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  • 泰勒展开2.1 一元函数泰勒展开2.2 二元函数泰勒展开2.3 n元函数泰勒展开3. 黑塞矩阵(海森矩阵) 1. 引入:函数展开 设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 处可导,则在点 x0x_0x0​ 的某邻域内,可以用下...

    1. 引入:函数展开

    • 设函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可导,则在点 x 0 x_0 x0 的某邻域内,可以用下式表示原函数值
      f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + o ( x − x 0 ) ,     x → x 0 f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0),\space\space\space x \rightarrow x_0 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0),   xx0
      对于这种一元函数,示意图如下
      在这里插入图片描述
    • 上面这个式子,可以看作在点 x 0 x_0 x0 处对 f ( x ) f(x) f(x) 进行了一步展开,使用线性主部 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f'(x_0)(x - x_0) f(x0)(xx0) 和与展开点 x 0 x_0 x0 的偏差 △ x \triangle x x 的高阶无穷小表示原函数。
    • 函数展开的应用非常广泛,这种方法可以把复杂的原始目标函数近似转换为多项式函数,从而简化问题。使用泰勒展开,只要原函数任意阶可导,就可以将其展开为任意阶的多项式函数,得到更高精度的表示

    2. 泰勒展开

    2.1 一元函数泰勒展开

    • 使用泰勒展开,可以把在 x k x_k xk n n n 阶可导的函数 f ( x ) f(x) f(x) 展开为关于 △ x = x − x k \triangle x = x-x_k x=xxk n n n 次多项式,如下
      f ( x ) = f ( x k ) + ( x − x k ) f ′ ( x k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f ′ ′ ( x k ) + . . . = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x k ) n ! ( x − x k ) n \begin{aligned} f(x) &= f(x_k) + (x-x_k)f'(x_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''(x_k) + ... \\ &= \sum_{n=0}^\infin \frac{f^{(n)}(x_k)}{n!}(x-x_k)^n \end{aligned} f(x)=f(xk)+(xxk)f(xk)+2!1(xxk)2f(xk)+...=n=0n!f(n)(xk)(xxk)n
    • n n n 有上界时,需要在展开式最后添加 △ x = ( x − x k ) \triangle x = (x-x_k) x=(xxk) n n n 次方的高阶无穷小 o ( ( x − x k ) n ) o((x-x_k)^n) o((xxk)n) 以补足近似差距,保证等号成立。可见,随着展开阶数提高,展开式精度也在不断提高

    2.2 二元函数泰勒展开

    • △ x = x − x k ,    △ y = y − y k \triangle x = x-x_k,\space\space \triangle y = y-y_k x=xxk,  y=yyk,设二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x k , y k ) (x_k,y_k) (xk,yk) 处可导,可以如下展开:
      f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + [ f x ′ ( x k , y k ) △ x + f y ′ ( x k , y k ) △ y ] + 1 2 ! [ f x x ′ ′ ( x k , y k ) △ x 2 + f x y ′ ′ ( x k , y k ) △ x △ y + f y x ′ ′ ( x k , y k ) △ x △ y + f y y ′ ′ ( x k , y k ) △ y 2 ] + . . . \begin{aligned} f(x,y) = f(x_k,y_k) &+ \Big[f'_x(x_k,y_k) \triangle x +f'_y(x_k,y_k)\triangle y\Big]\\ &+ \frac{1}{2!}\Big[f''_{xx}(x_k,y_k)\triangle x^2 + f''_{xy}(x_k,y_k)\triangle x\triangle y+f''_{yx}(x_k,y_k)\triangle x\triangle y+f''_{yy}(x_k,y_k)\triangle y^2 \Big] \\ &+ ... \end{aligned} f(x,y)=f(xk,yk)+[fx(xk,yk)x+fy(xk,yk)y]+2!1[fxx(xk,yk)x2+fxy(xk,yk)xy+fyx(xk,yk)xy+fyy(xk,yk)y2]+...
      通常写成矩阵形式
      f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + [ f x ′ ( x k , y k ) f y ′ ( x k , y k ) ] [ △ x △ y ] + 1 2 ! [ △ x △ y ] [ f x x ′ ′ f ( x k , y k ) f x y ′ ′ f ( x k , y k ) f y x ′ ′ f ( x k , y k ) f y y ′ ′ f ( x k , y k ) ] [ △ x △ y ] + . . . \begin{aligned} f(x,y) = f(x_k,y_k) &+ \begin{bmatrix}f'_x(x_k,y_k)&f'_y(x_k,y_k)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\triangle x \\\triangle y\end{bmatrix} \\ &+ \frac{1}{2!}\begin{bmatrix}\triangle x &\triangle y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}f''_{xx}f(x_k,y_k) &f''_{xy}f(x_k,y_k)\\f''_{yx}f(x_k,y_k) &f''_{yy}f(x_k,y_k)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\triangle x \\\triangle y\end{bmatrix} \\ &+... \end{aligned} f(x,y)=f(xk,yk)+[fx(xk,yk)fy(xk,yk)][xy]+2!1[xy][fxxf(xk,yk)fyxf(xk,yk)fxyf(xk,yk)fyyf(xk,yk)][xy]+...
    • 以上展开到2阶,所以至少要求2阶可导,若二阶导数连续(原函数为光滑曲线),则有 f x y ′ ′ = f y x ′ ′ f''_{xy}=f''_{yx} fxy=fyx,可进一步化简

    2.3 n元函数泰勒展开

    • △ x i = x − x k i \triangle x^i = x-x_k^i xi=xxki,设 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T \pmb{x} = (x^1,x^2,...,x^n)^T xxx=(x1,x2,...,xn)T n n n 元函数 f ( x ) f(\pmb{x}) f(xxx) x k = ( x k 1 , x k 2 , . . . , x k n ) T \pmb{x}_k = (x_k^1,x_k^2,...,x_k^n)^T xxxk=(xk1,xk2,...,xkn)T 处可导,可以如下展开:
      f ( x ) = f ( x k ) + ∑ i = 1 n f x i ′ ( x ) △ x i + 1 2 ! ∑ i , j = 1 n f i j ′ ′ ( x k ) ( x i − x k i ) + . . . \begin{aligned} f(\pmb{x}) = f(\pmb{x}_k) &+ \sum_{i=1}^n f'_{x^i}(\pmb{x}) \triangle x^i \\ &+ \frac{1}{2!} \sum_{i,j=1}^nf''_{ij}(\pmb{x}_k)(x^i-x^i_k)\\ &+ ... \end{aligned} f(xxx)=f(xxxk)+i=1nfxi(xxx)xi+2!1i,j=1nfij(xxxk)(xixki)+...
      通常写成矩阵形式
      f ( x ) = f ( x k ) + [ f x 1 ′ ( x k ) f x 2 ′ ( x k ) … f x n ′ ( x k ) ] [ △ x 1 △ x 2 ⋮ △ x n ] + 1 2 ! [ △ x 1 △ x 2 … △ x n ] H ( x k ) [ △ x 1 △ x 2 ⋮ △ x n ] + . . . \begin{aligned} f(\pmb{x}) = f(\pmb{x}_k) &+ \begin{bmatrix}f'_{x^1}(\pmb{x}_k)&f'_{x^2}(\pmb{x}_k) &\dots &f'_{x^n}(\pmb{x}_k)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\triangle x^1 \\\triangle x^2 \\ \vdots\\ \triangle x^n \end{bmatrix} \\ &+ \frac{1}{2!}\begin{bmatrix}\triangle x^1 &\triangle x^2 & \dots & \triangle x^n \end{bmatrix} \pmb{H}(\pmb{x}_k) \begin{bmatrix}\triangle x^1 \\\triangle x^2 \\ \vdots\\ \triangle x^n \end{bmatrix}\\ &+ ... \end{aligned} f(xxx)=f(xxxk)+[fx1(xxxk)fx2(xxxk)fxn(xxxk)]x1x2xn+2!1[x1x2xn]HHH(xxxk)x1x2xn+...
      其中 [ f x 1 ′ ( x k ) f x 2 ′ ( x k ) … f x n ′ ( x k ) ] \begin{bmatrix}f'_{x^1}(\pmb{x}_k)&f'_{x^2}(\pmb{x}_k) &\dots &f'_{x^n}(\pmb{x}_k)\end{bmatrix} [fx1(xxxk)fx2(xxxk)fxn(xxxk)] 就是 f ( x ) f(\pmb{x}) f(xxx) 的梯度,化简符号如下:
      f ( x ) = f ( x k ) + [ ▽ f ( x k ) ] T [ x − x k ] + 1 2 ! [ x − x k ] T H ( x k ) [ x − x k ] + . . . \begin{aligned} f(\pmb{x}) = f(\pmb{x}_k) &+ [\triangledown f(\pmb{x}_k)]^T[\pmb{x}-\pmb{x}_k] \\ &+ \frac{1}{2!}[\pmb{x}-\pmb{x}_k]^T H(\pmb{x}_k) [\pmb{x}-\pmb{x}_k]\\ &+ ... \end{aligned} f(xxx)=f(xxxk)+[f(xxxk)]T[xxxxxxk]+2!1[xxxxxxk]TH(xxxk)[xxxxxxk]+...

    • 以上展开到2阶,所以至少要求2阶可导,若二阶导数连续(原函数为光滑曲线),则有 f x y ′ ′ = f y x ′ ′ f''_{xy}=f''_{yx} fxy=fyx,可进一步化简。上式中 H ( x k ) H(\pmb{x}_k) H(xxxk) 是黑塞矩阵,当展开到二阶时就会出现

    3. 黑塞矩阵(海森矩阵)

    • 黑塞矩阵是由某个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率

      黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵

    • 在 2.3 节设定下,黑塞矩阵为
      在这里插入图片描述
    • 对称性要求 f ( x ) f(\pmb{x}) f(xxx) 在展开区域内二阶连续可导(二阶偏导数连续,原函数光滑),则原函数的混合偏导数相等,黑塞矩阵成为对称矩阵
    • 可以使用黑塞矩阵判断多元函数极值,这个以后的文章再详细分析
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  • [matlab笔记]多元函数泰勒展开

    千次阅读 2019-04-19 11:02:05
    [matlab笔记]多元函数泰勒展开 只是学习matlab时的一个笔记。 如下所示。 syms x y f = exp(x)*y; f1=taylor(f, [x y],4) %f1 里的4是展开点,f2里的4是阶 f2=taylor(f, [x y],'order',4) %没有写展开点默认在...

    只是学习matlab时的一个笔记。
    如下所示。

    syms x y
    f = exp(x)*y;
    f1=taylor(f, [x y],4)            %f1 里的4是展开点,f2里的4是阶
    f2=taylor(f, [x y],'order',4)    %没有写展开点默认在0展开
    f3=taylor(f, [x y],0,'order',4)  %f3=f2

    [使用的是matlab2016a]

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  • 多元函数泰勒(Taylor)展开式

    万次阅读 多人点赞 2017-04-20 15:17:22
    多元函数泰勒展开式实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。 一元函数在点xkx_k处的泰勒展开式为: f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12...

    红色石头的个人网站:redstonewill.com

    实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。

    • 一元函数在点 xk x k 处的泰勒展开式为:

      f(x)=f(xk)+(xxk)f(xk)+12!(xxk)2f′′(xk)+on f ( x ) = f ( x k ) + ( x − x k ) f ′ ( x k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f ″ ( x k ) + o n

    • 二元函数在点 (xk,yk) ( x k , y k ) 处的泰勒展开式为:

      f(x,y)=f(xk,yk)+(xxk)fx(xk,yk)+(yyk)fy(xk,yk)+12!(xxk)2f′′xx(xk,yk)+12!(xxk)(yyk)f′′xy(xk,yk)+12!(xxk)(yyk)f′′yx(xk,yk)+12!(yyk)2f′′yy(xk,yk)+on f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + ( x − x k ) f x ′ ( x k , y k ) + ( y − y k ) f y ′ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f x x ″ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) ( y − y k ) f x y ″ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) ( y − y k ) f y x ″ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( y − y k ) 2 f y y ″ ( x k , y k ) + o n

    • 多元函数(n)在点 xk x k 处的泰勒展开式为:

      f(x1,x2,,xn)=f(x1k,x2k,,xnk)+i=1n(xixik)fxi(x1k,x2k,,xnk)+12!i,j=1n(xixik)(xjxjk)f′′ij(x1k,x2k,,xnk)+on f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = f ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + ∑ i = 1 n ( x i − x k i ) f x i ′ ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + 1 2 ! ∑ i , j = 1 n ( x i − x k i ) ( x j − x k j ) f i j ″ ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + o n

    • 把Taylor展开式写成矩阵的形式:

    f(x)=f(xk)+[f(xk)]T(xxk)+12![xxk]TH(xk)[xxk]+on f ( x ) = f ( x k ) + [ ∇ f ( x k ) ] T ( x − x k ) + 1 2 ! [ x − x k ] T H ( x k ) [ x − x k ] + o n

    其中:

    H(xk)=2f(xk)x212f(xk)x2x12f(xk)xnx12f(xk)x1x22f(xk)x222f(xk)xnx22f(xk)x1xn2f(xk)x2xn2f(xk)x2n H ( x k ) = [ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 2 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n 2 ]


    这里写图片描述

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  • 多元函数泰勒公式

    千次阅读 2018-10-26 23:52:16
    在研究多参量问题时,比如建模,可能会使用多元函数泰勒公式。 多元函数泰勒公式: Forked from RedStoneWill

    在研究多参量问题时,比如建模,可能会使用多元函数的泰勒公式。

    多元函数的泰勒公式:

    Forked from RedStoneWill

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  • 多元函数泰勒展开式

    万次阅读 2018-05-18 15:33:33
    多元函数泰勒展开式 本博客整理自:http://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/70260070。并在一些地方做出修改。 实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为...
  • 一元函数、多元函数泰勒公式

    千次阅读 2019-07-13 17:06:00
    一元函数、多元函数泰勒公式 转载于:https://www.cnblogs.com/liuys635/p/11181330.html
  • 多元函数泰勒展开公式

    万次阅读 多人点赞 2018-07-04 10:48:02
    泰勒定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在开区间(a,b)内存在(n+1)阶导函数,则对任意给定的x,x0∈[a,b]x,x0∈[a,b]x,x_0\in [a,b],至少存在一点ξ∈(a,b)ξ∈(a,b)\xi \in (a,b),使得 ...
  • 一元函数泰勒公式 或者可以写成: 二元函数泰勒级数对 二元函数 f(x, y), 考虑在点 (a, b) 附近方向 (u, v) 有微小增量 f(a + tu, b + tv), 定义函数: 此时 是对 t 的单变量函数,利用上面的 一元函数泰勒...
  • 多元函数泰勒展开式公式推导

    千次阅读 2020-03-18 22:30:53
    最优化问题中总会遇到多元函数泰勒展开公式,没有推导过总是感觉很抽象,参考如下链接,文章讲得很清晰。 多元函数泰勒(Taylor)展开式 推导过程 一元函数在点 Xk\mathcal{X}_{k}Xk​处的泰勒展开式为: f(x)=f...
  • 写在前面:本学期开始所有视频均已进行降噪...一键三连刷起来~嘻嘻~前两节中我们学习了二元函数的泰勒公式其中涉及了很多充满技巧的解题方法不知道大家掌握的怎么样到此,多元函数微分学已经全部结束啦本节作为餐后...
  • 多元函数中的泰勒公式的表达一元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式多元函数中的泰勒公式 多元函数中最优化问题的目标函数往往是一个复杂的函数,简化问题的时候,通常表达为在某一点的泰勒展开的表达式。与一元函数...
  • 多元函数泰勒展开(Taylor series expansion) 实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近()展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。 ①一元函数在点处的泰勒展开式为...
  • 一元函数在点xkx_kxk​处的泰勒展开 f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12!(x−xk)2f′′(xk)+onf(x) = f(x_k)+(x-x_k)f'(x_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''(x_k)+o^nf(x)=f(xk​)+(x−xk​)f′(xk​)+2!1​(x−xk​)2f′′(xk...
  • 高等数学学习笔记——第七十一讲——多元函数泰勒公式.pdf
  • 多元函数泰勒公式问题引入海赛矩阵二级目录三级目录 问题引入 海赛矩阵 二级目录 三级目录
  • 实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数
  • 1. 问题引入——“以平代曲”与“以曲代曲” 2. 一元函数的导数,二元函数一阶导数,梯度及二元函数的二阶矩阵(海塞矩阵) ...6. 函数在某处的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式(带皮亚诺余项的泰勒公式) ...
  • 注意:公式最后一步的第二个 i 代表 i 阶导数 ,而非 i 次幂。 转载于:https://www.cnblogs.com/suiyuan2011/archive/2011/10/03/2198550.html
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