精华内容
下载资源
问答
  • 给出了有界变差函数和Dini(导)数的定义以及一个引理,证明了函数可微性的充分条件,利用有界变差对函数几乎处处可微性进行了讨论,并给予了相应的证明。
  • 模糊值函数及其积分的一种解析表述理论,郭嗣琮,,本文是模糊值函数解析表述理论研究的部分工作的总结,系统地介绍了模糊结构元方法在模糊分析学中的应用,包括模糊结构元的概念、
  • 为什么偏导数连续,函数可微

    万次阅读 多人点赞 2018-10-23 17:50:27
    如果函数 的偏导数 、 在点 连续,那么函数在该点可微。 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。 先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后...

    多变量微积分里面有这么一个结论:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 连续,那么函数在该点可微。

    下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。

    先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

    1 连续的含义

    通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:

    1.1 没有缝隙

    我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:

    如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:

    而不连续的曲线会有断裂:

    蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:

    1.2 另一层含义

    从代数上我们可以看到另外一层含义。假设f(x_0) 附近某点为f(x_0+\Delta x) ,根据连续的性质有:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)

    利用极限的性质可以得到:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    因此上式表明,f(x_0) 与附近f(x_0+\Delta x) 的值相差非常小,这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

    2 可微的含义

    2.1 单变量函数的微分

    一元的情况下,在(x_0,f(x_0)) 点可微指的是,在(x_0,f(x_0)) 点附近可以用直线来近似曲线,这根直线就是切线:

    距离(x_0,f(x_0)) 越近,这种近似越好,体现为切线和曲线之间的相差越来越小:

    \Delta x=x-x_0 ,那么x_0 附近曲线与直线的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    2.2 多变量函数的微分

    多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:

    2.2.1 偏导数

    首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面

    平面y=t,t\in\mathbb{R} 是一系列平面,它们与曲面交于一条条曲线:

    很显然,点在这些曲线上运动,y 是不会变化的,只有x 会变化:

    偏导数\frac{\partial f}{\partial x} 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度(变化率),对于(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似,也就是这条曲线的切线,或者称为偏微分:

    这种近似关系可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    同样的道理,偏导数\frac{\partial f}{\partial y} 描述的是只有y 值变化的曲线上的点的速度,假设这样的曲线为f_y(x,y) ,其切线与之的近似关系可以表示为::

    \underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}

    2.2.2 微分

    多变量的函数f(x,y) 在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点的微分,指的是在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点找到一个平面来近似曲面,这就是切平面:

    切平面与曲面的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}

    上面出现了o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) ,这是因为此点的邻域是一个平面(下面用圆来表示这个平面,实际上这个圆可以任意大小):

    此圆的半径可以表示为:

    r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}

    2.3 微分与偏微分的关系

    很显然,过(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,并不是只有x,y 方向的曲线(两个方向的曲线的切线就是偏微分):

    还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):

    这些曲线的切线(假如有的话)要在同一个平面,这个平面就是切平面,才叫做可微(详情参考之前给出的参考文章)。

    而偏微分只是无数切线中的两条,所以:

    偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微

    比如f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} 就是偏导数存在,但是不可微。它的图像是:

    (0,0,0) 点,f(x,y) 与x=0,y=0 的交线是下面红色的直线,分别与x 轴和y 轴重叠:

    因此,在(0,0,0) 点的偏微分就是x 轴和y 轴。但是f(x,y) 与y=x 的交线是:

    (0,0,0) 点形成了一个尖点:

    很显然此曲线的切线不存在(此曲线的左右切线由方向导数决定)。因此f(x,y) 在(0,0,0) 点不可微(具体细节也请参看参考文章)。

    3 偏导数连续推出可微

    前面说了很多,就是为了得到下面这个表格:

    \begin{array}{c|c}    \hline    \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\    \hline    \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\    \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\    \hline    \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\    \hline\end{array}

    下面讲解涉及的三维图像太复杂,不容易看清,所以把三维图像画到二维中,应该不会影响理解。

    先给出A 、B 、C 、D 四个点,把它们的三维坐标也标出来:

    A 点的偏导数连续,分别为:

    \frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}

    A 出发,运动到B ,很显然只有x 方向有变化:

    因此B 点的值为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)

    继续往上走到C 点:

    因为偏导数连续,所以附近的偏导数也是存在的,假设B 的偏导数为\frac{\partial f}{\partial y_b} ,那么可得:

    \begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点}    &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\    \\    &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}

    这里就是关键了,因为偏导数连续,所以A 、B 偏导数差不多,有:

    \underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)

    因此上式可以改写为:

    \begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}

    至此,得到了A 点可微的结论(上面的等价性没有证明,在一些《数学分析》书籍中,可微采用的是类似的定义)。

    如果仔细看上面的证明,会发现只用到了\frac{\partial f}{\partial y} 连续,因此条件可以减弱一些:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 及其邻域存在,偏导数其中之一在邻域内连续,那么函数在该点可微。

    最新版本可以参见: 为什么偏导数连续,函数就可微?

    展开全文
  • 文章目录前言理解一元函数微分理解二元函数微分与全微分总结 ...一元函数f(x)在x = a可微,即指f(x)在x = a点的切线g(x)距离实际 f(a) 即x = a附近的实际足够接近,以至于当x无限趋近于a时,可以用g(x)来拟合f(x)

    前言

    • 在准备数学竞赛时,对多元函数微分学部分的基础概念一直存有困惑,从学数分期间至今一直没有解决,希望趁着竞赛的机会彻底弄明白这些数学概念的具体意义
    • 本人非数学专业学生,下文重在理解而非严谨证明

    理解一元函数微分

    请注意,下文的趋近是一个过程,而不是一个状态

    • 一元函数f(x)在x = a可微,即指f(x)在x = a点的切线g(x)距离实际值 f(a) 即x = a附近的实际值足够接近,以至于当x无限趋近于a时,可以用g(x)来拟合f(x)的实际值
    • 同理,二元函数f(x, y)在(a, b)可微,即指f(x, y)在(a, b)点的切面g(x, y)距离实际值 f(a, b) 即(a, b)附近的实际值足够接近,以至于当(x, y)无限趋近于(a, b)时,可以用g(x, y)来拟合f(x, y)的实际值
    • 当我们在证明一个函数可微时,关键是从定义出发,证明可微的本质,即对于一元函数而言,证明该点的切线与该点及其附近的实际值足够接近,以至于该切线可以拟合该点,二元函数同理
    • 那么,如何衡量足够接近
    • 数学上的方式是:对于一元函数,若x无限趋近于x = a点时,x = a处的切线g(x)与实际值f(x)的差值是x变化量的高阶无穷小,则说明g(x)与f(x)足够接近,可以用切线拟合实际值,即

    f ( x ) = g ( x ) + o ( Δ x ) f(x) = g(x) + o(\Delta x) f(x)=g(x)+o(Δx)

    • 设g(x)的斜率为f’(a)。由于我们考察的是x = a以及该点附近的拟合情况,故 Δ x \Delta x Δx应当是在x=a附近的变化量。即在x在x = a附近变化时,|f(x)的变化量 - g(x)的变化量|应当是x的变化量的高阶无穷小

    f ( x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) Δ x + o ( Δ x ) f(x) - f(a) = f'(a)\Delta x + o(\Delta x) f(x)f(a)=f(a)Δx+o(Δx)

    注意,此时导数是假想出来的,可微才存在导数(斜率)。此处尚未证明可微。

    l i m Δ x − > 0 f ( x ) − f ( a ) Δ x lim_{\Delta x -> 0} \frac {f(x) - f(a)}{\Delta x} limΔx>0Δxf(x)f(a)
    = f ′ ( x ) + l i m Δ x − > 0 o ( Δ x ) / Δ x = f'(x) + lim_{\Delta x -> 0} o(\Delta x)/\Delta x =f(x)+limΔx>0o(Δx)/Δx

    • 易知,上述等式中等式右端最后一项为0与可微是充要条件。
    • 通过该等式既证明了可微,又求出了导数值(极限存在,极限值)
      在这里插入图片描述
    • 上图中,dx dy表示拟合值, Δ x , Δ y \Delta x, \Delta y Δx,Δy表示实际值,可微的本质就是 ∣ Δ y − d y ∣ |\Delta y - dy| Δydy d x = Δ x dx = \Delta x dx=Δx的高阶无穷小

    理解二元函数微分与全微分

    • 首先,如何描述一个三维坐标轴中的平面
    • 给定一个平面中的某一点 (x0, y0, z0) ,以及该面的一个法向量 (A,B,C),则该面可以用 面上的任意一条向量和该法向量垂直 这样的数学含义来描述,即

    ( A , B , C ) ⋅ ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) (A, B, C) · (x-x_0, y-y_0, z-z_0) (A,B,C)(xx0,yy0,zz0)
    = A Δ x + B Δ y + C Δ z = 0 = A\Delta x + B\Delta y + C\Delta z = 0 =AΔx+BΔy+CΔz=0

    注意这里是点乘运算,(x, y, z)是平面上的任意一点

    • 根据前文描述的二元函数微分的本质,在(x0, y0)及其附近,可以用该点的切面拟合实际值,也就是需要该点及其附近的实际值与拟合值的差值是自变量变化量的高阶无穷小,即

    o ( ( Δ x 2 + Δ y 2 ) 1 / 2 ) o((\Delta x^2 + \Delta y^2)^{1/2}) o((Δx2+Δy2)1/2)

    • 那么,如何得到该点的切面方程呢?
    • 容易证明(略),两个向量:

    v 1 = ( 1 , 0 , δ z δ x ∣ x 0 , y 0 ) v1 = (1, 0, \frac {\delta z}{\delta x}|_{x0, y0}) v1=(1,0,δxδzx0,y0)
    v 2 = ( 0 , 1 , δ z δ y ∣ x 0 , y 0 ) v2 = (0, 1, \frac {\delta z}{\delta y}|_{x0, y0}) v2=(0,1,δyδzx0,y0)

    • 两个向量所确定的面是该点的切面
    • 根据线性代数的相关技巧(略),与两个向量同时垂直的法向量应当是:

    v 3 = ( δ z δ x ∣ x 0 , y 0 , δ z δ y ∣ x 0 , y 0 , − 1 ) v3 = (\frac {\delta z}{\delta x}|_{x0, y0}, \frac {\delta z}{\delta y}|_{x0, y0}, -1) v3=(δxδzx0,y0,δyδzx0,y0,1)

    • 从对一元函数可微的讨论中我们知道, Δ y \Delta y Δy是实际值的变化量,而 d y dy dy是拟合值的变化量,实际值和拟合值可以相等。切面是f(x, y)的拟合工具,故对切面的描述应该使用拟合值对应的符号,即:

    v 3 ⋅ ( d x , d y , d z ) = 0 v3 · (dx, dy, dz) = 0 v3(dx,dy,dz)=0
    δ z δ x d x + δ z δ y d y − d z = 0 \frac {\delta z}{\delta x}dx + \frac {\delta z}{\delta y}dy - dz = 0 δxδzdx+δyδzdydz=0
    δ z δ x d x + δ z δ y d y = d z \frac {\delta z}{\delta x}dx + \frac {\delta z}{\delta y}dy = dz δxδzdx+δyδzdy=dz

    • 其中,若认为z是曲面上在该点附近的实际值,z’是在切面上该点附近的拟合值,则 Δ z = z − z 0 , d z = z ′ − z 0 \Delta z = z-z_0, dz = z' - z_0 Δz=zz0,dz=zz0
    • 除此之外,易知, d x = Δ x , d y = Δ y dx = \Delta x, dy = \Delta y dx=Δx,dy=Δy
    • 很好,现在我们已经得到切面方程了,这个方程和全微分方程一模一样,但它不一定就是全微分方程。如果它不满足我们上述描述的可微的实质,那么它就不是全微分方程,即全微分方程不存在,该二元函数不可微,则该切面方程只是一个长得和全微分方程一模一样的切面方程而已。
    • 那么f(x, y)是否可微呢?我们需要证明最重要的一点:

    Δ z − d z = o ( ( Δ x 2 + Δ y 2 ) 1 / 2 ) \Delta z - dz = o((\Delta x^2 + \Delta y^2)^{1/2}) Δzdz=o((Δx2+Δy2)1/2)

    这里不再继续写极限描述了,证明高阶无穷小即可

    在这里插入图片描述
    Δ z = δ z δ x Δ x + δ z δ y Δ y + o ( ( Δ x 2 + Δ y 2 ) 1 / 2 ) \Delta z = \frac {\delta z}{\delta x}\Delta x + \frac {\delta z}{\delta y}\Delta y + o((\Delta x^2 + \Delta y^2)^{1/2}) Δz=δxδzΔx+δyδzΔy+o((Δx2+Δy2)1/2)

    总结

    • 可微的实质很重要,竞赛中会遇到一些证明二元函数可微的题目。关键是要正确理解证明可微就是证明差值是自变量变化量的高阶无穷小
    • 下一篇文章将继续解析如何理解方向导数与梯度?
    展开全文
  • 一元函数,多元函数可微的含义:就是用极限的思想近似反应两个变因素之间的函数关系。近似代替。 一元函数微分的几何意义:就是曲线x增加了一部分,y增加多少的表示。用了极限分割的思想,无线接近。dy与△y...
    展开全文
  • 多元函数——可微

    万次阅读 多人点赞 2019-10-01 19:23:52
    文章目录全增量和全微分偏导数可微的必要条件可微的充分条件证明定理17.3可微,连续,偏导数之间的关系定理17.4计算近似 全增量和全微分 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0​(x0​,y0​)的某...

    全增量和全微分

    • z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)的某领域 U ( P 0 ) U(P_0) U(P0)有定义
    • U ( P 0 ) U(P_0) U(P0)中的点 P ( x , y ) = ( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) P(x,y)=(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y) P(x,y)=(x0+x,y0+y),在 P 0 P_0 P0处的全增量可表示为 △ z = f ( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \triangle z=f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0) z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0) = A △ x + B △ y + o ( ρ ) (1) =A\triangle x+B\triangle y+o(\rho)\tag{1} =Ax+By+o(ρ)(1) A , B A,B A,B仅与点 P 0 P_0 P0有关, o ( ρ ) o(\rho) o(ρ)是较 ρ \rho ρ高阶的无穷小量
    • 则称 f f f P 0 P_0 P0处可微,并称 A △ x + B △ y A\triangle x+B\triangle y Ax+By f f f P 0 P_0 P0全微分,记作 d z ∣ P 0 = d f ( x 0 , y 0 ) dz|_{P_0}=df(x_0,y_0) dzP0=df(x0,y0) = A △ x + B △ y =A\triangle x+B\triangle y =Ax+By △ z = d z + o ( ρ ) \triangle z=dz+o(\rho) z=dz+o(ρ)
    • 也可以把(1)式写成: △ z = A △ x + B △ y + α △ x + β △ y (2) \triangle z=A\triangle x+B\triangle y+\alpha\triangle x+\beta\triangle y\tag{2} z=Ax+By+αx+βy(2)其中 lim ⁡ ( △ x , △ y ) → ( 0 , 0 ) α = lim ⁡ ( △ x , △ y ) → ( 0 , 0 ) β = 0 \lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to(0,0)}\alpha=\lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to(0,0)}\beta=0 (x,y)(0,0)limα=(x,y)(0,0)limβ=0
    • △ x , △ y → 0 \triangle x,\triangle y\to0 x,y0时,也有 f ( x , y ) ≈ f ( x 0 , y 0 ) + A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0) f(x,y)f(x0,y0)+A(xx0)+B(yy0)判断函数在某点是否可微,一个方法是看 lim ⁡ x → x 0 , y → y 0 f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) − A ( x − x 0 ) − B ( y − y 0 ) ρ \lim\limits_{x\to x_0,y\to y_0}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-A(x-x_0)-B(y-y_0)}{\rho} xx0,yy0limρf(x,y)f(x0,y0)A(xx0)B(yy0)是否为0,若为0,则可微,这里的A,B其实是 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx(x0,y0) f y ( x 0 , y 0 ) f_y(x_0,y_0) fy(x0,y0)

    偏导数

    • z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D , ( x 0 , y 0 ) ∈ D z=f(x,y),(x,y)\in D,(x_0,y_0)\in D z=f(x,y),(x,y)D,(x0,y0)D, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) x 0 x_0 x0的某领域有定义
    • 当极限 lim ⁡ △ x → 0 △ x f ( x 0 , y 0 ) △ x \lim\limits_{\triangle x\to 0}\frac{\triangle_xf(x_0,y_0)}{\triangle x} x0limxxf(x0,y0) = lim ⁡ △ x → 0 f ( x 0 + △ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) △ x =\lim\limits_{\triangle x\to 0}\frac{f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\triangle x} =x0limxf(x0+x,y0)f(x0,y0)存在,称该极限为 f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处关于x的偏导数
    • △ x f ( x 0 , y 0 ) △ x \frac{\triangle_xf(x_0,y_0)}{\triangle x} xxf(x0,y0)的由来,只需令 △ y = 0 \triangle y=0 y=0 △ x z = A △ x + α △ x \triangle_xz=A\triangle x+\alpha\triangle x xz=Ax+αx SO, △ x z △ x = A + α \frac{\triangle_xz}{\triangle x}=A+\alpha xxz=A+α
    • 注意!若 f 在 ( x 0 , y 0 ) f在(x_0,y_0) f(x0,y0)处存在关于 x ( 或 y ) x(或y) x(y)的偏导数,那么 f f f至少在 { ( x , y ) ∣ y = y 0 , ∣ x − x 0 ∣ < δ } \{(x,y)|y=y_0,|x-x_0|<\delta\} {(x,y)y=y0,xx0<δ}上有定义

    可微的必要条件

    • f f f在定义域内一点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可微
    • ⇒ f \Rightarrow f f在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且 A = f x ( x 0 , y 0 ) , B = f y ( x 0 , y 0 ) A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0) A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0)
    • 由于自变量的增量=自变量的微分,即 d x = △ x , d y = △ y dx=\triangle x,dy=\triangle y dx=x,dy=y d z = f x ( x 0 , y 0 ) d x + f y ( x 0 , y 0 ) d y dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy

    可微的充分条件

    • f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)某领域的偏导数存在
    • f x , f y f_x,f_y fx,fy在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)连续
    • ⇒ f \Rightarrow f f在该点可微
    • 也称 f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续可微

    证明

    • △ z = f ( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \triangle z=f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0) z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0) = [ f ( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) − f ( x 0 , y 0 + △ y ) ] =[f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0+\triangle y)] =[f(x0+x,y0+y)f(x0,y0+y)] + [ f ( x 0 , y 0 + △ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ] +[f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)] +[f(x0,y0+y)f(x0,y0)]对上面两项分别应用拉式中值定理 = f x ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 + △ y ) △ x + f y ( x 0 , y 0 + θ 2 △ y ) △ y =f_x(x_0+\theta_1\triangle x,y_0+\triangle y)\triangle x+f_y(x_0,y_0+\theta_2\triangle y)\triangle y =fx(x0+θ1x,y0+y)x+fy(x0,y0+θ2y)y θ 1 , θ 2 ∈ ( 0 , 1 ) \theta_1,\theta_2\in(0,1) θ1,θ2(0,1)

    • 书上这里用的理由是:由于 f x , f y f_x,f_y fx,fy连续,于是有 f x ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 + △ y ) = f x ( x 0 , y 0 ) + α f_x(x_0+\theta_1\triangle x,y_0+\triangle y)=f_x(x_0,y_0)+\alpha fx(x0+θ1x,y0+y)=fx(x0,y0)+α f y ( x 0 , y 0 + θ 2 △ y ) = f y ( x 0 , y 0 ) + β f_y(x_0,y_0+\theta_2\triangle y)=f_y(x_0,y_0)+\beta fy(x0,y0+θ2y)=fy(x0,y0)+β 由于 ( △ x , △ y ) → 0 时 , α , β → 0 (\triangle x,\triangle y)\to0时,\alpha,\beta\to 0 (x,y)0α,β0 所以就有 △ z = f x ( x 0 , y 0 ) △ x + f y ( x 0 , y 0 ) △ y \triangle z=f_x(x_0,y_0)\triangle x+f_y(x_0,y_0)\triangle y z=fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y + α △ x + β △ y +\alpha\triangle x+\beta\triangle y +αx+βy于是 f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可微

    • 由于 f x , f y f_x,f_y fx,fy连续,其实直接就有 lim ⁡ ( △ x , △ y ) → 0 f x ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 + △ y ) = f x ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to0}f_x(x_0+\theta_1\triangle x,y_0+\triangle y)=f_x(x_0,y_0) (x,y)0limfx(x0+θ1x,y0+y)=fx(x0,y0) lim ⁡ ( △ x , △ y ) → 0 f y ( x 0 , y 0 + θ 2 △ y ) = f y ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to0}f_y(x_0,y_0+\theta_2\triangle y)=f_y(x_0,y_0) (x,y)0limfy(x0,y0+θ2y)=fy(x0,y0)但是这样就得不到可微的标准形式

    定理17.3

    • f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某邻域D上存在偏导数
    • ( x , y ) ∈ D (x,y)\in D (x,y)D
    • 则存在 ξ = x 0 + θ 1 ( x − x 0 ) \xi=x_0+\theta_1(x-x_0) ξ=x0+θ1(xx0), η = y 0 + θ 2 ( y − y 0 ) ( 0 < θ 1 , θ 2 < 1 ) \eta=y_0+\theta_2(y-y_0)(0<\theta_1,\theta_2<1) η=y0+θ2(yy0)(0<θ1,θ2<1)
    • 使得 f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x,y)-f(x_0,y_0) f(x,y)f(x0,y0) = f x ( ξ , y ) ( x − x 0 ) + f y ( x 0 , η ) ( y − y 0 ) =f_x(\xi,y)(x-x_0)+f_y(x_0,\eta)(y-y_0) =fx(ξ,y)(xx0)+fy(x0,η)(yy0)

    可微,连续,偏导数之间的关系

    • 函数在某点可微,必在该点连续
    • 在某点连续,偏导数不一定存在,更别说可微了
    • 在某点存在对所有自变量的偏导数 ,也不能推出 f f f在该点连续,也不一定可微
    • 偏导数只描述了函数沿 x , y x,y x,y轴方向额变化特征,只能说明 f f f在某点分别 x 或 y x或y xy连续

    定理17.4

    曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)存在不平行 于 z z z轴的切平面的充要条件是 f 在 P ( x 0 , y 0 ) 处 可 微 f在P(x_0,y_0)处可微 fP(x0,y0)

    • 若函数 f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微
    • f f f在该点的切平面方程为 z − z 0 = f x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) zz0=fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)
    • 过切点与切平面垂直的法线方程为 x − x 0 f x ( x 0 , y 0 ) = y − y 0 f y ( x 0 , y 0 ) = z − z 0 − 1 \frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1} fx(x0,y0)xx0=fy(x0,y0)yy0=1zz0

    计算近似值

    • 对于函数 z = f ( x , y , z ) z=f(x,y,z) z=f(x,y,z),给定点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0),变化值为 △ x , △ y , △ z \triangle x,\triangle y,\triangle z x,y,z
    • f ( x 0 + △ x , y 0 + △ y , z 0 + △ z ) f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y,z_0+\triangle z) f(x0+x,y0+y,z0+z) ≈ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) + f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) △ x \approx f(x_0,y_0,z_0)+f_x(x_0,y_0,z_0)\triangle x f(x0,y0,z0)+fx(x0,y0,z0)x + f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) △ y + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) △ z +f_y(x_0,y_0,z_0)\triangle y+f_z(x_0,y_0,z_0)\triangle z +fy(x0,y0,z0)y+fz(x0,y0,z0)z
    展开全文
  • 多元函数可导,连续,可微的关系

    万次阅读 2020-06-20 02:04:28
    偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点,二元函数本身是一个平面型的,趋于某一定点是从四面八方的,而平行于坐标...
  • safe-values.js 用于验证JavaScript中的库,用于测试函数参数
  • 高中数学讲义专题26 未知角的三角函数值.pdf
  • 偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点,二元函数本身是一个平面型的,趋于某一定点是从四面八方的,而平行于坐标...
  • [强化学习-5] 值函数近似

    千次阅读 2018-09-01 14:44:46
    状态动作空间很小的就存在表中,用的时候查表获取v(s)和Q(s, a),但当状态空间是高维连续时,需要储存的东西就太了,这个表就不行了,这时我们会采用函数逼近(function approximation)的方式逼近值函数: ...
  • 将经典的Weierstrass型函数中的函数项扩展为一般的李卜希兹连续周期函数,在指数参数大于等于1的情况下讨论了这类函数及其分数阶积分函数,得出原函数及其分数阶积分函数图像的分形维数均为1,并给出其分数阶微分函数...
  • 本篇将会看到,我们学习到的计算导数的用武之地...在经济、生物和心理学的研究中,积分也是一项最有用的技能之一。如果xx轴的某个区间上x1暗含着f(x1)(x2)f(x_1)(x_2),那么函数f(x)f(x)在此区间上是增函数。用几何语
  • 上篇 《Python入门》第一个Python Web程序——简单的Web服务器 中调试很不方便,不知道对象具体有什么属性,包含什么值,所以写了一个函数,用于获取对象的属性及属性值函数代码如下:#调试函数,用于输出对象的...
  • 关于分段函数微积分的教学探讨,谭福锦,,分段函数的微积分,是高等数学中较难掌握的内容之一。对于初次学习的学生来说,是不容易突破的一关。因此,教师在进行教学时应能
  • 本博客对应我博客中的变量积分目录下的第二章,多元函数及其微分。 2. 多元函数及其微分——单变量函数的延拓 2.1 多元函数 多元函数一般是指某个定义域为 DDD 的函数 fff 有两个及以上的自变量,z=f(x1,x2,x3,....
  • 两个凸函数的最大仍为凸函数

    千次阅读 2018-03-10 10:54:39
    函数的定义: 一个凸集内的任意两个点x1与x2,任意t∈[0,1]⇒f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)一个凸集内的任意两个点x1与x2,任意t∈[0,1]⇒f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)一个凸集内的任意两个点 x_1...
  • 在高等数学一元函数微分学中研究的关键问题之一是导和可,夹杂着函数连续,简短等知识点,这几个相关的概念混在一块总是难以理解,什么导一定可微导一定连续之类的。 这里把这几个概念就自己的理解做一下...
  • 将经典的Weierstrass型函数中的函数项扩展为一般的李卜希兹连续周期函数,在指数参数大于等于1的情况下讨论了这类函数及其分数阶积分函数,得出原函数及其分数阶积分函数图像的分形维数均为1,并给出其分数阶微分函数...
  • 在数学分析中,函数的最大和最小值(最大和最小值)被统称为极值(极数),是给定范围内的函数的最大和最小值(本地 或相对极值)或函数的整个定义域(全局或绝对极值)。
  • 4. 向量值函数导性(向量值函数的导数、切向量、切线、法平面、光滑曲线) 5. 向量值函数的物理意义(运动速度、速率、加速度) 6. 向量值函数的求导法则 7....
  • 假若可微 元 函 数 ⇒ { f ′ 方 向 1 = f ′ 方 向 2 = c f ′ 方 向 2 = f ′ 方 向 3 = c ⋯ ⋯ ( → 方 向 ∞ ) 多元函数可微\Rightarrow \begin{cases} f'^{方向1}=f'^{方向2}=c\\ f'^{方向2}=f'^{...
  • 梯度场有很有趣的性质,独立路径能极大地简化计算量。对于简单的向量场,我们可以用猜测法找出势函数,从而判断其是否是梯度场,但是对于复杂的向量场,就必须使用一套行之有效的方案。
  • 漫步积分七——连续函数

    千次阅读 2016-07-19 10:01:11
    大体说来,如果一个函数显示相似的行为那它就是连续的,也就是说,如果xx发生小的变化,相应的f(x)f(x)也发生小的变化。图1所示的函数在点aa处是连续,因为xx趋近aa时,f(x)f(x)趋近f(a)f(a)。或更确切地说,xx...
  • 用matlab编写的偏方程边问题的程序,偏方程数值解得具体实验报告,实现分段二次函数图形的画法.
  • 用泰勒级数来估计函数的近似

    千次阅读 2019-04-08 10:13:23
    这是《机器学习中的数学基础》系列的第16篇,也是积分的最后一篇。 在实际生活和工作中,我们经常希望用多项式来近似某点处的函数值,而泰勒级数就是干这个的。不过在正式介绍泰勒级数之前,我们先来看看高阶导数...
  • 图说积分(三)函数

    千次阅读 2014-02-21 09:16:38
    今天我们进入下面这张图: 右下角的吃豆人超级抢眼!我都忘了这是本数学书,还以为是游戏攻略呢!下面我们步步拆解: ...上一幅图讲到了反函数,下面是反...因为抛物线形状的图形导致了二次函数的反函数对应的
  • 我们定义一个函数$f$的支集$${\rm supp}f=\overline{\{x:f(x)\neq0\}}$$ 数学分析中一个常见的例子,考虑如下函数$$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^{-\frac{1}{x^2}}&x\neq0\\0&x=0\end{matrix}\right.$$我们...
  • mysql 多值检索 find_in_set()函数

    千次阅读 2016-09-29 16:25:38
    有一个字段type类型,存储的为:1,2,3,4,等这样的,要检索出里面全部含有某一个类型的,列如3 想要的结果如下:如何实现。。下面是具体的示例: +-----+-----------+ | fid | type | +-----+-----------+ |...
  • 图说积分(二)函数

    千次阅读 2014-02-20 23:55:39
    函数 第一章,我们进入函数的内容,这幅封面很形象的画出了函数是什么,它就像一台机器,吃进去一些东西(定义域),制造出另外一些东西(值域)。 我的天,这是啥!啥!啥!面对这漫天的文字,我感到很...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 83,326
精华内容 33,330
关键字:

多值函数可微