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  • 高中时候都学过复数,复数表示为a+bi,其中a为实部,b为虚部,i为虚数单位,i^2= -1,然后复数可以用x轴代表实数部,y轴代表虚部的复平面坐标系来表示,最后就是学各种复数运算。 但是什么是虚数?为什么虚数i^2= -1...

    参考摘录:https://www.zhihu.com/question/46877027/answer/542742130

    前言

    高中时候都学过复数,复数表示为a+bi,其中a为实部,b为虚部,i为虚数单位,i^2= -1,然后复数可以用x轴代表实数部,y轴代表虚部的复平面坐标系来表示,最后就是学各种复数运算。

    但是什么是虚数?为什么虚数i^2= -1?复数又是怎么来的?什么是复平面?这些都没有解释,所以应用的时候有点小迷茫,最近研究四元数的时候涉及到复数相关的知识,就顺便把以前的这些疑问整理了一下。

     

    虚数

    虚数就是平方为-1的数,这是我们无法理解的,因为我们以往接触的数学知识里,不管是正数还是负数的平方都是正数,是不存在负数的,这其实是意识形态的问题,就像在早期数学里是没有负数的,数还只停留在可见可数的0、1、2、3....这种,有就有没有就没有,何来负数之说,后来发现有一些实际行为上的计算可以用负数来描述,这才引入了负数。

    同样在这里我们不妨假设虚数存在,那么来求解i^2= -1,可以看做是1*i*i= -1,既然按照传统的乘法理解,实数轴上的1(A点)乘了两次一样的数,变成了符号相反的-1(B点)这样难以接受,我们不如将乘法理解成一种转换,实数轴上的1(A点)通过怎样的相同的两次转换能变成-1(B点)呢,答案就是旋转180度(正或负),每次转换就是旋转90度(正或负),我们且以逆时针旋转90度,代表一次转换即乘以虚数i。

     

    复数、复数坐标系和复平面

    当实数轴上的A点在变换到B点的过程中,首次旋转90度到达C点,坐标为1*i= i, 此时C点已经不在实数轴上,无法用之前的实数轴来描述,此时想要描述这个虚数就必须有一条类似于实数轴的虚数轴来描述它,因为C点的坐标为i,单位纯虚数,也就是说C点和原点所在的这条直线就是虚数的轴,以此便做出了虚数轴。

    我们做出的虚数轴与之前存在的实数轴相交于原点,构成一个二维坐标系,此坐标系中落在横轴上的点为实数,落在纵轴上的点为虚数,那么落在坐标轴之外的其他点呢,我们发现,他们既有实数部又有虚数部,这些点就叫做复数,表示为a+bi,这个由实数轴和虚数轴构成的坐标系就叫做复数坐标系,这个复数坐标系所在的平面就叫做复平面。

     

     

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  • 广义笛卡儿坐标系

    2020-03-12 19:20:14
    广义笛卡儿坐标系,王洪吉,,复化是数学研究的一个重要方向,许多数学概念都可以通过复化的方式进行推广。本文把复平面坐标系进行了推广,对平面笛卡儿坐标系
  • 平面坐标系绕原点顺时针变化

    千次阅读 2017-05-15 22:26:12
    搞了半天,发现这还是个公式,(x,y)为某点先前坐标,变化θ度后某点新坐标(x’,y’),先上公式再搞科学。x′=x∗cos(θ)−y∗sin(θ);x'=x*cos(θ)-y*sin(θ); y′=y∗cose(θ)+x∗sin(θ);y'=y*cose(θ)+x*sin(θ)...

    这本该是初高中的东西,项目遇到了。搞了半天,发现这还是个公式,(x,y)为某点先前坐标,变化θ度后某点新坐标(x’,y’),先上公式再搞科学。


    x=xcos(θ)ysin(θ)
    y=xsin(θ)+ycos(θ)

    确实也不难。。至于为什么得出的,我本子上画了一画
    这里写图片描述

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  • 复平面

    千次阅读 2010-04-08 18:56:00
    复数Z=a+bi和实数对(a,b)一样可以和坐标平面上的一点建立一一对应关系,这样与全体复数建立了一一对应关系的坐标平面叫做复数平面, 简称复平面(Complex plane),又叫高斯平面. 复平面的横轴上的点对应所有实数,故称...

    复数Z=a+bi和实数对(a,b)一样可以和坐标平面上的一点建立一一对应关系,这样与全体复数建立了一一对应关系的坐标平面叫做复数平面,

      简称复平面(Complex plane),又叫高斯平面.

      复平面的横轴上的点对应所有实数,故称实轴,纵轴上的点(原点除外)对应所有纯虚数,故称虚轴.

      除未塞尔(1745-1817),阿工(1768-1822)的工作外,科兹(1707-1783)棣美弗(1667-1754),欧拉 (1707-1783),范德蒙(1735-1796),也曾认识到平面上的点可与复数一一对应,这一点从他们把二项方程 的根看作一个正多边形的顶点一事获得证实.

      但是,在这方面高斯的贡献是十分重要的,他的著名代数学基本定理是在假设坐标平面上的点与复数可以 一一对应的前提下推出的.

      1831年,高斯在《哥庭根学报》上详细说明了复数 a+bi表示成平面上的一个点(a,b).从而明确了复平面 的概念,他又将表示平面点的直角坐标与极坐标加以综合,统一于表示同一复数的二种表示形式——复数的代 数形式及三角形式之中.高斯还给出了「复数」这个名称,由于高斯的卓越贡献,后人常称复数平面为高斯平面.
    北京54坐标系与西安80坐标系间的转换可以通过高斯平面。

     

    1、首先理解地理坐标系(Geographic coordinate system)直译为
    地理坐标系统,是以经纬度为地图的存储单位的。很明显,Geographic coordinate system是球面坐标系统。

    将球面坐标转化为平面坐标的过程便称为投影。
    2、接下来便是Projection coordinate system(投影坐标系统),高斯-克吕格投影产生 北京54和西安80坐标系。

     

    1954年北京坐标系的历史:
    新中国成立以后,我国大地测量进入了全面发展时期,再全国范围内开展了正规的,全面的大地测量和测图工作,迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向,故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数,并与前苏联1942年坐标系进行联测,通过计算建立了我国大地坐标系,定名为1954年北京坐标系。因此,1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。


    西安80坐标系
    1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议,确定重新定位,建立我国新的坐标系。为此有了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇,位于西安市西北方向约60公里,故称1980年西安坐标系,又简称西安大地原点。基准面采用青岛大港验潮站1952-1979年确定的黄海平均海水面(即1985国家高程基准)。

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  • 用法坐标系给出了复平面的一个新的特征刻划。即任一可定向的二维黎曼流形是平面的充要条件,是其上每点的法坐标系也是复坐标系
  • 地心直角坐标系(XT, YT, ZT)和地心大地坐标系(φ, λ, h)均是以地心Ο为坐标原点的地球坐标系,所以两者又均是地心地固(ECEF)坐标系。 地心地固直角坐标系 地心地固直角坐标系以地心Ο作为坐标原点,其Z轴指向...

    地球坐标系

    地球坐标系固定在地球上而随地球一起在空间做公转和自转运动,所以它又称为地固坐标系。地心直角坐标系(XT, YT, ZT)和地心大地坐标系(φ, λ, h)均是以地心Ο为坐标原点的地球坐标系,所以两者又均是地心地固(ECEF)坐标系。
    在这里插入图片描述

    地心地固直角坐标系

    地心地固直角坐标系以地心Ο作为坐标原点,其Z轴指向协议地球北极,X轴指向参考子午面(通常是英国伦敦处的格林尼治子午面)与地球赤道的一个交点,而X, Y和Z三轴一起构成右手直角坐标系。
    若(x, y, z)为点P在地心地固直角坐标系中的坐标,则我们可以根据z值的正负来判断P点是否位于地球的北半球还是南半球,再根据x和y的坐标值估算出P点所属的时区,但是我们通常需要借助计算器才能计算并断定出P点是位于地球内部还是在大气层中。

    大地坐标系

    又称为纬经高(LLA)坐标系。大地坐标系三个分量大地纬度、大地经度和大地高度分别简称为纬度、经度和高度(或者高程)。为了给出高度值,大地坐标系首先定义了一个与地球几何最吻合的椭球体来代替表面凹凸不平的地球,这个椭球体被称为基准椭球体。
    假设点P在大地坐标系中的坐标记为(φ, λ, h),那么

    1. 大地纬度φ是过P点的基准椭球面法线与赤道面(即地心地固直角坐标系的X-Y平面)之间的夹角。纬度φ的值在−90°到90°之间,赤道面以北为正,以南为负,例如φ=−30°就是指南纬30°。
    2. 大地经度λ是过P点的子午面与格林尼治参考子午面之间的夹角。经度λ的值在−180°至180°(或者说是0°至360°)之间,格林尼治子午面以东为正,以西为负,例如λ=90°−、西经90°和东经270°都表示同一个经度位置。
    3. 大地高度h是从P点到基准椭球面的法线距离,基准椭球面以外为正,以内为负。
      在这里插入图片描述

    点P的海拔高度H是该点到大地水准面的法线距离,它一般不等于点P的大地高度h。大地高度h与海拔高度H(近似相等)存在以下近似关系: h ≃ H + N h h\simeq H+N_{h} hH+Nh

    坐标系变换

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述迭代法:
    不妨先假设φ的值等于0,再由式(3.4)、式(3.5B)和式(3.5C)分别依次计算出N,h和φ,然后再将刚得到的φ重新代入式(3.4)、式(3.5B)和式(3.5C),再一次更新N, h和φ的值,如此循环。上述三式的迭代运算通常收敛得很快,一般经过3~4次循环迭代后就可以结束计算。

    世界大地坐标系(WGS-84)

    由GPS卫星星历参数和历书参数计算得到的卫星位置和速度都直接表达在WGS-84直角坐标值系中。
    WGS-84不仅仅是一个地心地固直角坐标系,它还定义了建立相应大地坐标系所需的基准椭球体,描述了与大地水准面相应的地球重力场模型,以及提供了修正后的基本大地参数。WGS-84定义的基准椭球面与大地水准面在全球范围内的差异(即Nh的值)在−100 m至+75 m之间。
    对于WGS-84直角坐标系与WGS-84大地坐标系之间的坐标变换,式(3.2)和式(3.5)自然依旧成立。

    基本大地参数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    一点说明

    有些国家和地区采用它们当地的一个坐标系统,与之相应的当地地图上的经度、纬度可能与GPS接收机定位结果给出的在WGS-84大地坐标系中的经度、纬度不相一致。产生这种差异的主要原因是制成这些当地地图所基于的基准椭球体可能只是对所在国家或局部地区的地球球体的逼近,从而使这些基准椭球面更加接近于当地的大地水准面。

    直角坐标系间的旋转变换

    在这里插入图片描述
    在上述三个直角坐标旋转变换公式中,等号右边的一个3×3矩阵均称为坐标旋转变换矩阵。坐标旋转变换矩阵是一个单位正交矩阵,即它的逆矩阵等于它的转置矩阵,并且任何一个向量的长度在坐标变换前后保持不变。

    站心坐标系

    站心坐标系通常以用户所在的位置点P为坐标原点,三个坐标轴分别是相互垂直的东向、北向和天向(或者称为天顶向),因而站心坐标系又称东北天(ENU)坐标系。如图3.5(a)所示,站心坐标系的天向与大地坐标系在此点的高度方向一致,即Δu与h的方向相一致。
    在这里插入图片描述

    计算卫星在用户处的观测矢量和仰角

    原先的地心地固直角坐标系首先绕地心地固直角坐标系Z轴旋转λ+ 90°,然后再绕新的X轴旋转90°−φ,得到的新X, Y和Z轴方向就分别与站心坐标系的东、北和天分量方向完全一致。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    坐标变换矩阵S同样是一个单位正交矩阵,即 S − 1 = S T S^-1= S^T S1=ST,并且无论是从地心地固直角坐标系转换到站心坐标系,还是反过来,卫星观测矢量的长度均保持不变。

    1. 卫星仰角,天顶角,方位角

    在这里插入图片描述

    站心坐标系与大地坐标系之间的转换

    假设物体是低速运动(用户在两个测量时刻只运行了上百、上千米),考虑到基准椭球体的偏心率e很小,因而为了减少运算量,我们有时可用以下的近似公式对它们两者进行相互之间的坐标变换:
    在这里插入图片描述

    谢钢.《GPS原理与接收机设计》.[Z].undefined.电子工业出版社.2017.

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空空如也

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