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  • 多元函数凹凸性判定及最值定理

    千次阅读 2020-10-01 23:05:15
    多元函数凹凸性判定及最值定理

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    特别的,如果Hessian矩阵是半正定的,也是凸函数。
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  • 多元函数判定

    千次阅读 2019-12-16 17:04:51
    1 引言 凸函数是一类基本函数,具有非常好的分析学性质,在极值研究、不等式... 一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数,文献[4]将凸函数与函数之间的关系推广,给出了用梯度判定多元函数凸性的方法,文献[5]...

    引言

    凸函数是一类基本函数,具有非常好的分析学性质,在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用. 人们对一元凸函数性质和判定方法已经有了丰富的研究,但随着凸函数应用范围的不断扩展,多元凸函数越来越多的被研究. 一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数,文献[4]将凸函数与导函数之间的关系推广,给出了用梯度判定多元函数凸性的方法,文献[5]将凸函数与二阶导数之间的关系推广,给出了用黑塞矩阵判定多元函数凸性的方法. 而多元函数的梯度与黑塞矩阵在计算中往往比较繁琐,本文将着力研究多元函数凸性判定方法的改进,使凸函数判定的计算更加简洁,应用更加方便.

    2  定义及引理

    本节主要介绍本文用到的定义及引理.

     

     

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  • 对于多元函数f(x1,x2,x3……xn)二阶连续可导,并且在临界点M=(x1,x2,x3……xn)处梯度为0,M为驻点,仅通过一阶导数无法判断是否为极大、小值点。 记M处的海森矩阵为H(M),由于f(X)在M点连续,所以H(M)是一个(n*n...

    Hessian Matrix 主要是由 变量的二阶导数所组成,对角线上的元素为:对某一元素的二阶导数,而非对角线元素是对不同元素的混合偏导!它是对称矩阵!

    对于多元函数f(x1,x2,x3……xn)二阶连续可导,并且在临界点M=(x1,x2,x3……xn)处梯度为0,M为驻点,仅通过一阶导数无法判断是否为极大、小值点。

    记M处的海森矩阵为H(M),由于f(X)在M点连续,所以H(M)是一个(n*n)对称矩阵。对于H(M)有如下结论:

    1.如果H(M)是一个正定矩阵,则临界点M点是一个极小值点。

    2..如果H(M)是一个负定矩阵,则临界点M点是一个极大值点。

    3..如果H(M)是一个不定矩阵,则临界点M点不是极值点。

     

    正定矩阵:对于埃米尔特矩阵(对称矩阵的推广),如果有X属于Rn,即X是n维的向量!有X*H(M)X>0,

    负定矩阵:对于埃米尔特矩阵(对称矩阵的推广),如果有X属于Rn,即X是n维的向量!有X*H(M)X<0,

    半正定矩阵:对于埃米尔特矩阵(对称矩阵的推广),如果有X属于Rn,即X是n维的向量!有X*H(M)X>=0,

    半负定矩阵:对于埃米尔特矩阵(对称矩阵的推广),如果有X属于Rn,即X是n维的向量!有X*H(M)X<=0,

    不定矩阵:若它既不是半正定矩阵也不是办负定矩阵则称不定矩阵。

    正定矩阵的判别:

    1.将矩阵华为P*VP则V为对角矩阵,其对角线上的全部元素为正,则成立。

    2.顺序主子式的行列式全为正。

    3.……

    在高等数学中我们学过,对极值的判定是根据驻点处的二阶导数的值进行判别,一元函数的求值,只是求解其二阶导数就能直接判断,二元函数的求值,对变量求二阶偏导数和各自的混合偏导,然后进行判别,当AC-B^2=0是亦无法进行判别,拓展值更高维度时,我们只是研究出了其具有的必要条件,即低一阶导数的值为0。故此高数中的方法具有很大的局限性!

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  • 235 答案解析 假设构造出一个函数的方法还是比较简单的

    234

    多元函数判断偏导连续跟一元函数差不多,思想是一样的,只不过是分别对x偏导连续判断和y偏导进行连续判断

    解析

     

    235

    答案解析

    假设构造出一个函数的方法还是比较简单的

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  • 多元函数可微性知识点总结

    万次阅读 2020-05-10 16:17:38
    这节的知识点也挺多,主要就是微和偏数存在的关系 偏数:z=f(x,y),z对x或者y的偏数就是把另一个当做常数求导,还算简单 判断微性: 必要条件: 可以写成偏数都存在,且可以写成dz=fxdx+fydydz=f_xdx+f_...
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  • 多元函数微分学

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  • 数二-多元函数可微性

    2021-04-04 15:03:34
    则称z=f(x,y)在(x,y)处微。z=f(x,y)在(x,y)处的全增量\varDelta a=A\varDelta x+B\varDelta y+o(\rho)。A,B不依赖于\varDelta x、\varDelta y且仅与x,y有关。则称z=f(x,y)在(x,y)处微。z=f(x,y)在(x,y)处的全...
  • 多元函数——微性

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  • 判断多元函数极值点

    千次阅读 2020-07-26 11:37:05
    函数极值点一定是驻点,驻点不一定是极值点,驻点为两个偏数存在且均为0的称为驻点 令A=,B=,​​​​​C= 若AC-B^2>0,则为极值点,且A>0为极小值 若AC-B^2<0,则不是极值点 若AC-B^2=0,则进一步...
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多元函数可导的判定