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  • 外积/楔积

    千次阅读 2020-03-06 13:17:43
    观察该两方向向量的内: 我们将JTJJ^TJJTJ定义为III。需要说明是III就是我们常说的first fundamental form。第一基本形式。 他能否刻画mesh 角度、距离、面积信息。 对于角度: 当w1,w2w_1,w_2w1​,w2​为单位...

    综述

    考虑对于2-manifold曲面上的两个方向向量。我们可以根据参数表达和曲面表达,得到对应的雅可比矩阵。
    在这里插入图片描述
    观察该两方向向量的内积:
    在这里插入图片描述
    我们将 J T J J^TJ JTJ定义为 I I I。需要说明是 I I I就是我们常说的first fundamental form。第一基本形式。事实上,在微分几何中,仅依赖于第一基本形式的性质称为内蕴性质。
    在这里插入图片描述
    他能刻画mesh 角度、距离、面积信息。

    对角度

    在这里插入图片描述
    w 1 , w 2 w_1,w_2 w1,w2为单位向量,上式已经给出(cos)。

    对弧长

    根据chain rule:
    在这里插入图片描述

    对面积

    有人说这里直接将其看作叉乘推导。不过这里直接从楔积的角度给出,因为向量积即叉乘只是外积在三维空间的一个特例。所以我们使用更加general的楔积公式。楔积就是外积。来自于外代数。
    d A = ∣ X u × X v ∣ d u , d v dA= |X_{u} \times X_{v}| du, dv dA=Xu×Xvdu,dv给出的经典面积元素可以用第一基本形式+拉格朗日恒等式(Lagrange’s identity)[该等式将外积与内积关联]写出,
    d A = ∣ X u × X v ∣ d u , d v dA= |X_{u} \times X_{v}| du, dv dA=Xu×Xvdu,dv
    = < X u , X u > < X v , X v > − < X u , X v > 2 d u , d v = \sqrt{<X_u,X_u> <X_v,X_v> - <X_u, X_v>^2} du,dv =<Xu,Xu><Xv,Xv><Xu,Xv>2 du,dv
    考察
    在这里插入图片描述
    < X u , X u > = E <X_u,X_u> = E <Xu,Xu>=E
    < X u , X u > = G <X_u,X_u> = G <Xu,Xu>=G
    < X u , X v > 2 = F 2 <X_u, X_v>^2 = F^2 <Xu,Xv>2=F2
    所以有:

    d A = ∣ X u × X v ∣ d u , d v dA= |X_{u} \times X_{v}| du, dv dA=Xu×Xvdu,dv
    = < X u , X u > < X v , X v > − < X u , X v > 2 d u , d v = \sqrt{<X_u,X_u> <X_v,X_v> - <X_u, X_v>^2} du,dv\\ =<Xu,Xu><Xv,Xv><Xu,Xv>2 du,dv
    = E G − F 2 d u d v = \sqrt{EG-F^2}dudv =EGF2 dudv
    进一步,我们得到:
    面积
    A = ∫ ∫ U det ⁡ ( I ) d u d v = ∫ ∫ U E G − F 2 d u d v A = \int\int_U\sqrt{\det(I)}dudv = \int\int_U\sqrt{EG-F^2}dudv A=Udet(I) dudv=UEGF2 dudv

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  • 矩阵外积与内积

    万次阅读 多人点赞 2017-11-10 10:04:34
    一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积外积是一种特殊的克罗内克积,结果是一个矩阵, 假设和b分别是一个行向量和一个列向量,那么内积、外积分别记作和,,为了讨论方便,假设每个向量的长度为2。 ...

    一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积,又叫作点积,结果是一个数;

    一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积,外积是一种特殊的克罗内克积,结果是一个矩阵,

    假设和b分别是一个行向量和一个列向量,那么内积、外积分别记作,为了讨论方便,假设每个向量的长度为2。

    注意:外积在不同的地方定义方式不太一样,这里不详细讨论

    定义了内积和外积以后,我们讨论矩阵的乘法。矩阵是由向量组成的,因此对矩阵不同角度的抽象,将矩阵乘法转换为向量乘法,可以使我们从不同的角度去理解矩阵的乘法。首先我们可以对于一个矩阵A(假设行和列的大小都是2),我们可以即可以把它看作由两个行向量组成的列向量,

    ,又可以看作是由两个列向量组成的行量,我们表示列向量,表示行向量

     

    这样矩阵A和矩阵B的乘积按照不同的角度就可以组成四种理解方式。

    一、 A是由行向量组成的列向量,B是由列向量组成的行向量

                                  

    此时AB乘积变为了两个新的向量的外积形式,按照外积定义,我们有

    注意到这里面每一个都是一个向量,因此就是一个内积,计算结果就是AB矩阵第i行第j列中的元素。因此,我们可以看到,矩阵乘积是两个向量的外积,并且外积矩阵中的每一个元素是一个内积。这种方式是最直接的理解方式。

    二、 A是由列向量组成的行向量,B也是由列向量组成的行向量

    令C = AB, 我们考虑C的每一个列向量:

    同理:

    因此,矩阵C的每一个列向量,是A的列向量的一个线性组合,该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一列都存在于A的列向量空间内。

    三、 A是由行向量组成的列向量,B也是由行向量组成的列向量


    类似于上面的情况,不过我们现在考虑C的每一个行向量:


    同理:


    因此,矩阵C的每一个行向量,是B的行向量的一个线性组合,该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一个行向量都存在于B的行向量空间内。

    四、 A是由列向量组成的行向量,B也是由行向量组成的列向量


    此时AB乘积变为了两个新的向量的内积形式。按照内积定义我们有:


    注意到是一个外积形式,因为是一个列向量,是一个行向量,因此C是由各个外积矩阵相加得到的。

     

    根据以上分析,我们可以将第一种和第四种方式放到一起,第二种和第三种放到一起分别进行理解。第一种方式先将A抽象为列向量,将B抽象为行向量,从而将矩阵乘法变为了一种外积的形式,而外积矩阵中的每一个元素是一个行向量和一个列向量的内积。这种方式每次得到C的一个元素

    第四种理解方式先将A抽象为行向量,将B抽象为列向量,从而将矩阵乘法变为了一种内积形式,内积的各个组成部分又是一个外积。这种方式每次不是得到C的一个元素,而是将C看作是多个矩阵相加组成的,每次计算得到一个加数矩阵。

    第二种方式将矩阵A、B都抽象为行向量,行向量的每个组成是一个列向量,A乘以B的每一个列向量得到一个新的列向量,并且该列向量存在于A的列向量空间内,A乘以B相当于是对A进行了列变换。第三种方式则将A乘以B看作是对B进行了行变换。

    如果想对一个矩阵进行行变换,可以左乘一个矩阵;相应的如果想对矩阵进行列变换,可以右乘一个矩阵。这种思想被应用到高斯消元的过程中。

     

    最后我们总结一下矩阵C(C=AB)到底是什么,C是一个矩阵,是一个多面孔的矩阵。它既是列向量组成的行向量,每个列向量是A的列空间的线性组合,又是行向量组成的列向量,每个行向量是B的行空间的线性组合;它是一个内积,内积的每个成分是一个外积,同时它又是一个外积,外积矩阵的每一个元素是一个内积。

    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;


    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量


    点乘公式


    对于向量a和向量b:


                                                               


    a和b的点积公式为:



    要求一维向量a和向量b的行列数相同。


    点乘几何意义


    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:




    推导过程如下,首先看一下向量组成:





    定义向量:




    根据三角形余弦定理有:




    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:




    即:



    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:




    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

         a·b=0    正交,相互垂直  

         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 


    叉乘公式


    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。


    对于向量a和向量b:




    a和b的叉乘公式为:




    其中:




    根据i、j、k间关系,有:




    叉乘几何意义


    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。


    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示: 



    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。




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  • 外积(叉乘):向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。(外积是张量积的一种形式) 张量积:Kronecker product a⊗b 1.内积、外积、...

    Python/Numpy之点积叉积内积外积张量积

    内积(内积、标量积、数量积、点积、点乘)a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),结果为标量(一个数)
    外积(叉乘):向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。(外积是张量积的一种形式)
    张量积:Kronecker product a⊗b

    1.内积、外积、张量积、对应元素相乘

    1. 内积:innerx = np.dot(arr1,arr2)
    2. 外积:outerx = np.outer(arr1,arr2)
    3. 张量积:kronx = np.kron(arr1,arr2)
    4. 对应元素相乘:mul = arr1 * arr2 # 只有这种方式是元素相乘,其余都是矩阵相乘运算规则

    2. 举例如下

    >>> arr1 = np.array([1,2,3])
    >>> arr2 = np.array([2,3,4])
    # 外积
    >>> outerx = np.outer(arr1,arr2)
    >>> outerx
    array([[ 2,  3,  4],
           [ 4,  6,  8],
           [ 6,  9, 12]])
    # 内积
    >>> dotx = np.dot(arr1,arr2)
    >>> dotx
    20
    # 张量积
    >>> kronx = np.kron(arr1,arr2)
    >>> kronx
    array([ 2,  3,  4,  4,  6,  8,  6,  9, 12])
    # 对应元素乘积
    >>> mul = a * b
    >>> mul
    array([1, 4, 9])
    

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    向量内积外积,为啥要叫「内」「外」?
    python实现矢量积、叉积、外积、张量积

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  • 1. 点积与外积的区别 向量的乘法有两种,一种是点积--dot product,一种是外积--cross product 点积和外积的区别: 点积可以在任何维数的空间中定义,外积只能在三维空间中定义 点积的结果是一个标量,外积的...

    1. 点积与外积的区别

    向量的乘法有两种,一种是点积--dot product,一种是外积--cross product

    点积和外积的区别:

    点积可以在任何维数的空间中定义,外积只能在三维空间中定义

    点积的结果是一个标量,外积的结果是一个向量

    2. 外积的定义

    在R3中,假设有两个向量:

    \vec{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} \; \vec{b} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}

    那么,\vec{a} 与 \vec{b} 的外积是:

    \vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2\\ a_3b_1 - a_1b_3\\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix}

    外积就是两个向量组成的3x2矩阵的代数余子式

    由外积的定义可以看出,外积只能在三维空间中定义,且结果为一个向量。

    3. 外积的属性

    外积与生成外积的两个向量正交,证明如下:

    (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2\\ a_3b_1 - a_1b_3\\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}

    = a_1a_2b_3 - a_1a_3b_2 + a_2a_3b_1 - a_2a_1b_3 + a_3a_1b_2 - a_3a_2b_1

    = 0

    (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0 的证明过程类似

    外积向量的方向可以由右手法则来确定:大拇指指向\vec{a},四指指向\vec{b},掌心的方向即为外积向量的方向

    4. 外积的用处

    因为外积与生成外积的两个向量(不为0向量)正交,所以外积是两个原始向量展开生成的平面的法向量。在上一篇文章中介绍,由法向量和平面上的一个点,可以定义一个平面,但是多数情况下,并不知道平面的法向量,此时,如果知道平面上的三个点,由这三个点可以确定平面上的两个向量,再由两个向量计算出法向量,最终通过法向量和任意一个点,确定平面方程。

    5. 外积与夹角正余弦的关系

    点积与外积类似于硬币的两面,它们与夹角的关系为:

    \vec{a} \cdot \vec{b} = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \cos\Theta

    \left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \sin\Theta

    点积与夹角余弦的关系在上一篇文章中已证明,下面证明外积与夹角正弦的关系:

    点积的平方:

    (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \left \| \vec{a} \right \|^2 \left \| \vec{b} \right \|^2 \cos^2 \Theta

    = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2

    (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)

    = a_1^2b_1^2 + a_1a_2b_1b_2 + a_1a_3b_1b_3

    .\; \; \; \; + a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_2^2 + a_2a_3b_2b_3

    .\; \; \; \; + a_1a_3b_1b_3 + a_2a_3b_2b_3 + a_3^2b_3^2

    = a_1^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 + 2(a_1a_2b_1b_2 + a_1a_3b_1b_3 + a_2a_3b_2b_3)

    外积长度的平方:

    \left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \|^2 = (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2

    =a_2^2b_3^2 - 2a_2a_3b_2b_3 + a_3^2b_2^2

    .\; \; \; \; + a_3^2b_1^2 - 2a_1a_3b_1b_3 + a_1^2b_3^2

    .\; \; \; \; + a_1^2b_2^2 - 2a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_1^2

    =a_1^2(b_2^2+b_3^2) + a_2^2(b_1^2 + b_3^2) + a_3^2(b_1^2 + b_2^2)

    .\; \; \; - 2(a_1a_2b_1b_2 + a_1a_3b_1b_3 + a_2a_3b_2b_3)

    点积的平方加上外积长度的平方:

    \left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| ^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2)

    \left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| ^2 + \left \| \vec{a} \right \| ^2 \left \| \vec{b} \right \| ^2 \cos^2\Theta = \left \| \vec{a} \right \| ^2 \left \| \vec{b} \right \| ^2

    \left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| ^2 = \left \| \vec{a} \right \| ^2 \left \| \vec{b} \right \| ^2 (1 - \cos^2\Theta)

    \left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| ^2 = \left \| \vec{a} \right \| ^2 \left \| \vec{b} \right \| ^2 \sin^2\Theta

    两边同时开平方:

    \left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \sin\Theta

    证明完毕。

    6. 点积与外积长度的几何解释

    \vec{a} \cdot \vec{b} = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \cos \Theta = \left \| \vec{b} \right \| \left \| \vec{a} \right \| \cos \Theta = \left \| \vec{b} \right \| a_0

    \left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \sin \Theta = \left \| \vec{b} \right \| \left \| \vec{a} \right \| \sin \Theta = \left \| \vec{b} \right \| a_1

    从上图可知,点积为两向量同方向的积,外积长度为两向量垂直方向的积

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    万次阅读 多人点赞 2019-03-18 15:37:51
    一、向量的内(点乘) 定义 概括地说,向量的内(点乘/数量)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: a和b的点公式为: 这里要求...
  • 参考: https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 ... 1 向量内(点乘) 公式 a和b的点(点乘)公式为: 向量内的几何意义及用途 包括: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量...
  • 人工智能数学基础-内积和外积

    千次阅读 2018-03-04 10:46:01
    一。三角形面积1、s=(1/2)*底*高 2、海伦公式: s=√[p(p-a)(p-b)(p-c) ]其中p=1/2(a+b+c) , 推导过程 求出ha,然后用公式1即可。...数量积)与外积(叉积。向量积)1.内积a和b的点积公式为:(也就...

空空如也

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外积的方向