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  • 复数形式的离散傅立叶变换非常巧妙地运用了复数的方法,使得傅立叶变换变换更加自然和简洁,它并不是只是简单地运用替换的方法来运用复数,而是完全从复数的角度来分析问题,这一点跟实数 DFT 是完全不一样的。  ...

    原文链接
    https://blog.csdn.net/dznlong/article/details/2280867

     

    理解离散傅立叶变换(四)
                         ------复数形式离散傅立叶变换
           复数形式的离散傅立叶变换非常巧妙地运用了复数的方法,使得傅立叶变换变换更加自然和简洁,它并不是只是简单地运用替换的方法来运用复数,而是完全从复数的角度来分析问题,这一点跟实数 DFT 是完全不一样的。
     
    一、          把正余弦函数表示成复数的形式
     
    通过欧拉等式可以把正余弦函数表示成复数的形式:
     
           cos( x ) = 1/2 e j(-x) + 1/2 ejx
     
     
       sin( x ) = j (1/2 e j(-x) - 1/2 ejx)
     
     
     
    从这个等式可以看出,如果把正余弦函数表示成复数后,它们变成了由正负频率组成的正余弦波,相反地,一个由正负频率组成的正余弦波,可以通过复数的形式来表示。
     
    我们知道,在实数傅立叶变换中,它的频谱是 0 ~ π( 0 ~ N/2) ,但无法表示-π ~ 0 的频谱,可以预见,如果把正余弦表示成复数形式,则能够把负频率包含进来。
     
    二、          把变换前后的变量都看成复数的形式
     
    复数形式傅立叶变换把原始信号 x[n] 当成是一个用复数来表示的信号,其中实数部分表示原始信号值,虚数部分为 0 ,变换结果 X[k] 也是个复数的形式,但这里的虚数部分是有值的。在这里要用复数的观点来看原始信号,是理解复数形式傅立叶变换的关键(如果有学过复变函数则可能更好理解,即把 x[n] 看成是一个复数变量,然后象对待实数那样对这个复数变量进行相同的变换)。
     
    三、          对复数进行相关性算法(正向傅立叶变换)
     
    从实数傅立叶变换中可以知道,我们可以通过原始信号乘以一个正交函数形式的信号,然后进行求总和,最后就能得到这个原始信号所包含的正交函数信号的分量。现在我们的原始信号变成了复数,我们要得到的当然是复数的信号分量,我们是不是可以把它乘以一个复数形式的正交函数呢?答案是肯定的,正余弦函数都是正交函数,变成如下形式的复数后,仍旧还是正交函数(这个从正交函数的定义可以很容易得到证明):
    cos x + j sin x, cos x – j sin x , ……
     
    这里我们采用上面的第二个式子进行相关性求和,为什么用第二个式子呢?,我们在后面会知道,正弦函数在虚数中变换后得到的是负的正弦函数,这里我们再加上一个负号,使得最后的得到的是正的正弦波,根据这个于是我们很容易就可以得到了复数形式的 DFT 正向变换等式:
          
           这个式子很容易可以得到欧拉变换式子:
          
     
           其实我们是为了表达上的方便才用到欧拉变换式,在解决问题时我们还是较多地用到正余弦表达式。
     
           对于上面的等式,我们要清楚如下几个方面(也是区别于实数 DFT 的地方):
    1、 X[k] 、 x[n] 都是复数,但 x[n] 的虚数部分都是由 0 组成的,实数部分表示原始信号;
    2、 k 的取值范围是 0 ~ N-1 ( 也可以表达成 0 ~ 2 π) ,其中 0 ~ N/2 (或 0 ~ π) 是正频部分, N/2 ~ N-1 ( π ~ 2 π) 是负频部分,由于正余弦函数的对称性,所以我们把 – π ~ 0 表示成 π ~ 2 π,这是出于计算上方便的考虑。
    3、 其中的j是一个不可分离的组成部分,就象一个等式中的变量一样,不能随便去掉,去掉之后意义就完全不一样了,但我们知道在实数DFT中,j只是个符号而已,把j去掉,整个等式的意义不变;
    4、 下图是个连续信号的频谱,但离散频谱也是与此类似的,所以不影响我们对问题的分析:
                  
                  上面的频谱图把负频率放到了左边,是为了迎合我们的思维习惯,但在实际实现中我们一般是把它移到正的频谱后面的。
    从上图可以看出,时域中的正余弦波(用来组成原始信号的正余弦波)在复数DFT的频谱中被分成了正、负频率的两个组成部分,基于此等式中前面的比例系数是1/N(或1/ 2 π),而不是2/N,这是因为现在把频谱延伸到了 2 π,但把正负两个频率相加即又得到了2/N,又还原到了实数DFT的形式,这个在后面的描述中可以更清楚地看到。由于复数DFT生成的是一个完整的频谱,原始信号中的每一个点都是由正、负两个频率组合而成的,所以频谱中每一个点的带宽是一样的,都是1/N,相对实数DFT,两端带宽比其它点的带宽少了一半;
    复数DFT的频谱特征具有周期性:-N/2 ~ 0 与 N/2 ~ N-1 是一样的,实域频谱呈偶对称性(表示余弦波频谱),虚域频谱呈奇对称性(表示正弦波频谱)。
     
    四、          逆向傅立叶变换
     
    假设我们已经得到了复数形式的频谱 X[k] ,现在要把它还原到复数形式的原始信号 x[n] ,当然应该是把 X[k] 乘以一个复数,然后再进行求和,最后得到原始信号 x[n] ,这个跟 X[k] 相乘的复数首先让我们想到的应该是上面进行相关性计算的复数: cos (2πkn/N) – j sin(2πkn/N),但其中的负号其实是为了使得进行逆向傅立叶变换时把正弦函数变为正的符号,因为虚数j的运算特殊性,使得原来应该是正的正弦函数变为了负的正弦函数(我们从后面的推导会看到这一点),所以这里的负号只是为了纠正符号的作用,在进行逆向DFT时,我们可以把负号去掉,于是我们便得到了这样的逆向DFT变换等式:

    x[n] = X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))

    我们现在来分析这个式子,会发现这个式其实跟实数傅立叶变换是可以得到一样结果的。我们先把X[k]变换一下:

     

    X[k] = Re X[k] + j Im X[k]

    这样我们就可以对x[n]再次进行变换,如:

    x[n] = (Re X[k] + j Im X[k]) (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))

        = ( Re X[k] cos(2πkn/N) + j Im X[k] cos(2πkn/N) +

               j Re X[k] sin(2πkn/N) -  Im X[k] sin(2πkn/N) )

           = ( Re X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N)) +    ---------------------(1)

                Im X[k] ( - sin ( 2πkn/N) + j cos ( 2πkn/N) ) )  --------------- (2)
    这时我们就把原来的等式分成了两个部分,第一个部分是跟实域中的频谱相乘,第二个部分是跟虚域中的频谱相乘,根据频谱图我们可以知道, Re X[k] 是个偶对称的变量, Im X[k] 是个奇对称的变量,即
    Re X[k] = Re X[- k]
    Im X[k] = - Im X[-k]
    但 k 的范围是 0 ~ N-1 , 0~N/2 表示正频率, N/2~N-1 表示负频率,为了表达方便我们把 N/2~N-1 用 -k 来表示,这样在从 0 到 N-1 的求和过程中对于 (1) 和 (2) 式分别有 N/2 对的 k 和 -k 的和,对于( 1 )式有:
    Re X[k] (cos( 2πkn/N) + j sin( 2πkn/N) ) + Re X[- k] (cos( - 2πkn/N) + j sin( - 2πkn/N) )
    根据偶对称性和三角函数的性质,把上式化简得到:
    Re X[k] (cos( 2πkn/N) + j sin( 2πkn/N) ) + Re X[ k] (cos( 2πkn/N) - j sin( 2πkn/N) )
    这个式子最后的结果是:
    2 Re X[ k] cos( 2πkn/N)
    再考虑到求Re X[ k]等式中有个比例系数1/N,把1/N乘以2,这样的结果不就是跟实数DFT中的式子一样了吗?
     
    对于 (2) 式,用同样的方法,我们也可以得到这样的结果:
    -2 Im X[k] sin( 2πkn/N
    注意上式前面多了个负符号,这是由于虚数变换的特殊性造成的,当然我们肯定不能把负符号的正弦函数跟余弦来相加,还好,我们前面是用 cos(2πkn/N) – j sin(2πkn/N) 进行相关性计算,得到的 Im X[k] 中有个负的符号,这样最后的结果中正弦函数就没有负的符号了,这就是为什么在进行相关性计算时虚数部分要用到负符号的原因(我觉得这也许是复数形式 DFT 美中不足的地方,让人有一种拼凑的感觉)。
     
    从上面的分析中可以看出,实数傅立叶变换跟复数傅立叶变换,在进行逆变换时得到的结果是一样的,只不过是殊途同归吧。
    附: WORD文档下载地址:http://download.csdn.net/source/444234
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  • 关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上...
    本帖最后由 xiaoliu 于 2011-7-28 21:00 编辑
    

    一、傅立叶变换的由来

    关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉,在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享,希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发,这电子书籍是免费的,有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下,URL地址是:

    http://www.dspguide.com/pdfbook.htm   

    要理解傅立叶变换,确实需要一定的耐心,别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。

    二、傅立叶变换的提出

    让我们先看看为什么会有傅立叶变换?傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅立叶的工作,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

    谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。

    为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

    三、傅立叶变换分类

    根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别:

    1

    非周期性连续信号

    傅立叶变换(Fourier Transform)

    2

    周期性连续信号

    傅立叶级数(Fourier Series)

    3

    非周期性离散信号

    离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform)

    4

    周期性离散信号

    离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

    下图是四种原信号图例:





    这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号,即信号的的长度是无穷大的,我们知道这对于计算机处理来说是不可能的,那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢?没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大,我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难,方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号,可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸的部分用零来表示,这样,这个信号就可以被看成是非周期性离解信号,我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。还有,也可以把信号用复制的方法进行延伸,这样信号就变成了周期性离解信号,这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号,对于连续信号我们不作讨论,因为计算机只能处理离散的数值信号,我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。

    但是对于非周期性的信号,我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示,这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换(DFT)才能被适用,对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理,对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到,在计算机面前我们只能用DFT方法,后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题,至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。

    每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法,对于实数方法是最好理解的,但是复数方法就相对复杂许多了,需要懂得有关复数的理论知识,不过,如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT),再去理解复数傅立叶就更容易了,所以我们先把复数的傅立叶放到一边去,先来理解实数傅立叶变换,在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论,然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。

    还有,这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换,但跟函数变换是不同的,函数变换是符合一一映射准则的,对于离散数字信号处理(DSP),有许多的变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换的定义,允许输入和输出有多种的值,简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。

    四、傅立叶变换的物理意义

    傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

    和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

    从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

    在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

    正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

    五、图像傅立叶变换的物理意义

    图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

    傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

    另外我还想说明以下几点: 
    1、图像经过二维傅立叶变换后,其变换系数矩阵表明: 
    若变换矩阵Fn原点设在中心,其狊谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 
    2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮,平移之后中间部分是低频,最亮,亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)。

    六、一个关于实数离散傅立叶变换(Real DFT)的例子

    先来看一个变换实例,一个原始信号的长度是16,于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波(一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号,这是为什么呢?结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解,一个长度为N的信号,最多只能有N/2+1个不同频率,再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围),如下图:

    9个正弦信号:



    9个余弦信号:



    把以上所有信号相加即可得到原始信号,至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的,我们先不急,先看看对于以上的变换结果,在程序中又是该怎么表示的,我们可以看看下面这个示例图:



    上图中左边表示时域中的信号,右边是频域信号表示方法,从左向右表示正向转换(Forward DFT),从右向左表示逆向转换(Inverse DFT),用小写x[]表示信号在每个时间点上的幅度值数组, 用大写X[]表示每种频率的副度值数组, 因为有N/2+1种频率,所以该数组长度为N/2+1,X[]数组又分两种,一种是表示余弦波的不同频率幅度值:Re X[],另一种是表示正弦波的不同频率幅度值:Im X[],Re是实数(Real)的意思,Im是虚数(Imagine)的意思,采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示,但这里我们不考虑复数的其它作用,只记住是一种组合方法而已,目的是为了便于表达(在后面我们会知道,复数形式的傅立叶变换长度是N,而不是N/2+1)。

    七、用Matlab实现快速傅立叶变换

    FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。 
    虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。 
    现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就不在此啰嗦了。 
    采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算,通常N取2的整数次方。 
    假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。 
    假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,即小于采样频率一半的结果。 
    下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号,以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下:S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256点。按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率:0Hz、50Hz、75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况如何呢?我们来看看FFT的结果的模值如图所示。



    从图中我们可以看到,在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看: 
    1点: 512+0i 
    2点: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
    3点: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 
    50点:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 
    51点:332.55 - 192i 
    52点:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 
    75点:-2.2199E-13 -1.0076E-12i 
    76点:3.4315E-12 + 192i 
    77点:-3.0263E-14 +7.5609E-13i 
    很明显,1点、51点、76点的值都比较大,它附近的点值都很小,可以认为是0,即在那些频率点上的信号幅度为0。接着,我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值,结果如下: 
    1点: 512 
    51点:384 
    76点:192 
    按照公式,可以计算出直流分量为:512/N=512/256=2;50Hz信号的幅度为:384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见,从频谱分析出来的幅度是正确的。 
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言,不用管它。先计算50Hz信号的相位,atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度,换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见,相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算,我们就可以写出信号的表达式了,它就是我们开始提供的信号。



    总结:假设采样频率为Fs,采样点数为N,做FFT之后,某一点n(n从1开始)表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N;该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以N);该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值,范围从-pi到pi。要精确到xHz,则需要采样长度为1/x秒的信号,并做FFT。要提高频率分辨率,就需要增加采样点数,这在一些实际的应用中是不现实的,需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法,比较简单的方法是采样比较短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度达到需要的点数,再做FFT,这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。
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  • 图像傅立叶变换的原理和物理意义 图像的傅立叶变换,原始图像由N行N列构成,N必须是基2的,把这个N*N个包含图像的点称为实部,另外还需要N*N个点称为虚部,因为FFT是基于复数的,如下图所示: (//实数DFT将时域...

    图像傅立叶变换的原理和物理意义

    图像的傅立叶变换,原始图像由NN列构成,N必须是基2的,把这个N*N个包含图像的点称为实部,另外还需要N*N个点称为虚部,因为FFT是基于复数的,如下图所示:

    //实数DFT将时域内的N个点变换为频域中两组各N/2+1个点(分别对应实部和虚部))

    计算图像傅立叶变换的过程很简单:首先对每一行做一维FFT,然后对每一列做一维FFT。具体来说,先对第0行的N个点做FFT(实部有值,虚部为0),将FFT输出的实部放回原来第0行的实部,FFT输出的虚部放回第0行的虚部,这样计算完全部行之后,图像的实部和虚部包含的是中间数据,然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换,这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。

    下面展示了一副图像的二维FFT变换:

    频域中可以包含负值,图像中灰色表示0,黑色表示负值,白色表示正值。可以看到4个角上的黑色更黑,白色更白,表示其幅度更大,其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分,而中心则是图像的高频组成部分。除此以外,FFT的系数显得杂乱无章,基本看不出什么。

    将上述直角坐标转换为极坐标的形式,稍微比较容易理解一点,幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大,而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。

    上述以一种不同的方法展示了图像频谱,它将低频部分平移到了频谱的中心(//MATLAB中实现函数fftshift)。这个其实很好理解,因为经2D-FFT的信号是离散图像,其2D-FFT的输出就是周期信号,也就是将前面一张图周期性平铺,取了一张以低频为中心的图。将原点放在中心有很多好处,比如更加直观更符合周期性的原理,但在这节中还是以未平移之前的图来解释。

    N/2和列N/2将频域分成四块。对实部和幅度来说,右上角和左下角成镜像关系,左上角和右下角也是镜像关系;对虚部和相位来说,也是类似的,只是符号要取反(//共轭?),这种对称性和1维傅立叶变换是类似的,你可以往前看看。

    为简单起见,先考虑4*4的像素,右边是其灰度值,对这些灰度值进行2fft变换。

    hk的范围在-N/2N/2-1之间。

    通常I(n,m)是实数,F(0,0)总是实数(//直流分量),并且F(h,k)具有对偶性。

    如果写成复数形式,即:

    图像傅立叶变换的物理意义

    如果只保留靠近中心的幅度,则图像的细节丢失,但是不同区域还是有着不同灰度。

    如果保留的是远离中心的幅度,则图像的细节可以看得出,但是不同区域的灰度都一样了。

    考虑一个黑色矩形的傅立叶变换,这个黑色矩形的背景为白色。

    如果对频域中垂直方向高频分量进行截断,则图像中黑白将不那么分明了,表现为振荡。

    可以得出结论:

    傅立叶变换系数靠近中心的描述的是图像中慢变化的特性,或者说灰度变换比较缓慢的特性(频率比较慢的部分);

    傅立叶变换系数远离中心的描述的是图像中快变化的特性,或者说灰度变换比较剧烈的特性(频率比较快的部分)。

    傅立叶变换相位所含的信息

    有两幅图像,如果用第一幅图像傅立叶变换的幅度和第二幅图像傅立叶变换的相位做反变换得到的图像是什么样子的?

    如果反过来,将第一幅图像的相位和第二幅图像的幅度做反变换得到的图像又是什么样子的?

    这里再用1维傅立叶变换解释一下:

    1维傅立叶变换中,可以看到相位包含了边沿何时出现的信息!在图像的傅立叶变换中也一样,相位决定了图像的边沿,所以决定了图像中你看到物体的样子!

    关于相位所含的信息,你可以这样理解:

    边沿的形成是当很多正弦波上升沿都发生在同一时刻,也就是这些正弦波的相位是相同的时刻,所以相位所含的信息决定了边沿所发生的位置,而正是边沿决定了图像的样子。

    这个就是图像信号和声音信号的一个区别,声音信号的信息多数都包含在其傅立叶变换的幅度中,即不同频率幅度的大小,就是说你听到什么声音取决于你听到什么样的频率的信号,而对于这些信号时什么时候发生的并不十分重要。

    【转载】http://blog.sina.com.cn/s/blog_6f57a7150100o98w.html

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  • 说的广义一点,"复数"是一个"概念",不是一种客观存在。什么是"概念"? 一张纸有几个面? 两个,这里"面"是一个概念,一个主观对客观存在的认知,就像"大"和"小"的概念一样,只对人的意识有意义,对客观存在本身...

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        说的广义一点,"复数"是一个"概念",不是一种客观存在。    什么是"概念"? 一张纸有几个面? 两个,这里"面"是一个概念,一个主观对客观存在的认知,就像"大"和"小"的概念一样,只对人的意识有意义,对客观存在本身没有意义(康德: 纯粹理性的批判)。把纸条的两边转一下相连接,变成"莫比乌斯圈",这个纸条就只剩下一个"面"了。概念是对客观世界的加工,反映到意识中的东西。
        数的概念是这样被推广的: 什么数x使得x^2=-1? 实数轴显然不行,(-1)*(-1)=1。那么如果存在一个抽象空间,它既包括真实世界的实数,也能包括想象出来的x^2=-1,那么我们称这个想象空间为"复数域"。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1? +-符号在复数域里面代表方向,-1就是"向后,转!"这样的命令,一个1在圆周运动180度以后变成了-1,这里,直线的数轴和圆周旋转,在复数的空间里面被统一了。
        因此,(-1)*(-1)=1可以解释为"向后转"+"向后转"=回到原地。那么复数域如何表示x^2=-1呢? 很简单,"向左转","向左转"两次相当于"向后转"。由于单轴的实数域(直线)不包含这样的元素,所以复数域必须由两个正交的数轴表示--平面。很明显,我们可以得到复数域乘法的一个特性,就是结果的绝对值为两个复数绝对值相乘,旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。为什么有这样的乘法性质? 不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质决定认识),而是发明复数域的人就是根据这样的需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质),是一种主观唯心主义的研究方法。为了构造x^2=-1,我们必须考虑把乘法看为两个元素构成的集合: 乘积和角度旋转。
        因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影,所以,在复数域,三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手,立刻可以得到形式更简单的,复数域的,和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单,所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数,但是由于和实数域的级数一一对应,我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。    那么傅立叶变换,那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分,就是先微分,再积分,傅立叶级数已经作了无限微分了,对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题,想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大,各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数,每个分量常数的求解过程,积分的区间就是从T变成了正负无穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小,那么让每个分量都去除以f,就得到有值的数----所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理,各个频率分量之间无限的接近,因为f很小,级数中的f,2f,3f之间几乎是挨着的,最后挨到了一起,和卷积一样,这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分式:傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化:离散的频率,每个频率都有一个"权"值,而连续的F域,每个频率的加权值都是无穷小(面积=0),只有一个频率范围内的"频谱"才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。
        因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数,是复数频率域上面的可以画出图像的东西? 那个根号2Pai又是什么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后,信号不变。我们可以让正变换除以2,让反变换除以Pi,怎么都行。慢点,怎么有"负数"的部分,还是那句话,是数轴的方向对应复数轴的旋转,或者对应三角函数的相位分量,这样说就很好理解了。有什么好处? 我们忽略相位,只研究"振幅"因素,就能看到实数频率域内的频率特性了。
        我们从实数(三角函数分解)->复数(e和Pi)->复数变换(F)->复数反变换(F-1)->复数(取幅度分量)->实数,看起来很复杂,但是这个工具使得,单从实数域无法解决的频率分析问题,变得可以解决了。两者之间的关系是: 傅立叶级数中的频率幅度分量是a1-an,b1-bn,这些离散的数表示频率特性,每个数都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数: 对于f域每个取值点a1-aN(N=无穷),它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数)积分的结果----这个求解和级数的表示形式是一样的。不过是把N个离散的积分式子统一为了一个通用的,连续的积分式子。     复频域,大家都说画不出来,但是我来画一下!因为不是一个图能够表示清楚的。我用纯中文来说:
    1. 画一个x,y轴组成的平面,以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线: (直线方程x=2),把它看成是一块挡板。
    2. 想象,有一个原子,从(1,0)点出发,沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x轴的复数方向射向x轴的正数方向,那么这个原子运动在挡板(x=2)上面的投影,就是一个简协震动。
    3. 再修改一下,x=2对应的不是一个挡板,而是一个打印机的出纸口,那么,原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线!
        上面3条说明了什么呢? 三角函数和圆周运动是一一对应的。如果我想要sin(t+x),或者cos(t)这种形式,我只需要让原子的起始位置改变一下就可以了:也就是级坐标的向量,半径不变,相位改变。    傅立叶级数的实数展开形式,每一个频率分量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt),我们可以证明,这个式子可以变成sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式,那么:实数值对(An,Bn),就对应了二维平面上面的一个点,相位x对应这个点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了,因此实数频率唯一对应某个复数频率,我们就可以用复数来方便的研究实数的运算:把三角运算变成指数和乘法加法运算。-------------------------------------------------------------------------    但是,F变换仍然是有限制的(输入函数的表示必须满足狄义赫立条件等),为了更广泛的使用"域"变换的思想来表示一种"广义"的频率信息,我们就发明出了拉普拉斯变换,它的连续形式对应F变换,离散形式就成了Z变换。离散信号呢? 离散周期函数的F级数,项数有限,离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数),离散F级数,仍然项数有限。离散的F变换,很容易理解----连续信号通过一个周期采样滤波器,也就是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么? 反过来容易理解了,时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。    两者的区别:FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 (由于实际应用,通常只做单边Laplace变换,即积分从零开始) 具体地,在Fourier积分变换中,所乘因子为exp(-jwt),此处,-jwt显然是为一纯虚数;而在laplace变换中,所乘因子为exp(-st),其中s为一复数:s=D+jw,jw是为虚部,相当于Fourier变换中的jwt,而D则是实部,作为衰减因子,这样就能将许多无法作Fourier变换的函数(比如exp(at),a>0)做域变换。
        而Z变换,简单地说,就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换,可由抽样信号的Laplace变换导出。ZT[f(n)]=从n为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和。Z域的物理意义: 由于值被离散了,所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必然的关系(t只对连续信号有意义),所以频域的考察变得及其简单起来,我们把(1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本序列看成是数字频率最高的序列,他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi),其他的数字序列频率都是N分之1Hz,频率分解的结果就是0-2Pi角频率当中的若干个值的集合,也是一堆离散的数。由于时频都是离散的,所以在做变换的时候,不需要写出冲击函数的因子。    离散傅立叶变换到快速傅立叶变换----由于离散傅立叶变换的次数是O(N^2),于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换,变换的计算复杂度就下降到了O(NlogN),再把计算的结果累加O(N),这就大大降低了计算复杂度。    再说一个高级话题: 小波。在实际的工程应用中,前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。
        什么是小波?先说什么是波:傅立叶级数里面的分量,sin/cos函数就是波,sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧,变成了一系列的波的求和,一致收敛于原始函数。注意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的,严格的。不过前面我们说了,实际应用FFT的时候,我们只需要关注部分信号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了,那么对于函数的部分分量,我们只需要保证这个用来充当砖块的"波函数",在某个区间(用窗函数来滤波)内符合那几个可积分和收敛的定义就可以了,因此傅立叶变换的"波"因子,就可以不使用三角函数,而是使用一系列从某些基本函数构造出来的函数族,只要这个基本函数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢?sin(t)被加了方形窗以后,映射到频域是一堆无穷的散列脉冲,所以不能再用三角函数了。我们要得到频率域收敛性好的函数族,能覆盖频率域的低端部分。说的远一点,如果是取数字信号的小波变换,那么基础小波要保证数字角频率是最大的2Pi。利用小波进行离频谱分析的方法,不是像傅立叶级数那样求出所有的频率分量,也不是向傅立叶变换那样看频谱特性,而是做某种滤波,看看在某种数字角频率的波峰值大概是多少。可以根据实际需要得到如干个数字序列。
        我们采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性,那么对应的时间波形就是倍数扩展(且包含调制---所以才有频谱搬移)的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数,时域就是钟形函数。当然其他类型的小波,虽然频率域不是窗函数,但是仍然可用:因为小波积分求出来的变换,是一个值,例如(0,f)里包含的总能量值,(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形,对于结果来说影响不大。同时,这个频率域的值,它的分辨率密度和时域小波基函数的时间分辨率是冲突的(时域紧频域宽,时域宽频域紧),所以设计的时候受到海森堡测不准原理的制约。Jpeg2000压缩就是小波:因为时频都是局部的,变换结果是数值点而不是向量,所以,计算复杂度从FFT的O(NlgN)下降到了O(N),性能非常好。   用中文说了这么多,基本的思想已经表达清楚了,为了"研究方便",从实数傅立叶级数展开,到创造了复数域的傅立叶级数展开,再到傅立叶变换,再扩展到拉式变换,再为了时频都离散的情况简化为Z变换,全部都用一根主线联系起来了。

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空空如也

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