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  • 二元正态分布,可以改变相关系数查看效果
  • 多元正态分布下,其数据为x =,对应的均值方差分别为 =,=, 则其概率密度可由一下展开表示: p(x) = =exp{} *exp{} *exp{}...exp{} (整理一下,把,exp{}分别放在一起) =...*exp{}exp{}exp{}...exp{} ...

    首先,已知有一个满足\mathcal N(x; \mu ,{_{\sigma}}^{2})一维正态分布的概率密度函数为:

              p(x)={(2\pi {_{ \sigma}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x-\mu)}}^{2}}{​{_{\sigma }}^{2}}}

     

    在多元正态分布下:

    其数据为:\boldsymbol{x}=[x_{0},x_{1},x_{2},...x_{n}]^{T}

    均值为:\boldsymbol{\mu}= [\mu_{0},\mu_{1},\mu_{2},...\mu_{n}]

    方差为:\boldsymbol{\sigma}=[\sigma_{0}^2,\sigma_{1}^2,\sigma_{2}^2,...\sigma_{n}^2]

     

    则其概率密度可由一下展开表示:

    p(x)=p(x_{0})p(x_{1})p(x_{2})...p(x_{n})

             ={(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{​{_{\sigma_{0}}}^{2}}}*{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{​{_{\sigma_{1}}}^{2}}}*{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{​{_{\sigma_{2}}}^{2}}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{​{_{\sigma_{n}}}^{2}}}

             ={(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}*exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{​{_{\sigma_{0}}}^{2}}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{​{_{\sigma_{1}}}^{2}}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{​{_{\sigma_{2}}}^{2}}}...exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{​{_{\sigma_{n}}}^{2}}}

             ={(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}*exp^{-\frac{1}{2}(\frac{​{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{​{_{\sigma_{0}}}^{2}} + \frac{​{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{​{_{\sigma_{1}}}^{2}} + \frac{​{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{​{_{\sigma_{2}}}^{2}}+...\frac{​{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{​{_{\sigma_{n}}}^{2}})}

     

    令,

           {\sum}=\left [ \begin{matrix} \sigma_{0}^{2} & & &\\ & \sigma_{1}^{2} & &\\ & & \sigma_{2}^{2} &\\ & & & ...\\ & & & & \sigma_{n}^{2}\\ \end{matrix} \right ]{\sum}^{-1} =\left [ \begin{matrix} \frac{1}{\sigma_{0}^{2}} & & &\\ & \frac{1}{\sigma_{1}^{2}} & &\\ & & \frac{1}{\sigma_{2}^{2}} &\\ & & & ...\\ & & & & \frac{1}{\sigma_{n}^{2}}\\ \end{matrix} \right ]

     

    则有,

             {(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}

        =det(\left [ \begin{matrix} (2\pi\sigma_{0}^{2})^{-\frac{1}{2}} & & &\\ & (2\pi\sigma_{1}^{2})^{-\frac{1}{2}} & &\\ & & (2\pi\sigma_{2}^{2})^{-\frac{1}{2}} &\\ & & & ...\\ & & & & (2\pi\sigma_{n}^{2})^{-\frac{1}{2}}\\ \end{matrix} \right ])

        =det(2\pi\sum)^{-\frac{1}{2}}

     

              exp^{-\frac{1}{2}(\frac{​{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{​{_{\sigma_{0}}}^{2}} + \frac{​{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{​{_{\sigma_{1}}}^{2}} + \frac{​{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{​{_{\sigma_{2}}}^{2}}+...\frac{​{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{​{_{\sigma_{n}}}^{2}})}

        =exp^{-\frac{1}{2}\left [ \begin{matrix} x_{0}-\mu_{0} \\ x_{1}-\mu_{1} \\ x_{2}-\mu_{2} \\ ... \\ x_{n}-\mu_{n} \\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} \frac{1}{\sigma_{0}^{2}} & & &\\ & \frac{1}{\sigma_{1}^{2}} & &\\ & & \frac{1}{\sigma_{2}^{2}} &\\ & & & ...\\ & & & & \frac{1}{\sigma_{n}^{2}}\\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} x_{0}-\mu_{0} & x_{1}-\mu_{1} & x_{2}-\mu_{2} & ... & x_{n}-\mu_{n} \end{matrix} \right ]}

        =exp^{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{T}\sum^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})} 

     

    因此求得多元正态分布的概率密度函数为:

              p(x)=det(2\pi\sum)^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{T}\sum^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})}

    特别地,当x是一维的时候,\sum = \sigma^2 ,{\sum}^{-1} = \frac{1}{\sigma^2}

    则有,

              p(x)={(2\pi {_{ \sigma}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{​{_{(x-\mu)}}^{2}}{​{_{\sigma }}^{2}}}

     

     

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  • matlab:画二维正态分布密度函数

    万次阅读 2013-07-11 11:20:32
    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里 这只图好大啊~~ 但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用...

    转载地址:http://www.cnblogs.com/nani/archive/2012/03/18/2404646.html

    首先,把二维正态分布密度函数的公式贴这里

    这只图好大啊~~

    但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式,那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵,其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷,但是用在matlab里画图不太方面,下面换一个

    这个公式与上面的等价,只不过把向量和矩阵展开,计算出来。我们可以用这个式子画图。

    因为二维函数的形式是:z=f(x,y)

    所以必须先选择一些点,然后计算出f(x,y)。这些点分布在一个平面上,而z则在三维空间。

    如何选择平面上的点阵?

    [x,y]=meshgrid(a,b)

    meshgrid就是这样一个生成点阵的函数,这个meshgrid理解起来有点绕,不过举个例子就马上能力明白了。下面是matlab里面的一段截图:

     

    我们可以看到meshgrid生成了两个同样大小的矩阵,第一个矩阵是通过把第一个参数[1:3]顺着行的方向复制了4次,4是第二个参数的长度,同样第二个矩阵是第二个参数顺着列的方向复制了三次,3是第一个参数向量的长度。而这个点阵就是:

    (1,2)   (2,2)   (3,2)

    (1,3)   (2,3)   (3,3)

    ...

    看出什么意思了吧?就这个意思。

    至于这两个参数到底怎么选,这样根据你的正态分布的均值,尽量使点阵的中心与分布的均值靠近。

    好了,有了平面上的点,就来算这些点对应的函数值。往函数里套就行,下面是代码:

    ?
    function Z = drawGaussian(u,v,x,y)
    %  u,vector,expactation;v,covariance matrix
    % x = 150 : 0.5 : 190 ;  
    % y = 35 : 110 ;      
    [X,Y] = meshgrid(x,y);
    DX = v( 1 , 1 );     % X的方差
    dx = sqrt(DX);
    DY = v( 2 , 2 );     % Y的方差
    dy = sqrt(DY);
    COV = v( 1 , 2 );     % X Y的协方差
    r = COV / (dx * dy);
    part1 = 1 / ( 2 * pi * dx * dy * sqrt( 1 - r^ 2 ));
    p1 = - 1 / ( 2 * ( 1 - r^ 2 ));
    px = (X - u( 1 )).^ 2. / DX;
    py = (Y - u( 2 )).^ 2. / DY;
    pxy = 2 * r. * (X - u( 1 )). * (Y - u( 2 )). / (dx * dy);
    Z = part1 * exp(p1 * (px - pxy + py));
    mesh(x,y,Z);

      最后一句mesh(x,y,Z) 是画图函数,画出的图行大概是下面这个样子:

     

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  • 正态分布密度函数及特征函数总结:1.一元标准正态分布N(0,1)N(0,1): 密度函数:(2π)−12e−y22(2\pi)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^2}{2}} 特征函数:e−t22e^{-\frac{t^2}{2}} 2.一元正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma...

    正态分布密度函数及特征函数总结:

    1.一元标准正态分布 N(0,1)
    • 密度函数: (2π)12ey22
    • 特征函数: et22
    2.一元正态分布 N(μ,σ2) :
    • 密度函数: 12πσe(yμ)22σ2
    • 特征函数: eitμt2σ22
    3.多元标准正态分布 Nq(0,Iq) :

    (其中 Y=y1yq y1yqN(0,1) )

    • 密度函数: (2π)q2eyy2
    • 特征函数: ett2
    4.多元正态分布 Np(μ,AA) :

    (其中 YNq(0,Iq),X=AY+μNp(μ,AA),A:pq ,其中 AA 记为 )

    • 密度函数: (2π)q2||12e12(xμ)||1(xμ)
    • 特征函数: eitμtt2
    例(二元正态图像的实现):

    X=[X1X2]N2(μ,) , μ=[μ1μ2] , =[σ11σ21σ12σ22]=[σ12ρσ1σ2ρσ1σ2σ22]>0
    * R实现:

    #不相关情形
    x=seq(-5,5,by=0.1) #生成一组数,从-5到5,间隔0.1#
    y=x
    x=1
    x1=dnorm(x,0,1) #返回值为正态分布密度函数值#
    z=outer(x1,x1)
    persp(x,y,z,theta=30,phi = 10,expand = 0.8)
    
    #相关情形
    fn=function(x,y){
      sigma=matrix(c(1,0,0,1),c(2,2))
      mu=c(0,0)
      sSigma=solve(sigma)
      return(exp(-((x-mu[1])^2*sSigma[1,1]+2*(x-mu[1])*(y-mu[2])*sSigma[1,2]+(y-mu[2])^2*sSigma[2,2])/2)/(2*pi*det(sigma)^0.5))
    }
    a=4
    x=seq(-a,a,0.1)
    y=seq(-a,a,0.1)
    #outer为每个点(x,y)得到对应的z即z[i,j]=fn(x[i],y[j]),类似matlab的meshgrid
    z=outer(x,y,fn)
    persp(x,y,z,theta=30)               

    *matlab实现:

    u=[0;0];%均值
    v=[1,0;0,1];%协方差阵
    x=-7:0.05:7;%x是-7到7的一组数,每次增加0.05
    y=-7:0.05:7;
    [X,Y]=meshgrid(x,y);%生成二维网格矩阵
    s2x=v(1,1) %x的方差 矩阵v的(1,1)元
    s2y=v(2,2) %y的方差 矩阵v的(2,2)元
    sx=sqrt(s2x) %x的标准差
    sy=sqrt(s2y) %y的标准差
    Cov=v(1,2) %协方差
    r=Cov/(sx*sy) %相关系数
    a=1/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r^2));
    b1=-1/(2*(1-r^2));
    b2=((X-u(1))./sx).^2;
    b3=((Y-u(2))./sy).^2;
    b4=2*r.*(X-u(1)).*(Y-u(2))./(sx*sy)
    Z=a*exp(b1*(b2+b3-b4));%也就是f(x1,x2)的表达式
    mesh(X,Y,Z),title('密度函数图')
    figure
    contour(X,Y,Z),title('等高线图')  
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  • 关于多元正态分布的条件概率密度

    万次阅读 2017-01-10 21:16:23
    原文来自师兄的博客:...多元正态分布多元正态分布密度函数如下 : fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))f_{x}(x_{1},...x_{n})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{

    原文来师兄的博客:http://blog.csdn.net/wjj5881005/article/details/53320403

    多元正态分布

    多元正态分布的密度函数如下 :

    fx(x1,...xn)=1(2π)k|Σ|1/2exp(12(xμ)TΣ1(xμ)) (1)

    其对应的矩母函数(也有称动差函数)为 exp(μTt+12tTΣt) 。事实上,如果随机向量 [X1,...Xn] 满足上面的动差函数,那么我们就称随机向量 [X1,...Xn] 服从多元高斯分布。具体地证明可以看 这里

    多元正态分布的条件密度

    令随机向量 [X1,...Xn] 服从多元高斯分布。我们可以推导 Xn 在给定 X1,...Xn1 的情况下的条件密度分布:

    f(xn|x1,...,xn1)=f(x1,...,xn1,xn)f(x1,...,xn1) (2),

    其中
    f(x1,...,xn)=(2π)n/2(|Σ|1/2)exp[12ni,j=1yiqijyj] (3)

    其中 Q=Σ1=[qij],yi=xiμi 。同样地,
    f(x1,...,xn1)=f(x1,...,xn1,xn)dxn=B(y1,...,yn1) (4).

    现在我们将公式(3)中的求和项进行分解,有:
    ni,j=1yiqijyj=n1i,j=1yiqijyj+ynn1j=1qnjyj+ynn1i=1qinyj+qnny2n (5)

    因此,最终地条件分布具有如下的形式:
    A(y1,...,yn1)B(y1,...,yn1)exp[(Cy2n+D(y1,...,yn1)yn)] (6)

    其中 C=(1/2)qnn ,因为 Q=Σ1 是对称矩阵,所以 D=n1j=1qnjyj=n1i=1qinyi .(6)式又可以进一步表示称如下的式子:
    [ABexp(DD24C)]exp[(yn+D2C)2]1C (7)

    从公式(7)很容看出 xn 的条件密度函数是服从正态分布的。
    所以条件分布的方差为: 2Var(Xn|X1,...,Xn1)=1/C ,进一步有: Var(Xn|X1,...,Xn1)=12C=1qnn
    均值为:
    E(Xn|X1,...,Xn1)=μnD2C=μn1qnnn1j=1qnj(Xjμj)

    这就说明了再抽样多元正态分布时,如果已知了其它维度的随机变量值, 剩下的那个维度的随机变量也是服从正态分布

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  • R:多元正态密度函数计算

    千次阅读 2020-03-18 17:00:21
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多元正态分布密度函数