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  • 二次型矩阵包含了旋转和拉伸两种变换,将其拆分为三个矩阵相乘的形式对其进行规范只保留拉伸的部分去掉旋转的部分,其中旋转的部分是列向量单位向量并且是正交向量。 二次型矩阵,都是对称矩阵,所以特征值分解总...
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  • Python向量化模块

    2020-11-05 11:00:14
    布尔型:bool_ 整型:int_、int8、int16、int32、int64 无符号整型:uint8、uint16、uint32、uint64 浮点型:float_、float16、float32、float64 复数型:complex_、complex64、complex128 1.2 基本方法 1.2.1 创建...

    1. Numpy模块

    1.1 Numpy介绍
    1.1.1 主要功能

    • ndarray:一个多维数组结构,高效且节省空间
    • 无需循环对数组数据进行快速运算的数学函数
    • 线性代数、随机数生成、傅里叶变换

    1.1.2 ndarray——多维数组对象

    • 创建ndarray:np.array(array_like)
    • 数组与列表的区别:① 数组对象内的元素类型必须相同;② 数组大小不可修改

    1.1.3 ndarray数据类型
    数组中可以存放字符串类型的数据,但是一般都是存放数字,用于批量运算。

    • 布尔型:bool_
    • 整型:int_、int8、int16、int32、int64
    • 无符号整型:uint8、uint16、uint32、uint64
    • 浮点型:float_、float16、float32、float64
    • 复数型:complex_、complex64、complex128

    1.2 基本方法
    1.2.1 创建数组

    • array():将列表转换为数组,可选择显式指定dtype
    • arange():range的numpy版,支持浮点数
    • linspace():类似arange(),第三个参数为数组长度(画函数图像时常用)
    • zeros():根据指定形状和dtype创建全0数组,默认类型为浮点数
    • ones():根据指定形状和dtype创建全1数组
    • empty():根据指定形状和dtype创建空数组(之前内存留的随机值)
    • eye():根据指定边长和dtype创建单位矩阵

    1.2.2 批量运算

    • 数组和标量之间的运算:a+1、a*3、1//a、a**0.5、a>5
    • 同样大小数组之间的运算:a+b、a/b、a**b、a%b、a==b

    1.2.3 索引和切片

    • 数组中不仅能用 a[3][5] 进行多维数组的索引,还可用 a[2,3] 进行索引
    • 数组切片是新创建一个数组,列表切片并没有创建新的列表
    • 二维数组进行切片时,a[0:2][0:2] 相当于对行进行了两次切片操作,a[0:2,0:2] 才是对行列都进行切片

    1.2.4 布尔型索引

    • 返回数组a中所有大于5的值组成的数组:a[a>5]
    • 原理:将同样大小的布尔数组传进索引,会返回一个由所有True对应位置的元素的数组
    • 返回数组a中大于5的偶数:a[(a>5)&(a%2==0)]
    • 返回数组a中大于5的数和偶数:a[(a>5)|(a%2==0)]

    1.2.5 花式索引

    • 二维数组a,返回第一列和第三列 a[:,[1,3]]
    • 二维数组a,返回第0行大于5的数 a[0,a>5]
    • 二维数组a,a[[1,3],[1,3]] 返回的是第一列第一行的值,和第三列第三行的值。若想返回第一行和第三行,第一列和第三列组成的数组,需要多次索引 a[[1,3],:][:,[1:3]]

    1.2.6 通用函数
    指能同时对数组中所有元素进行运算的函数,在numpy库中进行调用(np.)

    • 一元函数:abs、sqrt、exp、log、ceil(向上取整)、floor(向下取整)、rint/round(向外取整)、trunc(向零取整)、modf(将小数部分与整数部分分开为两个数组组成的元组)、isnan(nan时返回True)、isinf(inf时返回True)、cos、sin、tan
    • 二元函数:add、substract、multiply、divide、power、mod、maximum、minimum

    浮点数特殊值:

    • nan(Not a Number):不等于任何浮点数,且 nan != nan,0/0返回nan
    • inf(infinity):比任何浮点数都大,1/0返回inf
    • Numpy中创建特殊值:np.nan、np.inf
    • 在数据分析中,nan常被用作表示数据缺失值,a[~(np.isnan(a))]提取数组中非缺失值

    1.2.7 数学和统计方法
    方法直接通过对象进行调用(a.):sum、mean、std(标准差)、var(方差)、min、max、argmin、argmax

    1.2.8 随机数生成
    随机数函数在np.random子包内

    • rand:给定形状产生随机数组(0到1之间的数)
    • randint:给定形状产生随机整数
    • choice:给定形状产生随机选择(从数组中随机选择n个数)
    • shuffle:与random.shuffle相同(打乱数组)
    • uniform:给定形状按平均分布产生随机数组

    2. pandas模块

    2.1 pandas简介
    panda是个强大的Python数据分析工具包,是基于Numpy构建的,其主要功能有:

    • 具备对其功能的数据结构DataFrame、Series
    • 集成时间序列功能
    • 提供丰富的数学运算和操作
    • 灵活处理缺失数据

    2.2 Series一维数据对象
    2.2.1 Series介绍

    • Series是一种类似于一维数组的对象,由一组数据和一组与之相关的数据标签(索引)组成
    • 创建方式:① pd.Series(list);② pd.Series(list,index=list2);③ pd.Series(map);④ pd.Series(int,index=list)
    • 获取值数组和索引数组:values属性和index属性
    • Series类似列表和字典的结合体

    2.2.2 Series使用特性

    • Series支持array的特性:① 可从ndarray创建:Series(arr);② 可以同ndarray一样做标量运算、两个Series运算、索引、切片、布尔值过滤;③ 可用numpy的通用函数(np.)
    • Series支持字典的特性:① 可从字典创建:Series(dic);② 可通过in运算判断Series中是否存在该键(index);③ 可通过标签对value进行索引 sr[‘a’]
    • 对Series进行遍历时,得到的是value而不是标签(与字典不同)
    • 通过标签对Series进行切片时,前后都包括(相比于用下标切片前包后不包)
    • 如果Series中的标签是整型数据,则通过整数索引时是面向标签的 sr[1],使用Series的loc属性可将索引解释为标签 sr.loc[1],iloc属性可将索引解释为下标 sr.iloc[1]
    • 数据对齐:对两个Series对象进行运算时,会按照标签对其进行计算。两个对象不共有的标签默认返回值为nan,可通过pd.(add、sub、div、mul)指定不存在标签的填充值。
    • 对缺失数据(nan)进行处理:① 通过 sr[sr.notnull()] 或 sr.dropna() 删除缺失数据;② 通过 sr.fillna(0) 或 sr.fillna(sr.mean()) 填充缺失值。注意:处理后原Series对象本身不变,要用新对象进行接收

    2.3 DataFrame二维数据对象
    2.3.1 DataFrame介绍

    • DateFrame是一个表格型的数据结构,含有一组有序的列,可以看做是由Series组成的字典,且共用行索引
    • 创建方式:① pd.DataFrame({‘one’:list1,‘two’:list2});② pd.DataFrame({‘one’:sr1,‘two’:sr2})(Series中没有的标签返回nan)
    • 从csv文件中读取和写入:df.read_csv(‘filename.csv’);df.to_csv()

    2.3.2 DataFrame常用属性

    • index:获取行索引
    • columns:获取列索引
    • T:转置
    • values:获取值的二维数组
    • describe():数据统计汇总(每列的均值、标准差等)

    2.3.3 使用

    • 索引:① df[‘one’][‘a’] 先列后行(不推荐使用);② df.loc[‘a’,‘one’] 按标签先行后列;③ df.iloc[1,2] 按位置先行后列
    • 数据对齐:DataFrame对象在运算时,其行索引和列索引分别对齐
    • df对象和sr对象处理缺失值基本相同,使用 dropna() 时,默认会将nan所在的一行全部删除;使用 dropna(how=‘all’),一行全为nan时才会删除;使用 dropna(axis=1) 删除列
    • mean(axis=0.skipna=False):对列(行)求平均值(忽略缺失值)
    • sum(axis=0):对列(行)求和
    • sort_index(axis,…,ascending=False):对列(行)索引排序,默认降序
    • sort_values(by,axis,ascending):按某一列(行)的值排序,nan统一放在最后
    • 同样可使用numpy的通用函数

    2.4 时间对象处理
    2.4.1 时间对象类型

    • 时间戳:特定时刻
    • 固定时期:如2020年12月
    • 时间间隔:起始时间——结束时间
    • Python标准库处理时间序列对象:datetime —— datetime.datetime.strptime()
    • 灵活处理时间对象:dateutil —— dateutil.parser.parse()
    • 成组处理时间对象:pandas —— pd.to_datetime([list])
    • 产生时间对象数组 :pd.date_range

    2.4.2 pd.date_range主要参数

    • start:开始时间
    • end:结束时间
    • periods:时间长度
    • freq:时间频率,默认为D,可选H(our),W(eek),B(usiness),SM,T,S,A等

    2.4.3 时间序列

    • 时间序列就是以时间对象为索引的Series或DataFrame
    • datetime对象作为索引时是存储在DatetimeIndex对象中的
    • 时间序列可传入“年”或“年月”作为切片方式
    • 时间序列可传入日期范围作为切片方式
    • 使用 resample() 方法对时间序列重新采样
    sr = pd.Series(np.arange(100), index=pd.date_range('2020-01-01', periods=100))
    print(sr['2020-03'])  # 输出index在2020年3月的切片
    print(sr['2020-03':'2020-04'])  # 输出index在2020年3月到4月的切片
    print(sr.resample('M').sum())  # 求每月的value和
    

    2.5 文件处理
    2.5.1 使用

    • 数据完成的常用格式为 .csv,以某间隔符分割数据
    • pandas可从文件名、URL、文件对象中加载数据
    • read_csv:默认分隔符为逗号
    • read_table:默认分隔符为制表符
    • to_csv:写入到csv文件
    • 使用 read_excel 读取excel文件时需要下载 xlrd 模块

    2.5.2 read_csv、read_table主要参数(pandas中的函数)

    • sep:指定分隔符,可用正则表达式,如’\s+'表示任意长度的空字符
    • header=None:指定文件无列名
    • name:指定列名
    • index_col:指定某列作为索引
    • skip_row:跳过某些行
    • na_values:指定某些字符串表示缺失值
    • parse_dates:指定某些列是否被解析为日期,类型为布尔值或列表
    pd.read_csv('1234.csv', index_col='date')  # 将date列作为行索引,默认第一行为列索引
    pd.read_csv('1234.csv', header=None, names=list('abcde'))  # 将abcde分别作为列索引
    pd.read_csv('1234.csv', header=None, skiprows=[1, 2, 3])  # 跳过123行
    pd.read_csv('1234.csv', header=None, na_values=['None', 'nan'])  # 指定缺失值形式
    pd.read_csv('1234.csv', index_col='date', parse_dates=True)  # 将文件中所有时间类字符串转换为时间对象
    pd.read_csv('1234.csv', index_col='date', parse_dates=['date'])  # 将date列转换为时间对象
    

    2.5.3 to_csv主要参数(DataFrame的方法)

    • sep:指定文件分隔符
    • na_rep:指定缺失值转换的字符串,默认为空字符串
    • header=False:不输出列索引一行
    • index=False:不输出行索引一列
    • columns:指定输出的列传入列表

    3. Matplotlib模块

    3.1 介绍

    • Matplotlib是一个强大的Python绘图和数据可视化的工具包
    • 引用方法:import matplotlib.pyplot as plt
    • 绘图函数:plt.plot() 绘制折线图
    • 显示图像:plt.show()

    3.2 plot函数
    3.2.1 plot可用参数
    与Matlab中的plot函数相同:Matlab常用函数

    3.2.2 基本使用

    • 在一个坐标轴中画多条折线:多次调用 plot() 后再调用 show()
    • 设置图像标题:plt.title(“my plot”)
    • 设置x轴、y轴名称:plt.xlabel(“x轴”)
    • 设置x轴、y轴范围:plt.xlim(0,5)
    • 设置x轴、y轴刻度:plt.xticks([0,2,4]) 刻度只显示传入的值;plt.xticks([0,2,4],[‘a’,‘b’,‘c’]) 将刻度替换为给定值
    • 设置曲线图例:plt.legend() 可配合plot中的label参数使用,显示曲线对应的label值
    • 对于DataFrame或Series对象,直接调用 df.plot() 可绘制每列的折线图

    3.2.3 画布与子图

    • 创建画布figure:fig=plt.figure()
    • 向画布上添加子图subplot:ax1=fig.add_subplot(2,2,1)
    • 在子图上绘制:ax1.plot()
    • 调整子图间距:subplots_adjust(left,bottom,right,top,wspace,hspace)
    • 显示画布上的图像:plt.show() 或 fig.show()

    3.3 绘制其他类型图

    • plt.plot(x,y,fmt,…):坐标图
    • plt.boxplot(data,notch,position):箱线图
    • plt.bar(left,height,width,bottom):条形图
    • plt.barh(width,bottom,left,height):横向条形图
    • plt.polar(theta,r):极坐标图
    • plt.pie(data,explode):饼图
    • plt.psd(x,NFFT=256,pad_to,Fs):功率谱密度图
    • plt.specgram(x,NFFT=256,pad_to,F):谱图
    • plt.cohere(x,y,NFFT=256,Fs):X-Y相关性函数
    • plt.scatter(x,y):散点图
    • plt.step(x,y,where):步阶图
    • plt.hist(x,bins,normed):直方图

    3.4 绘制K线图

    • mplfinance包中有许多绘制金融相关图的函数接口:mplfinance函数
    • 绘制K线图:mplfinance.polt(df,type=‘candle’) 函数
    • 绘制K线图时,行名需要为时间戳,列名需要有Open、High、Low、Close、Volume五列
    daily = pd.read_csv('mydata.csv', index_col=0, parse_dates=True)
    mpf.plot(daily,type='candle')
    
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  • 向量

    2020-09-18 17:09:35
    向量,这是一个古老的概念。亚里士多德就知道力可以分解为向量,伽利略更是清晰的阐述了向量如何合成。下面来看看在物理中是如何定义向量的。 1 物理中的向量 1.1 有向线段 高中物理就学过,是有长度、有方向的有...

    向量,这是一个古老的概念。亚里士多德就知道力可以分解为向量,伽利略更是清晰的阐述了向量如何合成。下面来看看在物理中是如何定义向量的。


    1 物理中的向量

    1.1 有向线段

    高中物理就学过,是有长度、有方向的有向线段,可以用来表示力、速度或加速度等有大小、有方向的物理量。比如下面篮球的瞬时速度可以用向量来表示:

    将向量的起点与终点分别标上字母,则向量可以记作,头上的箭头方向

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  • 复数

    千次阅读 2019-04-30 14:14:44
    我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当虚部等于零时,这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包...

    简介

    我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当虚部等于零时,这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。

    历史

    最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦,他考虑的是平顶金字塔不可能问题。

    16世纪意大利米兰学者卡尔达诺(Jerome Cardan,1501—1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了一元三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650),他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来。

    数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨(1646—1716)在1702年说:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔(1717—1783)在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数)。法国数学家棣莫弗(1667—1754)在1722年发现了著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的。挪威的测量学家韦塞尔(1745—1818)在1797年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视。

    十八世纪末,复数渐渐被大多数人接受,当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。数年后,高斯再提出此观点并大力推广,复数的研究开始高速发展。诧异的是,早于1685年约翰·沃利斯已经在De Algebra tractatus提出此一观点。

    卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上,以当今标准来看,也是相当清楚和完备。他又考虑球体,得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年,Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点,即以来表示平面上与实轴垂直的单位线段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年让-罗贝尔·阿尔冈亦发表同类文章,而阿冈的复平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及,次年他发表了一篇备忘录,奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力,扫除了复数使用的最后顾忌,后者更是首位以复数研究著名的。

    复数吸引了著名数学家的注意,包括库默尔(1844年)、克罗内克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、乔治·皮库克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文,约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念,例如素数,推广至复数。

    德国数学家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了复数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数 。象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年,用实数组 代表复数 ,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

    经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集。

    随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

    主要内容

    定义

    数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方),为了使方程有解,我们将数集再次扩充。

    在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d)):

    z1 + z2=(a+c,b+d)

    z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)

    容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,我们有

    z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

    令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a,0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。

    记(0,1)=i,则根据我们定义的运算,(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi,i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

    形如的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且(a,b是任意实数)

    我们将复数中的实数a称为复数z的实部(real part)记作Rez=a

    实数b称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.

    当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数

    复数的集合用C表示,实数的集合用R表示,显然,RC的真子集。

    复数集是无序集,不能建立大小顺序。

    复数的模

    将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作∣z∣.

    即对于复数,它的模

    共轭复数

    释义

    对于复数,称复数=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。复数z的共轭复数记作

    性质

    根据定义,若(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数。在复平面上,表示两个共轭复数的点关于X轴对称,而这一点正是"共轭"一词的来源----两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi,那么在z字上面加个"一"就表示x-yi,或相反

    共轭复数有些有趣的性质:

    复数的辐角

    概述

    复变函数中,自变量z可以写成,r是z的模,即r = |z|;θ是z的辐角,记作: Arg(z)。在-π到π间的辐角称为辐角主值,记作: arg(z)(小写的A)。

    释义

    任意一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍。把适合于-π≤θ<π的辐角θ的值,叫做辐角的主值,记作argz。辐角的主值是唯一的。

    指数形式:

    运算法则

    加法法则

    复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

    乘法法则

    复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i2= -1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

    除法法则

    复数除法定义:满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。

    运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算,

    开方法则

    若zn=r(cosθ+isinθ),则

    (k=0,1,2,3…n-1)

    运算律

    加法交换律:z1+z2=z2+z1

    乘法交换律:z1×z2=z2×z1

    加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

    乘法结合律:(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)

    分配律:z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

    i的乘方法则

    i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(其中n∈Z

    棣莫佛定理

    对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂

    zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)] (其中n是正整数)

    分类

    数的分类拓展到复数范围后,我们对复数范围的数集做以下分类

    复数(a+bi)——集合符号C
    实数(复数当b=0时)——集合符号R
    有理数——集合符号Qp/q)
    ①正有理数——集合符号Q+
    正整数——集合符号N+或N*
    1
    质数
    合数
    正分数
    ①0
    ①负有理数——集合符号Q-
    负整数——集合符号Z-
    负分数
    ②整数——集合符号Z
    (自然数)——集合符号N
    奇数
    偶数
    ②分数
    无理数
    正无理数
    负无理数
    虚数(b≠0)
    纯虚数(a=0)
    混虚数(a≠0)

    注:①②代表对“有理数”两种不同的分类方式。

    应用

    系统分析

    在系统分析中,系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法(Nyquist plot)和尼科尔斯图法(Nichols plot)都是在复平面上进行的。

    无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面,根轨迹法都很重要。如果系统极点

    位于右半平面,则因果系统不稳定; 都位于左半平面,则因果系统稳定; 位于虚轴上,则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面,则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称,则这是全通系统。

    信号分析

    信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度,辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。

    利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示:

    其中ω对应角频率,复数z包含了幅度和相位的信息。

    电路分析中,引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。(有时用字母j作为虚数单位,以免与电流符号i混淆。)

    反常积分

    在应用层面,复分析常用以计算某些实值的反常函数,藉由复值函数得出。方法有多种,见围道积分方法。

    量子力学

    量子力学中复数是十分重要的,因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。

    相对论

    如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric) 方程。

    应用数学

    实际应用中,求解给定差分方程模型的系统,通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r,再将系统以形为f(t) =e的基函数的线性组合表示。

    流体力学

    复函数于流体力学中可描述二维势流(2D Potential Flow)。

    碎形

    一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集(Julia set) 是建基于复平面上的点的。

    实变初等函数

    我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数,使得定义的各种复变初等函数,当z变为实变数x(y=0)时与相应的实变初等函数相同。

    注意根据这些定义,在z为任意复变数时,

    ①.哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来

    ②.哪些相应的实变初等函数的性质不再成立

    ③.出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。

    复变指数函数

    ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)

    复数的三角函数

    证明:把yi代入泰勒级数,借助

    来化简即可;

    同理可得aix=cos(xlna)+isin(xlna)= (eix)lna

    借助eix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理

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复数向量单位化