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  • §8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为  (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏...

    §8.4  多元函数求导法则

    定理】若函数都在点可导;

    函数在对应点具有连续偏导数,

    则复合函数在点可导,且其导数为

                               (1)

    证明:获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为

    据假定,函数在点具有连续偏导数,从而有

    这里,当时,

    上式两边除以

    而当时,有 ,从而

    所以

    故复合函数  在点可导,其导数可用(1)式计算。

    用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。

    例如, 设  与 复合而得到

    函数

    在点可导,

    具有连续偏导数,

    则复合函数 在点可导, 且

                           (2)

    在公式(1)与(2)中的导数称为全导数

    上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。

    例如, 设复合而得到

    函数 ,

    在点 具有对的偏导数,

    函数在对应点具有连续偏导数,

    在点的两个偏导数存在, 且

                                    (3)

    事实上,求时,看作常量,因此中间变量仍可看作一元函数而应用上述定理。但均是的二元函数,所以应把(1)式中的直导数记号改为偏导数的记号,再将换成,这样便得到了(3)式。

    类似地, 设均在点具有对的偏导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数

    在点的两个偏导数都存在,且

                        (4)

    例如,若有连续偏导数,而偏导数存在,则复合函数  可看作上述情形中当的特殊情形, 因此

    (4)式变成

    等式两边均出现了,尽管记号一样,但其意义有本质的差别,以第一式加以阐明:

    左边的是将复合函数中的看作常数,而对求偏导数;

    右边的是把函数中的看作常数,而对求偏导数。

    因此,为了避免麻烦, 我们往往将上述两式的形式写为

    由该复合函数变量间的关系链,可对此求(偏)导数法则作如下解释:

    ,可沿第一条线路对求导, 再沿第二条线路对求导, 最后把两个结果相加。

    而沿第一条线路对求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的函数,求导结果自然是 ( 这与一元复合函数求导法则很类似);

    而沿第二条线路对求导,相当于把分别视为常量,就成了的函数,而又是的函数,求导结果自然是

    上述变量关系图象一根链子,它将变量间的相互依赖关系形象地展示出来。对某个变量求导,就是沿企及该变量的各条线路分别求导,并把结果相加,这一法则称之为锁链法则

    这一法则可简单地概括为

    【例1】设 , 而 , , 求

    解:  

     

     

    【例2】设,求

    解:  

     

     

     

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  • 多元复合函数求导法则

    万次阅读 2018-04-22 08:10:54
    1、一元函数与多元函数复合的情形 若函数u=ϕ(t)、v=ψ(t)u=ϕ(t)、v=ψ(t)u = \phi(t)、v = \psi(t)都在点ttt可导,函数z=f(u,v)z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数z=f[ϕ(t),...

    1、一元函数与多元函数复合的情形
    若函数 u=ϕ(t)v=ψ(t) u = ϕ ( t ) 、 v = ψ ( t ) 都在点 t t 可导,函数z=f(u,v)在对应点 (u,v) ( u , v ) 具有连续偏导数,那么复合函数 z=f[ϕ(t),ψ(t)] z = f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] 在点 t t 可导,则对应

    z=f(u,v),{u=ϕ(t)v=ψ(t)

    dzdt=zududt+zvdvdt d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t

    2、多元函数与多元函数复合的情形
    若函数 u=ϕ(x,y)v=ψ(x,y) u = ϕ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y ) 都在点 (x,y) ( x , y ) 具有对 xy x 、 y 的偏导数,函数 z=f(u,v) z = f ( u , v ) 在对应点 (u,v) ( u , v ) 具有连续偏导数,那么复合函数 z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)] z = f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] 在点 (x,y) ( x , y ) 的两个偏导数都存在,则对应

    z=f(u,v),{u=ϕ(x,y)v=ψ(x,y) z = f ( u , v ) , { u = ϕ ( x , y ) v = ψ ( x , y )
    zx=zuux+zvvx ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x
    zy=zuuy+zvvy ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y

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  • 多元复合函数求导法则

    千次阅读 2017-11-04 00:34:17
    多元复合函数求导法则 注:复合函数为向量值函数

    注:复合函数为向量值函数。

    链式求导法则

    若: m,p,nN,m,p,n1,
    fm×1=f1fm:RpRm,gp×1=g1gp:RnRp,
    zm×1=f(yp×1),yp×1=g(xn×1),
    dz=f(y)dy,dydx=(yixj)p×n,

    则: dzdx=f(g(x))g(x)

    证明:
    iN,1im,
    Δzi=pk=1ziykΔyk+pk=1Δyk2αi(y,Δy)
    其中 Δy=0 αi(y,Δy)=0, limΔy0αi(y,Δy)=0
    则: jN,1jn,
    ΔziΔxj=pk=1ziykΔykΔxj+|Δxj|Δxjpk=1(ΔykΔxj)2αi(y,Δy)
    易知: limΔxj0Δy=0, limΔxj0αi(y,Δy)=0
    于是: zixj=limΔxj0ΔziΔxj=pk=1ziykykxj
    (dzdx)ij=pk=1(f(g(x)))ik(g(x))kj

    一阶全微分的形式不变性

    dz=f(g(x))g(x)dx=f(y)dy

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  • 本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布核心公式:Very Easy设,求.(二元函数换成一元函数,直接代入或者链式法则均可)解:2. 设,求.(这同样可以看成二元函数换一元函数,即)解:Easy设,求.(这类题目给出,然后给出...

    本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布

    核心公式:

    Very Easy

    1. ,求
      .

    (二元函数换成一元函数,直接代入或者链式法则均可)

    解:

    2. 设

    ,求
    .

    (这同样可以看成二元函数换一元函数,即

    )

    解:

    Easy

    1. ,求
      .

    (这类题目给出

    ,然后给出
    ,因此在对
    求导时出现的
    直接代入即可)

    解:

    2. 设

    ,求
    .

    (这类题目给出

    ,然后给出
    ,与上面一道题目类型一致)

    解:

    3. 设

    ,求
    .

    (这道题目和上述两道题目类型一致,不过它有特殊的背景:极坐标换元)

    解:

    Medium

    1. ,求
      .

    (这里可以看成三元函数换元为一元,即

    )

    解:

    Medium Hard

    1. 证明莱布尼茨法则(
      ):

    解:

    换元令:

    则:

    Hard

    1. ,将
      变成只含有
      的方程。

    (这类题目给出

    ,但是它最后要求的结果与平常不太一样;一般来说,我们会让结果用
    表示,而这里由于没有给出
    而且要求结果用
    表示,因此要强行解方程来进行转化,计算难度较大)

    解:

    故原式

    因此,原式

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  • 高数 07.04 多元复合函数求导法则

    千次阅读 2017-12-10 13:23:27
    多元复合函数求导法则
  • 1.一元函数与多元函数复合的情形 定理1:如果函数u=φ(t)u=\varphi (t)u=φ(t)及v=ψ(t)v=\psi(t)v=ψ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数z=f[φ(t),...
  • 函数求导法则

    2020-02-17 11:28:29
    一、函数的和差、积商的求导法则 1.1、定理1 1.2、证明,通过极限证明 二、反函数求导法则 2.1、定理
  • §8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为  (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏导数,...
  • 9.4 多元复合函数求导

    2021-01-30 15:17:05
    本篇内容为多元复合函数的求导法则,内容其实难度还是不大的,但是作者看的时候有点...多元函数求导的内容也分为显函数、复合函数和隐函数,本篇中重点掌握后两者,因为显函数实在是没啥好说的。 给个例题就过了 ...
  • 多元函数求导方法

    千次阅读 2021-03-29 15:26:44
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  • 行列式函数求导法则

    千次阅读 2012-12-15 01:48:00
    函数$f_{ij}(x)(i,j=1,2,\cdots,n)$在区间$I$内可导,则行列式函数 \begin{equation} f(x)=\begin{vmatrix} f_{11}(x)&f_{12}(x)&\cdots&f_{1n}(x)\\f_{21}(x)&f_{22}(x)&\cdots&f_{2n}(x...
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  • 高数篇:隐函数求导

    2021-01-12 18:42:26
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  • 链式求导法则

    千次阅读 2019-01-26 13:13:54
    本文只总结了多元复合函数的链式求导法则(一元的更简单就不写了) 直接结合一个例子结合复合结构图来说这个问题 Z = F(U,V,W)  U = U(y) V = V(x,y) W = W(x) 下面是它的复合结构图 有了复合结构图就很...
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    万次阅读 2018-09-11 16:07:41
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多元函数的求导法则