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  • 周期方波见图傅里叶级数复指数函数形… 1-1 求周期方波(见图 1-4)傅里叶级数(复指数函数形式) ,划出|c n| 和 n 图,并与表 1-1 对比。图 1-4 周期方波信号波形图0 txt T02T20A-A0解答在一个周期的表达式为 0 ...

    求周期方波见图的傅里叶级数复指数函数形…

    1-1 求周期方波(见图 1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式) ,划出|c n| 和 n 图,并与表 1-1 对比。图 1-4 周期方波信号波形图0 txt T02T20A-A0解答在一个周期的表达式为 0 2 TAtxt积分区间取(-T/2,T/2 )0 00 0 002 22111ddd cos- , , 3T Tjnt jnt jntTnxeAeAeAj所以复指数函数形式的傅里叶级数为, 。0 01 cosjnt jntnAxtceje, 12, 31os 0, 2, 30nIRc 2 1,1cos0246, nRnI A nAn ,35,2arctn1046InRn 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。|cn| n/2-/200 30 5030 502A/2A/3 2A/5幅频图 相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5 2A/32A/-0-30-50-0-30-501-2 求正弦信号 的绝对均值 和均方根值 。0sinxttxrmsx解答 0002 200 411dsidsindcosTTTTx xtxttt 22200rms 00 1i dTTTxttt1-3 求指数函数 的频谱。,atxtAet解答 222 0220 ajftjftatjfteAajfXfxtededAajf 22kfafImrctnarctnReXfff单边指数衰减信号频谱图f|Xf|A/a0ff0/2-/21-5 求被截断的余弦函数 见图 1-26的傅里叶变换。0cost0costTxt解 02twftwt为矩形脉冲信号 sincWfTf002201co2jftjftte所以 00jftjftxwt根据频移特性和叠加性得 0001122sincsinc2XfWffTTf可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动 f0,同时谱线高度减小一半。也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。fXfTf0-f0被截断的余弦函数频谱1-6 求指数衰减信号 的频谱0sinatxe指数衰减信号xt解答 图 1-26 被截断的余弦函数ttT-TT-Txtwt1001-10001sin2jtjtte所以 00jtjtatx单边指数衰减信号 的频谱密度函数为1,0atxet11 201jtatjt ajXfddj根据频移特性和叠加性得 00101022222 02 22200 0jjXj aaaj 00X-指数衰减信号的频谱图1-7 设有一时间函数 ft及其频谱如图 1-27 所示。现乘以余弦型振荡。在这个关系中,函数 ft叫做调制信号,余弦振荡 叫做载波。0cosmt 0cost试求调幅信号 的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱。又问若0cosftt时将会出现什么情况0m图 1-27 题 1-7 图F0ft0 t -m m解 0cosxtftF0001cos2jtjtte所以 00jtjtxff根据频移特性和叠加性得 001122XfF可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二,各向左右移动载频 0,同时谱线高度减小一半。fXf0-0矩形调幅信号频谱若 将发生混叠。0m

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  • 解答:在一个周期的表达式为积分区间取(-T/2,T/2)所以复指数函数形式的傅里叶级数为,。没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。解答:1-3 求指数函数的频谱。解:1-5 求被截断...

    1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形 ….doc

    1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。

    解答:在一个周期的表达式为

    积分区间取(-T/2,T/2)

    所以复指数函数形式的傅里叶级数为

    ,。

    没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

    1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。

    解答:

    1-3 求指数函数的频谱。

    解:

    1-5 求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。

    解:

    (t)为矩形脉冲信号

    所以

    可见的频谱等于将矩形的频谱一分为二,各向左右移动f0,同时谱线高度减小一半。

    1-6 求指数衰减信号的频谱

    解:

    所以

    单边指数衰减信号

    根据频移特性和叠加性得:

    1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡。在这个关系中,函数f(t)叫做调制信号,余弦振荡叫做载波。试求调幅信号的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱。又问:若时将会出现什么情况?

    解:

    所以

    可见调幅信号的频谱等于将的频谱一分为二,各向左右移动载频ω0,同时谱线高度减小一半。

    将发生混叠。

    图1-4 周期方波信号波形图

    0

    t

    x(t)

    A

    -A

    |cn|

    φn

    π/2

    -π/2

    ω

    ω

    ω0

    ω0

    3ω0

    5ω0

    3ω0

    5ω0

    2A/π

    2A/3π

    2A/5π

    幅频图

    相频图

    周期方波复指数函数形式频谱图

    2A/5π

    2A/3π

    2A/π

    -ω0

    -3ω0

    -5ω0

    -ω0

    -3ω0

    -5ω0

    单边指数衰减信号频谱图

    f

    |X(f)|

    A/a

    0

    φ(f)

    f

    0

    π/2

    -π/2

    图1-26 被截断的余弦函数

    t

    t

    T

    -T

    T

    -T

    x(t)

    w(t)

    1

    0

    0

    1

    -1

    f

    X(f)

    T

    f0

    -f0

    被截断的余弦函数频谱

    指数衰减信号

    x(t)

    0

    0

    X(ω)

    π

    φ(ω)

    ω

    ω

    指数衰减信号的频谱图

    图1-27 题1-7图

    ω

    F(ω)

    0

    f(t)

    0

    t

    -ωm

    ωm

    f

    X(f)

    ω0

    -ω0

    矩形调幅信号频谱

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  • 1-1 求周期方波(见图1-4)傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。x(t) A … ?T0 20 -A T0 2T0 … t ?T0 图1-4 周期方波信号波形图解答:在一个周期的表达式为T0??A (??t?0)??2 x(t)...

    1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。

    x(t) A … ?T0 20 -A T0 2T0 … t ?T0 图1-4 周期方波信号波形图

    解答:在一个周期的表达式为

    T0??A (??t?0)??2 x(t)??? A (0?t?T0)??2积分区间取(-T/2,T/2)

    T02T?02T020

    1cn?T0 =j?x(t)e?jn?0t1dt=T0?0T?02?Ae?jn?0t1dt+T0?)Ae?jn?0tdt

    A(cosn?-1) (n=0, ?1, ?2, ?3, n??所以复指数函数形式的傅里叶级数为

    x(t)?n????cnejn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t,n=0, ?1, ?2, ?3, ??n???nA?。

    A?c??(1?cosn?)?nI (n=0, ?1, ?2, ?3, n????cnR?0cn?cnR2?cnI2)

    ?2A n??1,?3,?, A??(1?cosn?)??n? n??0 n?0,?2,?4,?6, ?

    ?π??2n??1,?3,?5,?cnI?πφn?arctan??n??1,?3,?5,cnR?2n?0,?2,?4,?6,?0??

    没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

    |cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω φn π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图

    周期方波复指数函数形式频谱图

    3ω0 5ω0 ω 2A/5π -5ω0 幅频图

    1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。 解

    2x1T1Tμx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0TT

    ?T2Txxx2?sinωtdt??cosωt0? Tω0Tωπ20xrms1T21T22?x(t)dt?x0sinωtdt?T?0T?0?at2x0T?T0x1?cos2ωtdt?0 22

    1-3 求指数函数x(t)?Ae解答:

    (a?0,t?0)的频谱。

    X(f)??x(t)e????j2?ftdt??Aee0??at?j2?fte?(a?j2?f)tdt?A?(a?j2?f)?0?AA(a?j2?f)?2a?j2?fa?(2?f)2

    X(f)?ka?(2?f)22

    ?(f)?arctan|X(f)| ImX(f)2?f??arctan

    ReX(f)aφ(f) A/a π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图

    1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。

    ??cosω0tx(t)????0t?Tt?T

    x(t) 1

    解:x(t)?w(t)cos(2?f0t) w(t)为矩形脉冲信号

    -T 0 T t W(f)?2Tsinc(2?Tf)

    1j2?f0t?j2?f0t e?e211j2?f0t所以x(t)?w(t)e?w(t)e?j2?f0t

    22cos(2?f0t)???-1 w(t) 1 根据频移特性和叠加性得:

    11X(f)?W(f?f0)?W(f?f0) 22?Tsinc[2?T(f?f0)]?Tsinc[2?T(f?f0)]-T 0 图1-26 被截断的余弦函数

    T t 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动f0,同时谱线高度减小一半。也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

    X(f) T -f0 被截断的余弦函数频谱

    1-6 求指数衰减信号x(t)?ex(t) ?atf0 f

    sinω0t的频谱

    指数衰减信号

    解答:

    sin(?0t)?1j?0t?j?0te?e 2j??所以x(t)?e?at1j?0t?j?0te?e 2j??

    单边指数衰减信号x1(t)?e??at(a?0,t?0)的频谱密度函数为

    X1(f)??x(t)1e?j?tdt??e?ate?j?tdt???0?1a?j??2

    a?j?a??2根据频移特性和叠加性得:

    11?a?j(???0)a?j(???0)?X(?)??X1(???0)?X1(???0)?????2j2j?a2?(???0)2a2?(???0)2???0[a?(???0)]2a?0??j[a2?(???0)2][a2?(???0)2][a2?(???0)2][a2?(???0)2]X(ω) φ(ω) π 222

    0 ω -π 0 ω 指数衰减信号的频谱图

    1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cosω0t(ω0?ωm)。

    在这个关系中,函数f(t)叫做调制信号,余弦振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号

    f(t)cosω0t的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱。又问:若ω0?ωm时将会出现什

    么情况?

    f(t) F(ω) 0 t -ωm 0 ωm ω 图1-27 题1-7图

    解:x(t)?f(t)cos(?0t)

    F(?)?F[f(t)]

    1j?0t?j?0t e?e211j?t?j?t所以x(t)?f(t)e0?f(t)e0

    22cos(?0t)???根据频移特性和叠加性得:

    X(f)?11F(???0)?F(???0) 22 可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二,各向左右移动载频ω0,同时谱

    线高度减小一半。

    X(f) -ω0 矩形调幅信号频谱

    若ω0?ωm将发生混叠。

    ω0 f

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  • 1-1 求周期方波(见图1-4)傅里叶级数(复指数函数形式),划出|c n |–ω和φn –ω图,并与表1-1对比。解答:在一个周期的表达式为00 (0)2() (0)2T A t x t T A t ?--≤?=??≤?积分区间取(-T/2,T/2)...

    1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|c n |–ω和φn –ω图,并与表1-1对比。

    8d19d0ee335b74e317dc414c81385fff.png

    解答:在一个周期的表达式为

    00 (0)2() (0)2

    T A t x t T A t ?

    --≤?=?

    ?≤?

    积分区间取(-T/2,T/2)

    0000000

    220

    2

    00

    2

    111()d =

    d +

    d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )L T T jn t

    jn t

    jn t T T n c x t e

    t Ae

    t Ae t

    T T T A

    j

    n n n ωωωππ

    -----=

    -±±±?

    ?

    ?

    所以复指数函数形式的傅里叶级数为

    001

    ()(1cos )jn t

    jn t

    n

    n n A

    x t c e

    j

    n e

    n ∞

    =-∞

    =-∞

    =

    =--∑∑ωωππ

    ,=0, 1, 2, 3, n ±±±L 。

    (1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0nI nR A c n n n c ?

    =-

    -?±±±?

    ?=?L ππ

    21,3,,(1cos )00,2,4,6, n A

    n A c n n n n ?=±±±?

    3a3cd623f8535b3147620eec85e22a05.png

    ==-=??=±±±?

    L L

    πππ 图1-4 周期方波信号波形图

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空空如也

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复指数函数的周期