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  • Liner Regression线性回归 线性回归是最典型的回归问题, 其目标值与所有的特征之间存在线性关系.  一元线性回归:   import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from sklearn.linear_model import ...

     Liner Regression线性回归

    线性回归是最典型的回归问题, 其目标值与所有的特征之间存在线性关系. 

    一元线性回归:

     

    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    
    rng = np.random.RandomState(1)   # 设置随机局部种子
    x = 100 * rng.rand(50, 1)   # rand是[0,1] 均匀分布
    y = 1.25 * x - 20 + 5*rng.randn(50, 1)   # randn是标准正态分布
    
    model = LinearRegression(fit_intercept=True)
    model.fit(x, y)  # x,y的每一行是一个样本,即要求是列向量
    
    x_fit = np.linspace(0, 100, 1000)
    y_fit = model.predict(x_fit[:, np.newaxis])
    print("Model slope: ", model.coef_[0])
    print("Model intercept:", model.intercept_)
    print('方程的判定系数(R^2): %.2f' % model.score(x, y))
    plt.figure(figsize=(16,12))   
    plt.scatter(x, y,s=10, c='k', marker='.')
    plt.plot(x_fit, y_fit)
    ax = plt.gca()
    ax.set_aspect("equal")    # 纵横坐标单位相同
    plt.grid(True)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.show()

     

    多元线性回归(此例子为三元):

    import numpy as np
    from sklearn.linear_model import LinearRegression
    
    rng = np.random.RandomState(10)   # 设置随机局部种子
    x = 100 * rng.rand(50, 3)     #设置一个50行 3列  所有值乘100的随机矩阵
    x1=x[:,0]
    x1.shape=50,1
    x2=x[:,1]
    x2.shape=50,1
    x3=x[:,2]
    x3.shape=50,1   
    y = 1.25*x1+2.5*x2+3*x3+10+rng.randn(50,1)#randn是标准正态分布
    
    model = LinearRegression(fit_intercept=True)
    model.fit(x, y)  # x,y的每一行是一个样本,即要求是列向量
    a = np.linspace(0,50,1000)    #从0到50创建1000个等差数列
    x1_fit= a[:,np.newaxis]       #将a转置成列
    x2_fit =a[:,np.newaxis]
    x3_fit =a[:,np.newaxis]
    x_fit = np.hstack((x1_fit,x2_fit,x3_fit))    #将x1,x2,x3合并一起
    y_fit = model.predict(x_fit)      #根据x对y的预测
    print("Model slope: ", model.coef_[0])
    print("Model intercept:", model.intercept_)
    print('方程的判定系数(R^2): %.2f' % model.score(x, y))

    运行结果: 可以明显的看出来模型运算结果的截距和自己设置的截距是基本一样的, 判定系数无限接近于1, 那就说明这个模型是好的. 

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  • 多元线性回归 一个因变量依赖两个或两个以上自变量变化而变化的回归模型称为多元线性回归 ● 一元线性回归: y(x)=theta0 + theta1* x 1 ● 多元线性回归: y(x)=theta0 + theta1* x 1 + theta2* x 2 + theta3* x...

    多元线性回归

    一个因变量依赖两个或两个以上自变量变化而变化的回归模型称为多元线性回归
    
     ● 一元线性回归:        y(x)=theta0 + theta1* x 1
     ● 多元线性回归:        y(x)=theta0 + theta1* x 1 + theta2* x 2 + theta3* x 3
     ● 多项式(曲线)回归:    y(x)=theta0 + theta1* x 1 + theta2* (x2^2) + theta3* (x3^3) 属于多元线性回归
     
     多元线性回归还有很多形式,比如将因变量y和自变量x取对数,取平方根,取指数等,均可看作线性回归,线性主要指参数线性
    

    1.数据导入

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from pandas import DataFrame,Series
    from sklearn.cross_validation import train_test_split
    from sklearn.linear_model import LinearRegression     #首先导入各种数据分析模块
     
    #读取文件
    data = pd.read_excel('regress.xlsx')
    examDf = DataFrame(data)
    examDf.head(6)
    
    hightweightfhightmhight
    01.5653.01.521.55
    11.5753.61.541.56
    21.5854.21.561.57
    31.5954.81.581.58
    41.6055.41.601.59
    51.6156.01.621.60

    2.数据绘图与检验

    #绘制散点图,examDf.jt为X轴,examDf.hk为Y轴
    plt.scatter(examDf.hight,examDf.weight,color = 'darkgreen',label = "Exam Data")
    #添加图的标签(x轴,y轴)
    plt.xlabel("hight")#设置X轴标签
    plt.ylabel("weight")#设置Y轴标签
    plt.show()#显示图像,一般而言纵坐标表示因变量y,这里可以调换xy顺序再试一次
    

    在这里插入图片描述

    rDf = examDf.corr()#查看数据间的相关系数
    print(rDf)
    
               hight    weight    fhight    mhight
    hight   1.000000  0.986169  0.944395  0.792313
    weight  0.986169  1.000000  0.937681  0.774636
    fhight  0.944395  0.937681  1.000000  0.684220
    mhight  0.792313  0.774636  0.684220  1.000000
    
    print(examDf.describe())#数据描述,会显示最值,平均数等信息,可以简单判断数据中是否有异常值
    print(examDf[examDf.isnull()==True].count())#检验缺失值,若输出为0,说明该列没有缺失值
    
    
               hight     weight     fhight     mhight
    count  29.000000  29.000000  29.000000  29.000000
    mean    1.700000  62.613793   1.674138   1.600690
    std     0.085147   6.158718   0.066843   0.047804
    min     1.560000  53.000000   1.520000   1.530000
    25%     1.630000  57.200000   1.640000   1.560000
    50%     1.700000  63.200000   1.680000   1.590000
    75%     1.770000  66.600000   1.720000   1.630000
    max     1.840000  74.400000   1.780000   1.700000
    hight     0
    weight    0
    fhight    0
    mhight    0
    dtype: int64
    
    #通过seaborn添加一条最佳拟合直线和95%的置信带,直观判断相关关系
    import seaborn as sns
    sns.pairplot(data, x_vars=['weight','fhight','mhight'], y_vars='hight', size=7, aspect=0.8, kind='reg')  
    plt.show()
    
    

    在这里插入图片描述

    3.多元回归

    import statsmodels.api as sm
    from sklearn import model_selection
    train,test =model_selection.train_test_split(examDf,test_size=0.1,train_size=0.9) 
    model = sm.formula.ols('hight~weight + fhight + mhight ',data =train).fit()
    print(model.params)
    
    Intercept    0.346361
    weight       0.009889
    fhight       0.272222
    mhight       0.173867
    dtype: float64
    
    #对比预测值和实际值
    test_X = test.drop(labels='hight',axis = 1)
    pred = model.predict(exog = test_X)
    print(pd.DataFrame({'prediction':pred,'real':test.hight}))
    
        prediction  real
    11    1.665502  1.67
    0     1.553736  1.56
    9     1.648495  1.65
    

    后续还可进一步计算均方误差,F检验,R2等统计量,这里暂时不一一介绍,本次任务主要检验数据特征,求解出回归方程系数,并展现出预测值与真实值。

    展开全文
  • 多元线性回归

    2021-01-27 22:33:04
    多元线性回归:因变量和自变量之间是线性关系。 多元线性回归 参数向量W取值要满足使Loss最小,由 可得到 联立多个线性方程 转化成矩阵形式 求解 代码实现 import tensorflow as tf import numpy as np ...

    多元回归:回归分析中包括两个或两个以上的自变量。
    多元线性回归:因变量和自变量之间是线性关系。
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    多元线性回归

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    参数向量W取值要满足使Loss最小,由
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    可得到
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    联立多个线性方程
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    转化成矩阵形式
    在这里插入图片描述
    求解
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    代码实现

    import tensorflow as tf
    import numpy as np
    
    #设置图像中显示中文
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    #房子面积
    x1 = np.array([137.97,104.50,100.00,124.32,79.2,99.,124.,114.,106.69,138.05,53.75,46.91,68.,63.02,81.26,86.21])
    x2 = np.array([3,2,2,3,1,2,3,2,2,3,1,1,1,1,2,2]) # 房间数
    y = np.array([145.,110.,93.,116.,65.32,104.,118.,91.,62.,133.,51.,45.,78.5,69.65,75.69,95.3])# 价格
    print(x1.shape,x2.shape,y.shape)
    x0 = np.ones(len(x1))
    X=np.stack((x0,x1,x2),axis=1)  # 把三个一维数组合并成一个二维数组
    print(X)
    Y = np.array(y).reshape(-1,1) #得到一个16维1列的二维数组
    
    Xt = np.transpose(X) #计算X'
    XtX_1 = np.linalg.inv(np.matmul(Xt,X)) # 计算(X'X)-1次方
    XtX_1_Xt = np.matmul(XtX_1,Xt) # 计算(X'X)-1次方乘以X'
    W = np.matmul(XtX_1_Xt,Y) #W=((X'X)-1次方)X'Y
    W = W.reshape(-1)
    print("多元线性回归方程:")
    print("Y=",W[1],"*x1+",W[2],"*x2+",W[0])
    print("请输入房屋面积和房间数,预测房屋销售价格:")
    x1_test = float(input("商品房面积:"))
    x2_test = int(input("房间数:"))
    
    y_pred = W[1]*x1_test+W[2]*x2_test+W[0]
    print("预测价格:",round(y_pred,2),"万元")
    
    
    

    可视化

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    
    #设置图像中显示中文
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    
    x1 = np.array([137.97,104.50,100.00,124.32,79.2,99.,124.,114.,106.69,138.05,53.75,46.91,68.,63.02,81.26,86.21])
    x2 = np.array([3,2,2,3,1,2,3,2,2,3,1,1,1,1,2,2])
    y = np.array([145.,110.,93.,116.,65.32,104.,118.,91.,62.,133.,51.,45.,78.5,69.65,75.69,95.3])
    print(x1.shape,x2.shape,y.shape)
    x0 = np.ones(len(x1))
    X=np.stack((x0,x1,x2),axis=1)  # 把三个一维数组合并成一个二维数组
    print(X)
    Y = np.array(y).reshape(-1,1) #得到一个16维1列的二维数组
    
    Xt = np.transpose(X) #计算X'
    XtX_1 = np.linalg.inv(np.matmul(Xt,X)) # 计算(X'X)-1次方
    XtX_1_Xt = np.matmul(XtX_1,Xt) # 计算(X'X)-1次方乘以X'
    W = np.matmul(XtX_1_Xt,Y) #W=((X'X)-1次方)X'Y
    W = W.reshape(-1)
    # print("多元线性回归方程:")
    # print("Y=",W[1],"*x1+",W[2],"*x2+",W[0])
    # print("请输入房屋面积和房间数,预测房屋销售价格:")
    # x1_test = float(input("商品房面积:"))
    # x2_test = int(input("房间数:"))
    #
    # y_pred = W[1]*x1_test+W[2]*x2_test+W[0]
    # print("预测价格:",round(y_pred,2),"万元")
    y_pred = W[1]*x1+W[2]*x2+W[0]
    
    fig = plt.figure(figsize=(8,6))
    ax3d = Axes3D(fig) # 创建3D绘图对象
    # ax3d.view_init(elev=0,azim=-90) # 改变图形视角elev表示水平高度,azim表示水平旋转角度
    
    ax3d.scatter(x1,x2,y,color="b",marker="*")
    ax3d.set_xlabel("Area",color="r",fontsize=16)
    ax3d.set_ylabel("Room",color="r",fontsize=16)
    ax3d.set_zlabel("Price",color="r",fontsize=16)
    ax3d.set_yticks([1,2,3]) # 设置y轴的坐标轴刻度
    ax3d.set_zlim3d(30,160) # 设置z轴的坐标轴范围
    
    
    #绘制平面图
    X1,X2 = np.meshgrid(x1,x2)
    Y_PRED=W[0]+W[1]*X1+W[2]*X2
    
    fig = plt.figure()
    ax3d = Axes3D(fig)
    
    ax3d.plot_surface(X1,X2,Y_PRED,cmap="coolwarm")
    
    ax3d.set_xlabel("Area",color="r",fontsize=14)
    ax3d.set_ylabel("Room",color="r",fontsize=14)
    ax3d.set_zlabel("Price",color="r",fontsize=14)
    ax3d.set_yticks([1,2,3])
    
    
    # 绘制散点图和线框图
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    fig = plt.figure()
    ax3d = Axes3D(fig)
    
    ax3d.scatter(x1,x2,y,color="b",marker="*",label="销售记录")
    ax3d.scatter(x1,x2,y_pred,color="r",label="预测房价")
    ax3d.plot_wireframe(X1,X2,Y_PRED,color="c",linewidth=0.5,label="拟合平面")
    
    ax3d.set_xlabel("Area",color="r",fontsize=14)
    ax3d.set_ylabel("Room",color="r",fontsize=14)
    ax3d.set_zlabel("Price",color="r",fontsize=14)
    ax3d.set_yticks([1,2,3])
    plt.suptitle("商品房销售回归模型",fontsize=20)
    plt.legend(loc="upper left")
    plt.show()
    

    结果
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  • 文章目录原理以及公式【1】一元线性回归问题【2】多元线性回归问题【3】学习率【4】流程分析(一元线性回归)【5】流程分析(多元线性回归)归一化原理以及每种归一化适用的场合一元线性回归代码以及可视化结果多元...


    原理以及公式

    【1】一元线性回归问题

    原函数是一元函数(关于x),它的损失函数是二元函数(关于w和b)

    这里介绍两种损失函数:平方损失函数和均方差损失函数
    在这里插入图片描述

    【2】多元线性回归问题

    X和W都是m+1维的向量,损失函数是高维空间中的凸函数

    【3】学习率

    学习率属于超参数(超参数:在开始学习之前设置,不是通过训练得到的)
    可以选择在迭代次数增加时减少学习率大小.
    下图是学习率正常或较小、稍大、过大的迭代图。

    【4】流程分析(一元线性回归)

    过程分析:

    1、加载样本数据x,y
    2、设置超参数学习率,迭代次数
    3、设置模型参数初值w0, b0
    4、训练模型w, b
    5、结果可视化

    														流程图:
    

    在这里插入图片描述

    【5】流程分析(多元线性回归)

    归一化原理以及每种归一化适用的场合

    在这里插入图片描述

    线性归一化:适用于样本分布均匀且集中的情况,如果最大值(或者最小值)不稳定,和绝大数样本数据相差较大,使用这种方法得到的结果也不稳定.为了抑制这个问题,在实际问题中可以用经验值来代替最大值和最小值
    标准差归一化适用于样本近似正态分布,或者最大最小值未知的情况,有时当最大最小值处于孤立点时也可以使用标准差归一化
    非线性映射归一化,通常用于数据分化较大的情况(有的很大有的很小)
    总结:样本属性归一化需要根据属性样本分布规律定制

    过程分析:

    加载样本数据area,room,price
    数据处理归一化,X,Y
    设置超参数学习率,迭代次数
    设置模型参数初值W0(w0,w1,w2)
    训练模型W
    结果可视化

    在这里插入图片描述

    一元线性回归代码以及可视化结果

    #解析法实现一元线性回归 
    # #Realization of one variable linear regression by analytic method
    #导入库
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt 
    #设置字体
    plt.rcParams['font.sans-serif'] =['SimHei']
    #加载样本数据
    x=np.array([137.97,104.50,100.00,124.32,79.20,99.00,124.00,114.00,106.69,138.05,53.75,46.91,68.00,63.02,81.26,86.21])
    y=np.array([145.00,110.00,93.00,116.00,65.32,104.00,118.00,91.00,62.00,133.00,51.00,45.00,78.50,69.65,75.69,95.30])
    #设置超参数,学习率
    learn_rate=0.00001
    #迭代次数
    iter=100
    #每10次迭代显示一下效果
    display_step=10
    #设置模型参数初值
    np.random.seed(612)
    w=np.random.randn()
    b=np.random.randn()
    #训练模型
    #存放每次迭代的损失值
    mse=[]
    for i in range(0,iter+1):
        #求偏导
        dL_dw=np.mean(x*(w*x+b-y))
        dL_db=np.mean(w*x+b-y)
        #更新模型参数
        w=w-learn_rate*dL_dw
        b=b-learn_rate*dL_db
        #得到估计值
        pred=w*x+b
        #计算损失(均方误差)
        Loss=np.mean(np.square(y-pred))/2
        mse.append(Loss)
        #显示模型
        #plt.plot(x,pred)
        if i%display_step==0:
            print("i:%i,Loss:%f,w:%f,b:%f"%(i,mse[i],w,b))
    #模型和数据可视化
    plt.figure(figsize=(20,4))
    plt.subplot(1,3,1)
    #绘制散点图
    #张量和数组都可以作为散点函数的输入提供点坐标
    plt.scatter(x,y,color="red",label="销售记录")
    plt.scatter(x,pred,color="blue",label="梯度下降法")
    plt.plot(x,pred,color="blue")
    
    #设置坐标轴的标签文字和字号
    plt.xlabel("面积(平方米)",fontsize=14)
    plt.xlabel("价格(万元)",fontsize=14)
    
    #在左上方显示图例
    plt.legend(loc="upper left")
    
    #损失变化可视化
    plt.subplot(1,3,2)
    plt.plot(mse)
    plt.xlabel("迭代次数",fontsize=14)
    plt.ylabel("损失值",fontsize=14)
    #估计值与标签值比较可视化
    plt.subplot(1,3,3)
    plt.plot(y,color="red",marker="o",label="销售记录")
    plt.plot(pred,color="blue",marker="o",label="梯度下降法")
    plt.legend()
    plt.xlabel("sample",fontsize=14)
    plt.ylabel("price",fontsize=14)
    #显示整个绘图
    plt.show()
    
    

    在这里插入图片描述

    多元线性回归代码以及可视化结果

    #解析法实现多元线性回归
    #Realization of multiple linear regression by analytic method
    #导入库与模块
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt 
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    #=======================【1】加载样本数据===============================================
    area=np.array([137.97,104.50,100.00,124.32,79.20,99.00,124.00,114.00,106.69,138.05,53.75,46.91,68.00,63.02,81.26,86.21])
    room=np.array([3,2,2,3,1,2,3,2,2,3,1,1,1,1,2,2])
    price=np.array([145.00,110.00,93.00,116.00,65.32,104.00,118.00,91.00,62.00,133.00,51.00,45.00,78.50,69.65,75.69,95.30])
    num=len(area) #样本数量
    #=======================【2】数据处理===============================================
    x0=np.ones(num)
    #归一化处理,这里使用线性归一化
    x1=(area-area.min())/(area.max()-area.min())
    x2=(room-room.min())/(room.max()-room.min())
    #堆叠属性数组,构造属性矩阵
    #从(16,)到(16,3),因为新出现的轴是第二个轴所以axis为1
    X=np.stack((x0,x1,x2),axis=1)
    print(X)
    #得到形状为一列的数组
    Y=price.reshape(-1,1)
    print(Y)
    #=======================【3】设置超参数===============================================
    learn_rate=0.001
    #迭代次数
    iter=500
    #每10次迭代显示一下效果
    display_step=50
    #=======================【4】设置模型参数初始值===============================================
    np.random.seed(612)
    W=np.random.randn(3,1)
    #=======================【4】训练模型=============================================
    mse=[]
    for i in range(0,iter+1):
        #求偏导
        dL_dW=np.matmul(np.transpose(X),np.matmul(X,W)-Y)   #XT(XW-Y)
        #更新模型参数
        W=W-learn_rate*dL_dW
        #得到估计值
        PRED=np.matmul(X,W)
        #计算损失(均方误差)
        Loss=np.mean(np.square(Y-PRED))/2
        mse.append(Loss)
        #显示模型
        #plt.plot(x,pred)
        if i % display_step==0:
            print("i:%i,Loss:%f"%(i,mse[i]))
    #=======================【5】结果可视化============================================
    plt.rcParams['font.sans-serif'] =['SimHei']
    plt.figure(figsize=(12,4))
    #损失变化可视化
    plt.subplot(1,2,1)
    plt.plot(mse)
    plt.xlabel("迭代次数",fontsize=14)
    plt.ylabel("损失值",fontsize=14)
    #估计值与标签值比较可视化
    plt.subplot(1,2,2)
    PRED=PRED.reshape(-1)
    plt.plot(price,color="red",marker="o",label="销售记录")
    plt.plot(PRED,color="blue",marker="o",label="预测房价")
    plt.xlabel("sample",fontsize=14)
    plt.ylabel("price",fontsize=14)
    plt.legend()
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    总结

    注意点:选择归一化方式


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