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  • 一元以及二元多项式插值拟合(泰勒)

    千次阅读 2018-01-24 11:04:21
    泰勒多项式逼近的思想。 效果展示 一元 二元 原理交代 一元 二元 其他推导部分和一元一样,本质上还是解线性方程组。 Matlab代码 一元 % 本质上...

    申明: 仅个人小记
    根本上是基于泰勒公式,包括一元的和二元的泰勒定理。 泰勒用多项式逼近的思想。

    效果展示

    一元
    二元

    原理交代

    一元
    二元

    这里写图片描述
    其他推导部分和一元一样,本质上还是解线性方程组。

    Matlab代码

    一元
    % 本质上就是n个方程解n个未知数,这里的未知数是待求函数的所有系数
    % Ac=Y   A是由X组成的范德蒙德行列式,根据范德蒙德行列式的性质,
    %为保证可解,X中不允许出重复的数值
    
    X = 1:10;
    Y = [4,5,1,8,2,-1,6,7,4,11];
    
    % 很有意思,用到了范德蒙德行列式
    % 因为范德蒙德行列式有很好的技巧性的计算方法,所以可能提供更好的计算方法
    % 因为是范德蒙德行列式,所以,很容易知道什么情况该行列式不为零
    
    n = length(X);
    A = ones(n,n);
    
    for j = 2:n % 从第二列开始,根据X计算相应的范德蒙德矩阵
       for i = 1:n
          A(i,j) = X(i)*A(i,j-1); 
       end
    end
    
    c = inv(A)*Y'; % 得到系数c, 即得到了相应的拟合函数
    % f(x) = c0+c1*x+c2*x^2+...+cn-1 * x^(n-1)
    % 下面绘出拟合函数
    x = min(X):0.1:max(X); %
    y = zeros(1,length(x));
    
    for i = 1:length(x) % 带入x 计算 y
        t = 1;
        for j = 1:n
            y(i) = y(i)+t*c(j);
            t = t * x(i);
        end
    end
    
    subplot(311)
    plot(X,Y,'r')
    title('原数据点')
    subplot(312)
    plot(x,y,'g')
    hold on
    plot(X,Y,'O')
    title('拉格朗日插值结果')
    hold off
    subplot(313)
    plot(x,y,'g')
    hold on
    plot(X,Y,'r')
    plot(X,Y,'ro')
    title('数据比对')
    hold off
    
    二元
    close all
    clear all
    X = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
    Y = [6 2 3 12 9 9 7 3 1 9];
    Z = [3 2 5 6 3 9 11 9 8 12];
    
    n = length(X); % 必须保证 n = 1+2+3+...+m, m为整数
    m = floor(sqrt(2*n))-1; % 计算相应目标函数的阶数, 从 0 阶开始
    
    %% 数据计算准备
    % tt 中的内容及意义
    %         0 阶   1阶     2阶      3阶   
    % x的次幂  0   , 0 1 ,  0 1 2 ,  0 1 2 3 , ...
    % y的次幂  0   , 1 0 .  2 1 0 ,  3 2 1 0 , ...
    tt = zeros(2,n);
    k = 1;
    for i = 0:m
        for j = 0:i
            tt(1,k) = j;
            tt(2,k) = i-j;
            k = k+1;
        end
    end
    
    %% 根据tt, X, Y, 计算相应的系数矩阵 A
    A = ones(m,m);
    for i = 1:n
        k = 1;
        for j = 1:n      
            A(i,j) = power(X(i),tt(1,k))*power(Y(i),tt(2,k));
            k = k+1;
        end
    end
    
    c = inv(A)*Z'; % 得到目标函数的系数, 即得到 z = f(x,y)
    
    %% 绘制目标拟合函数图
    % z = f(x,y)
    
    [x, y] = meshgrid(min(X):0.5:max(X),min(Y):0.5:max(Y));
    
    % 计算z值
    z = zeros(size(x,1),size(x,2)); % 只是赋予z和x同样的规格
    for i = 1:size(x,1)
        for j = 1:size(x,2)
            for k = 1:n
                z(i,j) = z(i,j) + c(k)*power(x(i,j),tt(1,k))*power(y(i,j),tt(2,k));
            end
        end
    end
    subplot(211)
    mesh(x,y,z)
    xlabel('X')
    ylabel('Y')
    zlabel('Z')
    hold on
    plot3(X,Y,Z,'ro')
    hold off
    
    subplot(212)
    mesh(x,y,z)
    xlabel('X')
    ylabel('Y')
    zlabel('Z')
    hold on
    plot3(X,Y,Z,'ro')
    plot3(X,Y,Z,'r')
    

    2018年1月24日 13:41:16 Written by Jack Lu

    展开全文
  • 多元函数的泰勒(Taylor)展开式

    万次阅读 多人点赞 2017-04-20 15:17:22
    多元函数的泰勒展开式实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。 一元函数在点xkx_k处的泰勒展开式为: f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12...

    红色石头的个人网站:redstonewill.com

    实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。

    • 一元函数在点 xk x k 处的泰勒展开式为:

      f(x)=f(xk)+(xxk)f(xk)+12!(xxk)2f′′(xk)+on f ( x ) = f ( x k ) + ( x − x k ) f ′ ( x k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f ″ ( x k ) + o n

    • 二元函数在点 (xk,yk) ( x k , y k ) 处的泰勒展开式为:

      f(x,y)=f(xk,yk)+(xxk)fx(xk,yk)+(yyk)fy(xk,yk)+12!(xxk)2f′′xx(xk,yk)+12!(xxk)(yyk)f′′xy(xk,yk)+12!(xxk)(yyk)f′′yx(xk,yk)+12!(yyk)2f′′yy(xk,yk)+on f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + ( x − x k ) f x ′ ( x k , y k ) + ( y − y k ) f y ′ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f x x ″ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) ( y − y k ) f x y ″ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( x − x k ) ( y − y k ) f y x ″ ( x k , y k ) + 1 2 ! ( y − y k ) 2 f y y ″ ( x k , y k ) + o n

    • 多元函数(n)在点 xk x k 处的泰勒展开式为:

      f(x1,x2,,xn)=f(x1k,x2k,,xnk)+i=1n(xixik)fxi(x1k,x2k,,xnk)+12!i,j=1n(xixik)(xjxjk)f′′ij(x1k,x2k,,xnk)+on f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = f ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + ∑ i = 1 n ( x i − x k i ) f x i ′ ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + 1 2 ! ∑ i , j = 1 n ( x i − x k i ) ( x j − x k j ) f i j ″ ( x k 1 , x k 2 , … , x k n ) + o n

    • 把Taylor展开式写成矩阵的形式:

    f(x)=f(xk)+[f(xk)]T(xxk)+12![xxk]TH(xk)[xxk]+on f ( x ) = f ( x k ) + [ ∇ f ( x k ) ] T ( x − x k ) + 1 2 ! [ x − x k ] T H ( x k ) [ x − x k ] + o n

    其中:

    H(xk)=2f(xk)x212f(xk)x2x12f(xk)xnx12f(xk)x1x22f(xk)x222f(xk)xnx22f(xk)x1xn2f(xk)x2xn2f(xk)x2n H ( x k ) = [ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 2 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( x k ) ∂ x n 2 ]


    这里写图片描述

    展开全文
  • 泰勒展开2.1 一元函数泰勒展开2.2 二元函数泰勒展开2.3 n元函数泰勒展开3. 黑塞矩阵(海森矩阵) 1. 引入:函数展开 设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0​ 处可导,则在点 x0x_0x0​ 的某邻域内,可以用下...

    1. 引入:函数展开

    • 设函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 处可导,则在点 x 0 x_0 x0 的某邻域内,可以用下式表示原函数值
      f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + o ( x − x 0 ) ,     x → x 0 f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0),\space\space\space x \rightarrow x_0 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0),   xx0
      对于这种一元函数,示意图如下
      在这里插入图片描述
    • 上面这个式子,可以看作在点 x 0 x_0 x0 处对 f ( x ) f(x) f(x) 进行了一步展开,使用线性主部 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f'(x_0)(x - x_0) f(x0)(xx0) 和与展开点 x 0 x_0 x0 的偏差 △ x \triangle x x 的高阶无穷小表示原函数。
    • 函数展开的应用非常广泛,这种方法可以把复杂的原始目标函数近似转换为多项式函数,从而简化问题。使用泰勒展开,只要原函数任意阶可导,就可以将其展开为任意阶的多项式函数,得到更高精度的表示

    2. 泰勒展开

    2.1 一元函数泰勒展开

    • 使用泰勒展开,可以把在 x k x_k xk n n n 阶可导的函数 f ( x ) f(x) f(x) 展开为关于 △ x = x − x k \triangle x = x-x_k x=xxk n n n 次多项式,如下
      f ( x ) = f ( x k ) + ( x − x k ) f ′ ( x k ) + 1 2 ! ( x − x k ) 2 f ′ ′ ( x k ) + . . . = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x k ) n ! ( x − x k ) n \begin{aligned} f(x) &= f(x_k) + (x-x_k)f'(x_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''(x_k) + ... \\ &= \sum_{n=0}^\infin \frac{f^{(n)}(x_k)}{n!}(x-x_k)^n \end{aligned} f(x)=f(xk)+(xxk)f(xk)+2!1(xxk)2f(xk)+...=n=0n!f(n)(xk)(xxk)n
    • n n n 有上界时,需要在展开式最后添加 △ x = ( x − x k ) \triangle x = (x-x_k) x=(xxk) n n n 次方的高阶无穷小 o ( ( x − x k ) n ) o((x-x_k)^n) o((xxk)n) 以补足近似差距,保证等号成立。可见,随着展开阶数提高,展开式精度也在不断提高

    2.2 二元函数泰勒展开

    • △ x = x − x k ,    △ y = y − y k \triangle x = x-x_k,\space\space \triangle y = y-y_k x=xxk,  y=yyk,设二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x k , y k ) (x_k,y_k) (xk,yk) 处可导,可以如下展开:
      f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + [ f x ′ ( x k , y k ) △ x + f y ′ ( x k , y k ) △ y ] + 1 2 ! [ f x x ′ ′ ( x k , y k ) △ x 2 + f x y ′ ′ ( x k , y k ) △ x △ y + f y x ′ ′ ( x k , y k ) △ x △ y + f y y ′ ′ ( x k , y k ) △ y 2 ] + . . . \begin{aligned} f(x,y) = f(x_k,y_k) &+ \Big[f'_x(x_k,y_k) \triangle x +f'_y(x_k,y_k)\triangle y\Big]\\ &+ \frac{1}{2!}\Big[f''_{xx}(x_k,y_k)\triangle x^2 + f''_{xy}(x_k,y_k)\triangle x\triangle y+f''_{yx}(x_k,y_k)\triangle x\triangle y+f''_{yy}(x_k,y_k)\triangle y^2 \Big] \\ &+ ... \end{aligned} f(x,y)=f(xk,yk)+[fx(xk,yk)x+fy(xk,yk)y]+2!1[fxx(xk,yk)x2+fxy(xk,yk)xy+fyx(xk,yk)xy+fyy(xk,yk)y2]+...
      通常写成矩阵形式
      f ( x , y ) = f ( x k , y k ) + [ f x ′ ( x k , y k ) f y ′ ( x k , y k ) ] [ △ x △ y ] + 1 2 ! [ △ x △ y ] [ f x x ′ ′ f ( x k , y k ) f x y ′ ′ f ( x k , y k ) f y x ′ ′ f ( x k , y k ) f y y ′ ′ f ( x k , y k ) ] [ △ x △ y ] + . . . \begin{aligned} f(x,y) = f(x_k,y_k) &+ \begin{bmatrix}f'_x(x_k,y_k)&f'_y(x_k,y_k)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\triangle x \\\triangle y\end{bmatrix} \\ &+ \frac{1}{2!}\begin{bmatrix}\triangle x &\triangle y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}f''_{xx}f(x_k,y_k) &f''_{xy}f(x_k,y_k)\\f''_{yx}f(x_k,y_k) &f''_{yy}f(x_k,y_k)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\triangle x \\\triangle y\end{bmatrix} \\ &+... \end{aligned} f(x,y)=f(xk,yk)+[fx(xk,yk)fy(xk,yk)][xy]+2!1[xy][fxxf(xk,yk)fyxf(xk,yk)fxyf(xk,yk)fyyf(xk,yk)][xy]+...
    • 以上展开到2阶,所以至少要求2阶可导,若二阶导数连续(原函数为光滑曲线),则有 f x y ′ ′ = f y x ′ ′ f''_{xy}=f''_{yx} fxy=fyx,可进一步化简

    2.3 n元函数泰勒展开

    • △ x i = x − x k i \triangle x^i = x-x_k^i xi=xxki,设 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T \pmb{x} = (x^1,x^2,...,x^n)^T xxx=(x1,x2,...,xn)T n n n 元函数 f ( x ) f(\pmb{x}) f(xxx) x k = ( x k 1 , x k 2 , . . . , x k n ) T \pmb{x}_k = (x_k^1,x_k^2,...,x_k^n)^T xxxk=(xk1,xk2,...,xkn)T 处可导,可以如下展开:
      f ( x ) = f ( x k ) + ∑ i = 1 n f x i ′ ( x ) △ x i + 1 2 ! ∑ i , j = 1 n f i j ′ ′ ( x k ) ( x i − x k i ) + . . . \begin{aligned} f(\pmb{x}) = f(\pmb{x}_k) &+ \sum_{i=1}^n f'_{x^i}(\pmb{x}) \triangle x^i \\ &+ \frac{1}{2!} \sum_{i,j=1}^nf''_{ij}(\pmb{x}_k)(x^i-x^i_k)\\ &+ ... \end{aligned} f(xxx)=f(xxxk)+i=1nfxi(xxx)xi+2!1i,j=1nfij(xxxk)(xixki)+...
      通常写成矩阵形式
      f ( x ) = f ( x k ) + [ f x 1 ′ ( x k ) f x 2 ′ ( x k ) … f x n ′ ( x k ) ] [ △ x 1 △ x 2 ⋮ △ x n ] + 1 2 ! [ △ x 1 △ x 2 … △ x n ] H ( x k ) [ △ x 1 △ x 2 ⋮ △ x n ] + . . . \begin{aligned} f(\pmb{x}) = f(\pmb{x}_k) &+ \begin{bmatrix}f'_{x^1}(\pmb{x}_k)&f'_{x^2}(\pmb{x}_k) &\dots &f'_{x^n}(\pmb{x}_k)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\triangle x^1 \\\triangle x^2 \\ \vdots\\ \triangle x^n \end{bmatrix} \\ &+ \frac{1}{2!}\begin{bmatrix}\triangle x^1 &\triangle x^2 & \dots & \triangle x^n \end{bmatrix} \pmb{H}(\pmb{x}_k) \begin{bmatrix}\triangle x^1 \\\triangle x^2 \\ \vdots\\ \triangle x^n \end{bmatrix}\\ &+ ... \end{aligned} f(xxx)=f(xxxk)+[fx1(xxxk)fx2(xxxk)fxn(xxxk)]x1x2xn+2!1[x1x2xn]HHH(xxxk)x1x2xn+...
      其中 [ f x 1 ′ ( x k ) f x 2 ′ ( x k ) … f x n ′ ( x k ) ] \begin{bmatrix}f'_{x^1}(\pmb{x}_k)&f'_{x^2}(\pmb{x}_k) &\dots &f'_{x^n}(\pmb{x}_k)\end{bmatrix} [fx1(xxxk)fx2(xxxk)fxn(xxxk)] 就是 f ( x ) f(\pmb{x}) f(xxx) 的梯度,化简符号如下:
      f ( x ) = f ( x k ) + [ ▽ f ( x k ) ] T [ x − x k ] + 1 2 ! [ x − x k ] T H ( x k ) [ x − x k ] + . . . \begin{aligned} f(\pmb{x}) = f(\pmb{x}_k) &+ [\triangledown f(\pmb{x}_k)]^T[\pmb{x}-\pmb{x}_k] \\ &+ \frac{1}{2!}[\pmb{x}-\pmb{x}_k]^T H(\pmb{x}_k) [\pmb{x}-\pmb{x}_k]\\ &+ ... \end{aligned} f(xxx)=f(xxxk)+[f(xxxk)]T[xxxxxxk]+2!1[xxxxxxk]TH(xxxk)[xxxxxxk]+...

    • 以上展开到2阶,所以至少要求2阶可导,若二阶导数连续(原函数为光滑曲线),则有 f x y ′ ′ = f y x ′ ′ f''_{xy}=f''_{yx} fxy=fyx,可进一步化简。上式中 H ( x k ) H(\pmb{x}_k) H(xxxk) 是黑塞矩阵,当展开到二阶时就会出现

    3. 黑塞矩阵(海森矩阵)

    • 黑塞矩阵是由某个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率

      黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵

    • 在 2.3 节设定下,黑塞矩阵为
      在这里插入图片描述
    • 对称性要求 f ( x ) f(\pmb{x}) f(xxx) 在展开区域内二阶连续可导(二阶偏导数连续,原函数光滑),则原函数的混合偏导数相等,黑塞矩阵成为对称矩阵
    • 可以使用黑塞矩阵判断多元函数极值,这个以后的文章再详细分析
    展开全文
  • 多项式

    千次阅读 2013-09-17 14:18:32
    多项式中每一个 x n 皆称之为多项式的项 次数:多项式 x n 中每一项的n为此项的次数 同次项:若有多个多项式,其中每一项的 x k 项称之为同次项 首项:指多项式的项中次数最大者,若多项式首项为n,则称此多项式为n...

    在数学领域里多项式是由变量以及标量(一般是实数复数)经乘法加法构法而成,属于整式代数式。下列四种都是多项式: 多项式中每一个 x n 皆称之为多项式的项 次数:多项式 x n 中每一项的n为此项的次数 同次项:若有多个多项式,其中每一项的 x k 项称之为同次项 首项:指多项式的项中次数最大者,若多项式首项为n,则称此多项式为n次多项式


    • x-10\!
    • y^2+2y-5\!
    • x^2+y+5\!
    • \frac{2}{3}+ \frac{c}{12}\!

    非多项式的例子:

    • \frac{12}{z}\!
    • \frac{2}{x}+ \frac{y}{30}\!

    这些式子的变量位在分母,称作分式,并非多项式。

    \ 2xy-yx+5  及 \ xy+5  也是多项式,但若然\ x \ y 可置换的变量,即\ xy=yx ,则这两个多项式是相同的。

    单项式是指可以纯粹由乘法构法的多项式,如: \ 10 \ x  及 \ 10x^2y^2z^3 单项式其实是不含加法减法运算的整式.

    (注:有说单项式不是多项式,而多项式是由起码两个或以上的单项式相加起来而成。这是最常见单项式及多项式的定义。但多项式相加也可以是单项式,如\ (3x+4)+(-2x-4)=x,这个区分令理论研究变得复杂。若然把单项式也归纳为多项式,则多项式相加的也是多项式,情况比较简单。)

    几何学中,多项式是最简单的平滑曲线简单是指它仅由乘法加法构法;平滑皆因它类同口语中的平滑——以数学述语来说,它是无限可微,即可以对它的所有高次微分都存在。事实上,多项式的微分也是多项式。

    简单及平滑的特点,使它在数值分析图论,以及电脑绘图等,都发挥极大的作用。

    历史

    多项式的研究,源于“代数方程”, 是最古老数学问题之一。有些代数方程,如x+1=0,在负数被接受前,被认为是无解的。另一些多项式,如f(x)=x² + 1,是没有任何的——严格来说,是没有任何实数根。若我们容许复数,则实数多项式或复数多项式都是有根的,这就是代数基本定理

    能否用根式求解的方法,表达出多项式的根,曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示,即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年,数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法,终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在,震掝数坛。数年后,伽罗华引入了的概念,证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法,其理论被引申为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。另一个难题化圆为方的不可能证明,亦与多项式有关,证明的中心是圆周率乃一个超越数,即它不是有理数多项式的根。

    正式定义

    给一个 R(可以是实数环,复数环或其他)及一个变量 x,则多项式是以下代数式:

    \ f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n

    当中 a0, …, an 是 R 的元素。用 Σ表达法,有

    \ f(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

    容易证明,多项式的和或积都是多项式,即多项式组成一个环 R[x],称为 R 上的(一元)多项式环。(注:在最一般的定义,a2xxa2 及 axa 可以当作是不同的多项式,是不可置换环的例子。)

    对于多变量多项式,我们可以类似方式定义。一个有 n 个变量的多项式,称为 n元多项式。通常以 R[x,y,z] 表示 R 为系数环,xy 及 z 为变量的多项式环。

    在  R[x_1,\ldots,x_n]  中, ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}  称为单项式,其中 a∈ R系数而 k_1,\ldots,k_n为非负整数,是 x_1,\ldots,x_n 的次数k_1+\cdots+k_n 是这个单项式的次数。

    多项式的项数

    多项式最少的单项式之和呈现,则每一个单项式都被称为此多项式的,而项的数目称为项数

    例如多项式 \ y^3+2x+5-\frac{c}{12}  的项数是四,故称为四项式。当中的 \ y^3 、 \ 2x\ 5、  -\frac{c}{12}、都是此多项式的项。

    以上例子中的多项式可以写成四个以上单项式的和,如 \ y^3+2x+5-\frac{c}{12}=y^3+3x-x+5-\frac{c}{12} 是五个单项式的和。是以必须强调最少的单项式之和 。

    另外的例子是 \ x-10  共有二项,此多项式称二项式。

    (注:若把 \ y^3+2x+5-\frac{c}{12}  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式,则它只是三项式,分别是 \ y^3 、 \ 2x、及 5-\frac{c}{12}。 )

    若是未知数X、Y、Z等若出现在分母里、根号里或是绝对值中,就不能定义为“多项式”。例如:

    • \ \frac{1}{x} +x^2+3,因为出现在分母里,所以不是多项式。
    • \ \sqrt{x} +x^2+3,因为出现在根号里,所以不是多项式。
    • \ |x| +x^2+3,因为出现在绝对值里,所以不是多项式。

    变项与常数项

    多项式中含有变量的称为变项,祇有数字的项称为常数项。 例如多项式:\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}  中的 \ y^3  、 \ 2x  、  -\frac{c}{12}  、 都是此多项式的变项。而\ 5 常数项

    (注:若把  y^3+2x+5-\frac{c}{12}  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式,则 5-\frac{c}{12} 才是常数项。 )

    多项式的“元”

    多项式中的变量种类称为,各种变量以各字母表达(注:通常是x、y、z),一个多项式有n种变量就称为n元多项式。

    例如:\ y^9+5x^7-\frac{y^6}{12}+2x  中有\ x \ y  二元,是二元多项式。因有四项,可称二元四项式。

    多项式的次数

    多项式中次数最高的的次数,即此多项式的次数。

    例如多项式:\ y^3+2x+5-\frac{c}{12}  中 \ y^3  的次数最高,有三次方,故此多项式的次数为三。 因而此多项式可称为三元三次四项式。\ y^3 称为三次项,\ 2x 及 \ \frac{c}{12} 称为一次项或线性项,而 5 是 0 次项或常数项。

    又例如多项式\ x+y+3  ,\ y  与 \ x  二项都是一次方,而常数项\ 3 是零次方。故此多项式的次数为一。而此多项式项数为三,可称为一次三项式。

    常数项\ 3 是零次方因为可被视为是 3\times x^0。而任何非零数字零次方都是1,故3\times x^0;=3\times 1=3 ,常数项的次数都为0。

    又例如 \ c^2x^3+3y^4  的首项是五次,次项是四次,所以是个三元五次多项式。(注:若把 \ c^2x^3+3y^4  看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多项式,则第一项是三次而系数为 c2 ,第二项是四次,是个二元四次多项式。 )

    多项式 p 的次数,记作 deg(p),由英语 degree 而来。\ 0=0x^{-1}=0x^0=0x^2=....,所以0这一多项式不计次数,故称为零多项式。常数多项式分为零次多项式和零多项式。所谓零次多项式是指每一个项(常数项除外)的系数都是0,而零多项式则指每一项的系数(包括常数项)都是0。1 次多项式又称为 线性多项式。多项式中的一次项又称为线性项。

    多项式的升幂及降幂排列

    多项式可依各单项式的次数排列。

    次数从低到高是升幂排列。 例如:以下多项式,从\ a_0 x^0 排到\ a_n x^n

    \ f(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n.

    次数从高到低是降幂排列。 例如:以下多项式,从\ a_nx^n 排到\ a_0 x^0

    \ f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^1 + a_0 x^0.

    若一多项式为多元多项式,可依照其中一排列。

    例如:\ 2x^5 y^2 + 7x^3 y^4 + 8x^1 y^6 是依X的次数排列。

    亦可以y的次数排列。

    例如:\ 8y^6 x^1 +  7y^4 x^3 + 2y^2 x^5

    一元多项式

    一元多项式中次数最高的项,称为首项,其系数称为该多项式的首项系数。如 \ 3x^4-2x^2+x  的首项系数为 3。首项系数为 1 的多项式称为首一多项式,如 \ x^4-2x

    因式分解

    把一多项式分成几个整式的积,称为因式分解。这些整式可称因式。

    以下是常用的因式分解公式

    • \ a^2-b^2=(a+b)(a-b)= a(a-b)+b(a-b)
    • \ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
    • \ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
    • \ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
    • \ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
    •  ( a + b )^{n} = C^{n}_{0}a^{n} + C^{n}_{1} a^{n - 1} b + C^{n}_{2} a^{n - 2} b^{2} + ... + C^{n}_{n - 1} a b^{n - 1} + C^{n}_{n}b^{n}
      •  C^{n}_{m} = \frac{n!}{(n - m)!m!}
      •  C^{n}_{0} = C^{n}_{n} = 0! = 1

    多项式的运算

    多项式乘法

    把两个多项式相乘时,第一个多项式的每一个项都要与第二个多项式的每一个项相乘。例如:

    (x+2)(2x-5)=2x^2+4x-5x-10=2x^2-x-10

    也可以利用矩阵乘法来进行:

    \begin{bmatrix}1 & 0\\2 & 1\\0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\-1\\-10\end{bmatrix}

    多项式除法

    多项式的除法与整数的除法类似。

    (1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.

    (2)用被除式的第一项去除除式的第一项,得商式的第一项.

    (3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项结合起来.

    (4)把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式

      如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除

    例如,计算\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3}

    \begin{matrix}\qquad\quad\;\, x^2 \; - 9x \quad - 27\\\qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\\;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\\qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27x + 81}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123\end{matrix}

    因此,商是\ x^2 - 9x - 27 ,余式是\ -123 。 缺项补0

    多项式座标图例子

    一些低次数的多项式座标图:

    2次多项式:
    f( x) =  x 2 -  x - 2
    = ( x+1)( x-2)
    3次多项式:
    f( x) =  x 3/5 + 4 x 2/5 
    - 7 x/5 - 2
    = 1/5 ( x+5)( x+1)( x-2)
    4次多项式:
    f( x) = 1/14 ( x+4)( x+1)( x-1)( x-3) + 0.5
    5次多项式:
    f( x) = 1/20 ( x+4)( x+2)( x+1)( x-1)( x-3) + 2

    多项式函数及多项式的根

    给出多项式 fR[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An,我们把 f 中的 xj 都换成 aj,得出一个 A 中的元素,记作 f(a1...an)。如此,f 可看作一个由 An 到 A 的函数。

    若然 f(a1...an)=0,则 (a1...an) 称作 f 的零点

    例如 f=x2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵,则 f 会无根、有两个根、及有无限个根!

    例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数,则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合,是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。

    代数基本定理

    代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。

    多项式的几何特性

    多项式是简单的连续函数,它是平滑的,它的微分也必定是多项式。

    泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数,此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限

    任意环上的多项式

    多项式可以推广到系数在任意一个的情形,请参阅条目多项式环

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多元多项式的泰勒多项式