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  • 复数的三角形式与指数形式

    万次阅读 多人点赞 2019-10-22 16:46:46
    在中学,我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。在《大学数学》中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析;同样,在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题,这就是...

    在中学,我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。在大学数学中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析;同样,在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题,这就是大学数学本科(或研究生)专业里一门必修课复变函数》,因此我们有必要对复数了解得更多些。

    1. 复数的三角形式

    1.1 复数的幅角与模

    我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b),也对应复平面上一个向量(如下图所示):

    这个向量的长度叫做复数a+bi的模,记为|a+bi|,一般情况下,复数的模用字母r表示。同时,这个向量针对x轴的正方向有一个方向角,我们称为幅角,记为arg(a+bi),幅角一般情形下用希腊字母θ表示。在实轴X与虚轴Y正交的前提下:

    a = r \cdot cos\Theta, b = r \cdot sin\Theta                                                                                                                                        式(1)

    把它们代入复数的代数形式得:

    a + bi = r\cdot cos\Theta +i\cdot r\cdot sin\Theta = r\left ( cos\Theta + i \cdot sin\Theta \right )                                                                                           式(2)

    我们把式(2)叫做复数a+bi的三角形式。

    1.2 复数三角形式的运算法则

    引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。

    1.2.1 复数的乘法

    设:

    Z_{1} = r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )

    Z_{2} = r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )

    则:

    Z_{1} Z_{2}= \left [ r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )\right ]\cdot \left [ r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )\right ]

              =r_{1}r_{2}\left ( cos \Theta_{1}cos \Theta_{2} - sin\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )+ir_{1}r_{2}\left ( sin \Theta_{1}cos \Theta_{2} + cos\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )

              = r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]

    这说明,两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量Z_{1}的模扩大为原来的r_{2}倍,然后再将它绕原点逆时针旋转角\Theta_{2},就得到Z_{1}Z_{2}

    1.2.2 复数的除法

    设:

    Z_{1} = r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )

    Z_{2} = r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )

    则:

    Z_{1}\div Z_{1} = \frac{r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )}{r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )}

                   =\frac{r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )\left ( cos \Theta_{2} -i sin\Theta_{2} \right )}{r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )\left ( cos \Theta_{2} -i sin\Theta_{2} \right )}

                   =\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ \left ( cos \Theta_{1}cos \Theta_{2} + sin\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )+i\left ( sin \Theta_{1}cos \Theta_{2} - cos\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )\right ]

                   =\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ cos\left( \Theta_{1}-\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} -\Theta_{2}\right ) \right ]

    这说明,两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量Z_{1}的模缩小为原来的r_{2}分之一,然后再将它绕原点顺时针旋转角\Theta_{2},就得到Z_{1}\div Z_{2}

    1.2.3 复数的乘方

    利用复数的乘法不难得到:

    Z^{n} = r^{n}\left ( cos \left ( n\Theta \right ) + i sin\left ( n\Theta \right ) \right )

    这说明,复数的n次方等于它模的n次方,幅角的n倍。这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量z1的模变为原来的n次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角n\Theta,就得到Z^{n}

    1.2.4 复数的开方

     对于复数Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ),根据代数基本定理及其推论知,任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。

    设: Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ) 的一个n次方根为 \omega= \rho \left ( cos \varphi +i sin\varphi \right )

    那么:: \omega^{n}= \left [ \rho \left ( cos \varphi +i sin\varphi \right )\right ]^{n} = \rho^{n}\left ( cos n\varphi +i sinn\varphi \right )

    所以: r=\rho^{n}, n\varphi = \Theta + 2k\pi ,\left ( k = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3 .... \right )

    即: \rho =\sqrt[n]{r}, \varphi = \frac{\Theta + 2k\pi }{n} = \frac{\Theta }{n}+\frac{2k\pi }{n},\left ( k = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3 .... \right )

    显然,当k0依次取到n1,所得到的角的终边互不相同,但kn开始取值后,前面的终边又周期性出现。因此,复数znn次方根为:

    \omega _{k} = \sqrt[n]{r}\left ( cos\frac{\Theta + 2k\pi }{n} + i sin\frac{\Theta + 2k\pi }{n} \right ), \left ( k = 0,1,2,3 .... n-1 \right )

    从求根公式可以看出,相邻两个根之间幅角相差\frac{2\pi }{n},所以复数Znn次方根均匀地分布在以原点为圆心,以它的模的n次算术根为半径的圆周上。

    因此,求一个复数z的全部n次方根,可以用下面的几何手段进行:

    Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )

    先作出圆心在原点,半径为\sqrt[n]{r}的圆,然后作出角\frac{\Theta }{n}的终边,以这条终边与圆的交点为分点,将圆周n等分,那么每个等分点对应的复数就是复数Zn次方根。

    2. 复数的指数形式

    在对复数三角形式的乘法规则讨论中,我们发现,复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法(模相乘,幅角相加),这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现,对数函数与指数函数:

    a^{x}a^{y} = a^{x+y}

    log_{a}\left ( xy \right ) = log_{a}\left ( x \right ) + log_{a}\left ( y \right )

    前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加;后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。从形式上看,复数的乘法与指数函数的关系更为密切些:

    Z_{1}Z_{2}= r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]

    \left ( b_{1}a^{x} \right )\cdot \left ( b_{2}a^{y} \right ) =\left ( b_{1} b_{2} \right )\cdot a^{x+y}

    根据这个特点,复数Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )应该可以表示成某种指数形式,即复数应该可以表示成y\cdot a^{x}的形式,这里有三个问题需要解决:

    1)反映复数本质特征的三个因素:模r、幅角θ、虚数单位i应各自摆放在什么位置?

    2)在这些位置上它们应呈现什么形态?

    3)作为指数形式的底应该用什么常数?

    再重新观察下面的等式:

    Z_{1}Z_{2}= r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]

    \left ( b_{1}a^{x} \right )\cdot \left ( b_{2}a^{y} \right ) =\left ( b_{1} b_{2} \right )\cdot a^{x+y}

    首先,显然模r应该占据y\cdot a^{x}中系数y的位置,其次,幅角\Theta应该占据y\cdot a^{x}中指数x的位置,对于虚数单位i,如果放到系数y的位置上会怎样?

    \left ( i\cdot ra^{x} \right )^{2} = -r^{2}a^{2x}

    等式右边是实数,对于任意虚数而言,这是不可能的。因此幅角θ也应该占据指数的位置。这样第二个问题就产生了:它与幅角一起在指数的位置上是什么关系?(相加?相乘?)

    幅角\Theta与虚数单位i是相加的关系会怎样?先考察模为1的复数cos \Theta+i sin\Theta,如果写成a^{i+\Theta }的形式,一方面由于a^{i+\Theta } =a ^{i}\cdot a^{\Theta },与\left ( ir \right )a^{\Theta }的形式差别不是很大,其次\left ( a^{i+\Theta } \right )^{n} = a^{ni+n\Theta },在复数的乘方法则中,应该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍,所以虚数单位与幅角不应该是相加关系,而应该是相乘关系。

    Z=ra^{i\Theta }

    现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合:

    Z_{1}Z_{2}=\left ( r_{1}a^{i \Theta _{1}} \right )\left ( r_{2}a^{i \Theta _{2}}\right ) = \left ( r_{1}r_{2} \right )a^{i\left (\Theta _{1} + \Theta _{2}\right )}

    Z_{1}\div Z_{2}=\left ( r_{1}a^{i \Theta _{1}} \right )\div \left ( r_{2}a^{i \Theta _{2}}\right ) = \left ( r_{1}\div r_{2} \right )a^{i\left (\Theta _{1} - \Theta _{2}\right )}

    Z^{n} = \left ( ra^{i\Theta } \right )^{n} = r^{n}a^{i\left ( n\Theta\right ) }

    乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征,下面来解决最后一个问题:应该选用哪个常数作为底数?我们暂时将Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )形式化地看做r\Theta的“二元函数”,数学是“形式化的科学”,因此,一些形式化的性质应该“形式化”地保持不变。

    下面我们将r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ) = ra^{i\Theta }等式两边对\Theta形式化地求“偏微分”:

    \frac{\partial r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )}{\partial \Theta }

    =r\left ( -sin \Theta+i cos\Theta \right )

    =\left [ r\left ( cos\Theta + isin\Theta \right ) \right ]i

    =Zi

     

    \frac{\partial }{\partial \Theta }\left ( ra^{i\Theta } \right )

    =r\frac{\partial a^{i\Theta }}{\partial \Theta }

    =ira^{i\Theta }ln_{a}

    =Zi\cdot ln_{a}

    所以ln_{a} = 1,得a=e

    这样我们利用不太严格的推理得到了复数的第三种表现形式——指数式

    Z=a+bi = r\left ( cos\Theta + isin\Theta \right )=re^{i\Theta }

    从复数的模与幅角的角度看,复数的指数形式其实是三角形式的简略化,对于指数形式的严格证明可以参读复数的指数形式的证明

    由复数的三角形式与指数形式,我们很容易得到下面的两个公式:

    \left\{\begin{matrix} cos\Theta + i sin\Theta = e^{i\Theta }\\ cos\Theta - i sin\Theta = e^{-i\Theta }\\ \end{matrix}\right.

    \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} cos\Theta = \frac{e^{i\Theta } + e^{-i\Theta }}{2}\\ sin\Theta = \frac{e^{i\Theta } - e^{-i\Theta }}{2i} \end{matrix}\right.

    这两个公式被统称为欧拉公式;在复数的指数形式中,令r=1\Theta = \pi,就得到下面的等式:

    e^{i\pi } = -1 或者e^{i\pi } +1=0

    它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起:两个超越数——自然对数的底e,圆周率\pi;三个单位——虚数单位i、自然数的乘法单位1和加法单位0。关于自然对数的底e和圆周率\pi,这里我想多说那么几句:它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数,尽管从理论上我们知道,超越数比有理数、代数数(可以表示为有理系数一元多项式的根的数)要多得多,但为人类所认识的超越数却仅此两个!令人不可思议的是,它们居然凭借这么一个简单关系彼此联系着。数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看着它但却不能理解它。

    3. 复数的应用

    利用复数的三角形式,我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点,我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。

    3.1 三角级数求和

    求解\left\{\begin{matrix} cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha = ?\\ sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha = ? \end{matrix}\right.

    解:令Z= cos \alpha +i sin\alpha,那么对任何自然数k有:

    Z^{k} = cosk\alpha + i sink\alpha

    \Rightarrow Z+Z^{2}+ ...+ Z^{n}

    = \left ( cos\alpha + isin\alpha \right ) + \left ( cos2\alpha + isin2\alpha \right ) + ..... +\left ( cosn\alpha + isinn\alpha \right )

    =\left(cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha\right) +i \left( sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha \right)

    另一方面由等比数列的定义可知:

    Z+Z^{2}+ ...+ Z^{n}

    =\frac{Z(1-Z^{n})}{1-Z}

    =\frac{\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left [ 1-\left ( cosn\alpha + i sinn\alpha \right ) \right ]}{1- \left ( cos\alpha +i sin\alpha \right )}

    =\frac{\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left ( 2sin^{2}\frac{n\alpha}{2} -2isin\frac{n\alpha}{2} cos\frac{n\alpha}{2}\right )}{2sin^{2}\frac{\alpha}{2} -2isin\frac{\alpha}{2} cos\frac{\alpha}{2}}

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left ( cos\frac{n\alpha -\pi }{2} + isin\frac{n\alpha -\pi }{2}\right )}{sin\frac{\alpha }{2}\left ( cos\frac{\alpha -\pi }{2} - isin\frac{\alpha -\pi }{2}\right )}

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}\left [ cos\left ( \alpha +\frac{n\alpha -\pi }{2} - \frac{\alpha -\pi }{2} \right ) + isin\left ( \alpha +\frac{n\alpha -\pi }{2} - \frac{\alpha -\pi }{2} \right )\right ]

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}\left ( cos\frac{n+1}{2} \alpha + i sin\frac{n+1}{2}\alpha \right )

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}cos\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}}+i\frac{sin\frac{n\alpha }{2}sin\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}}

    所以:

    \left\{\begin{matrix} cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}cos\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}} \\ sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}sin\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}} \end{matrix}\right.

    3.2 M是单位圆周  x2y2 = 1上的动点,点N与定点A(2,  0)和点M构成一个等边三角形的顶点,并且M→N→A→M成逆时针方向,当M点移动时,求点N的轨迹。

    分析:此题若用一般解析几何的方法寻找点MN之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。

    MNA对应的复数依次为:M\leftrightarrow{x}'+{y}'iN\leftrightarrow x+yiA\leftrightarrow 2

    那么向量AM可以用向量ANA点逆时针旋转300度得到,用复数运算来实现这个变换就是:

    \vec{AM}=\left ( cos300^{\circ}+ isin300^{\circ} \right )\cdot \vec{AN}

    \Rightarrow\vec{OM} - \vec{OA}=\left ( cos300^{\circ}+ isin300^{\circ} \right )\cdot \left ( \vec{ON}-\vec{OA} \right )

    \Rightarrow {x}'+{y}'i -2 = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}\left ( x+yi-2 \right )= \frac{x+\sqrt{3}y-2}{2}+ \frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2}i

    \Rightarrow \left\{\begin{matrix} {x}' = \frac{x+\sqrt{3}y+2}{2}\\ {y}'=\frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2}\\ {x}'^{2}+{y}'^{2} = 1 \end{matrix}\right.

    \Rightarrow \left ( \frac{x+\sqrt{3}y+2}{2} \right )^{2} +\left ( \frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2} \right )^{2} = 1

    \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x+2\sqrt{3}y+3=0

    \Rightarrow \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-\sqrt{3} \right )^{2} = 1

    3.3 3. z1z2z3 是复平面上三个点ABC对应的复数,证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是:

    z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}

    假设结论不成立:

    z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}

    \Rightarrow 2z_{1}^{2} + 2z_{2}^{2} +2 z_{3}^{2} = 2z_{1}z_{2}+ 2z_{2}z_{3}+2z_{3}z_{1}

    \Rightarrow \left ( z_{1} - z_{2} \right )^{2} +\left ( z_{1} - z_{3} \right )^{2} +\left ( z_{2} - z_{3} \right )^{2} =0

    三个向量\left ( z_{1} - z_{2} \right )\left ( z_{1} - z_{3} \right )\left ( z_{2} - z_{3} \right )均为零向量,则三个向量z_{1}z_{2}z_{3}所对应的点是同一个点,与题意不符.

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  • 复数的代数形式怎么转为e是指数形式

    万次阅读 多人点赞 2018-07-06 10:56:36
    将上面欧拉公式变换成下面复平面的形式: 直角三角形边长公式: 推导出: 正弦、余弦及正切定义式: 上面都是要准备的资料,下面开始推导复数代数形式转换为e指数形式,设有一复数: a + jb ...

    根据欧拉公式:

     

    公式中,e是自然对数底,i是虚数单位。

    将上面欧拉公式变换成下面复平面的形式:

     

    直角三角形边长公式:

     

    推导出:

     

    正弦、余弦及正切定义式:

      

    上面都是要准备的资料,下面开始推导复数代数形式转换为e指数形式,设有一复数: a + jb



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  • 复数指数表示

    千次阅读 2016-09-08 17:44:56
    太丢人了,想当年还学过复变函数呢,时间长了,...z=re^(iθ); 其中,r为z的模,θ为辐角主值。 z=[(a^2+b^2)^1/2]*{[a/(a^2+b^2)^1/2]+[ib/(a^2+b^2)^1/2]} =r(cosθ+isinθ)=re^(iθ)  (最后一步为欧拉公式)

    太丢人了,想当年还学过复变函数呢,时间长了,好多东西都忘了,统统还给了老师!


    z=a+ib;

    z=re^(iθ);

    其中,r为z的模,θ为辐角主值。

    z=[(a^2+b^2)^1/2]*{[a/(a^2+b^2)^1/2]+[ib/(a^2+b^2)^1/2]}

    =r(cosθ+isinθ)=re^(iθ) 

    (最后一步为欧拉公式)

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  • 复数怎么转化为指数形式复数化为三角表示式和指数表示式 复数怎么转化为指数形式相关问题:匿名网友:将复数化为三角表示式和指数表示式是:复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ+irsinθ,可以化为指数表示式z=r*exp(iθ...

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    将复数化为三角表示式和指数表示式 复数怎么转化为指数形式

    相关问题:

    匿名网友:

    将复数化为三角表示式和指数表示式是:复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ+irsinθ,可以化为指数表示式z=r*exp(iθ)。exp()为自然对数的底e的指数函数。即:exp(iθ)=cosθ+isinθ。 证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到,是复变函数的基本公式。

    一、三角函数课程介绍:三角函数是以角度为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

    二、三角函数相关公式:

    1、两角和公式

    sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

    sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

    cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

    cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

    tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

    tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

    cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

    cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

    2、倍角公式

    tan2A = 2tanA/(1-tan² A)

    Sin2A=2SinA•CosA

    Cos2A = Cos^2 A--Sin² A

    =2Cos² A—1

    =1—2sin^2 A

    3、三倍角公式

    sin3A = 3sinA-4(sinA)³;

    cos3A = 4(cosA)³ -3cosA

    tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)

    4、半角公式

    sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}

    cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}

    tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}

    cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ?

    tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

    5、和差化积

    sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

    sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

    cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

    cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

    6、积化和差

    sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

    cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

    sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

    cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]

    7、诱导公式

    sin(-a) = -sin(a)

    cos(-a) = cos(a)

    sin(π/2-a) = cos(a)

    cos(π/2-a) = sin(a)

    sin(π/2+a) = cos(a)

    cos(π/2+a) = -sin(a)

    sin(π-a) = sin(a)

    cos(π-a) = -cos(a)

    sin(π+a) = -sin(a)

    cos(π+a) = -cos(a)

    tgA=tanA = sinA/cosA

    8、万能公式

    sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}

    cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}

    tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

    匿名网友:

    1.将复数化为三角表示式和指数表示式

    答:将复数化为三角表示式和指数表示式是:复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ+irsinθ,可以化为指数表示式z=r*exp(iθ)。exp()为自然对数的底e的指数函数。即:exp(iθ)=cosθ+isinθ。 证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到,是复变函数的基本公式...

    2.复数怎么转化为指数形式

    答:能写成a+bi形式的数叫做复数,其中a和b都是实数,i是虚数单位,i^2=-1。 在复数z=a+bi中,a=Re(z)称为实部,b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时,这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。 复数有多种表示形式:...

    3.复数的指数表示

    问:复数的指数形式是怎样的?是什么意思?怎样推出的?

    4.复数的指数形式是

    问:复数可以写成z=re^iθ的形式,其中虚部和实部是什么,这个公式用语言来讲...

    5.指数形式exp到复数形式的转换

    问:如下的方程,如何推导得到呢?

    6.指数为复数怎么计算啊

    问:例如 4^j(-5)我这里的题是 e^j(69度) PS(69度)是角度 这题是交流电...

    7.复数的指数形式

    问:怎样证明? 这是什么意思?

    8.将下列复数转化为三角表达式和指数表达式。 这两题...

    答:解:(4)1-cosφ+isinφ=2[sin(φ/2)]^2+i2sin(φ/2)cos(φ/2)=2sin(φ/2)[sin(φ/2)+icos(φ/2)]=2sin(φ/2)[cos(π/2-φ/2)+isin(π/2-φ/2)]=2sin(φ/2)e^[(π/2-φ/2)i]。 (5)(cos5φ+isin5φ)^2=[e^(i5φ)]^2=e^(i10φ);(cos3φ-isin3φ)^3=[e^(-i3φ)]^3=e^(-...

    9.mathematica有没有把复数写成指数形式的函数

    答:先利用模Abs和辐角Arg将复数转换成三角形式,再利用TrigToExp将三角形式转换成指数形式 例如对于1+i,

    10.把复数z=1+根号3i分别化成三角形式、指数形式,

    答:

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复数i的指数形式