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    将复数化为三角表示式和指数表示式 复数怎么转化为指数形式

    将复数化为三角表示式和指数表示式 复数怎么转化为指数形式

    相关问题:

    匿名网友:

    将复数化为三角表示式和指数表示式是:复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ+irsinθ,可以化为指数表示式z=r*exp(iθ)。exp()为自然对数的底e的指数函数。即:exp(iθ)=cosθ+isinθ。 证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到,是复变函数的基本公式。

    一、三角函数课程介绍:三角函数是以角度为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

    二、三角函数相关公式:

    1、两角和公式

    sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

    sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

    cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

    cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

    tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

    tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

    cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

    cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

    2、倍角公式

    tan2A = 2tanA/(1-tan² A)

    Sin2A=2SinA•CosA

    Cos2A = Cos^2 A--Sin² A

    =2Cos² A—1

    =1—2sin^2 A

    3、三倍角公式

    sin3A = 3sinA-4(sinA)³;

    cos3A = 4(cosA)³ -3cosA

    tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)

    4、半角公式

    sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}

    cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}

    tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}

    cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ?

    tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

    5、和差化积

    sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

    sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

    cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

    cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

    6、积化和差

    sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

    cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

    sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

    cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]

    7、诱导公式

    sin(-a) = -sin(a)

    cos(-a) = cos(a)

    sin(π/2-a) = cos(a)

    cos(π/2-a) = sin(a)

    sin(π/2+a) = cos(a)

    cos(π/2+a) = -sin(a)

    sin(π-a) = sin(a)

    cos(π-a) = -cos(a)

    sin(π+a) = -sin(a)

    cos(π+a) = -cos(a)

    tgA=tanA = sinA/cosA

    8、万能公式

    sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}

    cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}

    tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

    匿名网友:

    1.将复数化为三角表示式和指数表示式

    答:将复数化为三角表示式和指数表示式是:复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ+irsinθ,可以化为指数表示式z=r*exp(iθ)。exp()为自然对数的底e的指数函数。即:exp(iθ)=cosθ+isinθ。 证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到,是复变函数的基本公式...

    2.复数怎么转化为指数形式

    答:能写成a+bi形式的数叫做复数,其中a和b都是实数,i是虚数单位,i^2=-1。 在复数z=a+bi中,a=Re(z)称为实部,b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时,这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。 复数有多种表示形式:...

    3.复数的指数表示

    问:复数的指数形式是怎样的?是什么意思?怎样推出的?

    4.复数的指数形式是

    问:复数可以写成z=re^iθ的形式,其中虚部和实部是什么,这个公式用语言来讲...

    5.指数形式exp到复数形式的转换

    问:如下的方程,如何推导得到呢?

    6.指数为复数怎么计算啊

    问:例如 4^j(-5)我这里的题是 e^j(69度) PS(69度)是角度 这题是交流电...

    7.复数的指数形式

    问:怎样证明? 这是什么意思?

    8.将下列复数转化为三角表达式和指数表达式。 这两题...

    答:解:(4)1-cosφ+isinφ=2[sin(φ/2)]^2+i2sin(φ/2)cos(φ/2)=2sin(φ/2)[sin(φ/2)+icos(φ/2)]=2sin(φ/2)[cos(π/2-φ/2)+isin(π/2-φ/2)]=2sin(φ/2)e^[(π/2-φ/2)i]。 (5)(cos5φ+isin5φ)^2=[e^(i5φ)]^2=e^(i10φ);(cos3φ-isin3φ)^3=[e^(-i3φ)]^3=e^(-...

    9.mathematica有没有把复数写成指数形式的函数

    答:先利用模Abs和辐角Arg将复数转换成三角形式,再利用TrigToExp将三角形式转换成指数形式 例如对于1+i,

    10.把复数z=1+根号3i分别化成三角形式、指数形式,

    答:

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  • 1051复数计算-java

    2019-06-13 13:30:46
    也可以写成极坐标下的指数形式(R×e​(Pi)​​),其中R是复数模,P是辐角,i是虚数单位,其等价于三角形式(R(cos(P)+isin(P))。 现给定两个复数的R和P,要求输出两数乘积的常规形式。 输入格式: 输入在一行中...

    复数可以写成 (A+Bi) 的常规形式,其中 A 是实部,B 是虚部,i 是虚数单位,满足 i​2​​=−1;也可以写成极坐标下的指数形式 (R×e​(Pi)​​),其中 R 是复数模,P 是辐角,i 是虚数单位,其等价于三角形式 (R(cos(P)+isin(P))。

    现给定两个复数的 R 和 P,要求输出两数乘积的常规形式。

    输入格式:

    输入在一行中依次给出两个复数的 R​1​​, P​1​​, R​2​​, P​2​​,数字间以空格分隔。

    输出格式:

    在一行中按照 A+Bi 的格式输出两数乘积的常规形式,实部和虚部均保留 2 位小数。注意:如果 B 是负数,则应该写成 A-|B|i 的形式。

    输入样例:

    2.3 3.5 5.2 0.4
    

    输出样例:

    -8.68-8.23i


     1.按照题意可以直接求出计算结果a+bi中的a和b
     2.要求结果保留两位小数,如果a=-0.001,b=-0.001,那么应该输出0+0i而不是-0-0i;
     3.所以输出之前要判断一下,a和b是否小于0.01如果小于直接将a和b的值改变为0;
     

    
     
    import java.util.Scanner;
     
    public class Main {
    	public static void main(String[] args) {
    		Scanner sc = new Scanner(System.in);
    		double R1 = sc.nextDouble();
    		double P1 = sc.nextDouble();
    		double R2 = sc.nextDouble();
    		double P2 = sc.nextDouble();
     
    		double a = R1 * Math.cos(P1) * R2 * Math.cos(P2) - R1 * Math.sin(P1) * R2 * Math.sin(P2);
    		double b = R1 * Math.sin(P1) * R2 * Math.cos(P2) + R1 * Math.cos(P1) * R2 * Math.sin(P2);
     
    		if (Math.abs(a) < 0.01) {
    			a = 0;
    		}
    		if (Math.abs(b) < 0.01) {
    			b = 0;
    		}
     
    		System.out.printf("%.2f%+.2fi\n", a, b);
    	}
    }
    

     

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  • 第六讲 复数和复指数

    万次阅读 2018-10-12 09:48:14
    三,复数的极坐标形式: r:模 :幅角 四,欧拉公式: 输入的是实数,输出的是复数,它的一般形式是,这种函数叫实变量复(数)值函数 五,指数函数的性质: 指数函数的运算法则(指数率):,或者; 的...

    一,复数的除法:

           复数变实数,需要用到共轭性质:z=a+bi\overline{z}=a-biz\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}

    二,计算\frac{2+i}{1-3i}

           分子分母同乘以分母的共轭复数:\frac{2+i}{1-3i}\times \frac{1+3i}{1+3i}=\frac{-1+7i}{10}=-\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i

    三,复数的极坐标形式:

    • a+bi=rcos\theta +irsin\theta=r(cos\theta +isin\theta )=re^{i\theta }
    • r:模        \theta:幅角

    四,欧拉公式:

    • e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta
    • 输入的是实数\theta,输出的是复数,它的一般形式是u(\theta )+iv(\theta ),这种函数叫实变量复(数)值函数

    五,指数函数e^{i\theta }的性质:

    1. 指数函数的运算法则(指数率):e^{i\theta_{1} }\cdot e^{i\theta_{2} } =e^{i(\theta_{1}+\theta_{2}) },或者(cos\theta_{1}} +isin\theta_{1})(cos\theta_{2}} +isin\theta_{2})=cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})
    2. e^{i\theta }的求导法则:({e^{i\theta }})'=ie^{i\theta },或者{(cos\theta +isin\theta)}'= {cos\theta}'+i{sin\theta}'=-sin\theta +icos\theta =i(cos\theta +isin\theta)
    3. \theta=0时:e^{i0}=1,或者cos0 +isin0=1+0=1
    4. 这个定义符合无穷级数

    六,两个复数相乘:

    • 用极坐标算,只需将模r相乘,幅角\theta相加:r_{1}e^{i\theta_{1} }\cdot r_{2}e^{i\theta_{2} }=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1} +\theta_{2} )}
    • 用直角坐标算会很麻烦:(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=......

    七,求积分\int e^{-x}cosxdx

    1. 直接算可以用分部积分法,但很麻烦
    2. 因为cosxe^{ix}的实数部分,所以可以将e^{ix}替换cosx,原方程变为\int e^{-x}e^{ix}dx,积分完成后再去掉虚数部分即可
    3. \int e^{-x}e^{ix}dx=\int e^{(-1+i)x}dx=\frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}\cdot \frac{-1-i}{-1-i} =\frac{1}{2}e^{-x}e^{ix}(-1-i)
    4. e^{ix}转换成三角函数:\frac{1}{2}e^{-x}e^{ix}(-1-i)=\frac{1}{2}e^{-x}(cosx+isinx)(-1-i)
    5. 去掉虚数部分得:\frac{1}{2}e^{-x}(-cosx+sinx)

    八,计算\sqrt[n]{1}

    1. 在实数范围内,计算结果只有:1或±1
    2. 在复数范围内,计算结果有n个:单位圆上的n个等分点(e^{i\theta_{1} }e^{i\theta_{2} },……,e^{i\theta_{n} }
    3. 证明:因为是单位圆,模相乘r=1;因为是等分点,幅角相加\theta _{1}+\theta _{2}+......\theta _{n}=2\pi =0e^{i0}=1
    4. 几何图见视频40:00~45:00
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  • 它将函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系欧拉公式的证明:利用了无穷级数(准确来说是麦克劳林级数(即泰勒级数在x=0处的展开),泰勒级数的证明可参考资料【1】,用了归纳法加上余项的极限来证明...

    1、欧拉公式

    math?formula=e%5Ex%20%3D%5Ccos%20%20x%20%2Bi%5Csin%20x%20

    e是自然对数的底,i是虚数单位。它将函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系

    欧拉公式的证明:利用了无穷级数

    (准确来说是麦克劳林级数(即泰勒级数在x=0处的展开),泰勒级数的证明可参考资料【1】,用了归纳法加上余项的极限来证明,此处简单的复习一下微积分的知识)

    (这里再插入一下,一个函数可以多项式展开,可以三角函数展开,那么是不是也可以指数函数展开,那么这些展开函数作为基底函数,基底函数是有要求的吗?小波变换是不是就是选择不同的基底展开,从而跳出了短时傅里叶变换的束缚?)

    e3f0098d6c8e

    math?formula=e%5Ex%20的展开式中,白x换成

    math?formula=%5Cpm%20ix

    e3f0098d6c8e

    特别的,当x = pi 时,有

    e3f0098d6c8e

    它把5个最基本的数学常数简洁地连系起来,非常的简洁、美妙。

    2、复数的基本概念

    复数最直观的理解就是旋转.

    e3f0098d6c8e

    更重要的意义在于复数运算保留了二维信息【2】。

    【与(x,y)表示不同的是,x,y仍然是基于同一个度量的,x,y值的区别是通过给它们的单位不同来赋予的

    如果直接让值就能够表征不同的维度,就是虚数的一种表现了】

    假如我让你计算3+5,虽然你可以轻松的计算出8,但是如果让你分解8你会有无数种分解的方法,3和5原始在各自维度上的信息被覆盖了。

    但是计算3+5i的话,你依然可以分解出实部和虚部,就像上图那样。

    基于以上两个理由,用复数来描述电场与磁场简直完美到爆棚!

    我们即可以让电场强度与复数磁场强度相加而不损失各自的信息,又满足了电场与磁场90度垂直的要求。另外,一旦我们需要让任何一个场旋转90度,只要乘一个“i”就可以了.【2】

    e3f0098d6c8e

    当然,更深入一些的解释是【3】:

    引入复数的一个很"物理"的原因是因为对称性。复数本身可以看成R上的2维线性空间,在复数乘法下自然构成了一个同构于SO(2)的群.

    描述对称性的对称群在复数的代数结构上表示比较方便. 所以, 复数域这个代数结构(它的对称性)在物理表示中得到了应用。

    其实, 还真的有引入比复数域更复杂的代数结构来研究比SO(2)更复杂的对称性问题的例子, 比如著名的四元数, 可以用来研究三维旋转问题(SO(3)群的表示).但是, 这些比复数域更复杂的代数结构一般来说其性质远没有复数域那么好, 比如四元数虽然是个除环, 但是不是域, 乘法不可交换.

    这就说明了为什么物理中要引入复数域, 并且"止步"于复数域. 复数域上一些基本的对称群有自然的表示, 并且复数域的代数性质和分析性质都非常非常好, 所以物理学很自然地需要这个代数结构.

    (原文的公式推导部分我看的也很懵,不过整体意思还是看懂了,关键词:对称性,代数结构。应该和描述对称性的群有关系,还有数域的概念)

    e3f0098d6c8e

    复变函数直观示意图

    (#Todo:这张图与拉普拉斯变换里的f(t),F(s)有关系吗?)

    3、从信号处理的角度理解拉普拉斯变换

    1)从傅里叶变换说起

    傅里叶变换能帮我们解决很多问题,一经问世后便受到广大工程师们的喜爱,因为它给人们提供了一扇不同的窗户来观察世界,从这个窗户来看,很多事情往往变得简单多了。但是,别忘了,傅里叶变换有一个很大局限性,那就是信号必须满足狄利赫里条件才行

    狄利赫里条件为:

    e3f0098d6c8e

    2)拉普拉斯变换的提出

    傅里叶变换的严格条件,特别是那个绝对可积的条件,一下子就拦截掉了一大批函数。比如函数 f = t^2 就无法进行傅里叶变换。这点难度当然拿不到聪明的数学家们,他们想到了一个绝佳的主意:把不满足绝对的可积的函数乘以一个快速衰减的函数,这样在趋于 ∞ 时原函数也衰减到零了,从而满足绝对可积。

    e3f0098d6c8e

    拉普拉斯变换

    3)从几何图形上直观的表现

    e3f0098d6c8e

    螺旋曲线

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    螺旋曲线和衰减函数的乘积:一个半径不断减小的螺旋曲线。从不同的平面看,就是不断衰减的正弦或者余弦曲线,从复平面来看,是一个半径不断减小的圆。

    总结一下:总结一下:傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上;拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量,因此更灵活,适用范围更广。

    4、从数学投影角度来解释拉普拉斯变换

    1)拉普拉斯变换的函数理解

    e3f0098d6c8e

    原因如下:

    e3f0098d6c8e

    {e^jw}表示复空间的正交基,这个还有点疑惑

    e3f0098d6c8e

    这里解释了为什么使用拉普拉斯的变换形式会方便运算

    2)拉普拉斯变换的具体计算

    常用计算可以查表~

    e3f0098d6c8e

    参考资料

    【1】https://blog.csdn.net/weixin_40100502/article/details/80531027    泰勒公式的详细推导

    【2】https://www.zhihu.com/question/23234701    复数的物理意义是什么? Heinrich的回答

    【3】https://www.zhihu.com/question/23234701    复数的物理意义是什么? Octolet的回答(进阶版,从对称性角度考虑)

    【4】https://zhuanlan.zhihu.com/p/40783304    从另一个角度看拉普拉斯变换

    【5】https://zhuanlan.zhihu.com/p/23617272    【自动控制原理】1.传递函数

    【6】https://wenku.baidu.com/view/6c522e81360cba1aa811da7d.html?from=search    复变函数-laplace变换(具体的简单的函数计算推导)

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    千次阅读 2018-10-23 16:44:15
    将下列数字写成复数形式: -21 7i  简单复习一下,复数是包含实数部分和虚数部分的数。 如果有a+bi,a是实数,b是实数,这是复数。a是实部,bi是虚数部分(注:虚部不包括i)。 为什么bi是虚部?因为bi带有...
  • 利用mathematica计算复数的对数难以找到合适的帮助文档,有意思的是找了基本数学手册居然没有复数对数的普遍运算公式,真是奇怪。不得不自己动手弄出来,本人将复数的各种运算包括指数特别是对数的运算方法和技巧写...
  • 这是最来简单的求复数模自和相角的程序。加入模值是A,相角是w x=A*...即 abs(x) 等于 sqrt(real(x).^2 + imag(x).^2) 例如:计算 3+4i 的模 >>abs(3+4i) ans = 5x =1.0000 + 1.0000i45度时,实轴为1,虚轴为...
  • 复数的表示

    2018-10-14 14:32:09
    有了这个单位,复数空间中的每个数都可以表示为 a+bia+bia+bi 的形式。其中,a 被称为实部 real part,b 被称为虚部 imaginary part。 复数可以在复平面(complex plane)上表示,复平面横纵坐标分别为实部和虚部。 ...
  • 复数与复变函数

    千次阅读 2018-11-22 11:45:05
    文章目录一、复数的几何表示学习目标1、复数的模与辐角、辐角主值1.1、模 1.2、辐角1.3、辐角主值1.4、辐角主值的计算1.5、辐角的计算2、复数的表示2.1、代数表示2.2、三角表示2.3、指数表示二、复数的乘幂与方根...
  • 讲解了机器人学中的刚体运动的定义,旋转矩阵与其指数表达形式,和利用欧拉角与四元数表示旋转的方法。
  • 1051 复数乘法 Python实现

    千次阅读 2018-08-14 21:54:15
    也可以写成极坐标下的指数形式 (R×e​(Pi)​​),其中 R 是复数模,P 是辐角,i 是虚数单位,其等价于三角形式 (R(cos(P)+isin(P))。 现给定两个复数的 R 和 P,要求输出两数乘积的常规形式。 输入格式...
  • PAT 乙级1051 复数乘法

    2019-02-14 22:03:53
    也可以写成极坐标下的指数形式 (R×e​(Pi)​​),其中 R 是复数模,P 是辐角,i 是虚数单位,其等价于三角形式 (R(cos(P)+isin(P))。 现给定两个复数的 R 和 P,要求输出两数乘积的常规形式。 输入格式...

空空如也

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复数指数形式计算