体(这是名称的来源)。

    单一 → 复合

    在经典模型中,元素往往是可互换的;复杂模型更经常包含异质性。

    这些是概括性的,所以我们不应该过于认真地对待它们。而我并不意味着弃用经典科学。更复杂的模型不一定更好;实际上通常更糟。

    此外,我并不是说这些变化是突然的或完全的。相反,它们向着被认为是可接受的,值得尊重的工作的前沿逐渐迁移。过去被怀疑的工具现在很普遍,一些被广泛接受的模型现在受到审查。

    例如,当 Appel 和 Haken 在 1976 年证明了四色定理时,他们使用电脑列举了 1,936 个特殊情况,在某种意义上说,这些特例是其证明的前提。当时很多数学家没有把这个定理当成真正的证明。现在计算机辅助证明是常见的,一般(但并非普遍)是可接受的。

    相反,大量的经济分析基于人类行为的模型,称为“经济人”,或者一个有逼格的词:“Homo economicus”。基于这种模型的研究数十年间受到高度重视,特别是如果涉及到数学技巧的话。最近,这种模型受到怀疑,而包含不完整信息和有限理性的模型是热门话题。

    1.3 一种新的的模型

    复杂模型通常适用于不同的目的和解释:

    预测 → 解释

    谢林的分离模型可能揭示了一个复杂的社会现象,但对预测没有用。另一方面,一个简单的天体力学模型可以预测日食,在未来几年内可以精确到秒。

    现实主义 → 工具主义

    经典模型依赖于现实主义的解释;例如,大多数人接受电子是存在的真实事物。工具主义一种观点,即使他们假设的实体不存在,模型也可以有用。乔治·皮特写道:“所有模型都是错误的,但有些是有用的。”它可能是工具主义的座右铭。

    简化论 → 整体论

    简化论是一种观点,通过理解其组件来解释系统的行为。例如,元素的周期表是简化论的胜利,因为它用原子中的简单电子模型来解释元素的化学行为。整体论认为,系统层面出现的一些现象不存在于组件层面,不能在组件层面上解释。

    我们在第(?)章会回到解释模型,第(?)章会回到工具主义,第(?)章会回到整体论。

    1.4 一种新的工程

    我一直在科学背景下谈论复杂系统,但复杂性也是工程中的变化和社会系统的组织的一个原因和影响:

    中心化(集权) → 去中心化(放权)

    中心化系统在概念上简单并易于分析,但去中心化系统可能更加强大。例如,万维网中的客户端向中心化服务器发送请求;如果服务器关闭,则这个服务不可用。在对等网络中,每个节点都是客户端和服务器。要取消服务,你必须删除每个 节点。

    隔离 → 互动

    在经典工程中,大型系统的复杂性通过隔离组件和最小化相互作用进行管理。这仍然是一个重要的工程原理;然而,廉价计算能力的普及,使得组件之间复杂交互的系统的设计变得越来越可行。

    一对多 → 多对多

    在许多通信系统中,广播服务正在由一些服务扩展,有时是替换。这些服务允许用户彼此通信,并创建,共享和修改内容。

    自上而下 → 自下而上

    在社会,政治和经济系统方面,许多通常是集中组织的活动现在都是草根运动。即使是分层结构的典范,军队,指挥和控制的也开始下放。

    分析 → 计算

    在经典工程中,可行的设计空间受到我们分析能力的限制。例如,设计艾菲尔铁塔成为了可能,因为 Gustave Eiffel 开发了新颖的分析技术,特别是用于处理风压负载。现在,用于计算机辅助设计和分析的工具,可以构建几乎可以想象的任何东西。弗兰克·盖里(Frank Gehry)的毕尔包古根汉美术馆(Guggenheim Museum Bilbao)是我最喜欢的例子。

    设计 → 搜索

    工程有时被描述为,在可行的设计空间中寻找解决方案。越来越多的搜索过程可以自动化。例如,遗传算法在大型设计空间中探索,并发现人类工程师不会想像(或喜欢)的解决方案。最终的遗传算法,演变,不可避免地生成违反人类工程规则的设计。

    1.5 一种新的思维

    我们现在正在深入一个领域,但是我所假设的,科学建模中的标准转变,有关 20 世纪中逻辑和认识论的发展。

    亚里士多德逻辑 → 多值逻辑

    在传统逻辑中,任何命题都是真或假。这个系统适用于类似数学的证明,但对于许多现实世界的应用而言是失败的(以一种戏剧化的方式)。替代方案包括多值逻辑,模糊逻辑和其他旨在处理不确定性(indeterminacy),模糊性和不确定性(uncertainty)的系统。Bart Kosko 在《模糊思维》(Fuzzy Thinking)中讨论了一些这种系统。

    频率论的概率 → 贝叶斯主义

    贝叶斯概率已经存在了几个世纪,但直到最近才被广泛使用,这是由于廉价计算能力变得可用,以及概率性声明中勉强接受了主观性。莎朗·贝尔奇·麦格雷恩(Sharon Bertsch McGrayne)在《不会死亡的理论》(The Theory That Would Not Die)中介绍了这一历史。

    客观 → 主观

    启蒙运动和现代主义哲学,建立在对客观真理的信仰上。也就是说,独立于持有他们的人的真理。20 世纪的发展,包括量子力学,哥德尔不完备定理和库恩的科学史研究,都引起了人们对“看似不可避免的主观性”的关注,甚至在“自然科学”和数学中。丽贝卡·戈德斯坦(Rebecca Goldstein)介绍了Gödel对不完备性的证明的历史背景。

    物理定律 → 理论 → 模型

    有些人区分了定律,理论和模型,但我认为这是一回事。使用“定律”的人很有可能认为,它在客观上是真实的,不可改变的;使用“理论”的人承认它可以修改;而“模型”承认它是基于简化和近似的。

    一些被称为“物理定律”的概念是真正的定义;实际上,其他的只是模型的断言,它很好预测或解释了系统的行为。我们在第(?)章中会回到屋里定律的本质。

    确定性 → 不确定性

    确定性是一个观点,所有事件都是由之前事件导致,不可避免。不确定性的形式包括随机性,概率因果和基本不确定性。我们在第(?)章再回到这个主题。

    这些趋势并不普遍或完整,但核心观点正沿着这些轴线转变。作为证据,考虑对托马斯·库恩(Thomas Kuhn)的《科学革命的结构》(The Structure of Scientific Revolutions)的反应 ,公布后受到谴责,现在被认为几乎毫无争议。

    这些趋势是复杂性科学的因和果。例如,高度抽象的模型现在更容易接受,因为人们预期,每个系统都应该有一个独特的,正确的模型。相反,复杂系统的发展挑战了确定性,和物理定律的相关概念。

    本章概述了本书中出现的主题,但在看到示例之前,并不是全部都是有意义的。当你读到本书的最后,你可能会发现,再次阅读本章会有帮助。

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    来源:人机与认知实验室

    摘要:莫兰认为系统论超越了还原论,复杂性理论又超越了系统论,它们代表着科学方法论依次达到的三个梯级。


    复杂性研究从20世纪末叶兴起,目前在国内外已成为许多学科领域内研究的前沿和热点。它涉及又一个新型的跨学科的方法论。虽然人们对“复杂性”概念还缺乏严格一致的定义,但大家都意识到复杂性方法是为弥补长期占统治地位的经典科学的简化方法的不足而产生的。下面我结合分析国际上复杂性研究的主流的三个阶段或流派的学说的内容来探讨一下复杂性方法的基本内涵。


    法国哲学家埃德加·莫兰是当代系统地提出复杂性方法的第一人,他追求在人类思想领域里实现一个关于“复杂性范式”的革命。他的复杂性方法主要是用“多样性统一”的概念模式来纠正经典科学的还原论的认识方法,用关于世界基本性质是有序性和无序性统一的观念来批判机械决定论,提出把认识对象加以背景化来反对在封闭系统中追求完满认识,主张整体和部分共同决定系统来修正传统系统观的单纯整体性原则,等等。莫兰提出复杂性思想的标志时间可以定在他发表《迷失的范式:人性研究》一书的1973年。1979年,比利时著名科学家普利高津首次提出了“复杂性科学”的概念。普利高津实质上是把复杂性科学作为经典科学的对立物和超越者提出来的。他说:“在经典物理学中,基本的过程被认为是决定论的和可逆的。”(普里戈金、斯唐热《从混沌到有序》,上海译文出版社,1987年,第42页)而今天,“物理科学正在从决定论的可逆过程走向随机的和不可逆的过程。”(同上书,第224页)普利高津紧紧抓住的核心问题就是经典物理学在它的静态的、简化的研究方式中从不考虑“时间”这个参量的作用和无视自然变化的“历史”性。他所提出的关于复杂性的理论就是不可逆过程的物理学的理论,主要是揭示物质进化机制的耗散结构理论。普利高津说这个理论研究了物理、化学中的“导致复杂过程的自组织现象”。因此我们可以认为普利高津所说的“复杂性”意味着不可逆的进化的物理过程所包含的那些现象的总体:在热力学分岔点出现的多种发展可能性和不确定性,动态有序结构的不断增长和多样化等等。1984年美国的圣菲研究所成立,它接过了“复杂性科学”的口号,由于它实力雄厚,现在被视为世界复杂性问题研究的中枢。圣菲研究所的学术领头人、诺贝尔物理奖获得者盖尔曼如此提及圣菲研究所的研究宗旨:“现代科学的一个重大挑战是沿着阶梯从基本粒子物理学和宇宙学到复杂系统领域,探索兼具简单性与复杂性、规律性与随机性、有序与无序的混合性事件。”(盖尔曼《夸克与美洲豹》,湖南科学技术出版社,1999年,第119页)圣菲研究所的研究对象是复杂适应系统,它提出“适应性造就复杂性”,表明它主要研究能够学习的系统在适应环境的过程中于自身中发生的结构和行为方式从简单到复杂的演变。复杂适应系统的共同特征是,它们能够通过处理信息从经验中提取有关客观世界的规律性的东西作为自己行为的参照,并通过实践活动中的反馈来改进对世界规律性的认识从而改善自己的行为方式。这反映了生物、社会等高级系统的能动的自组织的机制。


    有人因为复杂性理论研究复杂系统的问题,就认为它还是属于系统论范畴的一种方法。其实莫兰认为系统论超越了还原论,复杂性理论又超越了系统论,它们代表着科学方法论依次达到的三个梯级。贝塔朗菲在20世纪4 0年代提出的系统论思想从批判还原论出发,过分强调了整体性原则,以致忽略了系统构成要素的积极作用,提出系统通过“中心化”而形成一个“愈来愈统一”的“个体”(贝塔朗菲《一般系统论》,清华大学出版社,1987年,第66页)。与此相联,他主张越是功能强的系统必须越有序。但是现在圣菲研究所提出了“混沌的边缘”的原理,指出“复杂适应系统在有序与无序之间的一个中间状态运作得最好”(盖尔曼《夸克与美洲豹》,第364页)。复杂适应系统是一些多元的或多主体的系统,它们的大量的具有主动性的个体积极地相互竞争和合作,在没有中央指挥的情况下,通过彼此相互作用和相互适应也能形成整体的有序状态。圣菲研究所采取的研究思路是“多主体建模”,“非中心化思维”,由于它主要是从个体出发,采取自下而上的研究策略,所以又被称为“基于个体的思维范式”。举例来说,计划经济体现了自上而下的“中心控制的思维方式”,而市场经济则建立在“基于个体的思维范式”的基础上,商品生产者根据价值规律的指示相互作用也能自发地形成宏观经济秩序。由此观之, 贝塔朗菲式的系统只是一种简单系统,复杂性观在它的视域内对经典系统论加以改造才达致复杂系统论。复杂性理论把被经典科学的简化理性所排除的多样性、无序性、个体性因素引进科学的视野,借以研究能动系统的复杂的自组织问题。当然我们认为也应有某种宏观调控机制来控制市场经济的自流性,莫兰也提到生物组织和社会组织的“高度复杂性表现在它们同时是无中心的(也就是说以无政府的方式通过自发的相互作用运转)、多中心的(即拥有几个控制和组织的中心)和一中心的(即同时还有一个最高的决策中心)。”(莫兰《复杂思想:自觉的科学》,北京大学出版社, 2001年,第141页)

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  • 计算复杂性理论

    千次阅读 2019-06-09 00:24:03
    计算复杂性理论(Computational complexity theory)被认为是理论计算机科学和数学的一个分支。 对于计算机而言,任何一个问题的求解都需要资源(即使是最简单的1+1的问题)。计算复杂性理论通过引入数学计算模型来...

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    计算复杂性理论

    在计算机算法中,计算复杂性是一个很重要的研究内容。计算复杂性理论(Computational complexity theory)被认为是理论计算机科学和数学的一个分支。

    对于计算机而言,任何一个问题的求解都需要资源(即使是最简单的1+1的问题)。计算复杂性理论通过引入数学计算模型来研究这些问题以及定量计算解决问题所需的资源(时间和空间),从而将资源的确定方法正式化。

    计算复杂性理论将计算问题按照在不同计算模型下所需时间资源的不同予以分类,就得到了常见的P、NP、NP完全、NP难这样的概念(note:P代表Polynomial,即多项式时间的概念

    P问题

    一个问题如果在确定性图灵机上所需时间不会超过一个确定的多项式(以输入的长度为多项式的不定元),那么我们称这类问题的集合为P(polynomial time Turing machine)

    通俗地来说P问题就是多项式时间内可解的问题

    NP问题

    可以在非确定型图灵机上在多项式时间内找出解的问题的集合

    如果一个问题,可以在多项式时间内验证他的解是否正确,则该问题是一个NP问题。显然 P ∈ N P P\in NP PNP (note:到目前为止,P不等于NP)

    NP-C问题(NP-Complete)

    这里Complete是完备的意思

    一个决定性问题C若是为NPC,则代表它对NP是完备的,这表示:

    a) 该问题是一个NP问题
    b) 所有属于NP的问题都可归约成该问题

    对于一个NP-C问题,我们不可能尝试将所有的NP规约到它,所以通常采用下述方法证明一个问题是NP-C问题:

    a) 证明给定该问题的一个解,可以在多项式时间验证该问题
    b) 可以将一个已知的NP-C问题规约到该问题(已经证明的NPC问题:卡普的21个NPC问题或者A compendium of NP optimization problems)

    在计算复杂度理论内,一个极度重要的成就是史提芬·古克在1971年证明出了第一个NP-完全问题— 布尔可满足性问题。

    Cook定理(1971) 可满足问题属于NP-C

    可满足问题(SAT)
    可满足问题是判断任意给定的一个布尔表达式是否存在一个真赋值(如果有这样一个真赋值,则称该布尔表达式可满足)

    NP-Hard

    相较于NP-C问题,NP-Hard问题仅满足条件2

    即所有的NP问题都可以规约到NP-Hard问题
    通常通过将一个已知的NP-C问题规约到该问题来证明一个问题是NP-Hard问题

    我们可以得到以下的关系图:

    证明 P = N P P=NP P=NP是一个未解决的千禧年难题,当然如果最终证明 P = N P P=NP P=NP,会发生很多“有趣”的事情:比如当下流行的密码理论将不再安全,可能这时能够期待的就只有量子加密技术的早日出现吧。

    基本概念

    多项式时间

    多项式时间可解的问题,即P问题,通常被认为是一个易解的问题;一个多项式时间的算法往往也被认为是好的算法。然而多项式时间具体是什么含义?

    在计算复杂度理论中,多项式时间(Polynomial time)指的是一个问题的计算时间m(n)不大于问题大小n的多项式倍数。用数学语言描述则为 m ( n ) = O ( n k ) , k m(n)= O(n^k),k m(n)=O(nk)k为一常量值。

    规约(reduction)

    在可计算性理论与计算复杂性理论中,归约是将某个计算问题转换为另一个问题的过程。比较直观的说法:如果一个能有效解决问题B的算法,也可以作为解决问题A的子程序,则将问题A称为“可归约”到问题B,因此求解A并不会比求解B更困难。

    规约是证明NP-Hard问题的一种常用方法,通常用 < = <= <=这个符号来表示,如 p < = Q p<=Q p<=Q,表示P is reducible to Q , or Q is the reduction from P or P is reduced to Q(P问题可以归约到Q问题,or可以把P归约到Q)。方便记忆的话,这里的规约符号可以记作小于且等于,即说明问题P至少比Q容易,或者Q至少比P难

    • 问题A能够规约为问题B
      a) 一个能求解问题B的算法一定可以用来求解问题A(以子问题的形式)
      b) 求解问题A的难度一定不会比求解问题B的难度大(这里的难度大指的是求解过程需要更多的计算、存储资源等)。——>可以从侧面证明,如求解A的难度更大,而由于A可以规约为问题B,则可以用求解问题B的算法来求解问题A,则求解A的算法可以替换为一个难度更低的算法
    • 规约具有传递性:A可以规约为B,B能规约为C,则A一定可以规约为C

    可以说,一个问题归约为另一个问题的过程,是将问题复杂化的过程。归约得到问题的应用范围往往也扩大了。例如,一元二次方程的求解和一元一次方程的求解。

    规约的类型较多,在本文中的规约特指多项式时间规约,即在多项式时间内将一个问题规约到另一个问题。

    多项式归约主要做的就是以下两个转化(注意两个转化都要在polynomial的时间内完成)

    • 把P的输入转化到Q的输入;
    • 把Q的输出转化到P的输出。

    3SAT

    3SAT问题定义如下:

    给定一个有穷的布尔变量集合 X = { x 1 , x 2 , ⋯   , x n } , ∣ X ∣ = n X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\},|X|=n X={x1,x2,,xn},X=n,每个变量取值为0或1,有一组子句(Clause) C = { C 1 , C 2 , ⋯   , C m } , ∣ C ∣ = m , C = C 1 ∩ C 2 ∩ ⋯ ∩ C m C=\{C_1,C_2,\cdots,C_m\},|C|=m,C=C_1\cap C_2\cap\cdots \cap C_m C={C1,C2,,Cm},C=m,C=C1C2Cm,每个 C i C_i Ci是由三个变量组成的析取范式,即 z 1 ∪ z 2 ∪ z 3 z_1\cup z_2 \cup z_3 z1z2z3.

    其中

    • x i x_i xi是布尔变量(Variable)
    • 一个布尔变量 x i x_i xi或它的否定形式 x i ˉ \bar{x_i} xiˉ是文字(literal)
    • C i C_i Ci为子句,一个子句包含3个文字(literal)

    总的来说,一个SAT问题例子中包含一堆子句(Clause),这一堆子句每个都包含3个文字(Literal),每个literal表示命题变元集中一个布尔变量(Variable)或它的否定形式

    一个3SAT的例子:

    X = { x 1 , x 2 , x 3 } , C = { C 1 , C 2 , C 3 } , C 1 = x 1 ∪ x 2 ˉ ∪ x 3 , C 2 = x 1 ˉ ∪ x 2 ˉ ∪ x 3 , C 3 = x 1 ˉ ∪ x 2 ∪ x 3 ˉ X=\{x_1,x_2,x_3\},C=\{C_1,C_2,C_3\},C_1=x_1\cup \bar{x_2}\cup x_3,C_2=\bar{x_1}\cup \bar{x_2}\cup x_3,C_3=\bar{x_1}\cup x_2\cup \bar{x_3} X={x1,x2,x3},C={C1,C2,C3},C1=x1x2ˉx3,C2=x1ˉx2ˉx3,C3=x1ˉx2x3ˉ
    存在一个真值赋值: x 1 , x 2 = 1 , x 3 = 1 x_1,x_2=1,x_3=1 x1,x2=1,x3=1,使得 C = 1 C=1 C=1,即该布尔表达式是可满足的

    对于3SAT问题,有以下结论

    3 S A T ∈ N P C 3SAT\in NPC 3SATNPC

    0-1背包问题

    众所周知,0-1背包问题是一个NP-C问题,应用动态规划算法可以得到伪多项式时间的算法,如何证明0-1背包问题是一个NP-C问题?

    0-1 背包问题(0-1 Knapsack)在数学上的定义如下:

    通俗的来讲就是:

    我们有n种物品,物品j的重量为 w j w_j wj,价格为 p j p_j pj,我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W.在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高.如果限定每种物品只能选择0个或1个,则问题称为0-1背包问题

    0-1背包问题本质上是一个优化问题,为了证明0-1背包问题是一个NP-C问题,我们首先引入0-1背包问题对应的判定问题(记作0-1 Knapsack Fill )

    我们有n种物品,物品j的重量为 w j w_j wj,价格为 p j p_j pj,我们假定所有物品的重量和价格都是非负的,限定每种物品只能选择0个或1个,是否存在一个选择策略,使得选择的物品总重量为W

    看上去似乎引入0-1 Knapsack Fill问题没有任何用处,实际上对于优化问题和其对应的判定问题,有如下结论:

    一个优化问题,不会比其对应的判定问题简单

    由此,可以从0-1 Knapsack Fill问题入手,来证明0-1 Knapsack问题的复杂性

    1. 证明0-1 Knapsack Fill ∈ \in P问题
      显然给定0-1 Knapsack的一个解,可以在多项式时间内验证该解是否正确:对选取的物品集合做一次遍历,累加得到价格和重量总和,即可验证。所以0-1 Knapsack Fill ∈ \in P问题.

    2. 将一个已知的NP-C问题规约到0-1 Knapsack Fill问题(多项式时间内)
      证明3SAT<=0-1 Knapsack Fill

      • 对于一个3SAT问题,设 X = { x 1 , x 2 , ⋯   , x n } , ∣ X ∣ = n X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\},|X|=n X={x1,x2,,xn},X=n,有一组子句 C = { C 1 , C 2 , ⋯   , C m } , ∣ C ∣ = m , C = C 1 ∩ C 2 ∩ ⋯ ∩ C m C=\{C_1,C_2,\cdots,C_m\},|C|=m,C=C_1\cap C_2\cap\cdots \cap C_m C={C1,C2,,Cm},C=m,C=C1C2Cm
      • 对于0-1 Knapsack Fill问题,存在一组物品 U U U和背包容量W,我们希望得到结论:当且仅当C可满足时,存在物品集合的子集 U ′ ∈ U U^{'}\in U UU 使得 ∑ u ∈ U ′ w ( u ) = W \sum_{u\in U^{'}} w(u)=W uUw(u)=W

      为了将3SAT规约到0-1 Knapsack Fill,做出以下定义:

      • 对于每个布尔变量 x i x_i xi,对应 u i 和 u i ˉ u_i和\bar{u_i} uiuiˉ
      • 对于每个子句 c j c_j cj,定义两个补偿对象(compensating objects) c o 1 j 和 c o 2 j co1_j和co2_j co1jco2j
      • ( n + m ) (n+m) (n+m)长度的3进制数表示物品重量 w ( u ) w(u) w(u),其中第 i i i个数字与布尔变量 x i x_i xi相关;第 ( n + j ) (n+j) (n+j)个数字,与子句 c j c_j cj相关。
        • 对于 u i 和 u i ˉ u_i和\bar{u_i} uiuiˉ
          • 最右边 n n n个数字:第 i i i个数字为1,其余数字为0
          • 最左边 m m m个数字:如果 x i ( 与 u i x_i(与u_i xi(ui相关)或者 x i ˉ ( 与 u i ˉ 相 关 ) \bar{x_i}(与\bar{u_i}相关) xiˉ(uiˉ)在子句 c j c_j cj中出现,则第 n + j n+j n+j个数字为1,其余数字为0
        • 对于 c o 1 j 和 c o 2 j co1_j和co2_j co1jco2j
          • 最右边 n n n个数字:全为0
          • 最左边 m m m个数字(用来标识对应的子句 c j c_j cj):第 n + j n+j n+j个数字为1,其余数字为; c o 1 j 和 c o 2 j co1_j和co2_j co1jco2j的重量相同
        • 背包容量 W W W
          • 最右边 n n n个数字:全为1
          • 最左边 m m m个数字:全为3

      通过上述转化过程,我们将一个3SAT问题归约到了0-1 Knapsack Fill实例(显然该过程是在多项式时间内,因为每一步的转化过程都是确定的),该实例有以下特点:

      • U = { u i , u i ˉ : 1 ≤ i ≤ n } ∪ { c o 1 j , c o 2 j : 1 ≤ j ≤ m } U=\{u_i,\bar{u_i}: 1\leq i\leq n\}\cup\{co1_j,co2_j: 1\leq j \leq m\} U={ui,uiˉ:1in}{co1j,co2j:1jm}
        • w ( u i ) 由 ( n + m ) w(u_i)由(n+m) w(ui)(n+m)个二进制数组成
          • i i i个数字为1
          • 当且仅当 x i x_i xi在子句 c j c_j cj中出现时,第 n + j n+j n+j个数字为1
          • 其余所有数字均为0
        • w ( u i ˉ ) 由 ( n + m ) w(\bar{u_i})由(n+m) w(uiˉ)(n+m)个二进制数组成
          • i i i个数字为1
          • 当且仅当 x i ˉ \bar{x_i} xiˉ在子句 c j c_j cj中出现时,第 n + j n+j n+j个数字为1
          • 其余所有数字均为0
        • w ( c o 1 j ) = w ( c o 2 j ) 由 ( n + m ) w(co1_j)=w(co2_j)由(n+m) w(co1j)=w(co2j)(n+m)个二进制数组成
          • n + j n+j n+j个数字为1
          • 其余所有数字均为0
      • 背包容量 W W W ( n + m ) (n+m) (n+m)长度的二进制数
        • 最右的 n n n个数为1
        • 最左的 m m m个数为3

      对于任意一个3SAT问题,我们都可以通过上述过程转化为一个0-1 Knapsack Fill问题,为证明0-1 Knapsack Fill问题的复杂性,只需证明:当且仅当C可满足时,存在物品集合的子集 U ′ ∈ U U^{'}\in U UU 使得 ∑ u ∈ U ′ w ( u ) = W \sum_{u\in U^{'}} w(u)=W uUw(u)=W

      • 先证明存在物品集合 U ′ ∈ U U^{'}\in U UU使得 ∑ u ∈ U ′ w ( u ) = W \sum_{u\in U^{'}} w(u)=W uUw(u)=W时,C可满足
        • 假设已得到部分物品集合 U ′ ∈ U U^{'}\in U UU使得 ∑ u ∈ U ′ w ( u ) = W \sum_{u\in U^{'}} w(u)=W uUw(u)=W
        • 最右边的 n n n个数字全为1:保证 u i , u i ˉ u_i,\bar{u_i} ui,uiˉ有且仅有一个出现在集合 U ′ U^{'} U(否则第 i i i个数字的值为0或2,与假设冲突)——>可以得到一组3SAT中布尔变量的赋值,记作 v v v
          • 如果 u i ∈ U ′ u_i\in U^{'} uiU,则有 x i v = 1 x_i^{v}=1 xiv=1
          • 如果 u i ˉ ∈ U ′ \bar{u_i}\in U^{'} uiˉU,则有 x i ˉ v = 1 或 者 x i v = 0 \bar{x_i}^{v}=1或者x_i^v=0 xiˉv=1xiv=0
        • 最右边的 m m m个数字均为3:保证每个子句 c j c_j cj均是可满足的,即 C C C可满足
          • 如果 c o 1 j , c o j 2 均 不 属 于 U ′ co1_j,coj_2均不属于U^{'} co1j,coj2U,有 ∑ u ∈ U ′ , u = u i o r u = u i ˉ w ( u ) = 3 \sum_{u\in U^{'},u=u_i or u=\bar{u_i}} w(u)=3 uU,u=uioru=uiˉw(u)=3。所以子句 c j c_j cj中的布尔变量均为1,所以每个子句均可满足
          • 有且仅有 c o 1 j , c o j 2 中 的 一 个 属 于 U ′ co1_j,coj_2中的一个属于U^{'} co1j,coj2U,,有 ∑ u ∈ U ′ , u = u i o r u = u i ˉ w ( u ) = 2 \sum_{u\in U^{'},u=u_i or u=\bar{u_i}} w(u)=2 uU,u=uioru=uiˉw(u)=2。所以子句 c j c_j cj中有两个布尔变量为1,所以每个子句均可满足(合取范式)
          • c o 1 j , c o j 2 均 属 于 U ′ co1_j,coj_2均属于U^{'} co1j,coj2U,,有 ∑ u ∈ U ′ , u = u i o r u = u i ˉ w ( u ) = 1 \sum_{u\in U^{'},u=u_i or u=\bar{u_i}} w(u)=1 uU,u=uioru=uiˉw(u)=1。所以子句 c j c_j cj中有一个布尔变量为1,所以每个子句均可满足(合取范式)
      • 证明当C可满足时,存在物品集合的子集 U ′ ∈ U U^{'}\in U UU 使得 ∑ u ∈ U ′ w ( u ) = W \sum_{u\in U^{'}} w(u)=W uUw(u)=W
        • 与上述证明过程类似,这里不再赘述

      通过上述过程,我们有3SAT<=0-1 Knapsack Fill

      • 输入过程: x i , x i ˉ 与 u i , u i ˉ x_i,\bar{x_i}与u_i,\bar{u_i} xi,xiˉui,uiˉ对应; x i , x i ˉ 是 否 在 子 句 c j 中 出 现 由 第 ( n + j ) 个 数 字 标 识 x_i,\bar{x_i}是否在子句c_j中出现由第(n+j)个数字标识 xi,xiˉcj(n+j),结合而成的 ( n + m ) (n+m) (n+m)个数字表示物品重量
      • 输出过程:当且仅当C可满足时,存在物品集合的子集 U ′ ∈ U U^{'}\in U UU 使得 ∑ u ∈ U ′ w ( u ) = W \sum_{u\in U^{'}} w(u)=W uUw(u)=W

      给出一个3SAT<=0-1 Knapsack Fill的例子:

      3SAT:
      X = { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 } , C = { c 1 , c 2 , c 3 , c 4 } , c 1 = { x 1 , x 2 ˉ , x 4 } , c 2 = { x 2 , x 3 ˉ , x 5 ˉ } , c 3 = { x 3 , x 4 , x 5 } , c 4 = { x 1 ˉ , x 2 , x 5 ˉ } X=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\},C=\{c_1,c_2,c_3,c_4\},c_1=\{x_1,\bar{x_2},x_4\},c_2=\{x_2,\bar{x_3},\bar{x_5}\},c_3=\{x_3,x_4,x_5\},c_4=\{\bar{x_1},x_2,\bar{x_5}\} X={x1,x2,x3,x4,x5},C={c1,c2,c3,c4},c1={x1,x2ˉ,x4},c2={x2,x3ˉ,x5ˉ},c3={x3,x4,x5},c4={x1ˉ,x2,x5ˉ}
      对应的0-1 Knapsack Fill问题:
      U = { u 1 , u 1 ˉ , u 2 , u 2 ˉ , u 3 , u 3 ˉ , u 4 , u 4 ˉ , u 5 , u 5 ˉ , c o 1 1 , c o 2 1 , c o 1 2 , c o 2 2 , c o 1 3 , c o 2 3 , c o 1 4 , c o 2 4 } U=\{u_1,\bar{u_1},u_2,\bar{u_2},u_3,\bar{u_3},u_4,\bar{u_4},u_5,\bar{u_5},co1_1,co2_1,co1_2,co2_2,co1_3,co2_3,co1_4,co2_4\} U={u1,u1ˉ,u2,u2ˉ,u3,u3ˉ,u4,u4ˉ,u5,u5ˉ,co11,co21,co12,co22,co13,co23,co14,co24},W=333311111.
      物品集合U中物品对应重量为:

    综合证明1和2,可知0-1 Knapsack Fill ∈ \in NPC

    对于0-1 knapsack问题,给定其一个解,无法在多项式时间内验证该解是否正确:

    • 可以从侧面给出不严谨证明:0-1 knapsack是一个优化问题,如果能在多项式时间内验证一个解,相当于能在多项式时间内求出该优化问题的最优解

    综上:可知0-1 knapsack ∈ \in NP-Hard

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