• 二元正态分布，可以改变相关系数查看效果
• 多元正态分布下，其数据为x =，对应的均值方差分别为 =，=， 则其概率密度可由一下展开表示： p(x) = =exp{} *exp{} *exp{}...exp{} （整理一下，把，exp{}分别放在一起） =...*exp{}exp{}exp{}...exp{} ...
首先，已知有一个满足$\mathcal N(x; \mu ,{_{\sigma}}^{2})$一维正态分布的概率密度函数为：
$p(x)={(2\pi {_{ \sigma}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x-\mu)}}^{2}}{{_{\sigma }}^{2}}}$

在多元正态分布下：
其数据为：$\boldsymbol{x}=[x_{0},x_{1},x_{2},...x_{n}]^{T}$，
均值为：$\boldsymbol{\mu}= [\mu_{0},\mu_{1},\mu_{2},...\mu_{n}]$，
方差为：$\boldsymbol{\sigma}=[\sigma_{0}^2,\sigma_{1}^2,\sigma_{2}^2,...\sigma_{n}^2]$。

则其概率密度可由一下展开表示：
$p(x)=p(x_{0})p(x_{1})p(x_{2})...p(x_{n})$
$\dpi{120} ={(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{{_{\sigma_{0}}}^{2}}}*{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{{_{\sigma_{1}}}^{2}}}*{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{{_{\sigma_{2}}}^{2}}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{{_{\sigma_{n}}}^{2}}}$
$\dpi{120} ={(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}*exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{{_{\sigma_{0}}}^{2}}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{{_{\sigma_{1}}}^{2}}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{{_{\sigma_{2}}}^{2}}}...exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{{_{\sigma_{n}}}^{2}}}$
$\dpi{120} ={(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}*exp^{-\frac{1}{2}(\frac{{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{{_{\sigma_{0}}}^{2}} + \frac{{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{{_{\sigma_{1}}}^{2}} + \frac{{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{{_{\sigma_{2}}}^{2}}+...\frac{{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{{_{\sigma_{n}}}^{2}})}$

令，
${\sum}=\left [ \begin{matrix} \sigma_{0}^{2} & & &\\ & \sigma_{1}^{2} & &\\ & & \sigma_{2}^{2} &\\ & & & ...\\ & & & & \sigma_{n}^{2}\\ \end{matrix} \right ]$，${\sum}^{-1} =\left [ \begin{matrix} \frac{1}{\sigma_{0}^{2}} & & &\\ & \frac{1}{\sigma_{1}^{2}} & &\\ & & \frac{1}{\sigma_{2}^{2}} &\\ & & & ...\\ & & & & \frac{1}{\sigma_{n}^{2}}\\ \end{matrix} \right ]$，

则有，
${(2\pi {_{ \sigma_{0}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{1}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}{(2\pi {_{ \sigma_{2}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}...{(2\pi {_{ \sigma_{n}}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}$
$=det(\left [ \begin{matrix} (2\pi\sigma_{0}^{2})^{-\frac{1}{2}} & & &\\ & (2\pi\sigma_{1}^{2})^{-\frac{1}{2}} & &\\ & & (2\pi\sigma_{2}^{2})^{-\frac{1}{2}} &\\ & & & ...\\ & & & & (2\pi\sigma_{n}^{2})^{-\frac{1}{2}}\\ \end{matrix} \right ])$
$\dpi{100} =det(2\pi\sum)^{-\frac{1}{2}}$

$\dpi{120} exp^{-\frac{1}{2}(\frac{{_{(x_{0}-\mu_{0})}}^{2}}{{_{\sigma_{0}}}^{2}} + \frac{{_{(x_{1}-\mu_{1})}}^{2}}{{_{\sigma_{1}}}^{2}} + \frac{{_{(x_{2}-\mu_{2})}}^{2}}{{_{\sigma_{2}}}^{2}}+...\frac{{_{(x_{n}-\mu_{n})}}^{2}}{{_{\sigma_{n}}}^{2}})}$
$=exp^{-\frac{1}{2}\left [ \begin{matrix} x_{0}-\mu_{0} \\ x_{1}-\mu_{1} \\ x_{2}-\mu_{2} \\ ... \\ x_{n}-\mu_{n} \\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} \frac{1}{\sigma_{0}^{2}} & & &\\ & \frac{1}{\sigma_{1}^{2}} & &\\ & & \frac{1}{\sigma_{2}^{2}} &\\ & & & ...\\ & & & & \frac{1}{\sigma_{n}^{2}}\\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} x_{0}-\mu_{0} & x_{1}-\mu_{1} & x_{2}-\mu_{2} & ... & x_{n}-\mu_{n} \end{matrix} \right ]}$
$=exp^{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{T}\sum^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})}$

因此求得多元正态分布的概率密度函数为：
$p(x)=det(2\pi\sum)^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{T}\sum^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})}$
特别地，当x是一维的时候，$\sum = \sigma^2$ ，$\dpi{100} {\sum}^{-1} = \frac{1}{\sigma^2}$，
则有，
$p(x)={(2\pi {_{ \sigma}}^{2})}^{-\frac{1}{2}}exp^{-\frac{1}{2}\frac{{_{(x-\mu)}}^{2}}{{_{\sigma }}^{2}}}$


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• 首先，把二维正态分布密度函数的公式贴这里 这只图好大啊~~ 但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式，那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵，其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷，但是用...
 转载地址：http://www.cnblogs.com/nani/archive/2012/03/18/2404646.html
首先，把二维正态分布密度函数的公式贴这里

这只图好大啊~~
但是上面的那个是多维正态分布的密度函数的通式，那个n阶是对称正定方阵叫做协方差矩阵，其中的x,pi,u都是向量形式。虽然这个式子很酷，但是用在matlab里画图不太方面，下面换一个

这个公式与上面的等价，只不过把向量和矩阵展开，计算出来。我们可以用这个式子画图。
因为二维函数的形式是:z=f(x,y)
所以必须先选择一些点，然后计算出f(x,y)。这些点分布在一个平面上，而z则在三维空间。
如何选择平面上的点阵？
[x,y]=meshgrid(a,b)
meshgrid就是这样一个生成点阵的函数，这个meshgrid理解起来有点绕，不过举个例子就马上能力明白了。下面是matlab里面的一段截图：

我们可以看到meshgrid生成了两个同样大小的矩阵，第一个矩阵是通过把第一个参数[1:3]顺着行的方向复制了4次，4是第二个参数的长度，同样第二个矩阵是第二个参数顺着列的方向复制了三次，3是第一个参数向量的长度。而这个点阵就是：
(1,2)   (2,2)   (3,2)
(1,3)   (2,3)   (3,3)
...
看出什么意思了吧？就这个意思。
至于这两个参数到底怎么选，这样根据你的正态分布的均值，尽量使点阵的中心与分布的均值靠近。
好了，有了平面上的点，就来算这些点对应的函数值。往函数里套就行，下面是代码：

?

function Z
=
drawGaussian(u,v,x,y)

%
u,vector,expactation;v,covariance matrix

%
x
=
150
:
0.5
:
190
;   

%
y
=
35
:
110
;       

[X,Y]
=
meshgrid(x,y);

DX
=
v(
1
,
1
);     
%
X的方差

dx
=
sqrt(DX);

DY
=
v(
2
,
2
);     
%
Y的方差

dy
=
sqrt(DY);

COV
=
v(
1
,
2
);     
%
X Y的协方差

r
=
COV
/
(dx
*
dy);

part1
=
1
/
(
2
*
pi
*
dx
*
dy
*
sqrt(
1
-
r^
2
));

p1
=
-
1
/
(
2
*
(
1
-
r^
2
));

px
=
(X
-
u(
1
)).^
2.
/
DX;

py
=
(Y
-
u(
2
)).^
2.
/
DY;

pxy
=
2
*
r.
*
(X
-
u(
1
)).
*
(Y
-
u(
2
)).
/
(dx
*
dy);

Z
=
part1
*
exp(p1
*
(px
-
pxy
+
py));

mesh(x,y,Z);

最后一句mesh(x,y,Z) 是画图函数，画出的图行大概是下面这个样子：


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• 正态分布密度函数及特征函数总结：1.一元标准正态分布N(0,1)N(0,1)： 密度函数：(2π)−12e−y22(2\pi)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^2}{2}} 特征函数：e−t22e^{-\frac{t^2}{2}} 2.一元正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma...
正态分布密度函数及特征函数总结：
1.一元标准正态分布

N(0,1)
$N(0,1)$：
密度函数：

(2π)−12e−y22
$(2\pi)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^2}{2}}$特征函数：

e−t22
$e^{-\frac{t^2}{2}}$
2.一元正态分布

N(μ,σ2)
$N(\mu,\sigma^2)$:
密度函数：

12π√σe−(y−μ)22σ2
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}$特征函数：

eitμ−t2σ22
$e^{it\mu-\frac{t^2\sigma^2}{2}}$
3.多元标准正态分布

Nq(0,Iq)
$N_{q}(0,I_{q})$:
(其中

Y=⎡⎣⎢⎢y1⋮yq⎤⎦⎥⎥
$Y= \left[ \begin{matrix} y_{1} \\ \vdots\\ y_{q} \\ \end{matrix} \right]$，

y1⋯yq∼N(0,1)
$y_{1}\cdots y_{q}\sim N(0,1)$)
密度函数：

(2π)−q2e−y′y2
$(2\pi)^{-\frac{q}{2}}e^{-\frac{{y}'y}{2}}$特征函数：

e−t′t2
$e^{-\frac{{t}'t}{2}}$
4.多元正态分布

Np(μ,AA′)
$N_{p}(\mu,A{A}')$:
(其中

Y∼Nq(0,Iq),X=AY+μ∼Np(μ,AA′),A:p∗q
$Y\sim N_{q}(0,I_{q}),X=AY+\mu\sim N_{p}(\mu,A{A}'),A:p*q$，其中

AA′
$A{A}'$记为

∑
$\sum$)
密度函数：

(2π)−q2|∑|−12e−12(x−μ)′|∑|−1(x−μ)
$(2\pi)^{-\frac{q}{2}}\left | \sum \right |^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)'\left | \sum \right |^{-1}(x-\mu)}$ 特征函数：

eit′μ−t′∑t2
$e^{it'\mu-\frac{t'\sum t}{2}}$
例（二元正态图像的实现）：

X=[X1X2]∼N2(μ,∑)
$X= \left[ \begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \end{matrix}\right] \sim N_2(\mu,\sum)$,

μ=[μ1μ2]
$\mu= \left[ \begin{matrix} \mu_{1} \\ \mu_{2} \\ \end{matrix}\right]$,

∑=[σ11σ21σ12σ22]=[σ12ρσ1σ2ρσ1σ2σ22]>0
$\sum=\left[ \begin{matrix} {\sigma_{11} }& \sigma_{12} \\ \sigma_{21}& \sigma_{22} \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} {\sigma_1 }^2& \rho\sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & {\sigma_2 }^2\\ \end{matrix} \right]>0$  * R实现：
#不相关情形
x=seq(-5,5,by=0.1) #生成一组数，从-5到5，间隔0.1#
y=x
x=1
x1=dnorm(x,0,1) #返回值为正态分布密度函数值#
z=outer(x1,x1)
persp(x,y,z,theta=30,phi = 10,expand = 0.8)

#相关情形
fn=function(x,y){
sigma=matrix(c(1,0,0,1),c(2,2))
mu=c(0,0)
sSigma=solve(sigma)
return(exp(-((x-mu[1])^2*sSigma[1,1]+2*(x-mu[1])*(y-mu[2])*sSigma[1,2]+(y-mu[2])^2*sSigma[2,2])/2)/(2*pi*det(sigma)^0.5))
}
a=4
x=seq(-a,a,0.1)
y=seq(-a,a,0.1)
#outer为每个点(x,y)得到对应的z即z[i,j]=fn(x[i],y[j])，类似matlab的meshgrid
z=outer(x,y,fn)
persp(x,y,z,theta=30)               
*matlab实现：
u=[0;0];%均值
v=[1,0;0,1];%协方差阵
x=-7:0.05:7;%x是-7到7的一组数，每次增加0.05
y=-7:0.05:7;
[X,Y]=meshgrid(x,y);%生成二维网格矩阵
s2x=v(1,1) %x的方差 矩阵v的（1，1）元
s2y=v(2,2) %y的方差 矩阵v的（2，2）元
sx=sqrt(s2x) %x的标准差
sy=sqrt(s2y) %y的标准差
Cov=v(1,2) %协方差
r=Cov/(sx*sy) %相关系数
a=1/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r^2));
b1=-1/(2*(1-r^2));
b2=((X-u(1))./sx).^2;
b3=((Y-u(2))./sy).^2;
b4=2*r.*(X-u(1)).*(Y-u(2))./(sx*sy)
Z=a*exp(b1*(b2+b3-b4));%也就是f(x1,x2)的表达式
mesh(X,Y,Z),title('密度函数图')
figure
contour(X,Y,Z),title('等高线图')  
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• 原文来自师兄的博客：...多元正态分布多元正态分布密度函数如下 ： fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))f_{x}(x_{1},...x_{n})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{
原文来师兄的博客：http://blog.csdn.net/wjj5881005/article/details/53320403

多元正态分布多元正态分布的条件密度

多元正态分布
多元正态分布的密度函数如下 ：

fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))
$f_{x}(x_{1},...x_{n})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{k}}|\Sigma|^{1/2}}exp(-\frac{1}{2}(x-\mu)^{T}\Sigma^{-1}(x-\mu))$ (1)

其对应的矩母函数（也有称动差函数）为

exp(μTt+12tTΣt)
$exp(\mu^{T}t+\frac{1}{2}t^{T}\Sigma t)$。事实上，如果随机向量

[X1,...Xn]
$[X_{1},...X_{n}]$满足上面的动差函数，那么我们就称随机向量

[X1,...Xn]
$[X_{1},...X_{n}]$服从多元高斯分布。具体地证明可以看
这里。

多元正态分布的条件密度
令随机向量

[X1,...Xn]
$[X_{1},...X_{n}]$服从多元高斯分布。我们可以推导

Xn
$X_{n}$在给定

X1,...Xn−1
$X_{1},...X_{n-1}$的情况下的条件密度分布：

f(xn|x1,...,xn−1)=f(x1,...,xn−1,xn)f(x1,...,xn−1)
$f(x_{n}|x_{1},...,x_{n-1})=\frac{f(x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}{f(x_{1},...,x_{n-1})}$ (2)，

其中

f(x1,...,xn)=(2π)−n/2(|Σ|−1/2)exp[−12∑ni,j=1yiqijyj]
$f(x_{1},...,x_{n})=(2\pi)^{-n/2}(|\Sigma|^{-1/2})exp[-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}y_{i}q_{ij}y_{j}]$ (3)

其中

Q=Σ−1=[qij],yi=xi−μi
$Q=\Sigma^{-1}=[q_{ij}],y_{i}=x_{i}-\mu_{i}$。同样地，

f(x1,...,xn−1)=∫∞∞f(x1,...,xn−1,xn)dxn=B(y1,...,yn−1)
$f(x_{1},...,x_{n-1})=\int_\infty^\infty {f(x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}\,dx_{n}=B(y_{1},...,y_{n-1})$ (4).

现在我们将公式(3)中的求和项进行分解，有：

∑ni,j=1yiqijyj=∑n−1i,j=1yiqijyj+yn∑n−1j=1qnjyj+yn∑n−1i=1qinyj+qnny2n
$\sum_{i,j=1}^{n}y_{i}q_{ij}y_{j}=\sum_{i,j=1}^{n-1}y_{i}q_{ij}y_{j}+y_{n}\sum_{j=1}^{n-1}q_{nj}y_{j}+y_{n}\sum_{i=1}^{n-1}q_{in}y_{j}+q_{nn}y_{n}^{2}$(5)

因此，最终地条件分布具有如下的形式：

A(y1,...,yn−1)B(y1,...,yn−1)exp[−(Cy2n+D(y1,...,yn−1)yn)]
$\frac{A(y_{1},...,y_{n-1})}{B(y_{1},...,y_{n-1})}exp[-(Cy_{n}^{2}+D(y_{1},...,y_{n-1})y_{n})]$ (6)

其中

C=(1/2)qnn
$C=(1/2)q_{nn}$，因为

Q=Σ−1
$Q=\Sigma^{-1}$是对称矩阵，所以

D=∑n−1j=1qnjyj=∑n−1i=1qinyi
$D=\sum_{j=1}^{n-1}q_{nj}y_{j}=\sum_{i=1}^{n-1}q_{in}y_{i}$.(6)式又可以进一步表示称如下的式子：

[ABexp(DD24C)]exp[−(yn+D2C)2]1C
$[\frac{A}{B}exp(\frac{DD^{2}}{4C})]exp[-\frac{(y_{n}+\frac{D}{2C})^{2}]}{\frac{1}{C}}$ (7)

从公式(7)很容看出

xn
$x_{n}$的条件密度函数是服从正态分布的。
所以条件分布的方差为：

2Var(Xn|X1,...,Xn−1)=1/C
$2Var(X_{n}|X_{1},...,X_{n-1})=1/C$，进一步有：

Var(Xn|X1,...,Xn−1)=12C=1qnn
$Var(X_{n}|X_{1},...,X_{n-1})=\frac{1}{2C}=\frac{1}{q_{nn}}$
均值为：

E(Xn|X1,...,Xn−1)=μn−D2C=μn−1qnn∑n−1j=1qnj(Xj−μj)
$E(X_{n}|X_{1},...,X_{n-1})=\mu_{n}-\frac{D}{2C}=\mu_{n}-\frac{1}{q_{nn}}\sum_{j=1}^{n-1}q_{nj}(X_{j}-\mu_{j})$

这就说明了再抽样多元正态分布时，如果已知了其它维度的随机变量值，
剩下的那个维度的随机变量也是服从正态分布。

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