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  • 包括能够进行多变量估计降维的回归变量,以及基于回归到变量多变量表示的变量分类器。 此存储库还旨在作为一个精简示例,说明如何使用TravisCI,Coveralls,Sphinx,PyTest,如何部署到PyPIGithub Pages,...
  • 为了提高激光诱导击穿光谱技术的检测能力准确性,分别采用单变量分析变量分析方法[多元线性回归(MLR)]对样品中Cr 进行定量分析。分别利用CrI: 425.435 nm CrI: 427.48 nm 两条特征谱线进行单变量分析,并在5...
  • 本博文源于《商务统计》旨在讲述多元回归下的变量选择问题之逐步回归的一般步骤。

    本博文源于《商务统计》旨在讲述多元回归下的变量选择问题之逐步回归的一般步骤。

    一般步骤

    1. 将向前选择和向后剔除两种方法结合来筛选自变量
    2. 在增加了一个自变量后,它会对模型中所有变量进行考察,看看有没有可能剔除某个自变量。如果在增加了一个自变量后,前面增加的某个自变量对模型的贡献变得不显著,这个变量就会被剔除。
    3. 按照方法不停地增加变量并考虑剔除以前增加的变量地可能性,直至增加变量已经不能导致SSE(残差平方和)显著减少
    4. 在前面步骤中增加的自变量在后面的步骤中有可能被剔除,而在前面步骤中剔除的自变量在后面的步骤中也可能重新进入到模型中。

    博主上一篇

    统计|多元回归下变量选择最优子集法一般步骤及缺点
    统计|多元回归下变量选择的向前选择法一般步骤与缺点
    统计|理解多元回归变量选择的向后剔除一般步骤及缺点

    展开全文
  • 单变量线性回归 import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt path = 'ex1data1.txt' data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit']) data.head()...

    机器学习练习 1 - 线性回归

    单变量线性回归

    import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    path =  'ex1data1.txt'
    data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])
    data.head()
    
    PopulationProfit
    06.110117.5920
    15.52779.1302
    28.518613.6620
    37.003211.8540
    45.85986.8233
    data.describe()
    
    PopulationProfit
    count97.00000097.000000
    mean8.1598005.839135
    std3.8698845.510262
    min5.026900-2.680700
    25%5.7077001.986900
    50%6.5894004.562300
    75%8.5781007.046700
    max22.20300024.147000

    看下数据长什么样子

    data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12,8))
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    现在让我们使用梯度下降来实现线性回归,以最小化成本函数。 以下代码示例中实现的方程在“练习”文件夹中的“ex1.pdf”中有详细说明。

    首先,我们将创建一个以参数θ为特征函数的代价函数
    J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 J\left( \theta \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}}} J(θ)=2m1i=1m(hθ(x(i))y(i))2
    其中:\[{{h}{\theta }}\left( x \right)={{\theta }^{T}}X={{\theta }{0}}{{x}{0}}+{{\theta }{1}}{{x}{1}}+{{\theta }{2}}{{x}{2}}+…+{{\theta }{n}}{{x}_{n}}\]

    def computeCost(X, y, theta):
        inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)
        return np.sum(inner) / (2 * len(X))
    

    让我们在训练集中添加一列,以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。

    data.insert(0, 'Ones', 1)
    

    现在我们来做一些变量初始化。

    # set X (training data) and y (target variable)
    cols = data.shape[1]
    X = data.iloc[:,0:cols-1]#X是所有行,去掉最后一列
    y = data.iloc[:,cols-1:cols]#X是所有行,最后一列
    

    观察下 X (训练集) and y (目标变量)是否正确.

    X.head()#head()是观察前5行
    
    OnesPopulation
    016.1101
    115.5277
    218.5186
    317.0032
    415.8598
    y.head()
    
    Profit
    017.5920
    19.1302
    213.6620
    311.8540
    46.8233

    代价函数是应该是numpy矩阵,所以我们需要转换X和Y,然后才能使用它们。 我们还需要初始化theta。

    X = np.matrix(X.values)
    y = np.matrix(y.values)
    theta = np.matrix(np.array([0,0]))
    

    theta 是一个(1,2)矩阵

    theta
    
    matrix([[0, 0]])
    

    看下维度

    X.shape, theta.shape, y.shape
    
    ((97, 2), (1, 2), (97, 1))
    

    计算代价函数 (theta初始值为0).

    computeCost(X, y, theta)
    
    32.072733877455676
    

    batch gradient decent(批量梯度下降)

    θ j : = θ j − α ∂ ∂ θ j J ( θ ) {{\theta }_{j}}:={{\theta }_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( \theta \right) θj:=θjαθjJ(θ)

    def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
        temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
        parameters = int(theta.ravel().shape[1])
        cost = np.zeros(iters)
        
        for i in range(iters):
            error = (X * theta.T) - y
            
            for j in range(parameters):
                term = np.multiply(error, X[:,j])
                temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))
                
            theta = temp
            cost[i] = computeCost(X, y, theta)
            
        return theta, cost
    

    初始化一些附加变量 - 学习速率α和要执行的迭代次数。

    alpha = 0.01
    iters = 1000
    

    现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集。

    g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
    g
    
    matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])
    

    最后,我们可以使用我们拟合的参数计算训练模型的代价函数(误差)。

    computeCost(X, y, g)
    
    4.5159555030789118
    

    现在我们来绘制线性模型以及数据,直观地看出它的拟合。

    x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)
    f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)
    
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
    ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
    ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
    ax.legend(loc=2)
    ax.set_xlabel('Population')
    ax.set_ylabel('Profit')
    ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
    plt.show()
    

    png

    由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量,所以我们也可以绘制。 请注意,代价总是降低 - 这是凸优化问题的一个例子。

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
    ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    多变量线性回归

    练习1还包括一个房屋价格数据集,其中有2个变量(房子的大小,卧室的数量)和目标(房子的价格)。 我们使用我们已经应用的技术来分析数据集。

    path =  'ex1data2.txt'
    data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price'])
    data2.head()
    
    SizeBedroomsPrice
    021043399900
    116003329900
    224003369000
    314162232000
    430004539900

    对于此任务,我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。 这个对于pandas来说很简单

    data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
    data2.head()
    
    SizeBedroomsPrice
    00.130010-0.2236750.475747
    1-0.504190-0.223675-0.084074
    20.502476-0.2236750.228626
    3-0.735723-1.537767-0.867025
    41.2574761.0904171.595389

    现在我们重复第1部分的预处理步骤,并对新数据集运行线性回归程序。

    # add ones column
    data2.insert(0, 'Ones', 1)
    
    # set X (training data) and y (target variable)
    cols = data2.shape[1]
    X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
    y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]
    
    # convert to matrices and initialize theta
    X2 = np.matrix(X2.values)
    y2 = np.matrix(y2.values)
    theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))
    
    # perform linear regression on the data set
    g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)
    
    # get the cost (error) of the model
    computeCost(X2, y2, g2)
    
    0.13070336960771892
    

    我们也可以快速查看这一个的训练进程。

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
    ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
    plt.show()
    

    png

    我们也可以使用scikit-learn的线性回归函数,而不是从头开始实现这些算法。 我们将scikit-learn的线性回归算法应用于第1部分的数据,并看看它的表现。

    from sklearn import linear_model
    model = linear_model.LinearRegression()
    model.fit(X, y)
    
    LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)
    

    scikit-learn model的预测表现

    x = np.array(X[:, 1].A1)
    f = model.predict(X).flatten()
    
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
    ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
    ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
    ax.legend(loc=2)
    ax.set_xlabel('Population')
    ax.set_ylabel('Profit')
    ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    4. normal equation(正规方程)

    正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的: ∂ ∂ θ j J ( θ j ) = 0 \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( {{\theta }_{j}} \right)=0 θjJ(θj)=0
    假设我们的训练集特征矩阵为 X(包含了 x 0 = 1 {{x}_{0}}=1 x0=1)并且我们的训练集结果为向量 y,则利用正规方程解出向量 θ = ( X T X ) − 1 X T y \theta ={{\left( {{X}^{T}}X \right)}^{-1}}{{X}^{T}}y θ=(XTX)1XTy
    上标T代表矩阵转置,上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵 A = X T X A={{X}^{T}}X A=XTX,则: ( X T X ) − 1 = A − 1 {{\left( {{X}^{T}}X \right)}^{-1}}={{A}^{-1}} (XTX)1=A1

    梯度下降与正规方程的比较:

    梯度下降:需要选择学习率α,需要多次迭代,当特征数量n大时也能较好适用,适用于各种类型的模型

    正规方程:不需要选择学习率α,一次计算得出,需要计算 ( X T X ) − 1 {{\left( {{X}^{T}}X \right)}^{-1}} (XTX)1,如果特征数量n较大则运算代价大,因为矩阵逆的计算时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n3) O(n3),通常来说当 n n n小于10000 时还是可以接受的,只适用于线性模型,不适合逻辑回归模型等其他模型

    # 正规方程
    def normalEqn(X, y):
        theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X)
        return theta
    
    final_theta2=normalEqn(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
    final_theta2
    
    matrix([[-3.89578088],
            [ 1.19303364]])
    
    #梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])
    

    在练习2中,我们将看看分类问题的逻辑回归。

    
    
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  • 多元线性回归变量设置方法

    千次阅读 2021-04-14 23:53:13
    多元线性回归是研究一个连续型变量和其他多个变量间线性关系的统计学分析方法,如果在自变量中存在分类变量,如果直接将分类变量和连续性变量统一纳入模型进行分析是有问题的,尤其是无序分类资料,即使进入了模型,...

    在这里插入图片描述

    多元线性回归是研究一个连续型变量和其他多个变量间线性关系的统计学分析方法,如果在自变量中存在分类变量,如果直接将分类变量和连续性变量统一纳入模型进行分析是有问题的,尤其是无序分类资料,即使进入了模型,也难以解释,因此分类资料纳入模型最佳的方式是设置哑变量。

    在SPSS软件中,做Logistic回归时,直接有选项可以将分类变量设置哑变量,但是在做多元线性回归时,分析过程中没有设置哑变量的选项,就需要对原始数据进行拆解,将分类变量拆解成哑变量的形式。(值得一提的是,如果应变量能够转化为二分类的变量,直接采用Logistic回归分析也可以直接分析)

    下面介绍在SPSS软件中多元线性回归哑变量设置的方法

    以模拟的脑卒中患者康复期生活质量影响因素分析的数据为例,脑卒中患者的生活质量采用卒中专门生存质量量表(SS-QOL)来体现,SS-QOL评分是一个连续性资料,其分数越高,生存质量越好,为探究其影响因素,纳入以下一些研究变量:年龄、婚姻状况、文化程度、职业、BI评分。下图是数据格式,可以看出婚姻状况、文化程度、职业是分类资料。
    在这里插入图片描述
    从变量的赋值来看,这三个分类资料是无序分类资料,分析时,需要设置哑变量。下面介绍哑变量设置的方法。

    在这里插入图片描述

    第一步 SPSS菜单栏中 转换-创建虚变量
    在这里插入图片描述
    第二步 选择分类变量,将其放入“针对下列变量创建虚变量”框里,再重新命名哑变量的名称
    在这里插入图片描述

    即可在数据中看到创建的哑变量,职业有4种分类,因此创建了4个哑变量

    在这里插入图片描述

    按照同样的方法,将其他分类变量创建哑变量
    在这里插入图片描述

    第三步 进行多元线性回归分析
    在这里插入图片描述
    第四步 哑变量选择

    这里注意的是,分类变量的哑变量中确定一个参照变量,然后将除参考变量以外的其他哑变量同时放入自变量框中,如下图所示,把职业=0的做为参照,其他3个哑变量放入模型。

    此外,由于哑变量要同出同进模型,因此方法必须选择“输入”

    设置好一个哑变量后点“下一个”设置另一个哑变量
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    以此类推,先把所有分类变量设置好

    第五步 放置其余变量

    这个时候,其他的变量进入模型的方法就可以自由选择了,可以选择逐步,也可以选择其他。
    在这里插入图片描述
    以上就是多元线性回归哑变量的设置方法。即使解决了哑变量的设置问题,在多元线性回归中,由于哑变量要同进同出,如果有多个分类变量的话,这些多分类是用软件没有办法来进行逐步回归,只能手动选择分类变量进入模型,多次比较模型效果来确定,此外,哑变量的参照组选择不同,对模型结果也是有影响,因此在设置参照哑变量时,可以进行多次尝试,选择对模型解释最佳的参照哑变量。
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    在这里插入图片描述

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  • 处理多元线性回归中自变量共线性的几种方法
  • 当考察一个自变量对因变量的影响称为一元线性回归,多于一个自变量的情况称为多元线性回归。②问题二:控制变量如何放置?控制变量指可能干扰模型的项,比如年龄,学历等基础信息。从软件角度来看,并没有“控制变量...

    本文以SPSSAU系统为例,针对线性回归的常见问题进行汇总说明。

    关于线性回归的分析思路及操作步骤,可阅读下方链接文章:

    ①问题一:SPSSAU多元线性回归在哪儿?

    【通用方法】--【线性回归】。

    当考察一个自变量对因变量的影响称为一元线性回归,多于一个自变量的情况称为多元线性回归。

    ②问题二:控制变量如何放置?

    控制变量指可能干扰模型的项,比如年龄,学历等基础信息。从软件角度来看,并没有“控制变量”这样的名词。“控制变量”就是自变量,所以直接放入“自变量X”框中即可。

    ③问题三:自变量为定类数据如何分析?

    如果自变量X为定类数据,一般作为控制变量(可能对模型有干扰因而放入的项)放入模型,但并不对其进行分析。如果一定要分析,此时应该进行虚拟变量(也称哑变量)。

    使用【数据处理】--【生成变量】里的哑变量设置后再放入。

    【生成变量】--【虚拟变量】

    了解哑变量相关理论,可阅读下方链接文章:

    ④问题四:数据里有多个Y,线性回归Y只能放一个

    线性回归模型中要求只有一个因变量,一个或多个自变量。

    如果是同一个维度的题,因变量超过1个,可以使用SPSSAU【数据处理】--【生成变量】里的平均值功能。将多个Y合并成一个整体,再进行分析。

    【生成变量】--【平均值】

    如果是不同维度的指标可以将因变量一个一个单独进行分析。或用路径分析、结构方程模型进行分析。

    ⑤问题五:线性回归有效样本量不足,需要多少样本量?

    有效样本不足是指分析时,可以进行分析的样本量低于方法需要的样本量。解决方法是加大样本量。一般来说,至少要求样本量起码是变量数的5-10倍,结果更具备参考意义。

    ⑥问题六:相关分析显示正相关,回归分析显示负相关,如何解释?

    相关分析是只简单考虑两个变量之间的关系,分析时不考虑其他控制变量的影响。

    回归分析则是综合所有进入模型的自变量对因变量的结果而成的,在控制了其他进入回归方程的变量之后得到的影响关系。

    所以得出结果不一致也非常正常。当相关分析、线性回归结果出现以下的矛盾情况:

    ①回归分析存在影响关系,但是却没有相关关系。此时建议以‘没有相关关系作为结论’。

    ②有负向影响关系,但却是正向相关关系。此时建议以‘有相关关系但没有回归影响关系作为结论’。

    ⑦问题七:回归结果看标准化还是非标准化?

    标准化回归系数是消除了量纲影响后的回归系数,可以用来比较各个自变量的“重要性大小”。

    如果目的在于预测模型,一般使用非标准化回归系数。

    ⑧问题八:线性回归因变量不在样本问题中?

    有时候由于问卷设计问题,导致直接缺少了Y(没有设计对应的问卷题项),建议可以考虑将X所有题项概括计算平均值来表示Y。(使用“ 生成变量”的 平均值功能)

    如果问卷中并没有设计出Y对应的题项,没有其它办法可以处理。

    ⑨问题九:逐步回归与分层回归、线性回归的区别,结果不一致怎么解释?

    逐步回归是多元线性回归中一种选择自变量的方法。分别把每一个变量都选入模型中,每次都保留系数显著水平最高的变量,剔除不显著的变量,通过多次的选入和剔除最终得到系数的显著的回归方程。适合自变量个数较多时使用。

    分层回归本质是线性回归,区别在于分层回归可分为多层,主要用于模型的对比。

    如果出现逐步回归、分层回归与线性回归结果不一致的情况,主要是用于选入模型的自变量不同导致。逐步回归会让系统自动识别出有影响的自变量X,最终得到的模型与线性回归中,自己分析的结果很可能出现不一致的情况。

    最终以哪个结果为准,应结合专业知识和研究目的选择。比如某个核心研究项很重要,在逐步回归结果中没有体现,此时更应选择其他方法进行研究。

    以上就是今天分享的内容,更多干货内容登录SPSSAU官网查看。

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    Python实现多元线性回归 ...回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变...
  • matlab实现一元线性回归和多元线性回归

    万次阅读 多人点赞 2018-01-30 10:58:46
    在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为多元回归。事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量,比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符合实际。 ...
  • 前言:本文是作者学习机器学习多元线性回归部分,就消除多重共线性、选择变量问题而做的练习。参照了《R-modeling》.薛毅.P331 例6.10例子,使用到R语言的MASS包,ridge包,lars包。
  • 什么是线性回归 有监督学习 => 学习样本为D={(xi,yi)}i=1ND=\{(x_i,y_i)\}^N_{i=1}D={(xi​,yi​)}i=1N​ 输出/预测的结果yiy_iyi​为连续变量 需要学习映射f:x→yf:x...多元线性回归 损失函数(loss function...
  • 这里主要使用python的sklearn实现一个简单的单变量线性回归。 sklearn对机器学习方法封装的十分好,基本使用fit,predict,score,来训练,预测,评价模型, 一个简单的事例如下: from pandas import DataFrame from...
  • 多元回归分析

    千次阅读 2017-11-13 19:09:16
     多元回归分析(multiple regression) 1.与简单线性回归区别: 多个自变量 2.多元回归模型 3.多元回归方程 4.估计多元回归方程 5.估计流程(与简单线性回归类似) 6.估计方法 使得min的值达到最小 7.如果...
  • MultipleRegression_fromScratch 多元回归是线性回归的概括。 其中有n个,而不是一个因变量多元回归试图找到通过给定数据点放置(n-1)维超平面的系数(每个观察值是一个因变量值,n个独立变量值)。
  • 原文链接:http://tecdat.cn/?p=18169 比如说分类变量为是否幸存、是因变量,连续变量为年龄、是自变量,这两者可以做相关分析吗?两者又是否可以做回归分析? 我们考虑泰坦尼克号数据集,
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  • 一元回归分析和多元线性回归 前言 在统计学中,回归分析(Regression Analysis)指的是确定两种或两种以上变量间的相互依赖的定量关系的一种分析方法。该方法常使用数据统计的基本原理,对大量统计数据进行数学处理...
  • 多元回归分析(Multiple Regression Analysis)是指在相关变量中将一个变量视为因变量,其他一个或多个变量视为自变量,建立多个变量之间线性或非线性数学模型数量关系式并利用样本数据进行分析的统计分析方法。...

空空如也

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多元回归和单变量回归