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  • 复数指数表示

    千次阅读 2016-09-08 17:44:56
    太丢人了,想当年还学过复函数呢,时间长了,好多东西都忘了,统统还给了老师! z=a+ib; z=re^(iθ); 其中,r为z的模,θ为辐角主值。 z=[(a^2+b^2)^1/2]*{[a/(a^2+b^2)^1/2]+[ib/(a^2+b^2)^1/2]} =r...

    太丢人了,想当年还学过复变函数呢,时间长了,好多东西都忘了,统统还给了老师!


    z=a+ib;

    z=re^(iθ);

    其中,r为z的模,θ为辐角主值。

    z=[(a^2+b^2)^1/2]*{[a/(a^2+b^2)^1/2]+[ib/(a^2+b^2)^1/2]}

    =r(cosθ+isinθ)=re^(iθ) 

    (最后一步为欧拉公式)

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  • 通过下面对比可以发现,用复指数表示复数在几何上更直观点。 复数的运算 1.加法运算 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数, 则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。 几何上满足平行四边形法则。 2.乘法运算 设...

    证明欧拉公式

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    如果这么看自变量: θ = ω t \theta= \omega t θ=ωt那么就可以发现欧拉公式的几何意义。
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    复数的表示形式

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    通过下面对比可以发现,用复指数表示复数在几何上更直观。
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    复数的运算

    1.加法运算

    设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,
    则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
    几何上满足平行四边形法则。
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    2.乘法运算

    设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,
    那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
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  • 一个二维任意封闭图形的轮廓在物理意义上可被看成是二维正交等周期非线性振动轨迹,并因此构造了复数指数自回归模型。模型系数具备平移、旋转和比例不变性并与轮廓跟踪的起始点选择无关,另外图形轮廓的局部信息也...
  • 第六讲 复数和复指数

    万次阅读 2018-10-12 09:48:14
     复数变实数,需要用到共轭性质:,, 二,计算:  分子分母同乘以分母的共轭复数: 三,复数的极坐标形式: r:模 :幅角 四,欧拉公式: 输入的是实数,输出的是复数,它的一般形式是,这种函数叫实...

    一,复数的除法:

           复数变实数,需要用到共轭性质:z=a+bi\overline{z}=a-biz\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}

    二,计算\frac{2+i}{1-3i}

           分子分母同乘以分母的共轭复数:\frac{2+i}{1-3i}\times \frac{1+3i}{1+3i}=\frac{-1+7i}{10}=-\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i

    三,复数的极坐标形式:

    • a+bi=rcos\theta +irsin\theta=r(cos\theta +isin\theta )=re^{i\theta }
    • r:模        \theta:幅角

    四,欧拉公式:

    • e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta
    • 输入的是实数\theta,输出的是复数,它的一般形式是u(\theta )+iv(\theta ),这种函数叫实变量复(数)值函数

    五,指数函数e^{i\theta }的性质:

    1. 指数函数的运算法则(指数率):e^{i\theta_{1} }\cdot e^{i\theta_{2} } =e^{i(\theta_{1}+\theta_{2}) },或者(cos\theta_{1}} +isin\theta_{1})(cos\theta_{2}} +isin\theta_{2})=cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})
    2. e^{i\theta }的求导法则:({e^{i\theta }})'=ie^{i\theta },或者{(cos\theta +isin\theta)}'= {cos\theta}'+i{sin\theta}'=-sin\theta +icos\theta =i(cos\theta +isin\theta)
    3. \theta=0时:e^{i0}=1,或者cos0 +isin0=1+0=1
    4. 这个定义符合无穷级数

    六,两个复数相乘:

    • 用极坐标算,只需将模r相乘,幅角\theta相加:r_{1}e^{i\theta_{1} }\cdot r_{2}e^{i\theta_{2} }=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1} +\theta_{2} )}
    • 用直角坐标算会很麻烦:(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=......

    七,求积分\int e^{-x}cosxdx

    1. 直接算可以用分部积分法,但很麻烦
    2. 因为cosxe^{ix}的实数部分,所以可以将e^{ix}替换cosx,原方程变为\int e^{-x}e^{ix}dx,积分完成后再去掉虚数部分即可
    3. \int e^{-x}e^{ix}dx=\int e^{(-1+i)x}dx=\frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}\cdot \frac{-1-i}{-1-i} =\frac{1}{2}e^{-x}e^{ix}(-1-i)
    4. e^{ix}转换成三角函数:\frac{1}{2}e^{-x}e^{ix}(-1-i)=\frac{1}{2}e^{-x}(cosx+isinx)(-1-i)
    5. 去掉虚数部分得:\frac{1}{2}e^{-x}(-cosx+sinx)

    八,计算\sqrt[n]{1}

    1. 在实数范围内,计算结果只有:1或±1
    2. 在复数范围内,计算结果有n个:单位圆上的n个等分点(e^{i\theta_{1} }e^{i\theta_{2} },……,e^{i\theta_{n} }
    3. 证明:因为是单位圆,模相乘r=1;因为是等分点,幅角相加\theta _{1}+\theta _{2}+......\theta _{n}=2\pi =0e^{i0}=1
    4. 几何图见视频40:00~45:00
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  • 复数的三角形式与指数形式

    万次阅读 多人点赞 2019-10-22 16:46:46
    同样,在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题,这就是大学数学本科(或研究生)专业里一门必修课《复函数》,因此我们有必要对复数了解得更多些。 1.复数的三角形式 1.1 复数的幅角与模 我们知道...

    在中学,我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。在大学数学中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析;同样,在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题,这就是大学数学本科(或研究生)专业里一门必修课复变函数》,因此我们有必要对复数了解得更多些。

    1. 复数的三角形式

    1.1 复数的幅角与模

    我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b),也对应复平面上一个向量(如下图所示):

    这个向量的长度叫做复数a+bi的模,记为|a+bi|,一般情况下,复数的模用字母r表示。同时,这个向量针对x轴的正方向有一个方向角,我们称为幅角,记为arg(a+bi),幅角一般情形下用希腊字母θ表示。在实轴X与虚轴Y正交的前提下:

    a = r \cdot cos\Theta, b = r \cdot sin\Theta                                                                                                                                        式(1)

    把它们代入复数的代数形式得:

    a + bi = r\cdot cos\Theta +i\cdot r\cdot sin\Theta = r\left ( cos\Theta + i \cdot sin\Theta \right )                                                                                           式(2)

    我们把式(2)叫做复数a+bi的三角形式。

    1.2 复数三角形式的运算法则

    引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。

    1.2.1 复数的乘法

    设:

    Z_{1} = r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )

    Z_{2} = r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )

    则:

    Z_{1} Z_{2}= \left [ r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )\right ]\cdot \left [ r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )\right ]

              =r_{1}r_{2}\left ( cos \Theta_{1}cos \Theta_{2} - sin\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )+ir_{1}r_{2}\left ( sin \Theta_{1}cos \Theta_{2} + cos\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )

              = r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]

    这说明,两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量Z_{1}的模扩大为原来的r_{2}倍,然后再将它绕原点逆时针旋转角\Theta_{2},就得到Z_{1}Z_{2}

    1.2.2 复数的除法

    设:

    Z_{1} = r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )

    Z_{2} = r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )

    则:

    Z_{1}\div Z_{1} = \frac{r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )}{r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )}

                   =\frac{r_{1}\left ( cos \Theta_{1} +i sin\Theta_{1} \right )\left ( cos \Theta_{2} -i sin\Theta_{2} \right )}{r_{2}\left ( cos \Theta_{2} +i sin\Theta_{2} \right )\left ( cos \Theta_{2} -i sin\Theta_{2} \right )}

                   =\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ \left ( cos \Theta_{1}cos \Theta_{2} + sin\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )+i\left ( sin \Theta_{1}cos \Theta_{2} - cos\Theta_{1} sin\Theta_{2}\right )\right ]

                   =\frac{r_{1}}{r_{2}}\left [ cos\left( \Theta_{1}-\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} -\Theta_{2}\right ) \right ]

    这说明,两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量Z_{1}的模缩小为原来的r_{2}分之一,然后再将它绕原点顺时针旋转角\Theta_{2},就得到Z_{1}\div Z_{2}

    1.2.3 复数的乘方

    利用复数的乘法不难得到:

    Z^{n} = r^{n}\left ( cos \left ( n\Theta \right ) + i sin\left ( n\Theta \right ) \right )

    这说明,复数的n次方等于它模的n次方,幅角的n倍。这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量z1的模变为原来的n次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角n\Theta,就得到Z^{n}

    1.2.4 复数的开方

     对于复数Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ),根据代数基本定理及其推论知,任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。

    设: Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ) 的一个n次方根为 \omega= \rho \left ( cos \varphi +i sin\varphi \right )

    那么:: \omega^{n}= \left [ \rho \left ( cos \varphi +i sin\varphi \right )\right ]^{n} = \rho^{n}\left ( cos n\varphi +i sinn\varphi \right )

    所以: r=\rho^{n}, n\varphi = \Theta + 2k\pi ,\left ( k = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3 .... \right )

    即: \rho =\sqrt[n]{r}, \varphi = \frac{\Theta + 2k\pi }{n} = \frac{\Theta }{n}+\frac{2k\pi }{n},\left ( k = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3 .... \right )

    显然,当k0依次取到n1,所得到的角的终边互不相同,但kn开始取值后,前面的终边又周期性出现。因此,复数znn次方根为:

    \omega _{k} = \sqrt[n]{r}\left ( cos\frac{\Theta + 2k\pi }{n} + i sin\frac{\Theta + 2k\pi }{n} \right ), \left ( k = 0,1,2,3 .... n-1 \right )

    从求根公式可以看出,相邻两个根之间幅角相差\frac{2\pi }{n},所以复数Znn次方根均匀地分布在以原点为圆心,以它的模的n次算术根为半径的圆周上。

    因此,求一个复数z的全部n次方根,可以用下面的几何手段进行:

    Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )

    先作出圆心在原点,半径为\sqrt[n]{r}的圆,然后作出角\frac{\Theta }{n}的终边,以这条终边与圆的交点为分点,将圆周n等分,那么每个等分点对应的复数就是复数Zn次方根。

    2. 复数的指数形式

    在对复数三角形式的乘法规则讨论中,我们发现,复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法(模相乘,幅角相加),这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现,对数函数与指数函数:

    a^{x}a^{y} = a^{x+y}

    log_{a}\left ( xy \right ) = log_{a}\left ( x \right ) + log_{a}\left ( y \right )

    前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加;后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。从形式上看,复数的乘法与指数函数的关系更为密切些:

    Z_{1}Z_{2}= r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]

    \left ( b_{1}a^{x} \right )\cdot \left ( b_{2}a^{y} \right ) =\left ( b_{1} b_{2} \right )\cdot a^{x+y}

    根据这个特点,复数Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )应该可以表示成某种指数形式,即复数应该可以表示成y\cdot a^{x}的形式,这里有三个问题需要解决:

    1)反映复数本质特征的三个因素:模r、幅角θ、虚数单位i应各自摆放在什么位置?

    2)在这些位置上它们应呈现什么形态?

    3)作为指数形式的底应该用什么常数?

    再重新观察下面的等式:

    Z_{1}Z_{2}= r_{1}r_{2}\left [ cos\left( \Theta_{1}+\Theta_{2}\right ) + i sin\left(\Theta_{1} +\Theta_{2}\right ) \right ]

    \left ( b_{1}a^{x} \right )\cdot \left ( b_{2}a^{y} \right ) =\left ( b_{1} b_{2} \right )\cdot a^{x+y}

    首先,显然模r应该占据y\cdot a^{x}中系数y的位置,其次,幅角\Theta应该占据y\cdot a^{x}中指数x的位置,对于虚数单位i,如果放到系数y的位置上会怎样?

    \left ( i\cdot ra^{x} \right )^{2} = -r^{2}a^{2x}

    等式右边是实数,对于任意虚数而言,这是不可能的。因此幅角θ也应该占据指数的位置。这样第二个问题就产生了:它与幅角一起在指数的位置上是什么关系?(相加?相乘?)

    幅角\Theta与虚数单位i是相加的关系会怎样?先考察模为1的复数cos \Theta+i sin\Theta,如果写成a^{i+\Theta }的形式,一方面由于a^{i+\Theta } =a ^{i}\cdot a^{\Theta },与\left ( ir \right )a^{\Theta }的形式差别不是很大,其次\left ( a^{i+\Theta } \right )^{n} = a^{ni+n\Theta },在复数的乘方法则中,应该仅是幅角的n倍而没有虚数单位也要n倍,所以虚数单位与幅角不应该是相加关系,而应该是相乘关系。

    Z=ra^{i\Theta }

    现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合:

    Z_{1}Z_{2}=\left ( r_{1}a^{i \Theta _{1}} \right )\left ( r_{2}a^{i \Theta _{2}}\right ) = \left ( r_{1}r_{2} \right )a^{i\left (\Theta _{1} + \Theta _{2}\right )}

    Z_{1}\div Z_{2}=\left ( r_{1}a^{i \Theta _{1}} \right )\div \left ( r_{2}a^{i \Theta _{2}}\right ) = \left ( r_{1}\div r_{2} \right )a^{i\left (\Theta _{1} - \Theta _{2}\right )}

    Z^{n} = \left ( ra^{i\Theta } \right )^{n} = r^{n}a^{i\left ( n\Theta\right ) }

    乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征,下面来解决最后一个问题:应该选用哪个常数作为底数?我们暂时将Z= r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )形式化地看做r\Theta的“二元函数”,数学是“形式化的科学”,因此,一些形式化的性质应该“形式化”地保持不变。

    下面我们将r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right ) = ra^{i\Theta }等式两边对\Theta形式化地求“偏微分”:

    \frac{\partial r\left ( cos \Theta+i sin\Theta \right )}{\partial \Theta }

    =r\left ( -sin \Theta+i cos\Theta \right )

    =\left [ r\left ( cos\Theta + isin\Theta \right ) \right ]i

    =Zi

     

    \frac{\partial }{\partial \Theta }\left ( ra^{i\Theta } \right )

    =r\frac{\partial a^{i\Theta }}{\partial \Theta }

    =ira^{i\Theta }ln_{a}

    =Zi\cdot ln_{a}

    所以ln_{a} = 1,得a=e

    这样我们利用不太严格的推理得到了复数的第三种表现形式——指数式

    Z=a+bi = r\left ( cos\Theta + isin\Theta \right )=re^{i\Theta }

    从复数的模与幅角的角度看,复数的指数形式其实是三角形式的简略化,对于指数形式的严格证明可以参读复数的指数形式的证明

    由复数的三角形式与指数形式,我们很容易得到下面的两个公式:

    \left\{\begin{matrix} cos\Theta + i sin\Theta = e^{i\Theta }\\ cos\Theta - i sin\Theta = e^{-i\Theta }\\ \end{matrix}\right.

    \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} cos\Theta = \frac{e^{i\Theta } + e^{-i\Theta }}{2}\\ sin\Theta = \frac{e^{i\Theta } - e^{-i\Theta }}{2i} \end{matrix}\right.

    这两个公式被统称为欧拉公式;在复数的指数形式中,令r=1\Theta = \pi,就得到下面的等式:

    e^{i\pi } = -1 或者e^{i\pi } +1=0

    它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起:两个超越数——自然对数的底e,圆周率\pi;三个单位——虚数单位i、自然数的乘法单位1和加法单位0。关于自然对数的底e和圆周率\pi,这里我想多说那么几句:它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数,尽管从理论上我们知道,超越数比有理数、代数数(可以表示为有理系数一元多项式的根的数)要多得多,但为人类所认识的超越数却仅此两个!令人不可思议的是,它们居然凭借这么一个简单关系彼此联系着。数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看着它但却不能理解它。

    3. 复数的应用

    利用复数的三角形式,我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点,我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。

    3.1 三角级数求和

    求解\left\{\begin{matrix} cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha = ?\\ sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha = ? \end{matrix}\right.

    解:令Z= cos \alpha +i sin\alpha,那么对任何自然数k有:

    Z^{k} = cosk\alpha + i sink\alpha

    \Rightarrow Z+Z^{2}+ ...+ Z^{n}

    = \left ( cos\alpha + isin\alpha \right ) + \left ( cos2\alpha + isin2\alpha \right ) + ..... +\left ( cosn\alpha + isinn\alpha \right )

    =\left(cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha\right) +i \left( sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha \right)

    另一方面由等比数列的定义可知:

    Z+Z^{2}+ ...+ Z^{n}

    =\frac{Z(1-Z^{n})}{1-Z}

    =\frac{\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left [ 1-\left ( cosn\alpha + i sinn\alpha \right ) \right ]}{1- \left ( cos\alpha +i sin\alpha \right )}

    =\frac{\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left ( 2sin^{2}\frac{n\alpha}{2} -2isin\frac{n\alpha}{2} cos\frac{n\alpha}{2}\right )}{2sin^{2}\frac{\alpha}{2} -2isin\frac{\alpha}{2} cos\frac{\alpha}{2}}

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}\left ( cos\alpha +isin\alpha \right )\left ( cos\frac{n\alpha -\pi }{2} + isin\frac{n\alpha -\pi }{2}\right )}{sin\frac{\alpha }{2}\left ( cos\frac{\alpha -\pi }{2} - isin\frac{\alpha -\pi }{2}\right )}

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}\left [ cos\left ( \alpha +\frac{n\alpha -\pi }{2} - \frac{\alpha -\pi }{2} \right ) + isin\left ( \alpha +\frac{n\alpha -\pi }{2} - \frac{\alpha -\pi }{2} \right )\right ]

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}\left ( cos\frac{n+1}{2} \alpha + i sin\frac{n+1}{2}\alpha \right )

    =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}cos\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}}+i\frac{sin\frac{n\alpha }{2}sin\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}}

    所以:

    \left\{\begin{matrix} cos\alpha + cos2\alpha + ... + cosn\alpha =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}cos\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}} \\ sin\alpha + sin2\alpha + ... + sinn\alpha =\frac{sin\frac{n\alpha }{2}sin\frac{n+1}{2}\alpha }{sin\frac{\alpha }{2}} \end{matrix}\right.

    3.2 M是单位圆周  x2y2 = 1上的动点,点N与定点A(2,  0)和点M构成一个等边三角形的顶点,并且M→N→A→M成逆时针方向,当M点移动时,求点N的轨迹。

    分析:此题若用一般解析几何的方法寻找点MN之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。

    MNA对应的复数依次为:M\leftrightarrow{x}'+{y}'iN\leftrightarrow x+yiA\leftrightarrow 2

    那么向量AM可以用向量ANA点逆时针旋转300度得到,用复数运算来实现这个变换就是:

    \vec{AM}=\left ( cos300^{\circ}+ isin300^{\circ} \right )\cdot \vec{AN}

    \Rightarrow\vec{OM} - \vec{OA}=\left ( cos300^{\circ}+ isin300^{\circ} \right )\cdot \left ( \vec{ON}-\vec{OA} \right )

    \Rightarrow {x}'+{y}'i -2 = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}\left ( x+yi-2 \right )= \frac{x+\sqrt{3}y-2}{2}+ \frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2}i

    \Rightarrow \left\{\begin{matrix} {x}' = \frac{x+\sqrt{3}y+2}{2}\\ {y}'=\frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2}\\ {x}'^{2}+{y}'^{2} = 1 \end{matrix}\right.

    \Rightarrow \left ( \frac{x+\sqrt{3}y+2}{2} \right )^{2} +\left ( \frac{y-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}{2} \right )^{2} = 1

    \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x+2\sqrt{3}y+3=0

    \Rightarrow \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-\sqrt{3} \right )^{2} = 1

    3.3 3. z1z2z3 是复平面上三个点ABC对应的复数,证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是:

    z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}

    假设结论不成立:

    z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}

    \Rightarrow 2z_{1}^{2} + 2z_{2}^{2} +2 z_{3}^{2} = 2z_{1}z_{2}+ 2z_{2}z_{3}+2z_{3}z_{1}

    \Rightarrow \left ( z_{1} - z_{2} \right )^{2} +\left ( z_{1} - z_{3} \right )^{2} +\left ( z_{2} - z_{3} \right )^{2} =0

    三个向量\left ( z_{1} - z_{2} \right )\left ( z_{1} - z_{3} \right )\left ( z_{2} - z_{3} \right )均为零向量,则三个向量z_{1}z_{2}z_{3}所对应的点是同一个点,与题意不符.

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    2020-05-20 13:11:57
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  • 复数与复函数

    千次阅读 2018-11-22 11:45:05
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    函数-第一章-复数与复函数 复函数-第一章-复数与复函数 1 复数与复函数 1.1 复数 1.2集合表示 1.3 乘幂与方根 1.4 区域 1.5 复函数及其极限和连续性 1 复数与复函数 1.1 复数 ...
  • 一个复数: Z= a + jb; 这是什么玩意?? 它就是一个复数而已啊。。。。重要的是它能干什么的,有什么用? 它的模: |z| = ; 它的辐角: 把它转化为复指数形式,以及说明一个欧拉公式: 欧拉公式:...
  • 复数

    2019-01-02 15:41:00
    1. 复数的表示 ...3. 指数表示 欧拉公式: (单位复数) F = |F| 4. 极坐标表示 F = |F|   5. 复数乘法 F1*F2 = |F1||F2| F1/F2 = |F1|/|F2| *    单位复数 (或 )是一个模等于...
  • 时变时滞复数值神经网络周期解的全局指数稳定性
  • 复数的代数形式怎么转为e是指数形式

    万次阅读 多人点赞 2018-07-06 10:56:36
    将上面欧拉公式变换成下面复平面的形式: 直角三角形边长公式: 推导出: 正弦、余弦及正切定义式: 上面都是要准备的资料,下面开始推导复数代数形式转换为e指数形式,设有一复数: a + jb ...
  • 复数复数:集合符号为C ,包含实数和虚数。我们把形如z = a + bi(a,b均为实数)的数称为复数。其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。 实数: 实数:集合符号R,由有理数和无理数构成。 虚数: 形如z...
  • 第一章 复数与复函数 ㈠复数表示: ①背景:实数领域中,乘幂运算是不完备的,因为负数导致了乘幂失效。②定义:将形如z=x+iy的数称为复数,i为虚数单位。 * 规定: * 实部与虚部:实数x与y分别称为z的实部与虚部...
  • 具有时滞的离散时间复数值递归神经网络的全局指数周期和稳定性
  • 1. 复数: $$\beex \bea \bbC&=\sed{z=x+iy;x,y\in\bbR},\\ z&=x+iy\quad(\mbox{代数形式})\\ &=(x,y)\quad(\mbox{实数对形式}\\ &=re^{i\tt}\quad(\mbox{指数形式}), \eea \eeex$$ ...
  • 易语言复数运算模块源码,复数运算模块,复数加,复数减,复数乘,复数除,复数乘幂,复数次方根,复数指数,复数对数,复数正弦,复数余弦
  • a0 , a1 ,…, an是属于数域 S(实数域或复数域)的常数;x为未知数.  f(x)称为一元n次多项式;方程 f(x)=0称为一元n次代数方程;最高次项系数 a0称为首项系数. 设c是一常数,使 f(c)=0 , 则称c为多项式 f...

空空如也

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