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  • 多元函数积分学基础知识

    附一  向量代数

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    附二  空间平面与直线

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    1. 设直线过点 P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) P_1(x_1,y_1,z_1) P1(x1,y1,z1),方向向量 τ = ( l , m , n ) \bm{\tau}=(l,m,n) τ=(l,m,n),则点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)到直线的距离 d = ∣ τ × P 0 P 1 → ∣ ∣ τ ∣ = ∥ i j k x 1 − x 0 y 1 − y 0 z 1 − z 0 l m n ∥ l 2 + m 2 + n 2 . d=\cfrac{|\bm{\tau}\times\overrightarrow{P_0P_1}|}{|\bm{\tau}|}=\cfrac{\begin{Vmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\x_1-x_0&y_1-y_0&z_1-z_0\\l&m&n\end{Vmatrix}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}. d=ττ×P0P1 =l2+m2+n2 ix1x0ljy1y0mkz1z0n.(推导:以 τ , P 0 P 1 → \bm{\tau},\overrightarrow{P_0P_1} τ,P0P1 为边画平行四边形,则 ∣ τ × P 0 P 1 → ∣ |\bm{\tau}\times\overrightarrow{P_0P_1}| τ×P0P1 表示该平行四边形的面积,而 ∣ τ ∣ |\bm{\tau}| τ表示该平行四边形的底边长。)
    2. 两平行直线的距离 d = ∥ i j k x 1 − x 2 y 1 − y 2 z 1 − z 2 l m n ∥ l 2 + m 2 + n 2 . d=\cfrac{\begin{Vmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\x_1-x_2&y_1-y_2&z_1-z_2\\l&m&n\end{Vmatrix}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}. d=l2+m2+n2 ix1x2ljy1y2mkz1z2n.其中, P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2) P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)分别为两直线 L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2上的两点, τ = ( l , m , n ) \bm{\tau}=(l,m,n) τ=(l,m,n) L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2的方向向量。
    3. 两异面直线的距离 d = ∣ ( τ 1 × τ 2 ) ⋅ P 0 P 1 → ∣ ∣ τ 1 × τ 2 ∣ = ∣ x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 ∣ ∥ i j k l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 ∥ . d=\cfrac{|(\bm{\tau}_1\times\bm{\tau}_2)\cdot\overrightarrow{P_0P_1}|}{|\bm{\tau}_1\times\bm{\tau}_2|}=\cfrac{\begin{vmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2\end{vmatrix}}{\begin{Vmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2\end{Vmatrix}}. d=τ1×τ2(τ1×τ2)P0P1 =il1l2jm1m2kn1n2x2x1l1l2y2y1m1m2z2z1n1n2.其中, P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2) P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)分别为两直线 L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2上的两点, τ 1 = ( l 1 , m 1 , n 1 ) , τ 2 = ( l 2 , m 2 , n 2 ) \bm{\tau}_1=(l_1,m_1,n_1),\bm{\tau}_2=(l_2,m_2,n_2) τ1=(l1,m1,n1),τ2=(l2,m2,n2)分别为 L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2的方向向量。
    4. 两平行平面之间的距离 d = ∣ D 1 − D 2 ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\cfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2 D1D2

    附三  空间曲线的切线与切平面

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    附四  空间曲面的切平面与法线

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    附五  空间曲线在坐标面上的投影

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    附六  旋转曲面

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    附七  场论

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  • 张宇1000题高等数学 第十七章 多元函数积分学的预备知识 易错题和难题记录

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    A A A

    15.设 ∣ a ∣ = 4 , ∣ b ∣ = 3 , ( a , b ^ ) = π 6 |\bm{a}|=4,|\bm{b}|=3,(\widehat{\bm{a},\bm{b}})=\cfrac{\pi}{6} a=4,b=3,(a,b )=6π。求以 a + 2 b \bm{a}+2\bm{b} a+2b a − 3 b \bm{a}-3\bm{b} a3b为邻边的平行四边形的面积。

      由向量积的几何意义可知,以 a + 2 b \bm{a}+2\bm{b} a+2b a − 3 b \bm{a}-3\bm{b} a3b为邻边的平行四边形的面积等于 ∣ ( a + 2 b ) × ( a − 3 b ) ∣ |(\bm{a}+2\bm{b})\times(\bm{a}-3\bm{b})| (a+2b)×(a3b),而
    ( a + 2 b ) × ( a − 3 b ) = ( a + 2 b ) × a − ( a + 2 b ) × 3 b = a × a + 2 ( b × a ) − 3 ( a × b ) − 6 ( b × b ) = 5 ( b × a ) . \begin{aligned} (\bm{a}+2\bm{b})\times(\bm{a}-3\bm{b})&=(\bm{a}+2\bm{b})\times\bm{a}-(\bm{a}+2\bm{b})\times3\bm{b}\\ &=\bm{a}\times\bm{a}+2(\bm{b}\times\bm{a})-3(\bm{a}\times\bm{b})-6(\bm{b}\times\bm{b})\\ &=5(\bm{b}\times\bm{a}). \end{aligned} (a+2b)×(a3b)=(a+2b)×a(a+2b)×3b=a×a+2(b×a)3(a×b)6(b×b)=5(b×a).
      因此 ∣ ( a + 2 b ) × ( a − 3 b ) ∣ = 5 ∣ a × b ∣ = 5 ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ ( a , b ^ ) = 30 |(\bm{a}+2\bm{b})\times(\bm{a}-3\bm{b})|=5|\bm{a}\times\bm{b}|=5|\bm{a}||\bm{b}|\sin(\widehat{\bm{a},\bm{b}})=30 (a+2b)×(a3b)=5a×b=5absin(a,b )=30。(这道题主要利用了向量积的几何意义求解

    18.求直线 l : x − 1 1 = y 1 = z − 1 − 1 l:\cfrac{x-1}{1}=\cfrac{y}{1}=\cfrac{z-1}{-1} l:1x1=1y=1z1在平面上 Π : 3 x − y + 3 z = 5 \varPi:3x-y+3z=5 Π:3xy+3z=5的投影直线 l 0 l_0 l0的方程。

      欲求直线 l l l在已给平面 Π \varPi Π上的投影直线 l 0 l_0 l0,应先求过 l l l且与 Π \varPi Π垂直的平面 Π 1 \varPi_1 Π1。为此先将 l l l的方程化为一般式方程: { x + z − 2 = 0 , y + z − 1 = 0 , \begin{cases}x+z-2=0,\\y+z-1=0,\end{cases} {x+z2=0,y+z1=0,则过 l l l的平面束方程为 ( x + z − 2 ) + λ ( y + z − 1 ) = 0 (x+z-2)+\lambda(y+z-1)=0 (x+z2)+λ(y+z1)=0,其中与 Π \varPi Π垂直的平面 Π 1 \varPi_1 Π1的法线向量满足 3 × 1 + ( − 1 ) λ + 3 ( 1 + λ ) = 0 3\times1+(-1)\lambda+3(1+\lambda)=0 3×1+(1)λ+3(1+λ)=0,可解得 λ = − 3 \lambda=-3 λ=3,则 Π 1 \varPi_1 Π1的方程为 x − 3 y − 2 z + 1 = 0 x-3y-2z+1=0 x3y2z+1=0,因此 l l l Π \varPi Π上的投影直线 l 0 l_0 l0的方程为 { 3 x − y + 3 z = 5 , x − 3 y − 2 z + 1 = 0. \begin{cases}3x-y+3z=5,\\x-3y-2z+1=0.\end{cases} {3xy+3z=5,x3y2z+1=0.这道题主要利用了平面束求解

    B B B

    2.过点 P ( 2 , 0 , 3 ) P(2,0,3) P(2,0,3)且与直线 { x − 2 y + 4 z − 7 = 0 , 3 x + 5 y − 2 z + 1 = 0 \begin{cases}x-2y+4z-7=0,\\3x+5y-2z+1=0\end{cases} {x2y+4z7=0,3x+5y2z+1=0垂直的平面的方程是(  )。
    ( A ) ( x − 2 ) − 2 ( y − 0 ) + 4 ( z − 3 ) = 0 ; (A)(x-2)-2(y-0)+4(z-3)=0; (A)(x2)2(y0)+4(z3)=0;
    ( B ) 3 ( x − 2 ) + 5 ( y − 0 ) − 2 ( z − 3 ) = 0 ; (B)3(x-2)+5(y-0)-2(z-3)=0; (B)3(x2)+5(y0)2(z3)=0;
    ( C ) − 16 ( x − 2 ) + 14 ( y − 0 ) + 11 ( z − 3 ) = 0 ; (C)-16(x-2)+14(y-0)+11(z-3)=0; (C)16(x2)+14(y0)+11(z3)=0;
    ( D ) − 16 ( x − 2 ) + 14 ( y − 0 ) + 11 ( z − 3 ) = 0. (D)-16(x-2)+14(y-0)+11(z-3)=0. (D)16(x2)+14(y0)+11(z3)=0.

      所求平面的法向量 n \bm{n} n可取为已知直线的方向向量 s = ( 1 , − 2 , 4 ) × ( 3 , 5 , − 2 ) = ( − 16 , 14 , 11 ) \bm{s}=(1,-2,4)\times(3,5,-2)=(-16,14,11) s=(1,2,4)×(3,5,2)=(16,14,11),故平面方程为 − 16 ( x − 2 ) + 14 ( y − 0 ) + 11 ( z − 3 ) = 0 -16(x-2)+14(y-0)+11(z-3)=0 16(x2)+14(y0)+11(z3)=0。(这道题主要利用了向量叉乘求解

    14.函数 u = e z − z + x y u=e^z-z+xy u=ezz+xy在点 ( 2 , 1 , 0 ) (2,1,0) (2,1,0)处沿曲面 e z − z + x y = 3 e^z-z+xy=3 ezz+xy=3的法线方向的方向导数为______。

      曲面 e z − z + x y = 3 e^z-z+xy=3 ezz+xy=3的法向量为 n = ± ( y , x , e z − 1 ) ∣ ( 2 , 1 , 0 ) = ± ( 1 , 2 , 0 ) \bm{n}=\pm(y,x,e^z-1)\biggm\vert_{(2,1,0)}=\pm(1,2,0) n=±(y,x,ez1)(2,1,0)=±(1,2,0),则单位法向量为 n ∘ = ± ( 1 , 2 , 0 ) 5 \bm{n}^\circ=\pm\cfrac{(1,2,0)}{\sqrt5} n=±5 (1,2,0),故 cos ⁡ α = ± 1 5 , cos ⁡ β = ± 2 5 , cos ⁡ γ = 0 \cos\alpha=\pm\cfrac{1}{\sqrt5},\cos\beta=\pm\cfrac{2}{\sqrt5},\cos\gamma=0 cosα=±5 1,cosβ=±5 2,cosγ=0。又 ∂ u ∂ x ∣ ( 2 , 1 , 0 ) = y ∣ ( 2 , 1 , 0 ) = 1 , ∂ u ∂ y ∣ ( 2 , 1 , 0 ) = x ∣ ( 2 , 1 , 0 ) = 2 , ∂ u ∂ z ∣ ( 2 , 1 , 0 ) = ( e z − 1 ) ∣ ( 2 , 1 , 0 ) = 0 \cfrac{\partial u}{\partial x}\biggm\vert_{(2,1,0)}=y\biggm\vert_{(2,1,0)}=1,\cfrac{\partial u}{\partial y}\biggm\vert_{(2,1,0)}=x\biggm\vert_{(2,1,0)}=2,\cfrac{\partial u}{\partial z}\biggm\vert_{(2,1,0)}=(e^z-1)\biggm\vert_{(2,1,0)}=0 xu(2,1,0)=y(2,1,0)=1,yu(2,1,0)=x(2,1,0)=2,zu(2,1,0)=(ez1)(2,1,0)=0,故方向导数为 ∂ u ∂ n = cos ⁡ α ∂ u ∂ x + cos ⁡ β ∂ u ∂ y + cos ⁡ γ ∂ u ∂ z = ± ( 1 5 × 1 + 2 × 2 5 + 0 ) = ± 5 \cfrac{\partial u}{\partial\bm{n}}=\cos\alpha\cfrac{\partial u}{\partial x}+\cos\beta\cfrac{\partial u}{\partial y}+\cos\gamma\cfrac{\partial u}{\partial z}=\pm\left(\cfrac{1}{\sqrt5}\times1+2\times\cfrac{2}{\sqrt5}+0\right)=\pm\sqrt5 nu=cosαxu+cosβyu+cosγzu=±(5 1×1+2×5 2+0)=±5 。(这道题主要利用了方向导数的几何意义求解

    C C C

    3.求经过直线 L : x − 6 2 = y − 3 1 = 2 z − 1 − 2 L:\cfrac{x-6}{2}=\cfrac{y-3}{1}=\cfrac{2z-1}{-2} L:2x6=1y3=22z1且与椭球面 S : x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 S:x^2+2y^2+3z^2=21 S:x2+2y2+3z2=21相切的切平面方程。

      设切点为 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) M(x_0,y_0,z_0) M(x0,y0,z0),于是 S S S在点 M M M处的法向量 n = ( 2 x 0 , 4 y 0 , 6 z 0 ) \bm{n}=(2x_0,4y_0,6z_0) n=(2x0,4y0,6z0),切平面方程为 2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y 0 ( y − y 0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0 2x_0(x-x_0)+4y_0(y-y_0)+6z_0(z-z_0)=0 2x0(xx0)+4y0(yy0)+6z0(zz0)=0。再利用 S S S的方程化简得 x 0 x + 2 y 0 y + 3 z 0 z = 21 x_0x+2y_0y+3z_0z=21 x0x+2y0y+3z0z=21。在 L L L上任取两点,例如点 ( 6 , 3 , 1 2 ) \left(6,3,\cfrac{1}{2}\right) (6,3,21)与点 ( 4 , 2 , 3 2 ) \left(4,2,\cfrac{3}{2}\right) (4,2,23),代入上式得 6 x 0 + 6 y 0 + 3 2 z 0 = 21 , 4 x 0 + 4 y 0 + 9 2 z 0 = 21 6x_0+6y_0+\cfrac{3}{2}z_0=21,4x_0+4y_0+\cfrac{9}{2}z_0=21 6x0+6y0+23z0=21,4x0+4y0+29z0=21。再由 S S S的方程 x 0 2 + 2 y 0 2 + 3 z 0 2 = 21 x_0^2+2y_0^2+3z_0^2=21 x02+2y02+3z02=21,联立解得切点为 ( 3 , 0 , 2 ) (3,0,2) (3,0,2) ( 1 , 2 , 2 ) (1,2,2) (1,2,2),故得切平面方程为 x + 2 z = 7 x+2z=7 x+2z=7 x + 4 y + 6 z = 21 x+4y+6z=21 x+4y+6z=21。(这道题主要利用了切平面公式求解

    7.求常数 a , b , c a,b,c a,b,c的值,使函数 f ( x , y , z ) = a x y 2 + b y z + c x 3 z 2 f(x,y,z)=axy^2+byz+cx^3z^2 f(x,y,z)=axy2+byz+cx3z2在点 ( 1 , 2 , − 1 ) (1,2,-1) (1,2,1)处沿 z z z轴正向的方向导数有最大值 64 64 64

      记 e 0 = ( 0 , 0 , 1 ) \bm{e}_0=(0,0,1) e0=(0,0,1),则
    ∂ f ∂ l = ( a y 2 + 3 c x 2 z 2 , 2 a x y + b z , b y + 2 c x 3 z ) ∣ ( 1 , 2 , − 1 ) ⋅ ( 0 , 0 , 1 ) = ( b y + 2 c x 3 z ) ∣ ( 1 , 2 , − 1 ) = 2 b − 2 c . \begin{aligned} \cfrac{\partial f}{\partial\bm{l}}&=(ay^2+3cx^2z^2,2axy+bz,by+2cx^3z)\biggm\vert_{(1,2,-1)}\cdot(0,0,1)\\ &=(by+2cx^3z)\biggm\vert_{(1,2,-1)}=2b-2c. \end{aligned} lf=(ay2+3cx2z2,2axy+bz,by+2cx3z)(1,2,1)(0,0,1)=(by+2cx3z)(1,2,1)=2b2c.
      令 2 b − 2 c = 64 2b-2c=64 2b2c=64,即 b − c = 32 b-c=32 bc=32。又梯度方向是方向导数最大值的方向,而 g r a d f ∣ ( 1 , 2 , − 1 ) = ( 4 a + 3 c , 4 a − b , 2 b − 2 c ) \bold{grad}f\biggm\vert_{(1,2,-1)}=(4a+3c,4a-b,2b-2c) gradf(1,2,1)=(4a+3c,4ab,2b2c),此方向的方向导数的数值应为梯度的模,故 ∣ g r a d f ∣ ( 1 , 2 , − 1 ) ∣ = ( 4 a + 3 c ) 2 + ( 4 a − b ) 2 + 6 4 2 = 64 \left|\bold{grad}f\biggm\vert_{(1,2,-1)}\right|=\sqrt{(4a+3c)^2+(4a-b)^2+64^2}=64 gradf(1,2,1)=(4a+3c)2+(4ab)2+642 =64,所以有 { 4 a + 3 c = 0 , 4 a − b = 0. \begin{cases}4a+3c=0,\\4a-b=0.\end{cases} {4a+3c=0,4ab=0.联立解得 a = 6 , b = 24 , c = − 8 a=6,b=24,c=-8 a=6,b=24,c=8。(这道题主要利用了梯度的几何意义求解

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  • 下面是我考研复习数学的时候做的微积分知识点思维导图,也和大家分享一下,内容包括极限与连续,一元函数微分学,一元函数积分学多元函数微分学以及微分方程 极限与连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元...

    最近学最优化,涉及许多高数的知识,顺便复习一下。

    下面是我考研复习数学的时候做的微积分知识点思维导图,也和大家分享一下,内容包括极限与连续,一元函数微分学,一元函数积分学,多元函数微分学以及微分方程

    极限与连续

    极限与连续

    一元函数微分学

    一元微分学

    一元函数积分学

    一元函数积分学

    多元函数微分学

    多元函数微分学

    微分方程

    微分方程

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  • 极限:设函数 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 在去心邻域 DDD 有定义,M0(x0,y0)M_0(x_0, y_0)M0​(x0​,y0​) 是 DDD 的内点或边界点,M(x,y)∈DM(x,y) \in DM(x,y)∈D, lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A<=>∀ϵ>0...

    多元微分

    1. 极限偏导可微

    极限:设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在去心邻域 D D D 有定义, M 0 ( x 0 , y 0 ) M_0(x_0, y_0) M0(x0,y0) D D D 的内点或边界点, M ( x , y ) ∈ D M(x,y) \in D M(x,y)D
    lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = A < = > ∀ ϵ > 0 , ∃ σ > 0 , 0 < ∣ M M 0 ∣ = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < σ , 有 ∣ f ( x , y ) − A ∣ < ϵ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=A<=>\forall \epsilon>0, \exists \sigma>0, 0<|MM_0|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\sigma,有|f(x,y)-A|<\epsilon (x,y)(x0,y0)limf(x,y)=A<=>ϵ>0σ>00<MM0=(xx0)2+(yy0)2 <σf(x,y)A<ϵ

    连续:设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0, y_0) P0(x0,y0) 某个实心邻域有定义
    lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) (x,y)(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)

    偏导
    函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处对 x x x 的偏导数,可记为 f x ′ ( x 0 , y 0 ) f_{x}^{'}(x_0,y_0) fx(x0,y0) ∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial f}{\partial x}|_{(x_0,y_0)} xf(x0,y0) ∂ z ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)} xz(x0,y0)

    f x ′ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_{x}^{'}(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x} fx(x0,y0)=Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)

    函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处对 y y y 的偏导数,可记为 f y ′ ( x 0 , y 0 ) f_{y}^{'}(x_0,y_0) fy(x0,y0) ∂ f ∂ y ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial f}{\partial y}|_{(x_0,y_0)} yf(x0,y0) ∂ z ∂ y ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)} yz(x0,y0)

    f y ′ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y f_{y}^{'}(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)}{\Delta y} fy(x0,y0)=Δy0limΔyf(x0,y0+Δy)f(x0,y0)

    可微:函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x , y ) (x,y) (x,y) 全增量 Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y) 表示为 Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ) \Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ) Δz=AΔx+BΔy+o((Δx)2+(Δy)2 ) 则函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x , y ) (x,y) (x,y) 可微, A Δ x + B Δ y A\Delta x + B\Delta y AΔx+BΔy 为全微分, ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} (Δx)2+(Δy)2 可记为 ρ \rho ρ

    2. 复合函数求导

    链式求导

    • z = f ( u , v ) , u = ϕ ( t ) , v = ψ ( t ) z=f(u,v), u=\phi(t),v=\psi(t) z=f(u,v),u=ϕ(t),v=ψ(t),则 z = f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] z=f[\phi(t), \psi(t)] z=f[ϕ(t),ψ(t)] d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t \frac{dz}{dt} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} dtdz=uzdtdu+vzdtdv

    • z = f ( u , v ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ) z=f(u,v), u=\phi(x,y),v=\psi(x,y) z=f(u,v),u=ϕ(x,y),v=ψ(x,y),则 z = f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] z=f[\phi(x,y), \psi(x,y)] z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)] ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x , ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} xz=uzxu+vzxvyz=uzyu+vzyv

    • z = f ( u , v ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( y ) z=f(u,v), u=\phi(x,y),v=\psi(y) z=f(u,v),u=ϕ(x,y),v=ψ(y),则 z = f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( y ) ] z=f[\phi(x,y), \psi(y)] z=f[ϕ(x,y),ψ(y)] ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x , ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v d v d y \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy} xz=uzxuyz=uzyu+vzdydv

    符号 f ′ f^{'} f

    • z = f ( u , v ) , f ( x ) = { u = u ( x , y ) v = v ( x , y ) , f 1 ′ ( u , v ) = ∂ f ∂ u , f 2 ′ ( u , v ) = ∂ f ∂ v z=f(u,v),f(x)= \begin{cases} u=u(x,y)\\ v=v(x,y) \end{cases},f_{1}^{'}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial u},f_{2}^{'}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial v} z=f(u,v)f(x)={u=u(x,y)v=v(x,y)f1(u,v)=uff2(u,v)=vf,分别简记为 f 1 ′ f_{1}^{'} f1 f 2 ′ f_{2}^{'} f2

    ∂ z ∂ x = f 1 ′ ∂ u ∂ x + f 2 ′ ∂ v ∂ x , ∂ z ∂ y = f 1 ′ ∂ u ∂ y + f 2 ′ ∂ v ∂ y \frac{\partial z}{\partial x} =f_{1}^{'}\frac{\partial u}{\partial x}+f_{2}^{'}\frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} =f_{1}^{'}\frac{\partial u}{\partial y}+f_{2}^{'}\frac{\partial v}{\partial y} xz=f1xu+f2xvyz=f1yu+f2yv

    • 书写混淆时, f 1 ′ ( u , v ) f_{1}^{'}(u,v) f1(u,v) 不可简记为 f 1 ′ f_{1}^{'} f1,如 z = f ( x + y , f ( x , y ) ) z=f(x+y, f(x,y)) z=f(x+y,f(x,y))

    全微分

    • 隐函数 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0的全微分, F x ′ d x + F y ′ d y + F z ′ d z = 0 F_{x}^{'}dx+F_{y}^{'}dy+F_{z}^{'}dz=0 Fxdx+Fydy+Fzdz=0
    • 全微分: d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy dz=xzdx+yzdy

    3. 多元函数极值

    无条件极值

    • 必要条件: f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 偏导为0或不存在
    • 充分条件: f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f_x^{'}(x_0,y_0)=0, f_y^{'}(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = A , f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = B , f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = C f_{xx}^{''}(x_0,y_0)=A, f_{xy}^{''}(x_0,y_0)=B, f_{yy}^{''}(x_0,y_0)=C fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C
      Δ = A C − B 2 { > 0 A<0 极大值,A>0 极小值 < 0 非极值 = 0 方法失效 \Delta=AC-B^2 \begin{cases} > 0 & \text{A<0 极大值,A>0 极小值} \\ < 0 & \text{非极值}\\ =0 & \text{方法失效} \end{cases} Δ=ACB2>0<0=0A<0 极大值,A>0 极小值非极值方法失效

    条件极值:求函数 f f f 在条件函数 ϕ \phi ϕ 的极值和最值

    • 拉格朗日乘数法:
      F ( x , y , z , λ ) = f ( x , y , z ) + λ ϕ ( x , y , z ) F(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda \phi(x,y,z) F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λϕ(x,y,z),列方程组 F x ′ = 0 、 F y ′ = 0 、 F z ′ = 0 、 F λ ′ = 0 F_{x}^{'}=0、F_{y}^{'}=0、F_{z}^{'}=0、F_{\lambda}^{'}=0 Fx=0Fy=0Fz=0Fλ=0

    • 欧拉定理:
      F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z) k k k 次齐次函数,且 F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z) 有一阶偏导,则 x F x ′ + y F y ′ + z F z ′ = k F ( x , y , z ) xF_{x}^{'}+yF_{y}^{'}+zF_{z}^{'}=kF(x,y,z) xFx+yFy+zFz=kF(x,y,z),故 F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z) 值可表示成为 λ \lambda λ,并且 λ \lambda λ可用行列式求得

    • 直接代入法:
      设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 和条件函数 ϕ ( x , y ) \phi(x,y) ϕ(x,y) 是关于 x , y x,y x,y 的二元函数,则 y y y 可表示成为 x x x 代入 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),一元函数极值法求出极值和端点值

    多元积分

    1. 概念和性质

    概念:设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在有界闭区域 D D D 上有定义,区域 D D D 任意划分为内任意 n n n 小区域: Δ σ 1 , Δ σ 2 , . . . , Δ σ n \Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, ... , \Delta \sigma_{n} Δσ1,Δσ2,...,Δσn,每个 Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi 任取一点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi),记 d i d_i di Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi 半径, λ = m a x { d 1 , d 2 , . . . , d n } \lambda = max\{ d_1, d_2, ..., d_n \} λ=max{d1,d2,...,dn} lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i = ∬ f ( x , y ) d σ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i=\iint f(x,y)d\sigma λ0limi=1nf(ξi,ηi)Δσi=f(x,y)dσ

    性质 ∬ D [ f ( x , y ) + g ( x , y ) ] d σ = ∬ D f ( x , y ) d σ + ∬ D g ( x , y ) d σ \iint_{D} [f(x,y)+g(x,y)]d\sigma =\iint_{D} f(x,y) d\sigma+\iint_{D} g(x,y)d\sigma D[f(x,y)+g(x,y)]dσ=Df(x,y)dσ+Dg(x,y)dσ ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D 1 f ( x , y ) d σ + ∬ D 2 f ( x , y ) d σ , ∬ D d σ = σ \iint_{D} f(x,y)d\sigma=\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2} f(x,y)d\sigma,\iint_{D} d\sigma = \sigma Df(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσDdσ=σ

    2. 积分对称性

    普通对称性

    • D D D 关于 y y y 轴对称, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 关于 x x x 奇偶性
    • D D D 关于 x x x 轴对称, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 关于 y y y 奇偶性

    轮换对称性

    • D D D 关于 y = x y=x y=x 轴对称,则 ∬ f ( x , y ) d σ = ∬ f ( y , x ) d σ \iint f(x,y) d\sigma=\iint f(y,x) d\sigma f(x,y)dσ=f(y,x)dσ
    • D D D 关于 y = − x y=-x y=x 轴对称,则 ∬ f ( x , y ) d σ = ∬ f ( − y , − x ) d σ \iint f(x,y) d\sigma=\iint f(-y,-x) d\sigma f(x,y)dσ=f(y,x)dσ

    3. 直角和极坐标系

    直角坐标系

    • X型区域 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 1 ( x ) f ( x , y ) d y \iint_{D} f(x,y) d\sigma=\int_{a}^{b} dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_1(x)}f(x,y) dy Df(x,y)dσ=abdxϕ1(x)ϕ1(x)f(x,y)dy
      在这里插入图片描述
    • Y型区域 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ c d d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 1 ( y ) f ( x , y ) d x \iint_{D} f(x,y) d\sigma=\int_{c}^{d} dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_1(y)}f(x,y) dx Df(x,y)dσ=cddyψ1(y)ψ1(y)f(x,y)dx
      在这里插入图片描述

    极坐标系 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r d θ \iint_{D} f(x,y) d\sigma = \iint_{D} f(rcosθ, rsinθ)rdrdθ Df(x,y)dσ=Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

    • ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r ( 极 点 O 在 区 域 D 外 ) \iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{α}^{\beta}dθ\int_{r_1(θ)}^{r_2(θ)}f(rcosθ, rsinθ)rdr(极点O在区域D外) Df(x,y)dσ=αβdθr1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr(OD)

    • ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ 0 r ( θ ) f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r ( 极 点 O 在 区 域 D 边 界 ) \iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{α}^{\beta}dθ\int_{0}^{r_(θ)}f(rcosθ, rsinθ)rdr(极点O在区域D边界) Df(x,y)dσ=αβdθ0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr(OD)

    • ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 r ( θ ) f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r ( 极 点 O 在 区 域 D 内 ) \iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{0}^{2\pi}dθ\int_{0}^{r_(θ)}f(rcosθ, rsinθ)rdr(极点O在区域D内) Df(x,y)dσ=02πdθ0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr(OD)

    4. 坐标系相互转换

    ① 公式 { x = r c o s θ y = r s i n θ \begin{cases} x = rcosθ \\ y = rsinθ \end{cases} {x=rcosθy=rsinθ ② 画好区域 D D D 图形,确定上下限转化

    5. 交换积分次序

    固定 x x x 扫描 y y y
    ∫ 0 1 d y ∫ 0 y f ( x , y ) d x → ∫ d x ∫ f ( x , y ) d y \int_{0}^{1 }dy \int_{0}^{y} f(x,y)dx \to \int dx \int f(x,y)dy 01dy0yf(x,y)dxdxf(x,y)dy
    在这里插入图片描述
    固定 r r r 扫描 θ θ θ
    ∫ − π 4 π 2 d θ ∫ 0 2 c o s θ f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r → ∫ r d r ∫ f ( r c o s θ , r s i n θ ) d θ \int_{-\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} }dθ \int_{0}^{2cosθ} f(rcosθ, rsinθ)rdr \to \int rdr \int f(rcosθ, rsinθ)dθ 4π2πdθ02cosθf(rcosθ,rsinθ)rdrrdrf(rcosθ,rsinθ)dθ
    在这里插入图片描述
    极坐标换序时,固定 r r r 长度从一端扫到另一端。上图中间弧线为界,左侧 θ θ θ 和右侧 θ θ θ 起始大小不同,所以需要拆分为两个积分。

    参考资料

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