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  • 多元函数泰勒展开公式

    万次阅读 多人点赞 2018-07-04 10:48:02
    泰勒定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在开区间(a,b)内存在(n+1)阶导函数,则对任意给定的x,x0∈[a,b]x,x0∈[a,b]x,x_0\in [a,b],至少存在一点ξ∈(a,b)ξ∈(a,b)\xi \in (a,b),使得 ...

    泰勒定理

    泰勒展开是一个很有趣的方法。应该大部分人都看过下面这么一条定理:

    泰勒定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在开区间(a,b)内存在(n+1)阶导函数,则对任意给定的 x,x0[a,b] x , x 0 ∈ [ a , b ] ,至少存在一点 ξ(a,b) ξ ∈ ( a , b ) ,使得

    f(x)=+f(x0)+f (x0)(xx0)+f ′′(x0)2!(xx0)2+f(n)(x0)n!(xx0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1 f ( x ) = f ( x 0 ) + f   ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f   ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1

    他的原理也很简单,那就是,当两个函数接近的时候,那么他们在某个点的值肯定相等: f(0)=g(0) f ( 0 ) = g ( 0 )
    他们的一阶导数在一点上也应该相等 f(0)=g(0) f ′ ( 0 ) = g ′ ( 0 )
    二阶导数也应该相等 f′′(0)=g′′(0) f ″ ( 0 ) = g ″ ( 0 ) ,如此类推。。
    那么我们能不能用一个多项式函数去逼近这么一个函数呢?而答案正是泰勒展开。

    举个例子,假设f(x)是你想逼近的函数,g(x)则是它的二阶泰勒逼近,即: g(x)=f(0)+f(0)(x0)+f′′(0)2(x0)2 g ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) + f ″ ( 0 ) 2 ( x − 0 ) 2
    于是显然有: g(0)=f(0)。g(x)对x求导:

    g(x)g′′(x)=f(0)+f′′(0)(x0)=f′′(0)(185)(186) (185) g ′ ( x ) = f ′ ( 0 ) + f ″ ( 0 ) ( x − 0 ) (186) g ″ ( x ) = f ″ ( 0 )

    因此 g(0)=f(0) g ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) , g′′(0)=f′′(0) g ″ ( 0 ) = f ″ ( 0 )
    当级数趋于无穷的时候就能近似任意的函数了。
    盗个图:
    这里写图片描述

    f(x+y)f(x)+f(ξ)y f ( x + y ) ≈ f ( x ) + f ′ ( ξ ) y

    多元函数的泰勒展开

    多元函数的泰勒近似的原理也是类似的,只不过在多元函数中,我们要求的两个函数值相同,变成了有多个点: f(a,b)=g(a,b) f ( a , b ) = g ( a , b ) , Df(a,b)=Dg(a,b) D f ( a , b ) = D g ( a , b ) , Hf(a,b)=Hg(a,b) H f ( a , b ) = H g ( a , b ) ,这里的Df(a,b)是导数矩阵,Hf(a,b)是黑塞矩阵(二阶导),于是多元函数的泰勒展开公式就变成:

    f(x)f(a)+Df(a)(xa)+12(xa)THf(a)(xa). f ( x ) ≈ f ( a ) + D f ( a ) ( x − a ) + 1 2 ( x − a ) T H f ( a ) ( x − a ) .

    其中

    Df(a,b)=[fx1(a,b),fx2(a,b)]. D f ( a , b ) = [ ∂ f x 1 ( a , b ) , ∂ f x 2 ( a , b ) ] .

    Hf=2fx21(a,b)2fx2 x1(a,b)2fx1 x2(a,b)2fx22(a,b) H f = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ( a , b ) ∂ 2 f ∂ x 1   ∂ x 2 ( a , b ) ∂ 2 f ∂ x 2   ∂ x 1 ( a , b ) ∂ 2 f ∂ x 2 2 ( a , b ) ]

    举个例子,一个二元函数f(x,y)在点(a,b)上的的泰勒展开式为:

    f(x,y)+=++f(a,b)+[fx(a,b),fy(a,b)][xayb]12[xayb]2fx2(a,b)2fy x(a,b)2fx y(a,b)2fy2(a,b)[xayb]f(a,b)+(xa)fx(a,b)+(yb)fy(a,b)12!(xa)2f′′xx(a,b)+12!(xa)(yb)f′′xy(a,b)12!(xa)(yb)f′′yx(a,b)+12!(yb)2f′′yy(a,b) f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + [ ∂ f x ( a , b ) , ∂ f y ( a , b ) ] [ x − a y − b ] + 1 2 [ x − a y − b ] [ ∂ 2 f ∂ x 2 ( a , b ) ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( a , b ) ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ( a , b ) ∂ 2 f ∂ y 2 ( a , b ) ] [ x − a y − b ] = f ( a , b ) + ( x − a ) f x ′ ( a , b ) + ( y − b ) f y ′ ( a , b ) + 1 2 ! ( x − a ) 2 f x x ″ ( a , b ) + 1 2 ! ( x − a ) ( y − b ) f x y ″ ( a , b ) + 1 2 ! ( x − a ) ( y − b ) f y x ″ ( a , b ) + 1 2 ! ( y − b ) 2 f y y ″ ( a , b )

    黑塞矩阵更一般的形式可以写成:

    Hf(x1,x2,...,xn)=2fx212fx2x12fxnx12fx1x22fx222fxnx22fx1xn2fx2xn2fx2n. H f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ] .

    参考资料

    https://mathinsight.org/taylors_theorem_multivariable_introduction
    https://mathinsight.org/derivative_matrix
    https://mathinsight.org/taylor_polynomial_multivariable_examples
    https://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/70260070
    怎样更好地理解并记忆泰勒展开式? - 陈二喜的回答 - 知乎

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  • 多元函数泰勒展开公式推导

    千次阅读 2020-03-18 22:30:53
    最优化问题中总会遇到多元函数泰勒展开公式,没有推导过总是感觉很抽象,参考如下链接,文章讲得很清晰。 多元函数泰勒(Taylor)展开式 推导过程 一元函数在点 Xk\mathcal{X}_{k}Xk​处的泰勒展开式为: f(x)=f...

    前言

    最优化问题中总会遇到多元函数的泰勒展开公式,没有推导过总是感觉很抽象,参考如下链接,文章讲得很清晰。

    多元函数的泰勒(Taylor)展开式

    推导过程

    • 一元函数在点 X k \mathcal{X}_{k} Xk处的泰勒展开式为:
      f ( x ) = f ( x k ) + ( x − x k ) f ′ ( x k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f ′ ′ ( x k ) + o n f(x)=f\left(x_{k}\right)+\left(x-x_{k}\right) f^{\prime}\left(x_{k}\right)+\frac{1}{2 !}\left(x-x_{k}\right)^{2} f^{\prime \prime}\left(x_{k}\right)+o^{n} f(x)=f(xk)+(xxk)f(xk)+2!1(xxk)2f(xk)+on
    • 二元函数在点 ( x k , y k ) \left(x_{k}, y_{k}\right) (xk,yk)处的泰勒展开式为:
      f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + ( x − x k ) f x ′ ( x k , y k ) + ( y − y k ) f y ′ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f x x ′ ′ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) ( y − y k ) f x y ′ ′ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) ( y − y k ) f y x ′ ′ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( y − y k ) 2 f y y ′ ′ ( x k , y k ) + o n \begin{array}{c} f(x, y)=f\left(x_{k}, y_{k}\right)+\left(x-x_{k}\right) f_{x}^{\prime}\left(x_{k}, y_{k}\right)+\left(y-y_{k}\right) f_{y}^{\prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \\ +\frac{1}{2 !}\left(x-x_{k}\right)^{2} f_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right)+\frac{1}{2 !}\left(x-x_{k}\right)\left(y-y_{k}\right) f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \\ +\frac{1}{2 !}\left(x-x_{k}\right)\left(y-y_{k}\right) f_{y x}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right)+\frac{1}{2 !}\left(y-y_{k}\right)^{2} f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \\ +o^{n} \end{array} f(x,y)=f(xk,yk)+(xxk)fx(xk,yk)+(yyk)fy(xk,yk)+2!1(xxk)2fxx(xk,yk)+2!1(xxk)(yyk)fxy(xk,yk)+2!1(xxk)(yyk)fyx(xk,yk)+2!1(yyk)2fyy(xk,yk)+on
      上公式化成矩阵形式如下,可以和后面的多元函数泰勒展开的矩阵形式相互对照理解。
      f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + [ f x ′ ( x k , y k ) f y ′ ( x k , y k ) ] [ x − x k y − y k ] f(x, y)=f\left(x_{k}, y_{k}\right)+\left[f_{x}^{\prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \quad f_{y}^{\prime}\left(x_{k}, y_{k}\right)\right]\left[\begin{array}{c} x-x_{k} \\ y-y_{k} \end{array}\right] f(x,y)=f(xk,yk)+[fx(xk,yk)fy(xk,yk)][xxkyyk]
      + 1 2 ! [ x − x k y − y k ] [ f x x ′ ′ ( x k , y k ) f x y ′ ′ ( x k , y k ) f y x ′ ′ ( x k , y k ) f y y ′ ′ ( x k , y k ) ] [ x − x k y − y k ] +\frac{1}{2 !}\left[x-x_{k} \quad y-y_{k}\right]\left[\begin{array}{cc} f_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) & f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \\ f_{y x}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) & f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x-x_{k} \\ y-y_{k} \end{array}\right] +2!1[xxkyyk][fxx(xk,yk)fyx(xk,yk)fxy(xk,yk)fyy(xk,yk)][xxkyyk]
    • 多元函数在 ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) \left(x_{k}^{1}, x_{k}^{2}, \dots, x_{k}^{n}\right) (xk1,xk2,,xkn) 处的泰勒展开公式:
      f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = f ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + ∑ i = 1 n ( x i − x k i ) f x i ′ ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + 1 2 ! ∑ i , j = 1 n ( x i − x k i ) ( x j − x k j ) f i j ′ ′ ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + o n \begin{array}{c} f\left(x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{n}\right)=f\left(x_{k}^{1}, x_{k}^{2}, \ldots, x_{k}^{n}\right)+\sum_{i=1}^{n}\left(x^{i}-x_{k}^{i}\right) f_{x^{i}}^{\prime}\left(x_{k}^{1}, x_{k}^{2}, \ldots, x_{k}^{n}\right) \\ +\frac{1}{2 !} \sum_{i, j=1}^{n}\left(x^{i}-x_{k}^{i}\right)\left(x^{j}-x_{k}^{j}\right) f_{i j}^{\prime \prime}\left(x_{k}^{1}, x_{k}^{2}, \ldots, x_{k}^{n}\right) \\ +o^{n} \end{array} f(x1,x2,,xn)=f(xk1,xk2,,xkn)+i=1n(xixki)fxi(xk1,xk2,,xkn)+2!1i,j=1n(xixki)(xjxkj)fij(xk1,xk2,,xkn)+on
    • 多元函数泰勒展开式写成矩阵的形式:
      f ( x ) = f ( x k ) + [ ∇ f ( x k ) ] T ( x − x k ) + 1 2 ! [ x − x k ] T H ( x k ) [ x − x k ] + o n f(\mathbf{x})=f\left(\mathbf{x}_{k}\right)+\left[\nabla f\left(\mathbf{x}_{k}\right)\right]^{T}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{k}\right)+\frac{1}{2 !}\left[\mathbf{x}-\mathbf{x}_{k}\right]^{T} H\left(\mathbf{x}_{k}\right)\left[\mathbf{x}-\mathbf{x}_{k}\right]+o^{n} f(x)=f(xk)+[f(xk)]T(xxk)+2!1[xxk]TH(xk)[xxk]+on
      H ( x k ) = [ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 2 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n 2 ] H\left(\mathbf{x}_{k}\right)=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial^{2} f\left(x_{k}\right)}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} f\left(x_{k}\right)}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f\left(x_{k}\right)}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\ \frac{\partial^{2} f\left(x_{k}\right)}{\partial x_{2} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f\left(x_{k}\right)}{\partial x_{2}^{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f\left(x_{k}\right)}{\partial x_{2} \partial x_{n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^{2} f\left(x_{k}\right)}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f\left(x_{k}\right)}{\partial x_{n} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f\left(x_{k}\right)}{\partial x_{n}^{2}} \end{array}\right] H(xk)=x122f(xk)x2x12f(xk)xnx12f(xk)x1x22f(xk)x222f(xk)xnx22f(xk)x1xn2f(xk)x2xn2f(xk)xn22f(xk)
    • 当为二元时,
      ∇ f ( x k ) = [ f x ′ ( x k , y k ) f y ′ ( x k , y k ) ] \nabla f\left(x_{k}\right)=\left[\begin{array}{l} f_{x}^{\prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \\ f_{y}^{\prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \end{array}\right] f(xk)=[fx(xk,yk)fy(xk,yk)]

    [ x − x k ] = [ x − x k y − y k ] \left[x-x_{k}\right]=\left[\begin{array}{l} x-x_{k} \\ y-y_{k} \end{array}\right] [xxk]=[xxkyyk]
    H ( x k ) = [ f x x ′ ′ ( x k , y k ) f x y ′ ′ ( x k , y k ) f y x ′ ′ ( x k , y k ) f y y ′ ′ ( x k , y k ) ] H\left(x_{k}\right)=\left[\begin{array}{ll} f_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) & f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \\ f_{y x}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) & f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{k}, y_{k}\right) \end{array}\right] H(xk)=[fxx(xk,yk)fyx(xk,yk)fxy(xk,yk)fyy(xk,yk)]

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  • 多元函数泰勒公式

    千次阅读 2018-10-26 23:52:16
    在研究多参量问题时,比如建模,可能会使用多元函数泰勒公式多元函数泰勒公式: Forked from RedStoneWill

    在研究多参量问题时,比如建模,可能会使用多元函数的泰勒公式。

    多元函数的泰勒公式:

    Forked from RedStoneWill

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  • [matlab笔记]多元函数泰勒展开

    千次阅读 2019-04-19 11:02:05
    [matlab笔记]多元函数泰勒展开 只是学习matlab时的一个笔记。 如下所示。 syms x y f = exp(x)*y; f1=taylor(f, [x y],4) %f1 里的4是展开点,f2里的4是阶 f2=taylor(f, [x y],'order',4) %没有写展开点默认在...

    只是学习matlab时的一个笔记。
    如下所示。

    syms x y
    f = exp(x)*y;
    f1=taylor(f, [x y],4)            %f1 里的4是展开点,f2里的4是阶
    f2=taylor(f, [x y],'order',4)    %没有写展开点默认在0展开
    f3=taylor(f, [x y],0,'order',4)  %f3=f2

    [使用的是matlab2016a]

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  • 一元函数、多元函数泰勒公式

    千次阅读 2019-07-13 17:06:00
    一元函数、多元函数泰勒公式 转载于:https://www.cnblogs.com/liuys635/p/11181330.html
  • 多元函数泰勒展开

    万次阅读 2017-10-26 21:31:09
    多元函数泰勒展开式  本博客整理自:http://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/70260070。并在一些地方做出修改。  实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近...
  • 高等数学学习笔记——第七十一讲——多元函数泰勒公式.pdf
  • 注意:公式最后一步的第二个 i 代表 i 阶导数 ,而非 i 次幂。 转载于:https://www.cnblogs.com/suiyuan2011/archive/2011/10/03/2198550.html
  • 基本思想 不论是多元函数也好,还是一元函数也好,最基本的泰勒公式展开式基本思想是用多项式函数逼近函数本身。 一元函数的泰勒公式 设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_{0}x0​处的邻域内有n+1n+1n+1阶导数,那么就会有...
  • 多元函数泰勒公式问题引入海赛矩阵二级目录三级目录 问题引入 海赛矩阵 二级目录 三级目录
  • 多元函数泰勒(Taylor)展开

    万次阅读 多人点赞 2017-04-20 15:17:22
    多元函数泰勒展开式实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。 一元函数在点xkx_k处的泰勒展开式为: f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12...
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  • 泰勒公式推导及多元泰勒展开

    万次阅读 多人点赞 2018-08-30 10:06:52
    如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。(其实.....
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  • 一元函数在点xk处的泰勒展开式为: 二元函数在点(xk,yk)处的泰勒展开式为: 多元函数在点(xk,yk)处的泰勒展开式为: 把Taylor展开式写成矩阵的形式: 其中: ...
  • 泰勒展开去逼近函数

    千次阅读 2018-10-26 12:01:00
    syms x; s = taylor(sin(x),‘order’...从以上两图可以看出,泰勒级数展开的项数越多,就能在越宽的自变量取值范围内准确地逼近原函数;反之,只能在较窄的自变量范围内逼近函数。所以,若想用泰勒展开去求解离已知...
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  • 二元泰勒展开

    千次阅读 2020-03-13 08:38:42
    最近在看变分法,里面有一条公式 ...多元泰勒展开其实就是在一元泰勒展开的基础上,直接把所有的变量泰勒展开加一遍 具体的证明过程可以参考 https://blog.csdn.net/chenqihome9/article/details/86349868 ...
  • 多元函数带Peano余项的Taylor公式的推广(无参考资料)pdf 自己写的推论,没有类似的资料。
  • 内容介绍原文档由会员 马甲线女神 发布泰勒公式应用Taylor formula and its application6176字 24页 原创作品,已通过查重系统目 录引 言3第一章 泰勒公式及其余项51.1 泰勒公式的定义51.2 泰勒级数61.2.1 泰勒级数...

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