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  • 实高斯随机向量复高斯随机向量

    千次阅读 2019-04-22 11:20:08
    本文内容主要来自David Tse etc., Fundamentals of ...文章目录1、实高斯随机向量2、复高斯随机向量 1、实高斯随机向量   若w1,w2,…,wnw_1,w_2,\ldots,w_nw1​,w2​,…,wn​为i.i.d.标准高斯分布随机变量,则标准...

    本文内容主要来自David Tse etc., Fundamentals of Wireless Communication,Cambridge University Press, 2004中的附录A。

    1、实高斯随机向量

      若 w 1 , w 2 , … , w n w_1,w_2,\ldots,w_n w1,w2,,wn为i.i.d.标准高斯分布随机变量,则标准高斯分布向量 w = [ w 1 , w 2 , … , w n ] T {\bf w}=[w_1,w_2,\ldots,w_n]^{\rm T} w=[w1,w2,,wn]T的概率密度函数为
    p ( w ) = 1 ( 2 π ) n exp ⁡ ( − ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 2 ) , w ∈ R n . p({\bf w})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}\exp(-\frac{||{\bf w}||^2}{2}),\qquad {\bf w}\in {\mathbb R}^n. p(w)=(2π )n1exp(2w2),wRn.这里 ∣ ∣ w ∣ ∣ = ∑ i = 1 n w i 2 ||{\bf w}||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}w_i^2} w=i=1nwi2 表示从原点到 w : = [ w 1 , w 2 , … , w n ] T {\bf w}:=[w_1,w_2,\ldots,w_n]^{\rm T} w:=[w1,w2,,wn]T的距离。不难发现,这里的概率密度函数只与幅度有关。
      进一步,由于正交变换 O {\bf O} O【即 O O T = O T O = I {\bf O}{\bf O}^{\rm T}={\bf O}^{\rm T}{\bf O}={\bf I} OOT=OTO=I】不改变信号幅度,可得如下结论

    如果 w \bf w w为标准高斯随机向量,则 O W \bf OW OW也为标准高斯分布随机变量。

    上述结果表明 w \bf w w在任何正态基上都具有相同分布。从几何上看, w \bf w w的分布不随旋转和反射改变,因此 w \bf w w不偏好任何特定方向。此外,由于矩阵 O \bf O O的行是标准正交的,标准高斯随机向量在正交方向上的投影是独立的。 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ||{\bf w}||^2 w2等于 n n n个i.i.d.零均值高斯随机变量的平方和,称为具有 n n n个自由度的卡方分布,用 χ n 2 \chi_{n}^2 χn2表示。

      高斯分布随机向量可以看作标准高斯分布随机向量的线性变换,加上常数向量,即
    x = A w + μ . \bf x=Aw+\bm \mu. x=Aw+μ.几个性质如下:
    1)对于任意的 c ∈ R n {\bf c}\in {\mathbb R}^n cRn,都有随机变量
    c T x ∼ N ( c T μ , c T A A T c ) . {\bf c}^{\rm T}{\bf x}\sim {\mathcal N}({\bf c}^{\rm T}{\bm \mu},{\bf c}^{\rm T}{\bf A}{\bf A}^{\rm T}{\bf c}). cTxN(cTμ,cTAATc).因此,高斯随机向量( x {\bf x} x)中元素的任意线性组合都为高斯随机变量( c T x {\bf c}^{\rm T}{\bf x} cTx)。更一般来说,高斯随机向量的任意线性组合也是高斯的。
    2) 如果 A \bf A A可逆,则对于 x = A w + μ {\bf x}={\bf Aw+\bm \mu} x=Aw+μ,其中 w ∼ N ( 0 , 1 ) {\bf w}\sim \mathcal{N}({\bf 0},{\bf 1}) wN(0,1),有PDF为
    p ( x ) = 1 ( 2 π ) n det ⁡ ( A A T ) exp ⁡ ( − 1 2 ( x − μ ) T ( A A T ) − 1 ( x − μ ) ) , x ∈ R n . p({\bf x})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n\sqrt{\det({\bf AA}^{\rm T})}}\exp {\large(} -\frac{1}{2}({\bf x}-{\bm \mu})^{\rm T}({\bf AA}^{\rm T})^{-1}({\bf x}-{\bm \mu}){\large)},\quad {\bf x}\in \mathbb{R}^n. p(x)=(2π )ndet(AAT) 1exp(21(xμ)T(AAT)1(xμ)),xRn.这里的 A A T {\bf AA}^{\rm T} AAT x \bf x x的协方差矩阵:
    K : = E [ ( x − μ ) ( x − μ ) T ] = A A T {\bf K}:=\mathbb{E}{\large [} ({\bf x}-{\bm \mu}) ({\bf x}-{\bm \mu})^{\rm T} {\large ]}={\bf AA}^{\rm T} K:=E[(xμ)(xμ)T]=AAT对于可逆矩阵 A \bf A A,高斯随机向量可以完全由其均值向量 μ \bm \mu μ和协方差矩阵 K = A A T {\bf K}={\bf AA}^{\rm T} K=AAT来刻画,这里的 K \bf K K为对称且非负定矩阵。我们再来看几个推导:

    • 由于 O w \bf Ow Ow w \bf w w同分布,因此 A O w A\bf Ow AOw A w \bf Aw Aw同分布。
    • 如果 K \bf K K为对角阵,则高斯随机向量中的元素统计独立(不相关)。这样的随机向量也称为白高斯随机向量。当协方差矩阵 K \bf K K为单位阵时,则该高斯随机向量为标准高斯随机向量。
    • 现在考虑 A \bf A A不可逆的情况。此时, A w \bf Aw Aw将标准高斯随机向量 w \bf w w映射到维度小于 n n n的子空间上。这意味着 A w \bf Aw Aw中的一些成分可以表示为其它部分的线性组合。这样我们可以只关注 A w \bf Aw Aw中线性独立的元素,将其表示为具有更低维度的向量 x ~ \bf \tilde{x} x~,同时将 A w \bf Aw Aw中的其它元素表示为 x ~ \bf \tilde{x} x~的线性组合。这样,我们可以使得协方差矩阵 K \bf K K可逆。

    通常来说,高斯随机向量可以由其均值向量 μ \bm \mu μ和协方差矩阵 K \bf K K来完全刻画,我们表示为 x ∼ N ( μ , K ) {\bf x}\sim \mathcal{N}({\bm \mu}, {\bf K}) xN(μ,K)

    2、复高斯随机向量

      下面我们来考虑复随机向量 x = x R + x I {\bf x}={\bf x}_R+{\bf x}_I x=xR+xI。如果向量 [ x R , x I ] T [{\bf x}_R,{\bf x}_I]^{\rm T} [xR,xI]T为实高斯随机向量,则 x {\bf x} x为复高斯向量。分布完全由实向量 [ x R , x I ] T [{\bf x}_R, {\bf x}_I]^{\rm T} [xR,xI]T的均值和协方差矩阵来决定。可以证明,同样的信息包含在 x \bf x x的均值向量 μ \bm \mu μ、协方差矩阵 K \bf K K以及伪协方差矩阵 J \bf J J中,即
    μ : = E [ x ] \bm \mu:={\mathbb E}[\bf x] μ:=E[x] K : = E [ ( x − μ ) ( x − μ ) ∗ ] {\bf K}:={\mathbb E} {\large [ } (\bf x-\bm \mu)(x-\mu)^{*} {\large]} K:=E[(xμ)(xμ)] J : = E [ ( x − μ ) ( x − μ ) T ] . \bf J:={\mathbb E} {\large [} (\bf x-\bm \mu)(x-\mu)^{\rm T} {\large]}. J:=E[(xμ)(xμ)T].注意通常来说,复随机向量 x \bf x x的协方差矩阵 K \bf K K是不能完全刻画其二阶统计特性的。事实上,由于 K \bf K K为Hermitian矩阵(复共轭对称矩阵),则它是由 n 2 n^2 n2个实参数来决定的。另外一方面, x \bf x x的全部二阶统计量是由 2 n × 2 n 2n \times 2n 2n×2n维的协方差矩阵 [ x R , x I ] T [{\bf x}_R,{\bf x}_I]^{\rm T} [xR,xI]T中的 n ( 2 n + 1 ) n(2n+1) n(2n+1)个实参数决定的。

    循环对称特性:如果对于任意 θ \theta θ e j θ x e^{j\theta}\bf x ejθx都与 x \bf x x x \bf x x同分布,则称$\bf $具有循环对称性。

    对于任意 θ \theta θ,循环对称复随机变量 x \bf x x都有
    E [ x ] = E [ e j θ x ] = e j θ E [ x ] , {\mathbb E}[{\bf x}]={\mathbb E}[e^{j\theta}{\bf x}]=e^{j\theta}{\mathbb E}[{\bf x}], E[x]=E[ejθx]=ejθE[x],因此均值 μ = 0 \bm \mu=\bf 0 μ=0。进一步,对于任意 θ \theta θ,有
    E [ x x T ] = E [ e j θ x ( e j θ x ) T ] = e j 2 θ E [ x x T ] , {\mathbb E}[{\bf xx}^{\rm T}]={\mathbb E}[e^{j\theta}{\bf x}(e^{j\theta}{\bf x})^{\rm T}]=e^{j2\theta}{\mathbb E}[{\bf xx}^{\rm T}], E[xxT]=E[ejθx(ejθx)T]=ej2θE[xxT],因此伪协方差矩阵 J \bf J J也为零。故协方差矩阵 K \bf K K可以完全刻画循环对称随机向量的一阶和二阶统计特性。并且如果随机向量为高斯的,则 K \bf K K可以刻画所有统计特性。协方差矩阵为 K \bf K K的循环对称高斯随机向量记为 C N ( 0 , K ) {\mathcal CN}(0,\bf K) CN(0,K)
      下面来看几个特例:

    • 复高斯随机变量 w = w R + j w I w=w_R+jw_I w=wR+jwI,这里的实部和虚部为.零均值高斯i.i.d实随机变量,则 w w w为循环对称,而其循环对称性其实就是实高斯随机向量 [ w R , w I ] T [w_R,w_I]^{\rm T} [wR,wI]T的旋转不变形。事实上,循环对称复高斯随机变量的实部和虚部一定是零均值i.i.d.的。其统计特性可以完全由方差 σ 2 : = E [ ∣ w ∣ 2 ] \sigma^2:={\mathbb E}[|w|^2] σ2:=E[w2]来决定,记为 w ∼ C N ( 0 , σ 2 ) w\sim {\mathcal CN}(0,\sigma^2) wCN(0,σ2)。注意如果不是循环对称的,则复高斯随机变量需要用五个参数来给定:实部均值、虚部均值、实部方差、虚部方差以及虚实部相关。 w w w的相位在 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]上均匀分布,并与幅度 r = ∣ ∣ w ∣ ∣ r=||w|| r=w独立,后者的PDF为
      P ( r ) = r σ 2 exp ⁡ { − r 2 2 σ 2 } , r ≥ 0 P(r)=\frac{r}{\sigma^2}\exp{\Large \{} \frac{-r^2}{2\sigma^2}{\Large \}},\quad r\ge 0 P(r)=σ2rexp{2σ2r2},r0满足瑞利分布。幅度的平方,即 r 2 = w R 2 + w I 2 r^2=w_R^2+w_I^2 r2=wR2+wI2,满足 χ x 2 \chi_x^2 χx2分布即指数分布。
    • n n n个i.i.d. C N ( 0 , 1 ) {\mathcal CN}(0,1) CN(0,1)随机变量构成标准循环对称高斯随机向量 w ∼ C N ( 0 , I ) {\bf w}\sim {\mathcal CN}(0,\bf{I}) wCN(0,I),其PDF为
      P ( w ) = 1 π n exp ⁡ ( − ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ) , w ∈ C n . P({\bf w})=\frac{1}{\pi^n}\exp (-||{\bf w}||^2),\quad {\bf w}\in {\mathbb C}^n. P(w)=πn1exp(w2),wCn.与实高斯随机向量 N ( 0 , I ) {\mathcal N}(0,{\bf I}) N(0,I)类似,我们有如下特性特性

    U w \bf Uw Uw w \bf w w同分布,这里的 U \bf U U为酉矩阵。

    与实数情况相似, w \bf w w的幅度满足 χ 2 n 2 \chi_{2n}^2 χ2n2分布。

    • 如果 w ∼ C N ( 0 , I ) {\bf w}\sim {\mathcal CN}(0,\bf I) wCN(0,I)并且 A \bf A A为复矩阵,则 x = A w \bf x=Aw x=Aw也是循环对称高斯的,且 x ∼ C N ( 0 , K ) {\bf x}\sim {\mathcal CN}(0,\bf K) xCN(0,K)。如果 A \bf A A可逆,则 x \bf x x的PDF为
      p ( x ) = 1 π n det ⁡ K exp ⁡ ( − x ∗ K − 1 x ) , x ∈ C n . p({\bf x})=\frac{1}{\pi^n \sqrt{\det {\bf K}}}\exp(-\bf x^*K^{-1}x),\quad x\in \mathbb C^n. p(x)=πndetK 1exp(xK1x),xCn.
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  • 复高斯分布整理

    2021-03-18 08:52:33
    复高斯分布中,若复随机变量服从如下: 那么该随机变量的实部和虚部分别服从如下分布: 同时,实部和虚部的期望有如下结论: 循环对称复高斯随机变量,参考如下(没懂): 高斯分布及归一化、标准化、零均值化 ....

    在复高斯分布中,若复随机变量服从如下:
    在这里插入图片描述

    那么该随机变量的实部和虚部分别服从如下分布:
    在这里插入图片描述

    同时,实部和虚部的期望有如下结论:
    在这里插入图片描述
    循环对称复高斯随机变量,参考如下(没懂):
    高斯分布及归一化、标准化、零均值化

    在这里插入图片描述


    双伽马函数:
    在这里插入图片描述

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  • 复高斯分布

    千次阅读 2021-01-12 22:30:26
    目录前言高斯分布及其相关分布瑞利分布 前言 本文主要介绍与高斯分布相关的一些通信中用的比较多的分布以及具体含义。 高斯分布及其相关分布 一个均值为 μ\muμ,方差为 σ\sigmaσ 高斯随机变量 www 取实数值,并...

    前言

    本文主要介绍与高斯分布相关的一些通信中用的比较多的分布以及具体含义。

    高斯分布及其相关分布

    标准高斯随机变量其均值为0,方差为1,并具有如下概率密度函数(PDF):
    f ( w ) = 1 2 π exp ⁡ ( − w 2 2 ) , w ∈ ℜ f(w)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{w^{2}}{2}\right), \quad w \in \Re f(w)=2π 1exp(2w2),w
    记为 w ∼ N ( 0 , 1 ) w \sim N \left(0, 1\right) wN(0,1)
    一个均值为 μ \mu μ,方差为 σ \sigma σ 高斯随机变量 x x x 取实数值,并具有如下概率密度函数 (PDF):
    f ( x ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − ( w − μ ) 2 2 σ 2 ) , w ∈ ℜ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\sigma^2}} \exp \left(-\frac{(w-\mu)^{2}}{2\sigma^2}\right), \quad w \in \Re f(x)=2πσ2 1exp(2σ2(wμ)2),w
    x = σ w + μ x= \sigma w+\mu x=σw+μ 记为 x ∼ N ( μ , σ 2 ) x \sim N \left(\mu, \sigma^{2}\right) xN(μ,σ2)

    • 重要性质 1:独立的高斯分布其线性组合仍为高斯分布。

    标准高斯分布的随机向量 w \bm{w} w 是包含了n个独立服从标准分布的随机变量,具有如下概率密度函数 (PDF):
    f ( w ) = 1 ( 2 π ) n exp ⁡ ( − ∥ w ∥ 2 2 ) , w ∈ ℜ n f(\bm{w})=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^{n}} \exp \left(-\frac{\|\bm{w}\|^{2}}{2}\right), \quad \bm{w} \in \Re^{n} f(w)=(2π )n1exp(2w2),wn
    其中 ∥ w ∥ : = ∑ i = 1 n w i 2 \|\bm{w}\|:=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} w_{i}^{2}} w:=i=1nwi2

    • 重要性质 2:正交变换的标准高斯随机向量也就标准高斯随机向量

    对于一般高斯随机向量,即相当于每一个分量都是其他所有分量的线性组合加一个常数:
    x = A w + μ \bm{x}=\mathbf{A} \bm{w}+\bm{\mu} x=Aw+μ

    • 对于任意 c \bm{c} c,有:
      c t x ∼ N ( c t μ , c t A A t c ) \bm{c}^{t} \bm{x} \sim \bm{N}\left(\bm{c}^{t} \bm{\mu}, \bm{c}^{t} \bm{A} \bm{A}^{t} \bm{c}\right) ctxN(ctμ,ctAAtc)
    • 如果 A \bm{A} A可逆,则有:
      f ( x ) = 1 ( 2 π ) n det ⁡ ( A A t ) exp ⁡ ( − 1 2 ( x − μ ) t ( A A t ) − 1 ( x − μ ) ) , x ∈ R n f(\bm{x})=\frac{1}{(\sqrt{2 \pi})^{n} \sqrt{\operatorname{det}\left(\bm{A} \bm{A}^{t}\right)}} \exp \left(-\frac{1}{2}(\bm{x}-\boldsymbol{\mu})^{t}\left(\bm{A} \bm{A}^{t}\right)^{-1}(\bm{x}-\boldsymbol{\mu})\right), \quad \bm{x} \in \mathfrak{R}^{n} f(x)=(2π )ndet(AAt) 1exp(21(xμ)t(AAt)1(xμ)),xRn

    复高斯随机变量 z = x + i y z=x+iy z=x+iy x x x y y y 分别为独立的均值为0的高斯随机变量,具有相同的方差,则
    x ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) , y ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) x \sim N \left(0, 1/2\right), y \sim N \left(0, 1/2\right) xN(0,1/2),yN(0,1/2)
    记为 z ∼ C N ( 0 , 1 ) z \sim CN \left(0, 1\right) zCN(0,1)
    复高斯随机向量 z = x + i y \bm{z}=\bm{x}+i\bm{y} z=x+iy,满足 [ x , y ] t [\bm{x},\bm{y}]^t [x,y]t 是高斯随机向量。
    如果一个随机变量的分布与它乘以 e i θ e^{i\theta} eiθ分布一致,则是圆对称随机变量(circularly symmetry)。

    一个复高斯随机向量 w \bm{w} w 是包含了n个独立服从标准复高斯随机变量的集合。
    记为 z ∼ C N ( 0 , I ) z \sim CN \left(0, I\right) zCN(0,I)

    • 一个圆对称的高斯随机向量的均值为0
    • 一个圆对称的高斯随机向量由 E [ x x ∗ ] E[\bm{x}\bm{x}^*] E[xx] 决定
    • 一个标量复高斯随机变量由两个独立的高斯随机变量组成

    瑞利分布

    两个独立的高斯随机变量的模服从瑞利分布:
    f ( r ) = r exp ⁡ ( − r 2 2 ) , r ≥ 0 f(r)=r \exp \left(-\frac{r^{2}}{2}\right), \quad r \geq 0 f(r)=rexp(2r2),r0
    以上是两个随机变量服从 N ( 0 , 1 / 2 ) N(0,1/2) N(0,1/2) 时。

    瑞利分布的模的平方服从指数分布。

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  • 去维基百科搜索复高斯分布,其中可以看到一条性质,对于符合复高斯分布的随机变量s,它的模值的平方服从指数分布 下面就来验证一下是否符合指数分布。 校验例子: var = 1; n = 1000; s = sqrt(var/2)*(randn(n,1) ...

    1、如何理解complex Gaussian distribution?

    参考https://everything2.com/title/complex+Gaussian+distribution

    https://blog.csdn.net/u013072056/article/details/45980271(需要VIP才行)

    一般称 a complex-valued random variable z=x+iy a (circular symmetriccomplex Gaussian variable, or it follows complex Gaussian distribution,需要满足以下3个条件:

    假如实部x、虚部y的均值分别为mx、my,那么z的均值为

    二维随机变量(x,y)的PDF为:

                                              

    相当于从z的角度来讲。

    暂时先记到这,以免忘记,后面再补充

    2、matlab检验网上的结果

    去网上搜素在matlab 如何生成服从复高斯分布的函数,给出的答案一般是:sqrt(var/2)*(randn(1,n) + 1i*randn(1,n));

    零均值,var是方差,n样本数据个数。

    去维基百科搜索复高斯分布,其中可以看到一条性质,对于符合复高斯分布的随机变量s,它的模值的平方服从指数分布

    下面就来验证一下是否符合指数分布。

    校验例子

                    var = 1;
                    n = 1000;
                    s = sqrt(var/2)*(randn(n,1) + 1i*randn(n,1));
                    F = ( abs(s) ).^2;
                    A = F; % 要求数据的维度是n×1
                    alpha = 0.05;
                    p_judge(A,alpha) % 调用分布判断函数p_judge

    输出结果:

                     

    分布判断函数:

    function f = p_judge(A,alpha)
    %本程序用于判别所给数据源A在置信率为0.05时的概率分布形式。A的形式为n×1。
    %主要是使用kstest函数的用法
    %是人大论坛中一个同志写出来的函数
    [mu,sigma] = normfit(A);
    p1 = normcdf(A,mu,sigma);
    [H1,s1] = kstest(A,[A,p1],alpha);
    n = length(A);
    if H1==0
        disp('该数据源服从正态分布。')
    else
        disp('该数据源不服从正态分布。')
    end
    phat = gamfit(A,alpha);
    p2 = gamcdf(A,phat(1),phat(2));
    [H2,s2] = kstest(A,[A,p2],alpha);
    if H2==0
        disp('该数据源服从γ分布。')
    else
        disp('该数据源不服从γ分布。')
    end
    lambda = poissfit(A,alpha);
    p3 = poisscdf(A,lambda);
    [H3,s3] = kstest(A,[A,p3],alpha);
    if H3==0
        disp('该数据源服从泊松分布。')
    else
        disp('该数据源不服从泊松分布。')
    end
    mu = expfit(A,alpha);
    p4 = expcdf(A,mu);
    [H4,s4] = kstest(A,[A,p4],alpha);
    if H4==0
        disp('该数据源服从指数分布。')
    else
        disp('该数据源不服从指数分布。')
    end
    [phat,pci] = raylfit(A, alpha);
    p5 = raylcdf(A,phat);
    [H5,s5] = kstest(A,[A,p5],alpha);
    if H5==0
        disp('该数据源服从rayleigh分布。')
    else
        disp('该数据源不服从rayleigh分布。')
    end

    记个笔记:

    H = kstest(X) %测试向量X是否服从标准正态分布,测试水平为5%。
    H = kstest(X,cdf) %指定累积分布函数为cdf的测试(cdf=[ ]时表示标准正态分布),测试水平为5%
    H = kstest(X,cdf,alpha) % alpha为指定测试水平H=kstest(X,cdf,alpha,tail) % tail=0为双侧检验, tail=1单侧(<)检验, tail=-1单侧(>) 检验
    [H,P,KSSTAT,CV] = kstest(X,cdf,alpha) %P为原假设成立的概率,KSSTAT为测试统计量的值,CV为是否接受假设的临界值。
    注意:kstest适用于小样本,当数据过大时,检验拒绝的临界值非常小,结果往往是拒绝原假设。
    各种检验方法适用范围如下:
    chi2gof适合大样本,一般要求50个以上
    kstest适于小样本,
    lillietest用于正态分布,与kstest类似,适用于小样本
    jbtest,是通过峰度、偏度检测正态分布的,适用用大样本。
    参考:https://blog.csdn.net/WUDIPIPIXIA/article/details/101939085

    3、论文中的表述

    (1)复高斯随机变量的模值的平方服从指数分布

    (2)多个指数分布的和服从伽马分布

     

    先记到这里,感觉用博客记笔记挺方便哒。

     

     

     

     

     

     

     

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    协方差矩阵 对于一维随机变量直接用方差即可衡量随机变量x与其期望E(x)的偏离程度,对于多维随机变量X,需要...一元高斯分布概率密度函数如下: 多元高斯分布为: 具体推导过程可以参考:https://zhuanlan.zhi.
  • 在射频中计算时采用的输入信号都是服从复高斯分布的,why? 以及后面在计算离散输入时,都要想方设法通过积分变换将输入输出转移概率转变为对高斯噪声求积分?why? 虽然在之前的学习中一直在断断续续地学习高斯分布...
  • 在通信里,复基带等效系统的噪声是复高斯噪声,其分布就是circularly symmetric complex Gaussian。你可以理解为我们通常意义的噪声,因为不是circularly symmetric的高斯噪声我们在通信里从来不用考虑。 下面是...
  • 多维高斯分布与协方差矩阵的关系以及高斯椭圆

    万次阅读 多人点赞 2018-05-17 16:34:32
    一维高斯分布概率密度函数 f(x;μ,σ)=1σ2π−−√exp(−(x−μ)22σ2)f(x;μ,σ)=1σ2πexp⁡(−(x−μ)22σ2) f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}) 若随机...
  • 协方差矩阵与二维高斯分布

    万次阅读 多人点赞 2016-12-22 23:03:55
    多维高斯分布:f(x)=1(2π)d2|Σ|−12exp[−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)] f(\mathbf x )= \frac{1}{{(2\pi)}^{\frac{d}{2}}{\begin{vmatrix}\mathbf\Sigma\end{vmatrix}}^{-\frac{1}{2}}}exp[-\frac{1}{2}(\mathbf x-\mu...
  • 协方差矩阵的几何解释和多重高斯分布 这篇文章,总结之前阅读的这篇文章学到的知识点,即协方差矩阵的几何意义,同时利用几何解释,介绍多重高斯分布如何从标准单变量的高斯分布推导出来。主要涉及如下内容: ...
  •  在一般的高斯分布模型中,我们计算高斯分布概率密度函数p(x),回顾高斯分布的基本知识。通常如果我们认为变量 x 符合高斯分布 x~N(μ,σ2)则其概率密度函数为:,其中,μ,σ2分别表示如下:。 ...
  • 相关高斯分布的MIMO信道矩阵的容量统计特征推导文章梗概文章部分数学表述及系统模型数学表述:定义在矩阵元上的三种积分系统模型 本文是IEEE TIT(Trans on Information Theory)一篇文章的阅读笔记,文章链接如下:...
  • 文章目录随机变量随机信号随机变量的二阶统计特性圆系数和高斯熵圆系数高斯随机变量 随机信号 随机信号x\bf{x}x的概率分布函数pdf为: px(x)=px(xr+jxi) p_x({\bf{x}}) = p_x(x_r+jx_i) px​(x)=px​...
  • 由于实验需要,需要生成两类模式的数据,同时这两类数据要服从正态分布高斯分布)。 使用matlab来实现: mu = [2 3]; SIGMA = [1 0; 0 2]; r = mvnrnd(mu,SIGMA,100); plot(r(:,1),r(:,2),'r+'); hold on; ...
  • 此文介绍 Nature, 474, 188 (2011) 这篇工作。波函数,准确一点说,取定...尽管单单拿着实空间的概率分布只能确定波函数的模方,并不能获知相位信息,但并没有限制不让我去动量空间,或 空间,或 空间等各种奇奇怪怪...
  • 早在1877年,Norman Macleod Ferrers就专门写了一本书来介绍球谐函数,后面物理学家把实数球谐函数扩展到平面上,在变函数论中作为“特殊函数”来研究,它在物理以及计算化学上有重要的应用,我们主要讨论它在...
  • 高斯过程之条件分布(Conditional Distribution)设X=(X1,X2)∈Rm×n∼N(μ,Σ)X=(X_1,X_2)\in \mathbb{R}^{m\times n}\sim N(\mu,\Sigma),其中X1∈Rm,X2∈Rn,μ=(μ1,μ2),μ1=E(X1),μ2=E(X2),Σ∈R(m+n)×(m+n)X_1...
  • 白噪声:频率分布全频域,序列...二维不相关的复高斯白噪声包络服从指数分布(x2分布的自由度为2的特例)。n个不相关的复高斯白噪声序列叠加后的复信号包络服从自由度为2n的x2分布。 ????必须区分高斯噪声和白噪声两...
  • 高斯模糊

    2012-01-19 14:34:00
    此外,还有关于向量分析的高斯定理,正态分布的正规曲线等研究成果。与牛顿、阿基米德并称为史上最杰出数学家。  高斯模糊(Gaussian Blur)是美国Adobe图像软件公司开发的一个做图软件:Adobe Photoshop(系列)中...
  • 使用不同核函数的高斯过程 高斯过程 像所有其他机器学习模型一样,高斯过程是一个简单预测的数学模型。像神经网络一样,它可以用于连续问题和离散问题,但是其基础的一些假设使它不太实用。 但是,过去5年左右的时间...
  • MATLAB命令是normrnd功能:生成服从正态分布的随机数列,也就是你需要的高斯随机序列>>helpnormrndNORMRNDRandomarraysfromthenormaldistribution.R=NORMRND(MU,SIGMA)...
  • 文章目录1、实高斯随机标量2、 实高斯随机向量3、复高斯随机向量 1、实高斯随机标量   对于标准正态分布的随机变量w∼N(0,1)w\sim {\mathcal N}(0,1)w∼N(0,1),其PDF为 p(w)=12πexp⁡(−w22),&amp;amp;amp...

空空如也

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复高斯向量分布